Можно было проще, без всяких замен. В числителе добавляем/вычитаем x^2, получаем интеграл от x/(x^2-x+1) минус log(x^3+1)/3. В первом интеграле вычитаем/добавляем 1/2, получаем log(x^2-x+1)/2 плюс интеграл от 1/2/((x-1/2)^2+3/4). Оба логарифма при x=0 обгуляются, а на бесконечности друг друга убивают. Остается арктангенс от (x-1/2)*2/√3 с каким-то там коэффициентом. Надо бы ручку с бумажкой взять, чтоб доделать, но лень.
По сути, Вы представили подынтегральную функцию в виде суммы трёх дробей и нашли первообразную каждой из них в отдельности. А затем воспользовались формулой Ньютона-Лейбница. То бишь, Ваш подход никак "не завязан" на конкретных пределах интегрирования и "работает" при любых пределах. Считаете, что так проще? Хм... Ну, OK. Но мне зато пришлось находить первообразную только одной дроби, а не трёх. И я обошёлся без всяких логарифмов.
Спасибо, Сергей. А если не складывать интегралы, а отнимать, то получится несобственный интеграл от (x-1)/(x^3+1), равный нулю, что изначально неочевидно.
Владислав, Вам спасибо за просмотр и за комментарий. Да, это неочевидно. Но, кстати, всё та же подстановка t=1/x приводит данный интеграл к нему самому, но только со знаком "минус", откуда сразу же следует равенство исходного интеграла нулю. А ещё можно Ваш интеграл представить как сумму интегралов по промежуткам от 0 до 1 и от 1 до +∞, после чего применить к любому из них ту же самую подстановку. В результате получим разность одинаковых интегралов, т. е. всё тот же ноль.
@@FrolovSergei Интересно, а Вы интегралы сам придумываете, или откуда то берете? Могу предложить Вам сделать обзор по несобственному интегралу от функции th(x/a)*sin(x), где a - параметр. Maple перед ним пасует, т.к. эта функция не имеет предела на бесконечностях. Я с ним как то столкнулся в вычислениях, пришлось считать вручную.
@@ВладиславПойманов Владислав, я, оказывается, Ваше имя перепутал. Прошу прощения! Я уже исправил предыдущий комментарий. Обычно интегралы беру из сборников олимпиадных задач. Но эту конкретную задачу я придумал сам, оттолкнувшись от соответствующего неопределённого интеграла из ролика на канале @Hmatch. Просто взял и "превратил" неопределённый интеграл в несобственный. А какие конкретно пределы у Вашего интеграла? И я правильно, понял, что Вы сами эту задачу решили?
Можно и дальше пойти, и потребовать вычислить данный интеграл без использования формулы Ньютона- Лейбница. Предел от предела интегральных сумм, а что, функция-то вроде не трансцендентная и есть надежда как-нибудь интегральную сумму преобразовать))) Ну это в порядке шутки
@@FrolovSergei Интеграл несобственный, те пределы бесконечные. Да, справился. Здесь главное - свести его к интегралу от "хорошей" функции. что делается легко интегрированием по частям. Весь вопрос только в том, как вычислить внеинтегральную подстановку.
Можно разбить интеграл на два с пределами от 0 до 1, и от 1 до бесконечности, а дальше провернуть ту же схему. Способ весьма интересный, спасибо!
Спасибо Вам за просмотр и за отзыв!
Тоже добавил ссылку на это ваше видео под своим :)
О, спасибо!
Можно было проще, без всяких замен. В числителе добавляем/вычитаем x^2, получаем интеграл от x/(x^2-x+1) минус log(x^3+1)/3. В первом интеграле вычитаем/добавляем 1/2, получаем log(x^2-x+1)/2 плюс интеграл от 1/2/((x-1/2)^2+3/4). Оба логарифма при x=0 обгуляются, а на бесконечности друг друга убивают. Остается арктангенс от (x-1/2)*2/√3 с каким-то там коэффициентом. Надо бы ручку с бумажкой взять, чтоб доделать, но лень.
По сути, Вы представили подынтегральную функцию в виде суммы трёх дробей и нашли первообразную каждой из них в отдельности. А затем воспользовались формулой Ньютона-Лейбница. То бишь, Ваш подход никак "не завязан" на конкретных пределах интегрирования и "работает" при любых пределах. Считаете, что так проще? Хм... Ну, OK. Но мне зато пришлось находить первообразную только одной дроби, а не трёх. И я обошёлся без всяких логарифмов.
Спасибо, Сергей. А если не складывать интегралы, а отнимать, то получится несобственный интеграл от (x-1)/(x^3+1), равный нулю, что изначально неочевидно.
Владислав, Вам спасибо за просмотр и за комментарий. Да, это неочевидно. Но, кстати, всё та же подстановка t=1/x приводит данный интеграл к нему самому, но только со знаком "минус", откуда сразу же следует равенство исходного интеграла нулю.
А ещё можно Ваш интеграл представить как сумму интегралов по промежуткам от 0 до 1 и от 1 до +∞, после чего применить к любому из них ту же самую подстановку. В результате получим разность одинаковых интегралов, т. е. всё тот же ноль.
@@FrolovSergei Интересно, а Вы интегралы сам придумываете, или откуда то берете? Могу предложить Вам сделать обзор по несобственному интегралу от функции th(x/a)*sin(x), где a - параметр. Maple перед ним пасует, т.к. эта функция не имеет предела на бесконечностях. Я с ним как то столкнулся в вычислениях, пришлось считать вручную.
@@ВладиславПойманов Владислав, я, оказывается, Ваше имя перепутал. Прошу прощения! Я уже исправил предыдущий комментарий.
Обычно интегралы беру из сборников олимпиадных задач. Но эту конкретную задачу я придумал сам, оттолкнувшись от соответствующего неопределённого интеграла из ролика на канале @Hmatch. Просто взял и "превратил" неопределённый интеграл в несобственный.
А какие конкретно пределы у Вашего интеграла? И я правильно, понял, что Вы сами эту задачу решили?
Можно и дальше пойти, и потребовать вычислить данный интеграл без использования формулы Ньютона- Лейбница. Предел от предела интегральных сумм, а что, функция-то вроде не трансцендентная и есть надежда как-нибудь интегральную сумму преобразовать))) Ну это в порядке шутки
@@FrolovSergei Интеграл несобственный, те пределы бесконечные. Да, справился. Здесь главное - свести его к интегралу от "хорошей" функции. что делается легко интегрированием по частям. Весь вопрос только в том, как вычислить внеинтегральную подстановку.