🚀🚀🚀 Mathe RÄTSEL Geometrie | Kommst DU auf das RICHTIGE ERGEBNIS?
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- Опубликовано: 24 июл 2024
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***** Kapitelübersicht: ************************************
0:00 Geometrierätsel mit Rechtecken und Dreiecken
1:11 Formeln für geometrische Flächen aufstellen
3:01 Formeln nach der Unbekannten auflösen
7:07 Werte in die Formel einsetzen
8:56 Weitere Logik Übungsaufgaben zum Gehirnjogging
***** Tags: *******************
#logic #Mathe #Geometrie
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Das geht doch viel einfacher: Das Verhältnis der Rechteckflächenzu einander muss gleich sein. Es gilt also A=1/2 × 108 x 135/(2 × 81)=45. Probe: 108/(2×81)=(2×45)/135 qed
Ja, stimmt. Ich hätte dir das auch ohne Probe geglaubt, da man sowas schnell herleiten kann.
Genau das war mein erster Gedanke
Oben rechts zum Rechteck erweitern (162), unten links auch (2?). Dann die Verhältnisse gleichsetzen: 162/135 (rechts) = 108/2? (links). Also 6/5 = 108/2?. Daraus folgt: 2? = 90, bzw. ? = 45. 🙂
Bisher die schönste Lösung. Ich hab's etwas komplizierter gemacht.
Genau so
So habe ich es im 2. Ansatz auch gemacht. Im ersten so ähnlich wie Magda: b*l*x*y = 108*135; by =81*2=162
=> blxy/by=108*135/162=90 => lx = 90. Die gesuchte Fläche ist lx/2 = 45
@@Alfi-rp6il Leider muss ich gestehen, dass ich mir Magdas Lsg. gar nicht angesehen habe, mir aber ziemlich sicher war, dass es so recht einfach und schnell zu lösen ist. Es freut mich allerdings zu lesen, dass dieser Ansatz offenbar auch von anderen genutzt wurde. Besten Dank für das positive Feedback!
Die Dreiecke links und rechts sind halbe Rechtecke mit der gleichen Grundseite der jeweiligen vollständigen Rechtecke und unterscheiden sich hier in der Höhe (zweite Rechteckseite). Man muss also nur die halbe Rechteckfläche rechts ins Verhältnis setzen zur rechten Dreiecksfläche und mit der Hälfte der linken Rechteckfläche multiplizieren:
A = (135 m² / 2) / 81 m² = 0,8333 x (108 m² / 2) = 45 m²
Danke Magda. Das war echt eine super schöne Aufgabe. 😊
Lösung im Kopf
Oben rechts 81m² zum Rechteck erweitern = 162m² hierzu 108m² ins Verhältnis setzen, 108m² ist 2/3 von 162m²
Also wäre links unten ein Rechteck wäre, wäre es 2/3 von 135m², das Dreieck ist die Hälfe also 1/3 von 135m² = 45m²
In einem unterteilten Rechteck gilt:
A B
C D
A * D = B * C
In unserem Fall gilt also:
108 * 135 = (2 * 81) * C
108 * 135 = 162 * C
C = 108 * 135 / 162
C = 54 * 135 / 81
C = 2 * 135 / 3
C = 2 * 45 = 90
Gesucht:
C/2 = 90 / 2 = 45 [m²]
Jepp. Und diese Formel ergibt sich daraus, dass sowohl das linke als auch das rechte große Rechteck unabhängig von der Breite horizontal im selben Verhältnis geteilt werden: (LO + RO) : (LU + RU) = LO : LU = RO : RU. Wenn man auf beiden Seiten mit LU und RU multipliziert, bekommt man LO ⋅ RU = RO ⋅ LU.
Natürlich geht das auch mit dem oberen und unteren großen Rechteck (LO + LU) : (RO + RU) = LO : RO = LU : RU.
Hallo Magda, guten Abend.
Hier mein Lösungsvorschlag
Ich lasse zunächst die Einheiten weg.
Es soll gelten:
a sei die kürzere Seite des Rechteck links oben
b sei die längere Seite des Rechteck links oben
a ist gleichzeitig die kürzere Seite des Dreiecks rechts oben
c sei die längere Seite des Dreiecks rechts oben.
c ist gleichzeitig die längere Seite des Rechteck rechts unten
d sei die kürzere Seite des Rechtecks rechts unten
d ist gleichzeitig die kürzere Seite der gesuchten gelben Dreiecksfläche
b ist gleichzeitig die längere Seite der gesuchten gelben Dreiecksfläche
Daraus ergeben sich die Gleichungen
1) a * b = 108
2) 1/2 * a * c = 81 ---> a * c = 162
3) c * d = 135
Es soll außerdem lt. Skizze gelten:
a
Ich könnte eeeeewig zuschauen und zuhören 😇🥰💋👍👏🤝🌹🌹🌹🌹🌹🌹🌹🌹🌹🌹🌹🌹🌹
Ich habe mir einen gemeinsamen Teiler für 108 und 162 überlegt, aber 135 musste durch das Ergebnis von 162 durch den Teiler teilbar sein. So bin ich auf 108/6=18 gekommen, und 162/6=27. Und 135/27=5. Also 5*18=90/2=45....
Das ist ja auch ein eleganter Ansatz!
Ich habe es mir nicht herleiten können, ich habe probiert und als "b" die 9 versucht. Glück gehabt.
Haha! Das klappt manchmal auch! 😃😃
Wow wie tricky die Aufgabe war. Im Leben wäre ich nicht darauf gekommen
Übung macht den Meister, Tommy!
Ermittelt wurden folgende Arealgrössen: Gegeben waren 108+81+135; (Σ=405). Dadurch konnten die restlichen Areale durch analogem Vergleich der einzelnen Längen näherungsweise ermittelt werden bis schließlich nachvollziehbar und ersichtlich für den Suchenden, sich die restlichen Flächeninhalte ergeben haben, mit 63 das gelbe Dreieck und 468 die Gesamtfläche.
Hallo Freunde des Rechensports.
Rechnerisch komme ich mit zwei unterschiedlichen Berechnungen auf 64,8 m2, hier eine davon:
Das rechte Dreieck (81 m2) und das rechte Rechteck (135 m2) stehen zueinander im Verhältnis Dreieck 0,6 zu Rechteck 1. Übertragen auf die linke Seite müsste es heißen 108 m2 zu ?, also 1 zu 0,6, 108 m2 * 0,6 = 64,8 m2. Mache ich mit dieser Rechnung einen Fehler? Würde mich sehr interessieren was Ihr dazu sagt.
Auch rein optisch müsste das gelbe Dreieck durch seine rechte längere Seitenlänge gegenüber der rechten Seitenlänge des 108 m2-Quadrat größer als 54 m2 sein, aber es geht ja ums Rechnerische...
@entschworungspraktiker:
Ja, Sie rechnen falsch. Wenn Sie rechts Dreieck oben durch Rechteck unten teilen (= 0,6), dann müssen Sie auch links Dreieck oben zu Rechteck unten rechnen. Also:
(108 / 2) / (2 × ?) = 0,6
damit
? = (108 / 2) / (2 × 0,6) = 45
Am Bild lassen sich übrigens die Fläche Verhältnisse leider nicht richtig erkennen, weil die Skizze nicht maßstabsgerecht ist. Die kurzen Seiten der unteren Figuren sind in Wirklichkeit viel kleiner als dargestellt.
🙂👻
Füllen wir jetzt einfach mal die rechte obere Ecke. Aus dem Dreieck mit 81 wird jetzt ein Rechteck mit 162 (ich spare mir die Einheiten). Das ist gleich hoch wie das Rechteck mit 108, aber 1,5 mal so breit. Jetzt nehmen wir uns die untere Ecke vor und machen daraus ein Rechteck mit der Fläche 2 Fragezeichen. Das Recheck rechts unten ist gleich hoch und 1,5 mal so breit, also hat das Rechteck links unten die Fläche von 90. Das gesuchte Dreieck hat also die Fläche von 45.
Um ehrlich zu sein, habe ich erst überlegt, ob der obere Teil gleich hoch ist wie der untere Teil. Sieht auf dem Bild ja so aus, war aber nicht ausdrücklich angesagt. Also erstmal davon ausgegangen, dass es NICHT so ist. Ist auch tatsächlich völlig schnullifax, hat mich nur sinnlos aufgehalten.
Genau, es geht einfacher. In cca. 2 Minuten habe ich 45 m2 raus. Super Video. 🙂
Mein Lösungsvorschlag ▶
a*b= 108 m²
b*d/2= 81 m²
bd= 162 m²
c*d= 135 m²
⇒
gefragt wird: Agelb= a*c/2
bd/cd= 162/135
b/c= (162/3 / 135/3)
b/c= 54/45= 18/15= 6/5
5b= 6c
c= (5/6)b
⇒
ab= 108
ac/2= a*(5/6)b /2 = (5/12)ab
Agelb= (5/12)*108
Agelb= 5*9
Agelb= 45 m²
Lösung:
Blaues Dreieck: a = waagerechte Seite, b = senkrechte Seite.
a*b/2 = 81 ⟹ a*b = 162.
Fläche des gelben Dreiecks = 108/b*135/a*1/2 = 7290/(a*b) = 7290/162 = 45[m ²]
Ich bekomme l = 108/b, x= 5/6 * b, y = 162/b mit b > 0 heraus. Da für "b" jede beliebige positive Zahl eingesetzt werden kann, gibt es unendlich viele Ergebnisse, die alle auf l * x/2 = 45 führen, da sich dort das "b" herauskürzt.
Die Loesung ist sehr einfach, wenn man erst einmal die richtige Idee hat ...
Wenn an das 81 m^2 Dreieck zu einem Rechteck ergaenzt, so dieses Rechteck den Flaecheninhalt 2*81=162 m^2. Dieses Rechteck hat it demm darunter liegenden Rechteck mit 135 m^2 Flaeche eine Seite eeinsa, also ist das Verhaeltnis der Flaecheninhalte gleich dem Verhhaeltnis der Laengen der nicht gemeinsamen Seite. Damit ist die senkrechte Seite des 135 m^2 Rechtecks gleich dem 135/162=5/6 fachen der senkrechten Kathete des 81 m^2 Dreiecks. Diese Rechteckseite ist aber gleichzeitig die eine Kathete des gesuchten Dreiecks. Auf demm selben Weg laesst sich die waagerechte Seite des 108 m^2 Rechtecks ermitteln: das 108/162=2/3 fache der waagerechten Kathete des 81 m^2 Deiecks. Damit verhalten sich die Flaechheninhhalte der Deiecke zueinander wie das Produkt der Verhaeltnisse der jeweiligen Katheten, also (5/6)*(2/3)=10/18. Da die Flaeche deseinen Deiecks bereits bekannt ist (81 m^2),betraegt die Flaeche des gesuchten Dreiecks 10/18*81 m^2=45 m^2. Es ist voellig ueberfluessig, die genauen Seitenlaengen der Dreiecke zu ermitteln, es genuet die Verhaeltnisse der jeweiligen Katheten zueinander zu bestimmen.I
Ist einem das erst einmal klar, und hhat an darueber hhinaus den Weg erkannt, wie man diese Verhaeltnisse bestimmen kann (ueber die Verhaeltnise der Flaechen der jeweils vorgegebenen Rechtecke mit dem Rechteck, das sich durch Ergaenzung des 81 m^2 Deiecks zu einem Rechteck ergibt), dann ist die Aufgabe trivial.
Bei mir hats do funktioniert:
1. 9 x 12 = 108
2. 1/2 x 9 x 18 = 81
3. 18 x 7,5 = 135
4. 1/2 x 12 x 7,5 = 45
Q.e.d.😜
Sehr gut! Das ist smart und schnell! 😁😁
Also, ich mache es kurz:
108 m² ⋅ 81 m² / (4 ⋅ 81 m²) = 45 m²
Erklärung:
Wenn es sich um ein Fensterkreuz handelt, dann gilt: LO ⋅ RU = RO ⋅ LU. Da in diesem Fall aber RO und LU nur halbe Rechtecke sind, gilt in diesem Fall: LO ⋅ RU = 2 RO ⋅ 2 LU. Das Ganze nach LU umgestellt ergibt: LU = LO ⋅ RU / (4 ⋅ RO).
So ähnlich habe ich es auch gemacht.
Wenn man die Flächeninhaltsformeln der Dreiecke multipliziert, erhält man 1/4 * abxy = 81z, wobei a, b, x, y die Seiten der Rechtecke sind und z die gesuchte Fläche.
Dann einfach die zwei Rechtecke multiplizieren und man erhält abxy = 108*135.
Einsetzen und auflösen: z = 45.
@@m.h.6470 Im Grunde ist so, dass die horizontale und vertikale Linie links und rechts bzw. oben und unten im selben Verhältnis teilt: LO:LU = RO:RU = (LO+RO):(LU:RU) bzw. LO:RO = LU:RU = (LO+LU):(RO+RU). Wenn man das umstellt, bekommt man LO ⋅ RU = RO ⋅ LU
Mal jemand, der mit Einheiten rechnet! 👍
@@Nikioko Schon klar, aber selbst wenn man das nicht sieht, kann man einfach die Gleichungen multiplizieren und kann sie ineinander einsetzen. Das kommt natürlich aus der Tatsache, dass die Gleichungen jeweils die gegensätzlichen Variablen enthalten: ab * xy = ay * bx (das Gleiche wie deine Gleichungen, nur andere Buchstaben...).
@@walter_kunz Wenn man sich sicher ist welche Einheit herauskommt, ist es nur unnötige Arbeit, diese von Anfang bis Ende durchzuschleppen...
Sobald es unklar ist, welche Einheit rauskommt, oder es unterschiedliche Einheiten gibt (km vs m, etc.), rechnet man natürlich mit den Einheiten.
Kannst du das gesamte Gebilde mal Maßstabgerecht zeichnen?
Weil so sieht es optisch so aus als wäre das ? = 108/2 😁
Wenn du schon den Dreimalneunklugen geben mußt, putz die Brille. Das zum Rechteck ergänzte ? ist genauso breit wie die 108, aber höher. Das sieht man mit dem bloßen Auge. Habs aber auch nachgemessen, das Verh. ist etwa 15:14. Also ist die gelbe Fläche etwa 116/2, nicht 108/2. Aber warum überhaupt maßstabsgerecht? Die Herausforderung ist doch, daß es eben alles unbekannte Größen sind, die, auch wenn es so ausschaut, nicht größer, kleiner oder gleich groß wie andere sind, sondern eben alle nur eines: unbekannt. Maßstäblichkeit ist hier nicht nur unangebracht, sondern auch tendenziell irreführend.
Alternativ:
(l*x)*(y*b) = (l*b)*(y*x)
(2*?)*(2*81) = (108)*(135)
? = 45
81*2/108=1,5
135/1,5/2=45
Ergebnis 45.
👍🏼👍🏼
und ich wollte unbedingt b und x ausrechnen und kam da nicht weiter, aber du zeigst ja es geht ohne b und x zu kennen.😭
b*l=108 -> b*y=162 -> x*y=135 -> 108/b=162/y -> b=x?
Ich bekomme l = 108/b, x= 5/6 * b, y = 162/b heraus. Da Du für "b" jede beliebige positive Zahl einsetzen kannst, hast Du nun unendlich viele Ergebnisse, die alle auf l x/2 = 45 führen, da sich dort das "b" herauskürzt.
@@user-cg7zn8ey5k ist mir ja auch aufgefallen, mein Ansatz war falsch.
Meine Lösung: Gesucht ist A=(x*l)/2. Ich kenne die Werte von b*l = 108, (b*y)/2 = 81 und x*y =135.
Wenn es mir gelänge, z.B. l aus Vielfaches von y auszudrücken, erscheint in der Formel für A der Ausdruck x*y, dessen Wert ich einfach einsetzen kann.
Konkret: l/y = (b*l)/(b*y) = (b*l)/(2*((b*y)/2))= (108)/(2*81)=108/162 = 2/3. Also gilt: l=(2/3)*y
Eingesetzt in die Formel für A ergibt sich:
A=(x*l)/2 = (x*(2/3)*y)/2=(2/(2*3))*(x*y)=(x*y)/3 = 135/3 = 45
Finde ich etwas einfacher als deinen Lösungsweg.
Aber der Ansatz über das Verhältnis der Rechteckflächen ist natürlich der eleganteste.
81 * 2 : 135 = 1.2 108 : 1.2 : 2 = 45
Ich lege ein großes Rechteck drüber mit den Längen x und y, wobei x=a+b und y=c+d ist.
I: a*c=2*A(Gelb)
II: b*d=2*81
III: a*d=108
IV: b*c=135
I*II: a*b*c*d=2*2*81*A(Gelb)
III*IV: a*b*c*d=108*135
Da erkennt man schön, dass das Produkt der Flächen, die sich diagonal gegenüberliegen gleich groß ist. Dieses Wissen hätte man gleich nutzen können.
I*II=III*IV plus Faktorisierung
81=9*9=3*3*3*3
108=2*54=2*6*9=2*2*3*3*3
135=3*45=3*9*5=3*3*3*5
2^2*3^4*A(Gelb)=2^2*3^6*5
A(Gelb)=3^2*5
A(Gelb)=9*5
A(Gelb)=45 FE
Sehr schöne Aufgabe.
Top ausgewählt von Magda.
Hat Spaß gemacht 👌🤗
LG Gerald
Zusatz: Die Seiten a, b, c und d kann man nicht exakt ausrechnen, weil es da mehrere Lösungen gibt. Es liegt ja ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 5 Unbekannten vor. Daher nicht exakt lösbar.
Mögliche Lösungen.
Wähle d=9:
Dann ist
a=108:9 a=12
b=162:9 b=18
c=135:18
c=270:36
c=30:4 c=7,5
Oder
Wähle d=6:
Dann ist
a=108:6 a=18
b=162:6 b=27
c=135:27
c=270:54
c=30:6 c=5
So eine ähnliche Aufgabe gab es auf deinem Kanal, nur viel schwerer.
@@timurkodzov718 Ja, solche Aufgaben habe ich auch schon gemacht.
Ein altbekanntes Beispiel, dass gerne zu Mathe-Olympiaden gegeben wird.
Aber immer wieder schön, diese Aufgaben zu üben.
LG Gerald
Lösung:
Wir kennen keine der Höhen und Breiten, daher nehmen wir folgendes als Ausgangsbasis:
a = Breite des linken Rechtecks
b = Höhe des linken Rechtecks
x = Breite des rechten Rechtecks
y = Höhe des rechten Rechtecks
Damit haben wir folgende Gleichungen:
(I) a * b = 108
(II) x * y = 135
(III) 1/2 * b * x = 81
(IV) 1/2 * a * y = z
(I) * (II)
(V) a * b * x * y = 108 * 135
(III) * (IV)
(VI) 1/2 * b * x * 1/2 * a * y = 81 * z
(VI) 1/4 * a * b * x * y = 81z
(V) in (VI)
(VII) 1/4 * 108 * 135 = 81z
(VII) 27 * 135 = 81z |:9 :9
(VII) z = 3 * 15 = 45 [m²]
Oh, ich dachte man kann sich das PDF kostenlos runterladen. Hatte schon vor, für die Mühe 5 Euro zu spenden. Dann sehe ich, dass das Buch 29 kostet. Äh, dann will ich es doch nicht. Hätte man auch gleich sagen können, dass es zum Kauf angeboten wird, nicht zum download.
Wer alles gratis haben will, für den war jede Bildung umsonst.
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Sag selbst: Dafür sind 29 € doch ein Witz. Oder?
lol habe es komplett anders gemacht hat keine Minute gedauert 108*135/162 Ergebniss durch 2 gleich 45
..
👏