Merci beaucoup pour vos vidéos, je suis en école d'ingénieur donc je n'ai parfois pas vraiment besoin d'aller autant dans les détails que dans vos vidéos mais je trouve ça très intéressant ! J'espère que vous continuerez
Merci professeur (pouvez-vous proposer dans vos vidéos (ou dans le commentaire du vidéo) un livre de cours et un autres pour les exercices que vous pensez être utiles pour approfondir ces connaissances) et merci une autres fois pour toutes les explications.
Bonjour, encore et toujours merci pour vos vidéos :) Petite question (encore 'un peu' chiante :P) qui sort du cadre des ev, mais vous avez parlé en premier de surfaces bornées : comment s’accommode t-on du fait que le carré [0,1]² soit de dimension 2 alors qu'on peut atteindre n'importe quel point de ce carré à partir d'un antécédent placé sur le segment [0,1] via une courbe de peano, lebesgue ou d'un autre type tordu de cette clique là ? En souhaitant que vos courbes à vous décrivant le nombre de vues sur vos vidéos conservent cette belle convexité naissante le plus longtemps possible !
Effectivement, c'est une chose qui a beaucoup choqué les mathématiciens, la dimension n'est pas conservée par les applications bijectives. Il y a une bijection entre la droite et le plan, entre la droite et l'espace... C'est justement pour pouvoir distinguer ces choses là qu'on va utiliser les applications linéaires et donc au lieu de la notion de bijection, on va utiliser celle d'"isomorphisme". Je vais parler de tout cela dans mes prochaines vidéos :-)
12:59 il y a écrit "Comme les p vecteurs de B ..." sur la diapo mais il s'agit des "n vecteurs de B" il me semble. D'ailleurs c'est ce que vous dites à l'oral. Merci sinon pour ces vidéos, cela m'aide beaucoup à revoir les bases (c'est le cas de le dire !).
Ma Preuve du lemme (je suis pas très sûr): si (e1,e2,…,en) est une famille libre alors c’est une base de Vect(e1,e2,..,en) (car il est sous-entendu qu’elle est génératrice) et alors c’est une famille libre maximale (d’après ce qui précède) et dont toutes sur-famille sera liée. Sinon si (e1,e2,…,en) est liée il est évident que toutes sur-famille de Vect(e1,…,en) sera également liée.
Soit une base de E (e1,e2,...,en) et une famille libre (f1,f2,...fm) de vecteurs non nuls : On ajoute le vecteur f1 à la base. f1 possède une expression linéaire dans la base et il existe donc dans la base un vecteur e1 qui participait à cette expression linéaire et que l'on peut enlever. Comme cette expression était unique f1 n'est plus exprimable avec les vecteurs restants (e2,e3,...,en). Si il existait une expression en = a1f1 + a2e2 + ..+a(n-1)e(n-1) alors f1 = (1/a1)en + (-a2/a1)e2 +... Or cette expression n'existe pas car e1 était nécessaire. Donc la nouvelle famille (f1,e2,..,en) est libre. Comme il existait une expression f1 = a1e1 + a2e2 + ... + anen alors e1 = (1/a1)f1 + (-a2/a1)e2 + ... + (-an/a1)en. On retrouve donc le vecteur perdu e1 et l'on peut de nouveau générer tout vecteur de E. La famille (f1,e2,...,en) est donc libre et génératrice, c'est donc une base de E. On recommence le processus en faisant venir f2. f2 a une expression linéaire dans (f1,e2,...,en). On précise que comme la famille (f1,f2,...,fm) est libre, il y a nécessairement un vecteur 'e' qui participe à cette expression linéaire, les 'f' ne peuvent pas y arriver tout seuls, et c'est ce 'e' qui l'on choisit d'enlever. Lorsque le dernier vecteur fm a remplacé le dernier vecteur en (si il y avait suffisamment de fm), la nouvelle famille est une base, et elle a le même nombre d'éléments que (e1,e2,...,en). Il n'y avait donc pas de base plus grande ou plus petite que (e1,e2,...,en).
Bonjour, Pourriez-vous répondre à cette question concernant la dimension de la matrice B suivante : - - | 1 0 | | 0 1 | - - D'après ce que que vous dîtes, dim (M_np (𝕂)) = np donc dim (B) = 2·2 = 4 Mais si cette matrice représente une base de l'espace vectoriel Euclidien ℝ² , la dimension de cet espace vectoriel vaut 2 En conséquence de quoi la dimension d'un même objet est différente selon le contexte (1er contexte en temps que matrice, 2ème en tant que matrice représentant les vecteurs de la base) Si on regarde plus précisément, les colonnes de cette matrice recèlent les vecteurs (1ère colonne e_1, deuxième e_2), tandis que les lignes les coordonnées : 1ère ligne x_1,1 , x_1,2 2ème ligne x_2,1 , x_2,2 D'où vient cette différence de dimension selon vous?
la dimension d'une matrice donnée ça n'a pas vraiment de sens, la dimension de l'ensemble des matrices 2x2 est 4 c'est l'espace vectoriel des applications linéaires de R² dans R² qui lui est de dimension 2.
merci mais j'ai pas compris c'est quoi dimension finie parce que k n formé des n-uplets d’éléments de K c'est ini mais si n c'est plus l'infini et k[x] c'est infini
Merci Prof. Je n'ai pas compris pourquoi Si { 𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛 } est une famille libre de vecteurs, alors la dimension de l'espace vectoriel engendré, Vect ( 𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛 ) est ≥ 𝑛 .
vous êtes vraiment excellent grâce à vous j'ai compris ce que veux dire une dimension!!!!!
Merci beaucoup pour vos vidéos, je suis en école d'ingénieur donc je n'ai parfois pas vraiment besoin d'aller autant dans les détails que dans vos vidéos mais je trouve ça très intéressant ! J'espère que vous continuerez
Franchement merci, cette série de vidéo est trop bien
merci beaucoup vous sauvez sûrement mon semestre x)
merci beaucoup chef
j'avais ratté bcp de choses en AL
mais je m rattrape
merci encore davantage
Voilà un exposé qui donne une certaine dimension à la pédagogie 😉 !
Exercice : calculer sa dimension.
Merci Gilles !
Merci professeur (pouvez-vous proposer dans vos vidéos (ou dans le commentaire du vidéo) un livre de cours et un autres pour les exercices que vous pensez être utiles pour approfondir ces connaissances) et merci une autres fois pour toutes les explications.
Super cours, merci !
Bonjour, encore et toujours merci pour vos vidéos :)
Petite question (encore 'un peu' chiante :P) qui sort du cadre des ev, mais vous avez parlé en premier de surfaces bornées : comment s’accommode t-on du fait que le carré [0,1]² soit de dimension 2 alors qu'on peut atteindre n'importe quel point de ce carré à partir d'un antécédent placé sur le segment [0,1] via une courbe de peano, lebesgue ou d'un autre type tordu de cette clique là ?
En souhaitant que vos courbes à vous décrivant le nombre de vues sur vos vidéos conservent cette belle convexité naissante le plus longtemps possible !
Effectivement, c'est une chose qui a beaucoup choqué les mathématiciens, la dimension n'est pas conservée par les applications bijectives. Il y a une bijection entre la droite et le plan, entre la droite et l'espace...
C'est justement pour pouvoir distinguer ces choses là qu'on va utiliser les applications linéaires et donc au lieu de la notion de bijection, on va utiliser celle d'"isomorphisme".
Je vais parler de tout cela dans mes prochaines vidéos :-)
Bonjour, il y a une petite coquille dans la preuve du théorème du lemme ; n vecteurs de B et non p vecteur de B. Merci pour votre travail remarquable.
Merci continuez svp ! (jusqu'aux matrices dumoins ;) )
Ne t'inquiètes pas c'est prévu ça arrivera avant la fin 2016 :-)
12:59 il y a écrit "Comme les p vecteurs de B ..." sur la diapo mais il s'agit des "n vecteurs de B" il me semble. D'ailleurs c'est ce que vous dites à l'oral. Merci sinon pour ces vidéos, cela m'aide beaucoup à revoir les bases (c'est le cas de le dire !).
Ma Preuve du lemme (je suis pas très sûr): si (e1,e2,…,en) est une famille libre alors c’est une base de Vect(e1,e2,..,en) (car il est sous-entendu qu’elle est génératrice) et alors c’est une famille libre maximale (d’après ce qui précède) et dont toutes sur-famille sera liée. Sinon si (e1,e2,…,en) est liée il est évident que toutes sur-famille de Vect(e1,…,en) sera également liée.
Pour le Lemme, la famille de cardinal n+1 n'est pas nécessairement une sur famille de la famille génératrice.
Soit une base de E (e1,e2,...,en) et une famille libre (f1,f2,...fm) de vecteurs non nuls :
On ajoute le vecteur f1 à la base. f1 possède une expression linéaire dans la base et il existe donc dans la base un vecteur e1 qui participait à cette expression linéaire et que l'on peut enlever.
Comme cette expression était unique f1 n'est plus exprimable avec les vecteurs restants (e2,e3,...,en).
Si il existait une expression en = a1f1 + a2e2 + ..+a(n-1)e(n-1) alors f1 = (1/a1)en + (-a2/a1)e2 +... Or cette expression n'existe pas car e1 était nécessaire. Donc la nouvelle famille (f1,e2,..,en) est libre.
Comme il existait une expression f1 = a1e1 + a2e2 + ... + anen alors e1 = (1/a1)f1 + (-a2/a1)e2 + ... + (-an/a1)en. On retrouve donc le vecteur perdu e1 et l'on peut de nouveau générer tout vecteur de E. La famille (f1,e2,...,en) est donc libre et génératrice, c'est donc une base de E.
On recommence le processus en faisant venir f2. f2 a une expression linéaire dans (f1,e2,...,en). On précise que comme la famille (f1,f2,...,fm) est libre, il y a nécessairement un vecteur 'e' qui participe à cette expression linéaire, les 'f' ne peuvent pas y arriver tout seuls, et c'est ce 'e' qui l'on choisit d'enlever.
Lorsque le dernier vecteur fm a remplacé le dernier vecteur en (si il y avait suffisamment de fm), la nouvelle famille est une base, et elle a le même nombre d'éléments que (e1,e2,...,en). Il n'y avait donc pas de base plus grande ou plus petite que (e1,e2,...,en).
Bonjour,
Pourriez-vous répondre à cette question concernant la dimension de la matrice B suivante :
- -
| 1 0 |
| 0 1 |
- -
D'après ce que que vous dîtes, dim (M_np (𝕂)) = np donc dim (B) = 2·2 = 4
Mais si cette matrice représente une base de l'espace vectoriel Euclidien ℝ² , la dimension de cet espace vectoriel vaut 2
En conséquence de quoi la dimension d'un même objet est différente selon le contexte (1er contexte en temps que matrice, 2ème en tant que matrice représentant les vecteurs de la base)
Si on regarde plus précisément, les colonnes de cette matrice recèlent les vecteurs (1ère colonne e_1, deuxième e_2), tandis que les lignes les coordonnées :
1ère ligne x_1,1 , x_1,2
2ème ligne x_2,1 , x_2,2
D'où vient cette différence de dimension selon vous?
la dimension d'une matrice donnée ça n'a pas vraiment de sens, la dimension de l'ensemble des matrices 2x2 est 4 c'est l'espace vectoriel des applications linéaires de R² dans R² qui lui est de dimension 2.
@@MathsAdultes Merci, c'est clair maintenant!
Le contenu est excellent sauf que tu doit le présenter un peu lentement pour qu'on peut poursuivre
Et merci d'avance
mes étudiants me disent qu'en les regardant en vitesse 0,5 c'est plus compréhensible en effet ;-)
Je prépare un papier centré sur la dimension d'un ev. Je mettrai en lien ta vidéo et le papier en question sur ton Discord. Si tu es ok bien sûr !
évidemment, c'est toujours bon à prendre :-)
merci mais j'ai pas compris c'est quoi dimension finie parce que k n formé des n-uplets d’éléments de K c'est ini mais si n c'est plus l'infini et k[x] c'est infini
Merci Prof. Je n'ai pas compris pourquoi Si { 𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛 } est une famille libre de vecteurs, alors la dimension de l'espace vectoriel engendré, Vect ( 𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛 ) est ≥ 𝑛 .
chaque vecteur rajoute une dimension...
@@MathsAdultes oui du coup c'est = n pas ≥ 𝑛 ?
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Vidéo très bonne mais la preuve du Lemme est très mal expliquée
hum, du coup la vidéo n'est pas très bonne :-)