Я уже много раз приводил решение подобных задач в общем виде. Если обозначить АК/АВ = ε, ВМ/ВС = δ, то отношение площадей выразится формулой: *S( ВМОК)/ S(АВС) = δ∙[1- δ∙(1 - ε) - ε²]/ [1- δ∙(1 - ε)].* Подстановка данных задачи даёт S(АВС) = 12. Адепт предложил в качестве Д.З. данные: S( ВМОК) = 9, ε =1/4, δ = 1/2. Тогда S(АВС) = 20.
@@adept7474Так она же не для запоминания! Она для применения! При любом делении сторон. В любом приличном задачнике по геометрии масса такого рода задач и формул к ним(в общем виде). И все эти формулы не для запоминания. Возьмите задачник Лидского(очень старый, видел у папы). Там большинство задач просят решить в общем виде. Формула эта практически очень полезна, это Вы зря.
@@adept7474 Я тоже уточняю. У нас с Вами разное понимание полезности. Я же сказал, что эта формула не предназначена для использования на экзамене. Общие формулы незаменимы при исследовании поведения площадей(или чего-либо другого) как функции параметров. Вот я поменяю данные на1/1.735 и 1/2.153, и Вы будете снова все вычислять, а я получу ответ за секунды. И смогу ответить на многие вопросы по поведению функций. Да она не нужна на любого рода экзаменах, но назвать её бесполезной-нонсенс. Кроме того, на олимпиаде такая задача может быть поставлена в общем виде. И тогда все "фокусы" с теоремами Фалеса, Пифагора не пройдут. А на олимпиадах очень часто задачи просят решить в общем виде.
Ключевой пункт -- доказать, что О -- медиана АМ. Я отзеркалил С относительно А в т. С'. Получился одновременно треугольник С'ВС с медианами ( ВА и продолженной СК), пересекающимися в т. К, и трапеция АС'ВМ. По теореме о четырех точках СО сечет АМ по центру. АО=ОМ. Треугольник ВКМ -- треть искомого, а ОКМ -- 1/12. Откуда желтое = 5/12 от искомого Ответ:12
Площадь АВМ равна площади АМС ( АМ- медиана),соединим В с точкой пересечения СК и АМ , назовём её О. По теореме Менелая найдем отношение АО и ОМ ДЛЯ тр-ка АВМ,оно равно 1,АО равно ОМ. Из тр.АВО площадь АКО равна 1/3,ма площадь АКО равна 1/4 АВС,следует ,что S АКО 1/12,а S ВКО 2/12 ,S ВОМ =1/4 ИЛИ 3/12,площадь жёлтого равна 5/12 и равна 5, следует,что площадь АВМ равна 12.
Допустим нам сложно выразить АОС. Тогда можно просто создать уравнение что тр.АКО + четр.КОМВ = 1/2АВС. То есть: х/2+5=1/2S, или х+10=S. А с другой стороны четр. КОМВ +тр.СОМ=2/3АВС. То есть: 5+у=2/3S, или 3/2у+15/2=S (домножили на 3/2). Ну и все можно прировнять, тогда х=3/2у-2.5. а мы помним что х+у=5. Подставляем вместо х, то что выше и получаем: 2,5у-2.5=5. То есть у=3. Тогда х=2. Ну и площадь тр.АВС (из уравнения х+10=S) будет 10+2=12
Спасибо, маэстро! Нравится мне Ваш подход!
Я уже много раз приводил решение подобных задач в общем виде. Если обозначить АК/АВ = ε, ВМ/ВС = δ, то отношение площадей выразится формулой:
*S( ВМОК)/ S(АВС) = δ∙[1- δ∙(1 - ε) - ε²]/ [1- δ∙(1 - ε)].* Подстановка данных задачи даёт S(АВС) = 12. Адепт предложил в качестве Д.З. данные: S( ВМОК) = 9, ε =1/4, δ = 1/2.
Тогда S(АВС) = 20.
Чудненько, и абсолютно верно. Правда, формула Ваша, увы, незапоминаема, потому бесполезна на практике. Но, все равно приятно.
@@adept7474Так она же не для запоминания! Она для применения!
При любом делении сторон. В любом приличном задачнике по геометрии масса такого рода задач и формул к ним(в общем виде). И все эти формулы не для запоминания. Возьмите задачник Лидского(очень старый, видел у папы). Там большинство задач просят решить в общем виде. Формула эта практически очень полезна, это Вы зря.
@SB-7423 Уточняю: незапоминаема - значит, бесполезна на ЕГЭ или олимпиаде, там учебников нет!
@@adept7474 Я тоже уточняю. У нас с Вами разное понимание полезности. Я же сказал, что эта формула не предназначена для использования на экзамене. Общие формулы незаменимы при исследовании поведения площадей(или чего-либо другого) как функции параметров. Вот я поменяю данные на1/1.735 и 1/2.153, и Вы будете снова все вычислять, а я получу ответ за секунды. И смогу ответить на многие вопросы по поведению функций. Да она не нужна на любого рода экзаменах, но назвать её бесполезной-нонсенс. Кроме того, на олимпиаде такая задача может быть поставлена в общем виде. И тогда все "фокусы" с теоремами Фалеса, Пифагора не пройдут. А на олимпиадах очень часто задачи просят решить в общем виде.
@SB-7423 Ваш подход мне понятен. Ещё раз: бесполезна на ЭКЗАМЕНАХ, а в принципе - полезна.
Благодарю.
Ключевой пункт -- доказать, что О -- медиана АМ.
Я отзеркалил С относительно А в т. С'. Получился одновременно треугольник С'ВС с медианами ( ВА и продолженной СК), пересекающимися в т. К, и трапеция АС'ВМ. По теореме о четырех точках СО сечет АМ по центру. АО=ОМ. Треугольник ВКМ -- треть искомого, а ОКМ -- 1/12. Откуда желтое = 5/12 от искомого
Ответ:12
Площадь АВМ равна площади АМС ( АМ- медиана),соединим В с точкой пересечения СК и АМ , назовём её О. По теореме Менелая найдем отношение АО и ОМ ДЛЯ тр-ка АВМ,оно равно 1,АО равно ОМ. Из тр.АВО площадь АКО равна 1/3,ма площадь АКО равна 1/4 АВС,следует ,что S АКО 1/12,а S ВКО 2/12 ,S ВОМ =1/4 ИЛИ 3/12,площадь жёлтого равна 5/12 и равна 5, следует,что площадь АВМ равна 12.
Решил вторым способом. 😊
АО=ОМ, доказывается проведением средней линии в треугольнике КВС через точку М.
S(AKO)=(1/2)*(1/3)*S(ABM)
S(ABM)=6
S(ABC)=12
Второе уравнение я не нашёл.
Допустим нам сложно выразить АОС. Тогда можно просто создать уравнение что тр.АКО + четр.КОМВ = 1/2АВС. То есть: х/2+5=1/2S, или х+10=S. А с другой стороны четр. КОМВ +тр.СОМ=2/3АВС. То есть: 5+у=2/3S, или 3/2у+15/2=S (домножили на 3/2). Ну и все можно прировнять, тогда х=3/2у-2.5. а мы помним что х+у=5. Подставляем вместо х, то что выше и получаем: 2,5у-2.5=5. То есть у=3. Тогда х=2. Ну и площадь тр.АВС (из уравнения х+10=S) будет 10+2=12
Ну или вместо у сразу подставить 5-х
S(KMO)=x -> S(KBM)=5-x=S(KMC) -> S(OMC)=5-2x=S(OMB) -> S(KOB)=2x -> S(AKO)=x=S(KOM) -> 1/2(5-x)=2x -> x=1 -> S(ABC)=12
Где ДЗ: АК : КВ = 1 : 3 (для целочисленного ответа S(жёлт.) = 9)?