J'ai suivi le même raisonnement que vous… Mais j'ai séché environ 2 heures ! Et pire, je bloquais sur (a−c)(1−b) = 1, J'ai donc interrogé une IA en lui confiant le problème complet. L'IA commettait des erreurs ou n'allait pas au bout de la démonstration. L'IA m'a cependant donné une remarque clef à un moment : le fait que (a−c) et (1−b) ne pouvaient être irrationnels. J'ai enfin du terminer moi-même car l'IA était décidément un peu "paresseuse"... Ma rédaction ci-après, je termine en cherchant c plutôt que a sur le second système d'équations, ce qui revient au même. (E1) ab+c = 2022 (E2) a+bc = 2023 a,b,c ∈ ℤ (E2)−(E1) : (a+bc)−(ab+c) = 2023−2022 = 1 a+bc−ab−c = 1 a−ab + bc−c = 1 a−ab + cb−c = 1 a(1−b) + c(b−1) = 1 a(1−b) − c(1−b) = 1 (a−c)(1−b) = 1 Nous appelons (E3) cette nouvelle équation : (E3) (a−c)(1−b) = 1 a,b et c étant des entiers relatifs, (a−c) et (1−b) ne peuvent être irrationnels, les seules solutions pour (a−c)(1−b) = 1 sont donc: soit 1 × 1 = 1, soit -1 × -1 = 1 Pour (1−b) égal à 1 ou -1, on a donc soit b=0 soit b=2 Ce qui conduit à deux systèmes d'équations à 2 inconnues. Pour b=0 (E1) ab+c = 2022 (E2) a+bc = 2023 0+c = 2022 a+0 = 2023 Et donc une première solution: a=2023, b=0, c=2022 Pour b=2 (E1) ab+c = 2022 (E2) a+bc = 2023 2a+c = 2022 (E4) a+2c = 2023 (E5) D'après (E5) : a=2023−2c qu'on remplace dans (E4) : 2(2023−2c)+c = 2022 4046−4c+c = 2022 4046−3c = 2022 -3c = 2022−4046 -3c = -2024 c = 2024/3 c ≃ 674,666 Il n'existe donc pas de seconde solution, c étant irrationnel dans ce second système d'équations.
![Eminem - Fuel (Shady Edition) feat. Westside Boogie & GRIP [Official Audio]](http://i.ytimg.com/vi/k1OquBida9s/mqdefault.jpg)
merci pour la demie seconde octroyée à la fin de la vidéo 😉
Ma générosité me perdra 😛
Merci pour la vidéo, ce système est assez simple à aborder
Oui je suis d'accord, même s'il y a quand même 2, 3 manips judicieuses à faire ;)
Ce n'est effectivement pas un problème de niveau élevé... mais sans la bonne clef au bon moment, j'ai séché !
J'ai suivi le même raisonnement que vous…
Mais j'ai séché environ 2 heures !
Et pire, je bloquais sur (a−c)(1−b) = 1,
J'ai donc interrogé une IA en lui confiant le problème complet.
L'IA commettait des erreurs ou n'allait pas au bout de la démonstration.
L'IA m'a cependant donné une remarque clef à un moment :
le fait que (a−c) et (1−b) ne pouvaient être irrationnels.
J'ai enfin du terminer moi-même car l'IA était décidément un peu "paresseuse"...
Ma rédaction ci-après, je termine en cherchant c plutôt que a sur le second système d'équations, ce qui revient au même.
(E1) ab+c = 2022
(E2) a+bc = 2023
a,b,c ∈ ℤ
(E2)−(E1) :
(a+bc)−(ab+c) = 2023−2022 = 1
a+bc−ab−c = 1
a−ab + bc−c = 1
a−ab + cb−c = 1
a(1−b) + c(b−1) = 1
a(1−b) − c(1−b) = 1
(a−c)(1−b) = 1
Nous appelons (E3) cette nouvelle équation :
(E3) (a−c)(1−b) = 1
a,b et c étant des entiers relatifs, (a−c) et (1−b) ne peuvent être irrationnels,
les seules solutions pour (a−c)(1−b) = 1 sont donc:
soit 1 × 1 = 1, soit -1 × -1 = 1
Pour (1−b) égal à 1 ou -1, on a donc soit b=0 soit b=2
Ce qui conduit à deux systèmes d'équations à 2 inconnues.
Pour b=0
(E1) ab+c = 2022
(E2) a+bc = 2023
0+c = 2022
a+0 = 2023
Et donc une première solution: a=2023, b=0, c=2022
Pour b=2
(E1) ab+c = 2022
(E2) a+bc = 2023
2a+c = 2022 (E4)
a+2c = 2023 (E5)
D'après (E5) :
a=2023−2c qu'on remplace dans (E4) :
2(2023−2c)+c = 2022
4046−4c+c = 2022
4046−3c = 2022
-3c = 2022−4046
-3c = -2024
c = 2024/3
c ≃ 674,666
Il n'existe donc pas de seconde solution, c étant irrationnel dans ce second système d'équations.
Yessss
C'est quand même un peu sioux ;)