Les NOMBRES PREMIERS : FINIS ou INFINIS ?
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- Опубликовано: 7 окт 2024
- Nouvelle démonstration.
Il existe une infinité de nombres premiers. Démonstration proche de celle réalisée par Euclide, le premier à avoir démontré ce résultat semble-t-il.
On essaie 2 approches:
● une approche instinctive pour comprendre en profondeur la preuve.
● une approche plus formelle et rigoureuse qu'on espère accessible.
![[FR] Une infinité de nombres premiers : le théorème d'Euclide [Re-upload]](http://i.ytimg.com/vi/60qm9Zj_Kp4/mqdefault.jpg)
![[FR] Une infinité de nombres premiers : le théorème d'Euclide [Re-upload]](/img/tr.png)
Si sur youtube on pouvait trouver un prof comme ça pour toutes les disciplines scientifiques ce serait vraiment bien
Vous nous avez habitué à des explications plus claires
j'ai toujours eu du mal avec cette démonstration mais je comprends mieux maintenant . Plus problèmes comme ça plzzzz !!
Bizarre pour moi c'est un peu l'inverse, avant j'avais peut-être plus cru comprendre, mais depuis que j'ai vu cette video j'en suis moins sûr car l'auteur semble insister sur des points qui me semblaient moins importants et accélérer sur d'autres points qui me semblent à moi plus importants, mais c'est selon chacun bien sûr
ATTENTION: q n'est pas forcément premier. On démontre juste que q est soit premier soit qu'il a un diviseur plus grand que Pn. Donc que la liste des premiers admet un élément plus grand que Pn. Par exemple si on considère que 13 est le plus grand premier: 2*3*5*7*11*13+1 = 30031. Et 30031 = 59 x 509. 2 facteurs premiers qui sont plus grands que 13.
Eh oui, une petite erreur (bien pardonnable !!....) de notre professeur vénéré, que j'avais déjà signalé précédemment. Mais félicitations pour son enthousiasme et sa pédagogie !
oui et non : comme l'hypothèse est que Pn est le plus grand nombre premier, alors q qui est plus grand que Pn, est forcement pas premier. Bref, l'hypothèse fausse amène seule à la contradiction sans avoir besoin de différencier ces 2 cas ?
@@alainreseau6777 Ce n'est pas mon propos... Dans la video, Heda conclut que q est forcément premier... alors que ce n'est pas forcément vrai. On démontre au global qu'il y a FORCEMENT un nompre premier plus grand que Pn, q lui même ou un autre.
J'ai pas fait ton calcul, mais des nombres multipliés par 2 qui donnent un résultat impair ?
Ah oui tu as juste oublié le +1...
Un grand merci pour votre enthousiasme et votre rigueur. J'adore.
J'avoue que, pour la premièra fois, je n'ai pas bien assimilé cette demonstration.
Cependant j'assimile aisaiment tous vos démonstrations.
Mes sincères remerciements pour vos efforts à nous simplifier les maths. ❤❤❤
La démonstration repose sur le fait que, avec la division euclidienne, quand on divise un nombre par l'un de ses diviseurs, le reste est 0
Par exemple, 5 divise 15 donc 15 = 3*5 + 0, mais 6 ne divise pas 15 car 15 = 2*6 + 3
De manière générale, si p divise n, alors n = p*q + 0
S'il existe un nombre fini de premiers, on peut tous les multiplier entre eux. Donc quand on divisera par n'importe quel premier, étant donné qu'il est présent dans le produit, le reste sera 0
Par exemple, s'il n'y avait que trois premiers, 2, 3 et 5, alors on aurait 2*3*5 = 30, et le reste de la division de 30 par 2, 3 ou 5 est bien 0.
Si on note P = p1*p2*...*pn ce grand produit, p1 divise P donc on peut écrire P = p1 * p2p3...pn + 0, idem pour p2, p3 etc.
Mais si on ajoute 1 à ce produit, alors le reste n'est plus 0 mais 1, puisqu'on a P = p1 * p2p3...pn + 1
Donc aucun premier ne divise P, ce qui, par définition, signifie que P est premier. Or on a supposé que les premiers étaient p1, p2, ..., pn, et P n'est égal à aucun d'entre eux.
On a donc n+1 nombre premiers alors qu'on a supposé qu'il en existait exactement n, ce qui est une contradiction. Il y a donc un nombre infini de premiers
@@coltith7356
Excellent récap. en outre fort bien expliqué et exprimé, bravo Coltith !
Idem …
Je suis un grand fan des nombres premier ! Super vidéo !
C'est beau, et j'ai compris.
Extraordinaire 😂.
Raisonnons par l 'absurde et supposons qu' il existe un nombre fini de nombres premiers notés p1,p2,...,pn tels que p1
Super , merci!!! une jolie démonstration (et sympa, comme d'habitude)!!
Merci Iman pour ce grand moment elevateur!!
Le grand tout ..dit l'UN est indivisible !! En dehors du grand "UN" tout n'est que division....
Merci grand professeur!!🙏😎🙏
👍😎🏁🐆
Hein !
@@jeanmarcdelleci2639 nein..Zwei!!
Oh! Cela me rappelle Math Sup! J'ai eu cette démonstration en colle! :D
khôle dans le vocabulaire prépa. 🙂
Tellement passionné non seulement par les maths mais par la transmission… j’aurais tellement avoir un prof comme lui !
Salut à toi futur agrégé. Félicitations pour tout ce travail vidéo que tu fournis.
La démonstration est beaucoup plus simple et quasiment sans calcul.
Si la liste des nombres premiers est finie, quand on écrit:
P = P1xP2x...Pn + 1
Ce nombre grand P n'est donc divisible par aucun des nombres premiers de la liste puisque son reste dans la division par chacun des nombres premiers de la liste est égal à 1. Or comme tout nombre entier, il admet au moins un diviseur premier et ce NOMBRE PREMIER N'EST PAS DANS LA LISTE FINIE . Donc ce nombre P contient au moins un NOUVEAU facteur premier. On peut donc construire une liste infinie de nombres premiers.
Remarques importantes:
1- ce nombre grand P n'est pas forcément premier lui-même mais il contient un nouveau facteur premier.
2- une fois écrit P, on n'a plus de calcul à faire, il ne reste plus qu'à interpréter ce qui est écrit.
Salutationes amigo.
Mmh très malin de ne pas forcément démontrer que P est premier lui-même !
P n'est pas forcément premier lui-même ? Avez-vous un exemple de ce cas, je suis bien intéressé par ce cas.
@@michelbernard9092
je vais essayer de satisfaire ta curiosité.
Je n'ai pas d'exemple sous la main où P n'est pas premier. Puisque cette qualité n'est pas nécessaire à la démonstration de l'infinité des nombres premiers.
Il existe plusieurs formules qui permettent de construire des nombres premiers, malheureusement je ne les connais pas suffisamment pour en parler savamment. Ce que je peux dire c'est que ces formules ont toutes une particularité, qui est de ne pas réussir à décrire l'ensemble des nombres premiers, elles laissent des trous. Et donc elles ne permettent pas non plus de prouver l'infinité des nombres premiers.
Ces formules sont très utiles pour engendrer des codes secrets inviolables, en utilisant de très grands nombres premiers, la décomposition en facteurs premiers de ces grands nombres prends un temps de calcul qui est encore rédhibitoire.
Je crois avoir vu dans les commentaires, quelqu'un qui évoquait ces formules, elle ou il doit en savoir plus que moi. Bonne chasse. 🤔😉
@@antoinegrassi3796 Quelqu'un a aimablement fourni une solution dans le fil :
2*3*5*7*11*13 = 30030 + 1 = 30031 divisible par 59.. et bien sûr 59 est supérieur à 13. Comme quoi il est faux de dire que ( produit de tous les p_i + 1) est forcément premier, mais remarquons que c'est généralement "ce qu'on fait croire' dans cette démonstration, alors qu'évidemment ce n'est pas nécessaire.
En fait la démo parfaite (à mon avis) est de ne pas faire référence au fait que N= ( ( ∏p_i pour p_i premiers variant de 1 à k ) + 1) soit premier (ce qui est clairement faux !) ; mais de dire que :
1) soit N est premier et donc il est supérieur à p_k,
2) soit N est divisible par un p_m qui n'est pas dans la liste p_1 ; p_2..... p_k et ce p_m est donc supérieur aussi à p_k ;
Dans les deux cas ça implique l'infinité des nombres premiers puisque quel que soit k on a déterminé un nombre entier supérieur à p_k qui est premier
Vos explications sont les meilleurs j'aimerais vraiment que vous fassiez des vidéos sur les calculs dans R
Tu as en 1 année ?
tes vidéos sont excellentes, j’adore, n’arrêtes jamais stpppp
Je préfère aller voir d'autres tableaux, dans des musées par exemple, mais chacun son trip si tu aimes bien le graffiti de couleur math
merci je me posais cette question depuis longteemps
Pourriez-vous faire une vidéo sur la formule d'Euler permettant de déterminer les nombres premiers (qui marche souvent), et sur celle donnant que des nombres premiers, mais pas tous les nombres premiers ?
Désolé si je n'ai pas été assez clair dans mon message. Super vidéo comme d'habitude, merci beaucoup à vous !
Tu parles de l’indicatrice d’euler et des nombres de Mersenne ?
@@mehdifr9055 il y a une belle preuve de l'indicatrice d'Euler qui exploite les probabilités
On considère une VA X suivant une loi uniforme sur [|1,n|]. Soit d tq d|n
On pose Ad={k€[|1,n|] | d|k}
On montre assez facilement que P(X€Ad)= 1/d
Pour deux nombres premiers d et d' on a bien P(X€(Ad(inter)Ad')=P(X€Ad)*P(X€Ad')
Bref, il suffit alors d'utiliser le fait que n est decomposable en produit de nombres premiers indexé par un certain ensemble fini I, puis l'exercice est presque fini
On remarque l'indicatrice d'Euler est le cardinal de (Z/nZ)*, ce qui signifie le nombre de k premier à n
On passe au complémentaire en utilisant le fait que pgcd(k,n)=1 revient à dire que k ne divise pas n
Et en passant au complémentaire on tombe sur nos ensembles Ad et l'exo est presque fini
T'es le boss
Il a la bosse des maths
Moi mon prof de maths,si tu lui dit que t'a rien compris il te répondra que tu n'est pas obligé de tout comprendre cette année, celle d'après quand tu redoublera tu vas mieux comprendre 😂😂😂
tu redoubleras
Merci pour cette vidéo !
Des exercices lesson de produit scolaire dans l’espace et dénombrement et probabilité s’il vous plaît 🙏
En fait, on peut conclure dès que l'on rappelle que q admet un diviseur premier (donc un diviseur parmi tous les p_i) car, par définition de q, quelque soit l'entier i entre 1 et n, le reste de la division euclidienne de q par p_i est 1 (il faut juste rappeler que les nombres premiers sont tous strictement supérieurs à 1), donc qu'aucun des p_i ne divise q, ce qui est une contradiction (car un p_i divisant q est censé à la fois exister et ne pas exister).
Une preuve plus élégante utilise les groupes
On pose Gp= 2^p -1, on suppose l'ensemble des nombre premiers P fini et ordonnes P={p1
Tu peux l'écrire en laTex ?
Décidément, je me réinteresse aux nombres premiers depuis quelques semaines. Quand j'ai constaté que 24 101 923 est un nombre premier ( le 24/10/1923 est la date de naissance de ma mère ).
Je vérifie la conjecture de Goldbach en utilisant les nombres premiers jusqu'à 4999 inclus.
Et le Monde a sorti un hors-série sur les nombres premiers.
Cela donne quoi avec sa date de naissance sur le calendrier lunaire ?
Jusqu'à 4909, ça suffit même déjà.
@@lazaremoanang3116 tant que ce n'est pas le 4903...
Oui, il existe une infinité de nombres premiers. Ce résultat est connu depuis l'Antiquité, et il a été démontré de manière rigoureuse par Euclide dans ses Éléments.
La démonstration d'Euclide est la suivante :
Supposons qu'il n'y ait qu'un nombre fini de nombres premiers, et soit p 1 ,p2 ,…,pn la liste de tous ces nombres. Alors, le nombre N=p1 p 2 ⋯p
n +1 n'est pas divisible par aucun des nombres premiers p 1 ,p 2 ,…,p . En effet, si N était divisible par un de ces nombres, alors ce nombre serait divisible par N−1, ce qui est impossible car N−1=p 1 p 2 ⋯p n .Donc, N est un nombre premier qui n'est pas dans la liste p 1 ,p 2 ,…,p n . Cela contredit l'hypothèse initiale, ce qui montre que l'hypothèse est fausse. Il existe donc une infinité de nombres premiers. Cette démonstration est simple et élégante, mais elle n'est pas la seule. Il existe d'autres démonstrations du théorème d'Euclide, notamment une démonstration due à Euler qui utilise la divergence de la série harmonique. Le théorème d'Euclide est un résultat fondamental en mathématiques. Il a de nombreuses applications, notamment en cryptographie, en théorie des nombres et en géométrie algébrique.
ce n est pas tout a fait ca le nombre obtenu n est pas forcement premier mais il admet au moins un autre diviseur autre que les p1 a pn (ca peut etre lui et alors il est premier mais ca peut etre un autre et alors il n est pas premier lui meme mais admet un autre premier que la liste p1 a pn)
J’adore vos vidéos. Merci beaucoup ! 👍👍👍
Parfois j’aurais plaisir à connaître les applications pratiques de certains concepts.
Dès lors à quoi peuvent servir les nombres premiers?
Merci
la cryptographie. Créer des mots de passe par exemple, des clés numériques, etc...
Merci
Merci !
Pour ne pas galérer à la fin, on peut utiliser une propriété toute bête : si p et q sont deux entiers naturels, p divise q si et seulement si le reste de la division euclidienne de q par p est égal à 0.
En prenant le pk du monsieur, on écrit : q=pk.(produit de tous les autres)+1, ce qui montre que le reste de la division euclidienne vaut 1.
Attention cependant à un moment le monsieur dit un truc faux, il dit que le nombre qu'on a fabriqué est un nombre premier. Non, tout ce qu'on prouve c'est que s'il a des diviseurs premiers, alors ils ne sont pas dans la liste, ce qui est une contradiction avec le fait qu'on a supposé tous les réunir.
Imaginons que notre ensemble soit constitué des nombres 3, 5 et 11. 3x5x11+1=166 n'est pas premier.
sauf qu'il parlait d'une liste COMPLÈTE de nombres premiers.
@@micper5507 Le fait qu'on ait supposé que la liste soit complète ne veut pas dire que le nombre qu'on a construit soit lui-même premier. On a juste démontré que ses facteurs premiers ne pouvaient pas être dans la liste. D'ailleurs la démonstration serait elle-même contradictoire avec l'affirmation que le nombre est premier puisque s'il est premier, il doit faire partie de la liste, mais alors il ne pourrait pas être premier avec lui-même. Donc vraiment la seule conclusion qu'on puisse tirer c'est que notre collection de nombre premiers est incomplète puisque les diviseurs premiers du nouveau nombre ne sont pas dans la liste.
@@italixgaming915 Ben si, un nombre égal au produit de tous les nombres premiers existants finis auquel on rajoute 1 est forcément premier.
"on a juste démontré que ses facteurs premiers ne pouvaient pas être dans la liste" tu dis, mais justement si ses facteurs premiers ne sont pas dans la liste, et que la liste contient tous les nombres premiers, alors forcément le nombre est premier, réfléchis.
Tu dis que la démonstration est elle-même contradictoire, mais c'est le principe même d'un raisonnement par l'absurde, on recherche une contradiction.
@@micper5507 Relis bien ta première phrase tu vas voir qu'il y a un problème avec ce que tu dis. Ton nombre est par construction différent de tous les nombres premiers de la liste donc il n'en fait pas partie, mais s'il est premier avec tous les nombres premiers alors il est premier, mais alors il fait partie de la liste, mais on vient justement de voir qu'il n'en fait pas partie.
Pour éviter ce souci, je formule les choses un peu différemment. Le début est le même : on suppose qu'il y a un nombre fini de nombres premiers, qu'on numérote, on introduit q exactement comme dans la démonstration du monsieur.
Ensuite on dit que comme q>1, alors q a forcément au moins un diviseur premier. On remarque ensuite qu'aucun des nombres de notre liste ne peut convenir puisqu'à chaque fois, le reste de la division euclidienne vaut 1. Ce qu'on peut alors en déduire, c'est que les diviseurs premiers de q ne font pas partie de la liste. Ce qui veut dire que soit q est un nombre premier qui n'est pas dans la liste, soit il s'écrit comme le produit de nombres premiers qui ne sont pas dans la liste. Dans les deux cas, on a une contradiction avec le fait qu'on a supposé qu'on avait réuni tous les nombres premiers dans notre liste.
Tu peux voir que c'est beaucoup plus clair comme ça...
Je comprend pas bien. Vers 06:20 dire que Q=p1*p2*...pn + 1 est forcément premier me semble faux ca marche avec 2*3*5*7 +1 =211 premier. Mais 2*3*5*7*11*13 = 30030 + 1 = 30031 divisible par 59.Mais ca n'invalide pas la démonstration car ça maintient le fait que si Q n'est pas premier alors il y a forcément un nombre premier supérieur à Pn qui divise Q
La démonstration suppose que l'on a utilisé tous les premiers qui existent, donc comme il existe un premier plus grand que 13, cela veut dire que le grand produit ne vaut pas 2*3*5*7*11*13, car il faut encore multiplier par 17. Mais s'arrêter à 17 ne suffit pas, il faut encore multiplier par 23, puis par 29 etc
Si on choisit de s'arrêter à 13, comme dans l'exemple que tu donnes, 2*3*5*7*11*13 n'est effectivement pas premier, mais ses facteurs premiers sont 59 et 509, qui sont tous deux supérieurs à 13
Or en arrêtant ton produit à 13, tu supposes donc qu'il n'existe pas de premier p > 13, mais tu viens d'en découvrir deux (59 et 509), tu as donc bien une contradiction.
Merci, c'est justement l'exemple que je voulais voir !
Autre particularité des nombres premiers : chaque nombre entier pair de 2 à 400 milliard peut se décomposer en la somme de 2 nombres premiers. Cela a été découvert par un mathématicien allemand au 19 eme siècle.
À la fin de la démonstration il est dit que Pk divise q soit P1xP2xP3x.. Pn + 1 et il est dit ensuite que Pk divise P1xP2xP3x.. Pn... Ce qui permet ensuite d'arriver à Pk divise 1. Mais pour moi Pk des 2 affirmations on ne peut partir du principe qu'il est le même. Si Pk divise 6 (2x3 2 premiers nombres premier) Pk ne divise pas 7 (6+1) . Donc la démonstration finales n'a pas de sens. Sinon merci pour toutes ces vidéos elles sont rafraîchissantes 👍
Ça m'a plu 😊
Pour bien suivre mettre la vitesse à 0,75 👍👍
Exemple : n=6 . Alors p={2x3x....x11x13 } +1 = 30031=59 x509
Ça fonctionne aussi en effectuant (produit de Pi) -1 (pour tout i allant de 1 à n)
yahhh t'es trop fort
Bonjour, j'ai beaucoup aimé cette démonstration !
Ca voudrait dire que si on prend la multiplication de n'importe quelle combinaison aléatoire de nombres premiers et en ajoutant 1 on tomberait nécessairement sur un autre nombre premier ?
Non ce n’est pas le cas, essayez avec 3 et 7 par exemple
En effet vous avez raison. Avec la demo on comprend que si on prends tous les nombres 1ers + 1, ca marche. J'ai senti qu'il y avait quelque chose de cet ordre. Il faut essayer plusieurs cominaisons..
Non ! Pas n'importe lesquels, pas une combinaison aléatoire ! Exemple:
2 est premier
7 est premier
2 x 7 = 14 14 + 1 = 15
15 n'est pas un nombre premier: il est en effet divisible par 1, 3, 5, 15.
Et même quand on prend tout les nombres premiers depuis 2 jusqu'à n et qu'on ajoute 1, ce n'est pas sûr.
Un exemple, prenons tous les nombres premiers jusqu'à 13 -> 2, 3, 5, 7, 11, 13
2*3*5*7*11*13+1 = 30031, et bien ce nombre n'est pas premier, il est divisible par 59 et 509 qui eux, sont premiers 😉
Est-ce qu'il est possible que Q (pour rappelle P1*P2*P3*…*Pn+1) ne soit pas un nombre premier, mais soit égal à (par exemple) Pr*Ps, avec Pr et Ps deux nombres premiers supérieurs à Pn ?
Bon, en pratique ça ne change pas qu'il existe des nombres premiers supérieurs à Pn, mais pour être tout à fait rigoureux, je trouve que ça vaut le coup de le préciser.
Ici, l'important n'est pas de savoir si le nouveau nombre premier est plus petit ou plus grand que Q. L'important c'est qu'il existe et qu'il soit différent. 😊
Oui, 2x3x5x7x11x13+1=30031=59x509
Cela n'a pas été explicité mais la vidéo sous-entend qu'il n'y a que n nombres premiers, qu'on peut par exemple numéroter de P1 à Pn (avec donc Pn le plus grand élément parmi les nombres premiers). Ainsi, les indices r et s que tu proposes font forcément partie de la liste de 1 à n. P1*P2*P3*...*Pn+1 est un nombre premier plus grand que Pn, qui va à l'encontre de l'hypothèse de base.
@@thomastcheu3990 C'est exactement ce que j'ai dit: si Q=Pr*Ps (avec Pr et Ps deux nombres premiers supérieurs à Pn), alors ça veut de toute façon dire qu'il existe des nombres premiers supérieurs à Pn. Ce qui contredit l'hypothèse de base et valide la démonstration par l'absurde.
Mais ce que je dis aussi, c'est que j'aurais aimé que ce soit précisé dans la vidéo. Car il part du principe que Q est un nombre premier supérieur à Pn, hors ce n'est pas forcément le cas.
svp est ce que vous faite les de l'université. exemple transformé de laplace
petite precision le nombre obtenu en multipliant les p1 a pn plus 1 n est pas divisible par les p1 a pn mais il n est pas forcement premier
ce qu on peut dire c est que ce nombre admet un autre diviseur premier autre que les p1 a pn ca peut etre lui meme ou d autre nombres premiers plus petits mais plus grands que pn
sinon ca serait trop simple et la course au plus grand premier n aurait plus de sens car on aurait une serie par reccurence qui croitrait simplement tres vite en rajoutant ce produit+1 a la suite des pn et en reccommencant la multiplication des p1 a pn fois le nouveau
en prenant par exemple 8 premier premiers on a deja un produit environ 10^7 et par reccurence si q etait premier on aurait une suite de premiers qui croitrait en doublant l indice des puissance de 10 a chaque fois et on exploserait le record du plus grand nombre premier tres vite
pour info a la 24ieme reccurence on exploserait deja le record simplement du plus grand nombre premier decouvert a ce jour mais malheureusement ce n est pas si simple
Imaginons N = p1 x p2 x p3 x ... x pn +1
Existe-t-il un nombre N tel qu'il puisse être divisible en facteurs premiers par un pk tel que pk>pn et un ou plusieurs des p de p1, p2, p3,..., pn ?
Ou écrit plus simplement
N= (un ou des nombres premiers de p1 à pn) x pk
Non car pk est dans la liste p1 ... pn. Sinon l'hypothèse de base n'est pas respectée.
@@thomastcheu3990 quelle hypothèse de base ? Dans ma question j'ai précisé pk>pn
x étant un nombre premier et y le nombre suivant dans la suite de premiers ; pour x > 2 ; x+y-1 est également premier
à vérifier la validité de l'hypothèse
C'est faux. x = 17 et y = 19 donnent x+y-1 = 35, qui n'est pas premier
Ben non, désolé. 23+29-1=51=3x17.
En plus tu supposes dans ton hypothèse que tout nombre premier a un autre nombre premier qui le suit, et c'est justement ce qu'on cherche à montrer.
Problème: ton postulat de départ postule que tout nombre premier x a un nombre premier y qui le suit, or c'est précisément ce que l'on cherche à démontrer !!
En outre si x = 23 et y = 29 x + y - 1 = 51 qui n'est pas premier puisque 51 = 3 x 17.
Ni ton hypothèse, ni ton résultat ne sont valides camarade et il te faudra revenir en 2ème semaine avec un résultat un tantinet plus convaincant ... et surtout valide! ;-)
Bonjour. Je rejoins l'avis de certains, la démonstration n'est pas claire (une fois n'est pas coutume). Il suffit de dire que la division de q par chaque nombre premier P1, P2, ... Pn donne 1 comme reste. q n'est donc divisible par aucun des nombres de la liste finie, donc q est premier = contradiction avec l'hypothèse de départ => la liste des nombres premiers est donc infinie.
non la fausse conclusion n est pas que q est premier mais qu il admet au moins un autre diviseur premier que la liste
Je n'ai pas compris la démonstration. Est ce que vous pouvez le refaire la démonstration de manière plus simple
Par l’absurde
Imaginons que la quantité de nombres premiers est finie
Prenons N leur produit
Or pour tout N, N et N+1 sont premiers entre eux
donc N+1 est premier
donc la quantité de nombre premiers n’est pas infinie
non ?
Deux nombres peuvent être premiers entre eux sans qu'aucun des deux ne soient premiers ; par exemple 6 et 35
Dernière phrase, attention! Tu voulais probablement écrire 'n'est pas finie' et non 'n'est pas infinie'. ;-)
@@michelbernard9092Tu as raison : Deux nombres peuvent être premiers entre eux sans qu'aucun des deux ne soient premiers ; par exemple 6 et 35 mais la démonstration de @rinkio9044 n'en demeure pas moins exacte...
On peut juste l'étoffer ainsi :
Imaginons que la liste de nombres premiers soit finie : p1,p2,....pn
Prenons N leur produit N= p1p2....pn
Pour tout N, N et N+1 sont premiers entre eux ( Bezout : (-1)*N + 1*(N+1) = 1 )
De plus N+1 est premier car s'il ne l'était pas il serait divisible par un certain nombre premier pk qui divise lui aussi N = p1p2....pk.....pn !
En contradiction avec le fait que N et N+1 sont premiers entre eux (ils ont tous les deux pk comme diviseur commun ) et aussi avec le fait que N+1 est premier mais n'est pas dans la liste (supposée finie ) des nombres premiers.
Donc la quantité de nombres premiers n’est pas FINIE : elle est infinie .
@@Krap-ql5bh Oui bien sûr, mais je m'étais focalisé sur sa fin de démonstration ou il disait que le nombre de "premiers" était fini.(dans son text)
Cependant, l'emploi du théorème de Bachet-Bézout devrait d'abord être démontré avant de l'appliquer à N et N+1 théorème non nécessaire à la démo classique du prof.
(Le théorème de Bachet-Bézout est d'ailleurs beaucoup plus compliqué à démontrer que l'infinité des nombres premiers)
Mais si on veut montrer par contraposé que il existe un pi divisant ce entier q on fait comment svp ?
Il faut dire je regarde cette vidéo mine de rien. Infinie forcément. Même sans penser à Fermat, si on a un nombre fini de nombres premiers, au bout d'un moment, tous les nombres impairs seront des multiples des nombres premiers précédents ce qui est impossible, il suffit de voir comment les premiers se comportent pour facilement conclure.
Et aussi avec les nombres de Fermât
un nombre premier n' étant divisible que par 1 et par lui-même , je ne vois pas pourquoi on se pose la question . . .
Cette démonstration marche aussi avec -1 ou lieu de +1. On a donc une sorte de construction de nombres premiers "consécutifs" bien que leur différence soit de 2. Un résultat amusant
non tu ne construit pas de couple comme ca car il y a une petite erreur de la video le nombre obtenu en multipliant les p1 a pn plus ou moins 1 ne sont pas divisible par ces premiers mais ils ne sont pas forcement premier on sait juste qu ils admettent un autre diviseur que les p1 a pn et que ces diviseurs sont forcement plus grand que pn
une méthode pour construire des nombres premiers consécutifs...trop fastoche:
ruclips.net/video/OjYSQBbi8qY/видео.html
Le résultat final n'est pas clair Est ce que les nombres premiers sont finis ou non ?
J'ai rien compris. 😂😂😂
Ils sont infinis, la démonstration révèle que s'ils étaient finis on arriverait à une aberration mathématique 🙂
L'1 finit infini
Je n'ai pas trop compris comment les chiffres premiers sont exploités dans le film CUBE de 1997. Vous pourriez expliquer ?
De mémoire, les pièces sont numérotées et si une pièce a pour numéro un nombre premier (ou non premier, je ne sais plus), elle n'est pas piégée et les personnages peuvent donc y entrer pour progresser dans le labyrinthe.
@@thomastcheu3990 Ouais au début mais à un moment dans le film, c'est plus compliqué que ça
faudrait préciser quand ^^' @@kriis79fr24
Je trouve que souvent tu insistes sur certains passages qui sont pourtant parfaitement clairs alors que d'autres points plus essentiels tu ne fais que les effleurer.
Quand tu expliques pourquoi 210+1 ne peut pas être premier c'est parfaitement clair, tu viens d'expliquer l'essentiel de la démonstration. Les passages qui suivent sont souvent un peu lourds à digérer car tu insistes sur quelque chose qui est déjà évident.
Quand tu expliques qu'un certain nombre ne peut pas se décomposer tu omets d'expliquer ce que signifie "décomposer un nombre". Là il aurait été judicieux de définir "décomposer un nombre". Cette expression possède plusieurs définitions et c'est justement pour cette raison que beaucoup sont confus à ce niveau là.
Merci pour ce retour.
C’est justement LA question que je me pose le plus au moment du montage de la vidéo : ai-je assez insisté ou au contraire est-ce une répétition inutile..? Pas facile d’avoir le bon tempo à chaque fois et pour tout le monde.
@@hedacademy c'est un peu le dilemme pour tout prof de maths de trouver le bon équilibre, c'est encore plus difficile quand on a pas le retour en direct et quand la communauté est très hétérogène.
Les nombres premiers semblent être à l'arithmétique, ce que les points sont à la géométrie mais comment le démontrer
Facile pour les nombres triangulaires et les triangles, ou les nombres carrés pour les carrés et idem pour les cubes mais alors pour les ensembles de points au secours
@@jeanmarcdelleci2639 tu as encore oublié de prendre ton traitement.
@@martin.68 belle démonstration si vous aviez voulu démontrer sans avoir à le faire que vous n'étiez pas médecin...tout se soignerait-il donc en analogie de tout problème ayant la possibilité d'une solution comme en math ?
Je m' ennuyais, et la fatiigue aidant je venais me distraire, je vous présente par ailleurs mes excuses pour le martin prêcheur
Je crois que t’as oublié de dire que q était plus grand que pn ce qui est évident mais fondamental
Pour une fois, j’ai rien compris à cette démo. Je pense qu’il faudra que je la regarde plusieurs fois…
Admettons qu’il n’existe que 2 nombres premiers : 2 et 3. La démonstration dit que 2x3est divisible par 2 et 3, mais que 2x3+1 ne peut pas être divisible par 2 ni par 3. Donc la liste de départ est incomplète et il y a au minimum 3 nombres premiers (attention, cette démonstration ne dit pas que 2x3+1 est premier, 2x3+1 aurait pu être égal à 5x7 par exemple. Tout ce que ça dit, c’est qu’il existe un nombre premier autre que 2 et 3). Sauf que cette démonstration peut toujours être utilisée quelque soit la taille de la liste de nombres premiers, donc quelque soit la liste de nombres premiers qu’on a, il y en a d’autres. Donc, il doit y en avoir une infinité
Est-ce que c’est plus clair ?
J'ai de la Pn, j'ai pas réussi tout seul ... bouhouhou :)
mais q est un nombre premier non? ses seul diviseurs sont 1 et lui meme alors pourquoi il divisible par Pk??
On a supposé qu'il n'était pas premier.
Par construction, q ne peut pas être premier vu qu'on suppose au début de la démonstration que les seuls nombres premiers sont p1, p2, ... pn, et q n'est clairement égal à aucun de ces nombres-là.
Faisons une démonstration par l'absurde en supposant qu'il existe un nombre fini de nombres premiers. Dans ce cas, notons P le produit de tous les nombres premiers qui existe.
Tout nombre premier est un entier naturel strictement positif. Donc P est lui-même un entier naturel strictement positif.
Si X est un nombre naturel, X et X + 1 sont premier entre eux. Donc P+ 1 est un entier naturel, et P et P + 1 sont premier entre eux.
Par conséquent, P + 1 n'est multiple d'aucun nombre premier, vu que P est multiple de tous les nombres premiers. Or, le nombre un est l'unique entier naturel qui ne soit multiple d'aucun nombre premier.
Donc P + 1 = 1 . Donc P = 1 - 1 = 0 . Le fait que P soit égal à zéro contredis notre prémisse notre conclusion précédente selon laquelle P est un entier naturel strictement positif.
La contradiction entre deux conclusion marque la fausseté de la théorie que nous avons supposée vraie. Il est donc faux qu'il existe un nombre fini de nombres premiers.
Donc il existe une infinité de nombres premiers.
Euclide 😉
Au college le 2 n etait jamais pris, on faisait 1/3/5/7….
Ah non! Ou bien ton prof. se plantait, ce dont je peux douter raisonnablement ... ou bien là tu confonds sûrement avec les nombres impairs, ce qui est plus probable. Ce n'est bien sûr pas la même chose !
En maths on a des définitions précises. 2 a bien deux diviseurs, 1 et lui même (2). Donc 2 est premier, peu importe ce qu'on t'a dit ou ce que tu as compris.
Ça arrive que certains profs soient stupides mais c'est quand-même très improbable que ce soit à ce point là.
Tu confonds certainement avec les nombres impairs. Si c'est le cas j'imagine que tu dois nager en plein mystère sur ce genre de vidéos.
Si tu veux avoir une chance de t'en sortir commence par clarifier minutieusement les définitions de :
Nombre entier
Nombre entier relatif
Nombre pair
Nombre impair
Produit
Diviseur
Multiple
(Liste non exhaustive.)
C'est un minimum pour avoir la moindre chance de comprendre ce genre de vidéos.
Ce qui s'appelle commettre des impairs comme l'a bien vu l'ami martin prêcheur revenu au repêchage...
1 Q : 2 c'est les fesses non ? Je suis une bille en maths... J'apporte ce que je peux en terme de contribution !
Ils on inventé les QBITS aussi en informatique
Fesse que tu veux mais math moi ça
Je n'ai rien contre, à priori, le fait que tu contribues en apportant tes 'fesses' pour autant que tu appartiennes au beau sexe; ce qui n'est pas trivial au vu de ton pseudo ... Je reste donc réservé.
Cela étant un peu d'humour fait toujours du bien ! :-)
Excellent jeu de mot je suis plié de rire ! @@jeanmarcdelleci2639
Si ça vous a fait sourire, c'est déjà pas mal !@@fabrice9252
Un modèle de pédagogie !
Bonjour, pourquoi est-ce que le produit de nombres premiers ne donne pas un nombre premier ?
Parce qu'un nombre premier ne peut etre que le produit de 1 et lui même. Et 1 n'est pas premier...
Parce qu'il est divisible par d'autres nombres que 1 et lui-même.
Si x et y sont deux nombres entiers non nuls, alors x*y sera forcément divisible par x et par y.
Ici c'était un clin d'oeil de rechercher le "dernier" des "premiers" et donc comme une question mathématique n'est pas chrétienne, aucun premier ne peut finir dernier
Tout simplement parce que ce produit étant le produit de ces nombres premiers, il est trivialement divisible par chacun de ces nombres premiers dont il est le produit et comme un nombre premier n'est par définition divisible que par 1 et lui même, ce produit ne peut dès lors pas être un nombre premier !
@@fabrice9252 oui, c'est un produit qui n'a rien de stupéfiant bien sûr
Bonne nuit à tous, jésus avait peut-être tort : il n'y aura pas de dernier premier
Houla, grosse erreur, ce nombre c'est PAS toujours un nombre premier... il faut pousser un peu plus loin la démonstration !!!!
Celle d'Euclide me suffit...
Euclide...élucidé en anagramme
Et en etant logique les nombres 101 / 1001 / 10001... etc... n'étant pas divisible. Ce sont des nombres premiers.
Si c'est du binaire c'est faux, donc tu dois être précis dans ta terminologie ; ce sont avant tout d'abord des palindromes peu importe la base
@@jeanmarcdelleci2639???
@@aurelienfleury9441 ! ! !
@@jeanmarcdelleci2639ce que je voulais c'est que vous soyez explicite, car je suis un peu largué.
@@aurelienfleury9441 votre terminologie...ce sont tous forcément des nombres DIVISIBLES car tout nombre se terminant par 1 peut se diviser par 2 et avoir une partie décimale de 0,5
Il vous faut d'abord distinguer la divisibilité de la décomposition d'un nombre en math
Tout entier est décomposable en facteurs premiers et comme il y a une infinité d’entiers il y a une infinité de nombres premiers
Ce serait trop simple et ceci n'est guère satisfaisant sur le plan de la preuve mathématique. On pourrait imaginer par exemple qu'il ait une réitération des mêmes facteurs premiers dans la décomposition d'un entier et qu'il y ait donc bien un nombre fini de facteurs premiers ...
@@fabrice9252 c'est plutôt brillant dans le style d'une tentative désespérée de démontrer que l'on n'a pas besoin de démonstration pour trouver la solution
La démonstration que tout nombre entier est décomposable en produit de facteurs premiers résulte du fait qu'il y a une infinité de nombres premiers... On ne peut donc pas utiliser cet argument pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers....
Vous m'avez perdu !! 😊😊😊
T'as trouvé que t'étais perdu !
Toujours ce manque de précision regrettable. Car Euclide n’a JAMAIS prétendu qu’il « y a un nombre infini de nombres premiers ». Le concept d’infini n’avait pas de sens pour les Grecs. Et pour cause… Ce qu’EUCLIDE démontre en revanche, c’est « après un nombre premier, un autre ». Mais cela ne veut pas nécessairement dire qu’il y a un nombre « infini ». Sur le globe terrestre en effet, un voyageur peut dire « après un pas, un autre », bien que la circonférence du globe soit FINIE. En d’autre mots, Euclide est beaucoup,plus prudent et ne s’aventure pas dans des suppositions invérifiables. Il est factuel et dit simplement « après un nombre premier, un autre ». RIEN DE PLUS. Extrapoler à parler « d’infini » n’est pas forcément un « conséquence » de ce que dit et démontre Euclide.
Monsieur vous êtes dans ce short de Le Parisien 😅
ruclips.net/user/shorts9Ren7MTMHNo?si=utDLRg7xVnEcnfsk
Ah c’est rigolo, merci pour la pensée 😊
@@hedacademyc'est malin, maintenant on va dire que tu es macroniste 😅