和算に出てくる1458次方程式「1458」 - 明日話したくなる「数」のお話 #42

[@tsujimotter]

【訂正】コメントでご指摘いただきましたが、元々の問題の条件「丁^3 - 戊^3 = 362.1」は誤りでした。
正しくは「丁^3 - 戊^3 = 326.2」です。英字の変数を用いて表した式は「u^3 - v^3 = 326.2」が正しいです。
訂正させていただきます。

[@yonemitsu1777]

昨年発行された和算全集に解が載っていますが、解法の筋道は少ししか示してありません。
ただ解は甲=10.000005717・・・甲乙丙丁戊が示されていますが計算すると成り立ちます。この本に沢口は甲=10,乙=9,丙=8,丁=3乗根ルート451.2,戊=5,己=4と考えただろうと書いてありますが私もそう思います。

[@wigffds7374]

平面幾何の条件だから、ピタゴラスの定理と立方体の三乗をどうつなげるのかと思ってたら、まさかの簡単な式変形テクニックを駆使して、一つずつ消し去っていく発想が吹っ飛んでて感心しまくりです。
幾何の奥に隠された手順1を見抜いて、さらにそこから三乗化を繰り返すというつながらない世界をつなげた感じがすごい。これを四年で解いたのか関御大は、、

[@やまゆー-m3z]

力技感半端ないけど上手くやってる感も半端ない

[@takukidowo6914]

非常に面白い問題です。先生の挙げられた参照論文で数式処理においてグレブナー基底を利用した処理、また（図形的制約を排した）代数的な処理に関しても書かれており天元学の示唆的な問題だと思います。このような問題を提起、注目できる古来の数学者の慧眼には本当に驚かされます。

[@aiueokakikukeko211]

途中まで方程式を幾何的に表したのが四角形の図かと思って3乗差(体積？)がどこに対応するんだろうって考えてたけど方程式とは別の条件になってるのか
途中までは大変だけどそこからはスルスル進んで面白いですね

[@はーたいやき]

展開の暴力。当時は西洋数学のテク禁止の縛りがあったのか。
いつかこの改題が共通テスト数Ⅰで出題されるのでは？流石に縛り無しだと思うが。

[@strange189]

これって確かに題意を満たしてるけど、もっときれいな答えがあるんじゃないかと思ってしまう…

[@umituki1955]

甲がマイナスになった和算家もいただろうなあ

[@okim8807]

4:16まで完全に「ぽかーん」だった。
「３次1458次と連呼してるけれど、単にx^3が出てくるだけで本質的に3次式は存在していないではないか」と。しかも式が足りない。
4:16＞１．幾何学的な条件から、x、y、～の関係式を立てる
を読んで、初めて平面図形の四角形の辺・対角線による拘束があると気づいた。そう言えばそんな事を言ってたな、と。

[@akkyiofdolphin]

Step2引くほど感動した

[@tsujimotter]

Step2いいですよね！　嬉しい感想ありがとうございます！

[@kaihoutan]

maxima ３乗化できるかなと思ったけどできなかった。３乗化を手作業で教えてあげたらできた

[@kt57]

結局甲の長さはいくつなんですかね？

[@広河長綺]

「学ぶものの、まさに努むべきことである。」のところ、面白すぎて笑いました
自分も数学の問題解くときに使います！

[@himecha2790]

1458という数字が目に入ったときの私『あ、2×3^6だ！』

[@mat.h1729]

すげー

[@creeper-corporation]

ラマ…なんでもねえ、あいつは流石に違う

[@左仙要出典]

この問題は方程式を求めることだけど、関孝和は解を求めたのかな

[@indigotom8969]

こういう気が狂った問題に気が狂った解が求まる問題好き。
同じような感じで、look-and-say数列とかアルキメデスの牛の問題などの解説もいつか見てみたいです。

[@hamunami]

結局Xの解はいくつなのか？

[@YOU-ur8vo]

それで肝心な1458次方程式の近似的な解き方が分からない

[@user-river_mountain]

問題はxについての方程式を求めることだからこれで良くない？

[@徒歩-n9w]

1つ気になることが。
本文で与えられている条件のうち、右辺の係数にある坪は全て無視して考えておられますが、これは無視していいものなのでしょうか。
不動産の実務的にはほぼ無視できるレベルとしても、厳密にはメートル法との差異が存在する単位なので、厳密解を考える場合に影響あったりするのでは？と思ったり

[@tsujimotter]

質問ありがとうございます！
単位を無視すること自体は問題ありません。
もう少し簡単な問題でこんな問題を考えてみましょう。
「x:y:z = 3:4:5の直角三角形があり、x = 3m, y = 4mのときzの長さは？」
この問題z = 5mが答えですが、もしx, yの長さが3cm, 4cmであればzの長さは5cmになりますよね。
これと同様に動画の問題でも、「坪」を使えば答えは坪に対応する長さの単位で答えが出てきますし、代わりに「m^3」が単位だったとするとxの長さがmで出てきます。

[@KnoxVoks]

このコメントで知ったのですが、尺貫法・メートル法の換算は “概ね” 近似できるものなのですね
恥ずかしながら、初めて知った次第です。

[@xg2164]

3乗化があるなら4乗化もあるんだろうか...

[@katakata-c6b]

出てくる数字がことごとくイカレてますね。ｗ

[@wesleydeng71]

10^3 - 9^3 = 271, 9^3 - 8^3 = 217, 5^3 - 4^3 = 61. 残りはu、約.7.67か。🤣

[@m_kashi]

第4式の右辺の362.1、文献を見ると326.2のようですが、ここを変えた理由はなんでしょうか？

[@tsujimotter]

ご指摘ありがとうございます。大変残念ながら、私の誤植で正しくは326.2です。（別途参照していた別の記事 hyonemitsu.web.fc2.com/Hatsubisanpo.pdf の記述に引っ張られてしまっていたようです。）

[@m_kashi]

@@tsujimotter なるほど、単純な誤記でしたか。ありがとうございました。

[@大学院生A]

その1458個の解のうち幾何学的に意味のある、つまり、xyzuvwが全部正でかつ三角不等式を満たす解（三角不等式は自動的に満たされるかな）はいくつだろうか
あと、坪って面積の単位…(和算家の方に言うべき文句ですが)

[@tsujimotter]

コメントありがとうございます。
「坪」の件、私も気になって調べてみたのですが、尺貫法における体積の単位に「立坪（りゅうつぼ）」というものがあり、単にこれを「坪」ということもあるようです。3乗のオーダーなので、体積の単位が出てくることは自然ですね。

[@大学院生A]

@@tsujimotter
なるほどです。坪に体積の単位もあったんですね。勉強になりました。ありがとうございます！

[@KnoxVoks]

解の個数については「適当な」ものが唯一定まるようで、あとは負数含む7組と虚数含む1450組が 一応求まるらしいです

[@マリーレギー]

大学数学の解説書でも巻末の解答がこういう感じで概略みたいでお粗末ですよね～

[@mrk.riv.5466]

1+4+5+8=18 18×81=1458

[@MKちゃん]

綺麗🙄

[@louisneues6262]

それで解は？(爆)

[@tsujimotter]

それは確かに気になるところですが、数値的には
　x = 10.000005717
なる解があるそうです。
数式処理システムを用いて方程式を立式して、数値計算によって数値解を求める研究がこちらにありました：
・古今算法記遺題の数値解について - RIMS, Kyoto University
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1568-14.pdf

[@72hf83]

最初の5式を全部足せば
x^3-w^3=971.9
になってもう少し計算が楽になるような気がする…

[@tsujimotter]

コメントありがとうございます。
実は x^3-w^3=971.9 を使っても問題は簡単にはなりません。
というのも、この式ではwを消去できますが、x, y, z, u, vの5変数が残ってしまうからです。結局、他の式を使って順に変数を減らす必要があります（その都度次数が上がります）。
結局、１つの式に対して１つの変数を減らすことしかできないというわけです。

[@cleaning9660]

関にしてみたらちゃんとした解法書いてもどうせほとんどの人が理解できないだろうから最初は抽象的な書き方にとどめたんだろうな