🚀🚀🚀 ACHTUNG SCHWIERIG! DAS SCHWEINERÄTSEL | Textaufgabe zum logischen Denken
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- Опубликовано: 9 июл 2024
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Mathe Aufgabe aus dem echten Leben. Wie schwer oder leicht findest du solche Textaufgaben aus der Zahlentheorie? Der Schwierigkeitsgrad ist oft sehr unterschiedlich, von leicht, mittel bis sehr schwer und oft auch nicht auf den ersten Blick zu erkennen. Viel Spaß beim Rätseln! Ich bin sehr gespannt du es knackst - berichte mal in den Kommentaren!!
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***** Kapitelübersicht: ************************************
0:00 Mathe Aufgabe aus dem echten Leben
1:24 Wie viele Schweine hat der Hirte? | Rätsel
3:10 Mathematische Reihen | Teilbarkeitsregeln
7:52 Weitere Zahlentheorie Rätsel
***** Tags: *******************
#Geometrie #Mathe #Rätsel
Hi Magda!
Meine Herangehensweise:
Damit bei Vielfachen von 5 ein Rest 1 übrig bleibt, darf die letzte Ziffer der gesuchten Zahl nur 1 oder 6 sein. Gerade Zahlen sind aber durch 2 teilbar, also muß die letzte Ziffer auf jeden Fall 1 sein.
Bei der 7er Reihe kommt nur ein Faktor in Frage, dessen letzte Ziffer eine 3 ist, also 3, 13, 23, 33, 43, ...
Die Produkte habe ich unter einander geschrieben und auf Teilbarkeit durch 3, 4, 5 und 6 mit Rest 1 geprüft. So bin ich bei 7 x 43 = 301 erstmals auf eine Möglichkeit gestoßen, die alle Bedingungen erfüllt. -
War knifflig, aber schöne Aufgabe!
🦶wieder👍?
❤liche Grüße!
Auch ein schöner Weg!
Meine Herangehensweise: bei 5 mit Rest eins kommt nur mit Endzahl 1 oder 6 in Frage. Da es ungerade sein muss, muss die hinterste Ziffer eine 1 sein. In der 7 er Reihe ist immer nur die dritte mit 1 zu hinterst. Es also also nur 3 , 13 , 23 , 33 , 43 , 53 etc. mal 7 in Frage. Bei 43*7 ist dann alles aufgegangen.
Das Schweinerätsel war aber saumäßig schwer!
😃🐷🐷🐷
das ist eine schöne aufgabe wenn man programmieren lernen will:
10 for a=7 to 1000:for b=2 to 6: if a- int(a/b)*b=1 then else 40
30 next b:if int(a/7)=a/7 then print a:stop
40 next a
50
301
STOP at line 30
>
ausführen mit bbcbasic sdl und zum kopieren aus dem ergebnis fenster ctrl tab drücken.
übrigens, im studium gab es eine formel im skript mit der "int" funktion nach Gauss, um kalendertage zu berechnen mit der berücksichtigung von schaltjahren
Spoiler
Ich hatte tatsächlich einen etwas anderen Ansatz. Wenn die Anzahl an Schweinen nicht durch die Zahlen 2-6, aber durch 7 teilbar sein soll, dürfen 2, 3 und 5 keine Primfaktoren sein, 7 hingegen muss ein Primfaktor der gesuchten Zahl sein. Höhere Primzahlen als 7 sind theoretisch auch möglich, die habe ich aber zunächst ausgeklammert, als ich die zweite Bedingung (Rest 1 bei den anderen Divisionen) überprüft hab. Geht man die 7er Potenzen durch, stellt man fest, dass 2401 (7^4) eine mögliche - aber nicht die kleinste - Anzahl an Schweinen ist. Die 301 ergibt sich übrigens mit 43 als zweiten Primfaktor :)
Jede Zahl der Form 420 × k + 301 mit ganzzahligem k ist eine Lösung
Das klingt nach einem "linearen diophantischen Gleichungssystem":
x=7*a
x=6*b+1
x=5*c+1
x=4*d+1
x=3*e+1
x=2*f+1
Finde Loesungen des Gleichungssystems mit ganzzahligen Werten a, b, c, d, e, f und x.
x-1 iist sowohl durch 6 als auch durch 5, durch 4, durch 3 und durch 2 teilbar.
aher muss x-1 ein vielfaches von 3*4*5 =60 sein, denn 60 ist die kleinste Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist (die Teilbarkeit durch 2 ergibt sich aus der Teilbarkeit durch 4,und die Teilbarkeit durch 6 ergibt sich aus den Teilbarkeiten durch 2 und durch 3). 60 hat beim teilen durch 7 den rest 4 (60-4=56=8*7). Da x durch 7 teilbarr sein muss, ergibt x-1 beim teilen durch 7 den Rest 6. Welche vielfachen von 60 haben beim teilen durch 7 den Rest 6?
60 mod 7=4
2*60 mod 7=2*4 mod 7=8 mod 7=1
Hier sieht man bereits, dass 2*6*60 beim teilen durch 7 den Rest 6 haette:
2*6*60 mod 7=12*60 mod7=6*(2*60 mod 7) mod 7=6 mod 7=6
Da sich die Rerste alle 7 mal wiederholen, muss auch
60*(12-7) mod 7=60*5 mod 7=300 mod 7=6 sein.
Kontrollieren wir noch mal:
300 mod 7= (280+14+6) mod 7=6 mod 7=6
Damit muss x-1 den Wert 300 haben (oder 300+n*420 mit einer natuerlichen Zahl n).
Damit ist das kleinste positive ganzzahlige x, dass unser Gleichungssystem erfuellt, x=301. Der Hirte hat also (mindestens) 301 Schweine. Weitere Moeglichkeiten waeren 301+n*420 mit positiivem ganzzahligem n.
Das ausprobieren wie im Video erscheint mir etwas unelegant. Meine Methode, sich die Restefolge der vielfachen von 60 beim teilen durch 7 anzuschauen, erscheint mir eleganter. Und diese Methode liefert auch gleich noch die weiteren moeglichen Loesungen (die man erhaelt, wenn man die ganzzahligen vielfachen von 420 drauf addiert).
Mein Ansatz: Das kgV (2, 3, 4, 5, 6) = 60. Dann einfach ein Vielfaches von 60 suchen, das "+1" durch 7 teilbar ist und gleichzeitig, wegen der 1 am Ende, dem Term: n * 70 + 21 entspricht. Das klappt zum ersten Mal bei "301". Allerdings dürfte es darüber hinaus noch unzählige andere Lsgn. geben, wie z.B. 301 + n * 420 (60 * 7), mit n als nat. Zahl. 🙂
Ich habe es so gelöst: Man weiß, dass es ein Vielfaches von 7 sein muss. Also bin ich die 7*k durchgegangen. Dabei kann man für die Werte für k schon mal alle Vielfachen von 2,3,4,5,6 weglassen (weil sonst wäre 7*k ja durch eine dieser Zahlen teilbar, was ja nicht sein darf). Da bleiben dann nicht mehr so viele Kandidaten übrig. zum Beispiel 7*7, oder 7*11 usw. Da braucht man dann nur noch überprüfen, ob diese möglichen Kandidaten einen Rest von 1 lassen (bei Division von 2,3,4,5,6) und so hangelt man sich weiter nach oben. Bis man schließlich bei 43 ankommt.
42:4 geht nicht glatt auf! -> deine/Ihre Lsg. ist keine Lsg.!
@@_H__T_Ich glaube, es ist 43*7 gemeint, was 301 ergibt, wie Magda ebenfalls raushat.
Da nicht vorgegeben ist, ob es die kleinste Zahl sein, war mein erster Gedanke, wenn ich 2*3*4*5*6 rechne und 1 addiere, erfüllt diese Zahl logischerweise die ersten 5 Bedingungen. Da 721 raus kommt, ist die Zahl sogar zufällig auch ohne Rest durch 7 teilbar.
Dann ist mir eingefallen, dass 6 ja 2*3 ist und da ich diese Faktoren bereits berücksichtigt habe, brauche ich die 6 gar nicht. Und da 4=2*2, ist auch nur eine 2 zusätzlich nötig, um die Zahl zu finden, die durch alle Zahlen von 2 bis 6 geteilt werden kann. Und das ist 2*2*3*5=60. Wenn ich 1 addiere, passen die ersten Bedingungen immer. Um die Teilbarkeit durch 7 zu gewährleisten, muss man nur noch Vielfache von 60 und dann +1 untersuchen, also 61,121,181,241 etc.
Und dann sind die kleinsten Lösungen 301, 721, 1141, 1561 usw. oder allgemein 301+420n mit neN, da +60 immer garantiert, dass die Zahl durch 2,3,4,5 und 6 teilbar ist und 60*7=420 für die Teilbarkeit durch 7 sorgt, da die Primfaktorzerlegung für 420=2*2*3*5*7 ist.
@@_H__T_ Seine Loesung ist nichht direkt die 43 sondern 43*7=301 ...
Meine Lösung:
Bedingung: Es muss eine ungerade Zahl sein, welche sich ohne Rest durch 7 teilen lässt.
Der Hirte muss x mal 7 Schweine in den Stall lassen.
Jetzt nehme ich als Faktor von x alle möglichen Zahlen, die als Quersumme 7 ergeben.
Also 7, 25, 34, 43, 52, 70
Die geraden Zahlen kann man streichen. Es bleiben 7, 25, 43.
Sofort wird ersichtlich, dass die 7 und die 25 nicht passen, wenn man sie mit 7 multipliziert.Es verbleibt nur noch die 43, welche mit 7 multipliziert genau 301 ergibt. Das ist die gesuchte Zahl der Schweine.
Grüsse von Marcel
Super gemachtes Video und sehr gut erklärt. Danke und mach weiter so.j
@@marcelequey9021 Waruannst du die ungeraden Zahlen ausschliessen, die als Quersumme 1, 4 oder10 haben? "Beim teilen durch 3 der Rest 1" und "ungerade" schliessen diese doch noh nicht aus.
Die Teilbarkeits-Regel bei Division durch 7 ist klasse, funktioniert übrigens auch beim Teilen durch 3. 😁
Aber für Teilbarkeit durch 3 haben wir mit der Quersummenregel eine viel praktischere Teilbarkeitsregel.
721 hab ich gefunden. HN der Zahlen 2 bis 6 ist 120., diese Zahl plus 1 wäre 121, aber nicht teilbar durch 7. Setzt man die Reihe fort mit 240 plus 1 usw landet man bei 721. Nachtrag: Hätte ich kgV 60 verwendet, wäre ich mit der gleichen Methode auf 301 gekommen, fiel mir aber erst auf, als ich deine Lösung gelesen habe.
Hab die Lösung noch nicht geschaut, bin auf 301 gekommen. Die Zahl ohne die addierte 1 muss durch 2.3.4.5.6 teilbar sein. Bei der 5 kommt als Endzahl nur 0 oder 5 in Frage, da durch 2 teilbar sein muss, nur die 0 als Endzahl. Da am Schluß eine 1 addiert wird, damit es durch 7 teilbar wird, habe ich nun einfach am Taschenrechner 7+7 eingegeben und dann immer auf = bis immer wieder hinten eine 1 stand. Dann musste ich die 1 abziehen und diese Zahl musste durch die oberen teilbar sein. bei 21, 91, 161, 231 funktionierte das nicht, aber dann bei 301. 🙂
da ich beim kgV einen Fehler hatte, kam ich auf 120 und in weiterer Folge auf 721 Schweine, so gesehen müsste jedes Vielfache von 60, welches +1 durch 7 teilbar ist, als gültige Lösung gelten
Stimmt! Die Lösung ist nicht eindeutig! 😊
Hallo Magda, ja es gibt noch sehr viele weitere Lösungen - unendlich viele - wie Du selbstverständlich weißt. Z.B. im Zahlenbereich 0 - 10^6 ist die erste Lösung 301 und die letzte 999901; dazwischen liegen noch 2379 andere; oder allgemein: y = 301 + n * 420. Gruß, Jens
Ja, es gibt weitere Lösungen: außer 301 sind es 721, 1141, 1561, ...
=> D. h. es sind jeweils 420 (7 x 60) mehr als vorher.
Allerdings habe ich die +420 nur aus den Ergebnissen gefunden. Gibt es eine Formel o. ä.?
Hat Spaß gemacht!
Die 420 ergibt sich dadurch, dass sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 1-7 ist, was bedeutet, dass durch Addition von 420 (oder Vielfachen von 420) zu einer Zahl der Divisionsrest der Zahl bezüglich 1-7 nicht verändert wird :)
Die führenden Stellen (also bis auf die Einerstelle) minus 2 müssen durch 7 teilbar sein. Außerdem sind 60 und 7 teilerfremd, also musst du immer 7 · 60 = 420 weiter gehen, um die nächste Lösung zu finden.
Habe sie gerade in meinem Kommentar hergeleitet.🙂
Ja, um Kongruenzgleichungssysteme zu lösen, gibt es den chinesischen Restsatz 😉
Schau dir meine Lösung an, da habe ich die 420 per Formel "rausgelockt"... 😉
Bei allen Gruppierungen von 2 bis 6 bleibt immer ein Schwein übrig. Dann dachte ich mir, bei 6! = 720 würde es immer aufgehen, so dass kein Schwein übrig bleibt. Wenn man dann 1 dazu zählt bleibt dann immer eins übrig. 720 + 1= 721. Und 721 : 7 = 103. Es bleibt bei der 7er Gruppierung keins übrig. Also auch 721 wäre eine Lösung. Dann hätte der Hirte ein Großbetrieb. Aber warum nicht?
Er könnte auch die Beine der Schweine zählen und die Anzahl durch 4 teilen. 🙂
Auf jeden Fall ist die Anzahl der Schweine durch 7 teilbar.
Kein Schwein ruft mich an? Von wegen. Aber Spaß beiseite: Wenn man erst einmal auf den im Video gezeigten Trichter gekommen ist, dann
.
..
...
....
.....
kann man so vorgehen:
s = 60*k + 1 = 7*m
m = (60*k + 1)/7 = (56*k + 4*k + 1)/7 = 8*k + (4*k + 1)/7
Für k kommen also in Frage: k = 5, 12, 19 ... (oder allgemein: k = 7*n + 5). Daraus folgt:
s = 60*(7*n + 5) + 1 = 420*n + 301 mit n = 0, 1, 2, ...
Korrekt.
1.Wieviel Zeit hat man diese Aufgabe im Test zu lösen?
2. Gibt es einen einfachen und schnelleren Weg das zu lösen?
Den schnelleren Weg habe ich in einem anderen Beitrag geschrieben. Die Folge der Reste bei teilen durch 7 ist fuer die Folge der vielfachen von 60 eine Folge von 7 Werten, die sich immer wiederholen. 1*60 hat bei teilen durch 7 den est 4. 2*60 hat beim teilen durch 7 den gleichen Rest wie 2*4 (2 mal den Rest von 60bei teilen durch 7), also den Rest von 8 beimm teilen durch 7,und das ist 1. Das heisst aber, dass 6*2*60 bei Teilen durch 7 den gesuchten Rest 6 hat (s ist durch 7 teilbar heisst, dass s-1 beim teilen durch 7 den Rest 6 hat). 12*60+1 waere also eine Loesung. Da sich die Reste alle 7 Eintraege wiederhholen,ist auch
(12-7)*60+1=5*60+1=301 eine Loesung (und auch die kleinste Loesung, weil eine weitere Reduzierung um 7*60 zu negativen Zahlen fuehren wuerde.
Das rechnen in Restklassen fuehrt hier zu weniger probieren und damit zu einer schnelleren Loesung.
Hab die ganze Zeit überlegt, ob es jeden Abend andere Schweine oder immer die gleichen Plus ein weiteres sind.
Smart
2. Ergänzung: ein Formel habe ich nicht, aber für alle 2 stelligen Faktoren gilt: die erste Ziffer darf kein Vielfaches von 3 sein, da hinten ja schon eine 3 steht.
Daraus folgt: außer 33, 63 und 93 kann man alle 2 stelligen Faktoren einsetzen. Die größte 2 stellige Zahl wäre die 83!
Also 83*7 = 581 Tiere!
581 erfuellt die Bedingungen in der Aufgabe nicht. 581 ergibt bei teilen durch 3 nicht den Rest 1 sondern den Rest 2. Die kleinste Loesung fuer die Aufgabe ist tatsaechlich die 301, die naechsten 2 Loesungen waeren 721 und die 1141.
"Weil er zu faul ist um zu zählen" klingt nach einem echten mathematiker😂👍...denn wie die lehrer in der schule sagten, mathematiker sind faul😂...
Lösung der Schweinerei:
Ich bin davon ausgegangen, dass es eine Zahl sein muss, die um 1 reduziert durch 5 und durch 2 teilbar sein muss, also letztenendes durch 10. Das ist bei dem Einmalsieben bei 21 der Fall und sonst nicht. Aber 21 ist schon selbst durch 3 teilbar, kann also nicht richtig sein. Die nächste Zahl wäre 21+70 = 91. Aber 91-1 = 90 ist nicht durch 4 teilbar. Die nächste Zahl wäre 91+70 = 161, aber 161-1 = 160 ist nicht durch 3 teilbar. Die nächste Zahl wäre 161+70 = 231, aber 231-1 = 230 ist ebenfalls nicht durch 3 teilbar. Die nächste Zahl wäre 231+70 = 301. 301-1 = 300 ist durch 2, durch 3, durch 4, durch 5 und durch 6 teilbar und 301 ebenfalls durch 7. Also hat der Hirte 301 Schweine. Ob es noch eine größere Zahl gibt, die alle Bedingungen erfüllt, da habe ich nun nicht hinterher geforscht.
Gibt es noch eine größere Zahl, die alle Bedingungen erfüllt?
Die nächst größere Zahl nach 301 wäre 301+70 = 371. Aber 371-1 = 370 ist nicht durch 3 teilbar. Die nächst größere Zahl wäre 371+70 = 441. Aber 441-1 = 440 ist ebenfalls nicht durch 3 teilbar. Die nächst größere Zahl wäre 441+70 = 511. Aber 511-1 = 510 ist nicht durch 4 teilbar.
511+70 = 581. 581-1 = 580, nicht durch 3 teilbar.
581+70 = 651. 651-1 = 650, nicht durch 3 teilbar.
651+70 = 721. 721-1 = 720, durch 3, durch 4, durch 5 und durch 6 teilbar und 721 ist durch 7 teilbar. Also konnte der Hirte auch 721 Schweine haben. Also mehr als doppelt so viele. Und das kann er sicher abschätzen.
@@gelbkehlchenDie Schritte zwischen den Möglichkeiten sind immer 420, da das die kleinste Zahl ist, die durch 2-7 teilbar ist und damit die Teilbarkeit nicht verändert. Also allgemein 301+420n mit neN. Und daher gibt es auch unendlich viele Lösungen.
@@marie-juhanna1281Jawoll, danke, gut erkannt, gute Frau!
@@marie-juhanna1281 Theoretisch ja, praktisch nein. „Der Bauer“ ist für mich kein großindustrieller Schweinmast- und -verarbeitungsbetrieb, sondern ein Familienbetrieb. Ich habe mal Tante Google gefragt und die hat mir geflüstert, daß im Schnitt ein Betrieb 673 Schweine hat. Also halte ich nur die drei Lösungsmöglichkeiten 301, 721 und 1141 Schweine für praktikabel. Alles darüber geht an der Realität vorbei.
😃🐷🐷🐷🐷
vielleihtmitder quersumme hatte ich gwerechnet
3. Ergänzung: Das bei der Methode im Video die ersten 2 Lösungen nicht gefunden wurden, liegt daran das man nicht 60 als kgV verwenden darf sondern 30
weil hier ja nicht auf Teilbarkeit sondern letztlich auf Unteilbarkeit zu prüfen ist und jede Zahl die nicht durch 2 teilbar ist, ist auch nicht durch 4 teilbar! (Negation)
Du liegst falsch. Es wird auf Teilbarkeit getestet, aber nichht auf die Teilbarkeit von s (der Anzahl der Schweine) sondern auf die Teilbarkeit von s-1. 30 ist *keine kgV von 2, 3, 4, 5 und 6, denn 30 ist nicht durch 4 teilbar.
Es war schnell klar, daß nur Zahlen als mehrfache von 7 mit der Endziffer 1 passen. Die Mehrfachen von 7 jenseits der 70 kenne ich aber nicht, na ja, dann doch wieder der Taschenrechner zum Ausrechnen und jede Zahl mit Endziffer 1 durch 2,3,4,5,und 6 dividieren, natürlich mit Papier und Bleistift......anders kann ich es nicht.
Sicher kein Zufall: beim Schweinerätsel ein rosa Outfit
Das ist doch ein Reupload oder?🤔
Nein, aber man konnte das Video vor ein paar Wochen schon „versteckt“ über den Abspann eines anderen Videos entdecken.
@@magdaliebtmathe ach ja stimmt, jetzt wo du es sagst😅😉 Mein Gedächtnis trügt mich halt doch nicht😋
Ergänzung nach etwas weiteren Nachdenken: Da der Faktor ja immer auf 3 enden muss, brauch man diesen nur noch auf die Unteilbarkeit durch 3 prüfen!
Sorry
Also, ich bin als erstes auf 91 Schweine gekommen!
Ansatz war ähnlich!
- wegen nicht Teilbarkeit durch 5 und Rest 1 muss die Menge auf der 1er Stelle die Ziffer 1 oder 6 haben, 6 entfällt wegen Teilbarkeit durch 2 (gerade)
- Das bedeutet die Menge der Schweine muss auf jeden Fall auf "1" enden!
- welches Vielfache von 7 endet auf 1 ?
- Das ist immer das 3fache von 7 plus ein Vielfaches von 70 -> also 21, 91, 161 .....
- Oder in einer Formel: 3*7 + k*10*7 = 7(k*10+3) und das sind alle Zahlen die auf 3 enden
- diese muss man nun nur noch auf die Unteilbarkeit der Zahlen 2, 3 und 5 prüfen (4 entfällt ist in 2 enthallten und 6 entfällt ist in der Kombination von 2 und 3 enthalten)
- mit anderen Worten: es darf keine gerade Zahl sein, sie darf nicht auf 5 oder 0 enden und die Quersumme darf nicht 3 sein!
- und siehe da 13*7 = 91 die 13 (Primzahl) erfüllt diese Bedingung als erstes! Die kleinste Herde könnte also 91 Tiere groß sein!
- und auch 23*7 = 161 die 23 (Primzahl) erfüllt unsere Bedingungen!
- die 33 dann nicht mehr -> ist durch 3 teilbar, also 33*7 = 231
Es gibt also genau 2 Möglichkeiten einer kleineren Herde!
90 ist zwar durch 2, durch 3, durch 5 und durch 6 teilbar, aber nicht durch 4! Somit keine möglich Lösung.
Und 160 ist nicht durch drei teilbar
? verstehe ich nicht deinen post, was willst du damit sagen?@@wernerhartmann3195
verstehe ich auch nicht - was willst du damit sagen?@@stephanglatzel9
Es geht darum, dass bei jeder Zahl von eins bis sechs immer ein Schwein übrig bleibt. Bei 161 würden bei drei, zwei Schweine übrig bleiben.
Das kann nicht sein. Kein Bauer kriegt das auf diese Weise hin!
Ich habe eine Lösung gefunden. Ob es allerdings die richtige ist, weiß ich (jetzt gerade noch) nicht:
ich multipliziere alle Zahlen miteinander: 2*3*4*5*6=720 Dazu 1 dazu, weil ja immer eins übrig bleibt. Zur Probe teile ich die 721:7 und das geht glatt auf: 103. Ich sage daher: 721 Schweine hat der Bauer.
Das war auch meine erste Lösung. Geht innerhalb einer Minute mit Nachdenken.
@@marie-juhanna1281 Das ist ein vielfaches der Zahlen, aber nicht das kleinste ... 721 ist die zweitkleibste Loesung der Aufgabe. Die verschiedenen Loesubgen der Aufgabe unterscheiden sich um ganzzahlige vielfache von 420(=7*60),und die kleinste Loesung ist (wie i Video ermittelt) die 301.
Wunderschöne Lehrerin
Herzlichen Dank! Das schmeichelt mir 😃. Vor allem nach einer Geburt ist man als Frau ja sehr kritisch mit dem eigenen Körper 😋.
@@magdaliebtmathe Jawoll Magda, sei eine normale, natürliche Frau und sei auch stolz auf dein Äußeres. Alles ist gut!
..