本質ちゃんと理解して使えてる？４つの定義を背景から説明します！【ネイピア数】

[@dqneo8006]

ネイピアに関するいろんな動画を見ましたが、この動画が一番しっかり説明されていてわかりやすかったです！感動しました。

[@kaoskmir3359]

ネイピア数にちょっぴり興味があるので楽しかったです。ありがとうございました！

[@TKT_Yamamoto]

良かったです！何かを感じ取って頂けたなら幸いです！

[@kantaro1966]

勉強になりました！

[@TKT_Yamamoto]

鈴木先生！光栄です！！
ありがとうございます！

[@電気技師]

貫太郎先生が見に来ている！！　　すごい！！
最初から終わりまで気合いを入れて何度も見直しますね～
登録しました！！！

[@wax1142]

TeXがきれい

[@TKT_Yamamoto]

目の付け所が嬉しいです笑

[@yokojkato]

大学で勉強したODE入門ではとにかくe^xをベースに解きまくるという感じでしたが、u(x)がpower series expansion出来ると仮定して、そのderivativeが元の多項式と等しいとすると、いっぺんに色々分かるんですね…（かな？）

[@TKT_Yamamoto]

実は線形常微分方程式
dx/dt=x, x(0)=1
の解がpower series expansionでき（て項別微分可能であ）ることは仮定しなくても証明することができます．
なので，そのpower series expansionを微分方程式に代入すればいっぺんに色々分かるという感じですね．
（なお，冪級数(power series)は級数であって多項式とは呼ばないので，そこは区別した方がよいです）

[@数学不定期投稿チャンネル]

短調増加もやつ相加相乗で平均で示すやつ好き

[@ならずもの-v5b]

定義4，微分方程式の解が指数関数であるという命題の証明について．これは微分方程式の解の一意性があるので，ネイピア数を他の定義で定義しといてその指数関数が微分方程式を満たすことからわかる感じですかね？

[@TKT_Yamamoto]

もし[定義４]の微分方程式の解uが複数あればwell-definedではなくなるので，微分方程式の解の一意性は重要ですね！
また，ネイピア数を用いない指数関数の定義もあるので，ネイピア数を別の定義で与えていなくても指数関数は定義できます．ここでは，（ネイピア数を用いずに）指数関数を先に定義しているという前提での話となっています(という主旨のご質問ですよね？)．

[@ならずもの-v5b]

@@TKT_Yamamoto
「u'=u,u(0)=1⇒∃a∈R[u(x)=a^x]」という命題の証明はどうなるのかなという趣旨でした．

[@TKT_Yamamoto]

さまざまな方法が考えられますが，例えば次のように証明できます：
u'=uからuは無限回微分可能であることが分かり，nによらずdⁿu/dxⁿ(0)=1なのでuはMaclaurin展開可能であることが分かります．
このMaclaurin展開からu(x+y)=u(x)u(y)が成り立つことが証明できるので，Cauchyの関数方程式と同様にu(x)=a^xと表されることが分かります．

[@ならずもの-v5b]

@@TKT_Yamamoto
なるほど、それは思いつきませんでした。勉強になりました。ありがとうございます。