Показать, что уравнение x³+y³+z³=41 не имеет решений в целых числах
HTML-код
- Опубликовано: 8 фев 2025
- Решение уравнений в целых числах занимает важное место в теории чисел. Существуют разные способы решения тех или иных уравнений, однако далеко не все уравнения удается решить. Сегодня нам требуется показать, что уравнение x³+y³+z³=41 не имеет решений в целых числах.
Пояснение к комментарию об уравнении x³+y³+z³=1.
(9k⁴; 1-9k³; 3k-9k⁴) - одно из решений.
Об этом и о других значениях правой части можно почитать
en.m.wikipedia...
Читает Игорь Тиняков для канала Элементарная Математика
#игорьтиняков #уравнениявцелыхчислах #theoryofnumbers
![I.N "HALLUCINATION" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/n5B5q1Hwt_U/mqdefault.jpg)
Тема понравилась. Замечательно.
Ха. Игорь, классный канал. Где бы найти время всё посмотреть и, главное, понять? :)
невероятно элегантно и красиво
Для x³+y³+z³=1 могу предложить такую серию решений: (1, k, -k) с точностью до перестановок, где k-целое.
да, вполне себе.
есть еще (9, -8, -6), например)
В качестве упражнения можно подумать над общим видом решения, для которого (9, -8, -6) является частным случаем.
Ответ см. в описании видео.
Спасибо, было очень интересно. Если Вы рекомендуете что-то посмотреть и почитать, оставляйте информацию в описании, спасибо.👍
Так обычно и происходит...
Для случая k=30 предполагают, что не существует параметрической серии решений. Также неизвестно, бесконечно ли много решений.
Это известная проблема Sum of three cubes, вот видео от Numberphile про неё: ruclips.net/video/wymmCdLdPvM/видео.htmlsi=p7b_qm3eajiUB4OG
Вообще, у них целый небольшой плейлист этой проблеме посвящён
Спасибо! хорошее дополнение!
Решения в рациональных дробях тоже очень интересны и полезны.
о, да!
1:40 Решил методом тыка)))
x^3 + y^3 + z^3 = 30
x=-9.8, y=5.2, z=9.4
Ну, и все их возможные комбинации.
в целых числах бы...
красиво, аккуратно, элегантно.
вы в конце советовали Серпинского, а какие бы в принципе посоветовали книжки по теории чисел на вузовском уровне? как насчёт Бухштаба того же?
спасибо, что подробно рассказываете. лучше подробно, долго, но зато понятно, чем пропуская сотни шагов и оставляя всё на суд смотрящему.
Бухштаб, Хассе, Виноградов. Много есть хороших книг, а одни и те же вопросы могут быть изложены по-разному.
Если для студентов, то по рекомендации лектора (и на лекции ходить), а то можно изучить много, а экзамен завалить на легком вопросе.
Интересно решение для y при 0.208=y^y тк корень квадратный через логарифм не возьмешь будет отрицательное число
oczen kruta, spasiba
Пожалуйста!)
Сам не додумался, но понравилось решение)
Решение-то понятно, непонятно только, почему именно 9 была выбрана в качестве основания для вычетов. Есть ли способ прийти к 9 не перебором?
Потому что с ним удобно работать когда у нас кубы, даже на Википедии сразу же в первой строчке написано, что не должно давать остаток 4 или 5 при делении на 9
в комментариях много было по этому вопросу
Спасибо за ролик. А сможете решить такое уравнение 5-й степени в общем виде (x-1)(x-2)(x+3)(x-1+i)(x-1-i)=0? Или что-то подобное. Вроде как общего решения не существует, но алгоритм есть. Условие - корни не должны быть равномерно распределены, т. е. разница между ними не должна быть одинаковой. Просто тогда 1-й корень будет равен b/5 - выползет при избавления от bx^4. Ну и одинаковых корней тоже не должно быть - 2 корня находятся при взятии производной. Физики любят разного рода граничные и предельные условия и такая проверка имеет смысл.
что-то я вопрос не вполне понял(((
но сдается мне, что решить не смогу...
Мы это доказать можем с помощю теоремы фермы
Давайте перенесем z в леву сторону
А за теоремой фермы уравнение в целых числах не имеет решений
А можно ли здесь применить теорему Никомаха? 41 нельзя представить в виде квадрата целого числа, значит и сумма кубов не даст 41?
1³+1³+1³=3, а предыдущий удалил, потому как он ничего не опровергал
А, например, 4 и 49 также нельзя представить.
можно было бы и обобщить задачу: числа, которые дают остаток 4 или 5 при делении на 9, в виде суммы трёх кубов непредставимы
...а если бы доказали, что все остальные можно представить - цены бы Вашему видео не было
Спасибо за ролик, а как выбрать по какому числу сравнивать остатки? Есть какие-то рекомендации, посоветуйте, пожалуйста, ролики или литературу
проверять. где-то и тройка подойдет, а где-то этот метод вообще не сработает...
Посмотрите Серпинского "О решении уравнений в целых числах"
и еще в комментариях теперь есть ссылка на видео
Для кубов обычно берут 7/9, потому что остатки 0, +-1. Для квадратов берут 3,4 и реже 5. Для 3/4 0,1 остатки, для 5 0,+-1. Обычно проверить эти остатки помогает что-то быстро понять про задачу. Иногда можно посмотреть на кратность какой-то части уравнения. Так для второго примера логично взять 3, т.к. у левой части понятен остаток. Становится грустно, если у остатков найдётся всё же нужная сумма. Было бы 42 вместо 41 и задача бы резко превратилась бы в гроб
@@emiyakiritsugu9020 спасибо огромное, сделала себе скрин вашего сообщения как памятку
Как вы догадались рассматривать вычеты по модулю 9? Из каких соображений 9, а не, скажем, 7? Или не 13?
Всегда лучше начинать с небольших модулей, чтобы не рассматривать много вычетов.
Также иногда бывает полезным дослушивать лекцию до конца...
@@elemathБлагодарю за отличную лекцию. Я дослушал до конца. Там был пример, где вы рассмотрели вычеты по модулю 3. Я увидел в этом ту мотивацию, что один из коэффициентов был 3, а значит, моном с этим коэффициентом сравним с нулём по модулю 3. Но вот в случае суммы трёх кубов, равных 41, как вы выбрали 9, я не понял. Но трактую ваш ответ так: вы попробовали сравнения по меньшим модулям, вероятно, по простым: 3, 5, 7, - и хорошо не получилось, противоречия не вышло. А с девяткой прокатило. А, кстати, может быть и наоборот. Вы придумали, что задача у вас будет про сумму кубов и сравнивать вы будете по модулю 9, а число 41 вы подобрали. Да, скорее всего так и было.
@dmarsentev да, как-то так.
41≡1 по mod2, mod4, mod5, mod8 и с -1 по mod3, mod6, mod7. Для другого числа можно было бы обойтись и другим модулем, но не для всякого числа этот способ работает.
Можете не читать следующий абзац, сначала просто вывод:
Если вы хотите рассмотреть остатки степени t по какому-то модулю p^k, то множество остатков, взаимнопростых с модулем среди степеней t станет меньше, чем было изначально тогда и только тогда, когда НОД(t, p^k-p^(k-1))>1. 9 мы использовали, так как НОД(3, 3^2-3)>1.
Если давать наиболее правильный ответ, то в зависимости от степени, в которую будем возводить, будут получаться некие остатки. Так вот, если модулем брать степень простого числа p^k, то по такому модулю есть так называемый первообразный корень, то есть элемент, чей показатель (наименьшая натуральная степень, в которой число сравнимо с 1 по модулю p^k) равен числу Эйлера от p^k, равному p^k - p^(k - 1). Степени первообразного корня порождают все остатки, взаимно простые с модулем. Если же первообразный корень g возвести в степень t, не взаимнопростую с числом Эйлера модуля, то любая степень числа g^t (все то же t) будет иметь показатель, меньший числа Эйлера, а значит вместо всех остатков в степени k получится какое-то строго меньшее множество остатков.
полезно еще обратить внимание, что с четырьмя кубами mod9 не работает
Целочисленная арифметика это сильно, конечно. Если с обеих сторон одинаковые числа, то остатки от деления должны быть одинаковыми, что позволяет не перебирать всю бесконечность. Но как догадаться, что делить надо на девять?
меньшими модулями не обойтись. Если не лень, то этот вопрос обсуждался в комментариях или см. ссылку в описании
То есть, в общем случае это неизвестно.
Вы определитесь: задача должна решаться в целых числах или в натуральных?
Теперь понятно. Спасибо Вам за разъяснение.
в натуральных числах задача тривиальна, тк все слагаемые с положительным знаком, решается простым перебором чисел - кандидатов.
105^3 + 574^3 + 623^3 = 756^3
333^3 + 1006^3 + 1163^3 = 1380^3
6113^3 + 8654^3 + 10807^3 = 12884^3
111933^3 + 151326^3 + 189147^3 = 226596^3
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1%85_%D0%BA%D1%83%D0%B1%D0%B0%D1%85
Вопрос: почему сразу же взяли вычеты именно по модулю 9, а не допустим 7 или 5 или 3 ?
это обсуждали в комментариях, посмотрите.
а лучше самостоятельно посмотреть, что будет, если взять меньшие вычеты.
по ссылке в описании можно почитать о подобных уравнениях при различной правой части.
8=-1, следовательно, сумма трëх чисел в пределах [-3, 3], т.е. 4 и 5 не подходит.
Красиво.
У ведущего такой брутальный голос
Как можно догадаться, что надо проверить остатки при делении на 9? Я к этому пришла, убедившись, что 3, 5 и 7 не годятся.
исследование - хороший подход
это конечно интересно, но решение звучит намного понятнее, если говорить о вычетах по (модулю 9) куба любого целого числа, как -1, 0 или +1. Таким образом, слева результат суммы трех кубов имеет вычеты по (модулю 9) пробегая все значения от -3 до +3, ни одно из которых не совпадает с вычетом 41 по (модулю 9) = 5. Действительно никакое из чисел от 38 до 44 не делится на 9 нацело.
Да всем плевать. Один препод бездарней другого. Они только и знают, как решать задачи и писать на доске очень долго, затянуто и сложно. Чтобы не показаться бездарями.
так и было сделано, но если понятней с абсолютно наименьшей системой вычетов, то можно и так. Чтобы быть последовательным, тогда следует отказаться от 5 в пользу -4.
никто, кстати, бездарность не скрывает.... может на других каналах и да, но здесь все честно.
Я правильно понимаю, что это диафантовое уравнение?
если бы без "е" в слове на "д", то да.
(0,4,5)
еще не смотрел, но mod 9 убивает эту задачу)
именно!
Кажется, numberphile рассматривали все решения до 100.
да, в комментариях уже добавили ссылку на его видео
Идея решения попсовая, но все равно красивая
с отрицательным есть
извините... что есть?
41 = 5 mod 9, куб как легко видеть равен 0, 1 или -1 по модулю 9, так что решений такое уравнение не имеет
а 3³ как же? ну и 6 туда же...
@@elemath конечно " 0, 1 , -1 mod 9 " - исправил. В любом случае, сумма трех кубов имеет остаток при делении на 9 принадлежащий {0,1,2,3,6,7,8} - решений в \mathbb{Z} нет
тряпку бы купить преподавателю)
114 еще не решен
простор для творчества!)
Чувак из постала учит математике
Прежде,чем выносить на суд зрителей задачу,нужно готовиться.Нельзя менять условие задачи по ходу решения.Как то не солидно.
Вы про что?