ABC - прямоугольный тр-к, на катете AC построена полуокружность, которая проходит через т. C, вторично пересекает катет AC в т. M и касается гипотенузы в т. K. Найти S(ABC), если AM=1, KB=3.
Шикарная задача. Мне такое надо смотреть днём, в два часа ночи я уже спать хочу. С сентября буду задавать ученикам такие задачи. Что-то подобное я решала, когда ещё в школе училась. Во образование было, на уроках решали, не на олимпиадах.
Сейчас "олимпиадой" называют то, что в наше время было обычной контрольной работой. А ну не реши! А олимпиада - по желанию, но и опыт и почёт. Извращенцы. "O tempora, o more!"
Я вот решал, проводя из верхней точки треугольника отрезок к центру полукруга, получил 2 равных по гипотенузе и катету треугольника, так что меньший катет треугольника АВС равен 3, затем принял радиус за букву r, ту сторону, которая у Вас обозначена за Х из теоремы Пифагора вывел как корень из 1+2r, затем составил уравнение площадей: (r*корень из 1+2r)/2 + 2*3r/2 = 3(1+2r)/2. Получилось кубическое уравнение r^2+2r^3=9. Мы еще не изучали такие уравнения, так что воспользовался алгебраическим калькулятором. Есть ответ r = 1.5, остальные мнимые, так как при решении уравнений с нечетной степенью могут извлекаться корни из отрицательных чисел, так что ответ r = 1.5 правильный по смыслу задачи, и тогда площадь АВС будет равна (1+(1.5*2))/2 = 6 кв ед.
Задача решается устно, чисто геометрически, практически в одно действие. Обозначения: тр-к АВС, МС - диаметр полуокружности, точка О - середина диаметра, D - точка касания на АВ. Решение (конспективно). 1. Достраиваем полуокружность до полной окружности. Доказываем полноценность касательной ВС. 2. Касательные ВD и ВС равны; ВС=3. 3. Соединяем точки В и М отрезком прямой. 4. Вычисляем угол МВС: (180°-- 90°)/2=45°; угол С=90°; угол СМВ=45°. Отсюда, МС = ВС = 3. 5. S(ABC) = (3+1)×3/2=6. Геометрия - это полет мысли, творчество, сила ума. Алгебра... тоже хорошо. Поздравляю Вас и всех форумчан с приближающимся Рождеством Николая Чудотворца
Как ни решай, получим кубические уравнения. Решаются все хитроЖ...ПО (пусть неизвестен радиус): очевидно решение 1.5. Подгоняем, заменив r на Х- 1.5. преобразуем, получим Х х F(Х) =0. F(Х) не имеет дейст. решений. Х = 0, т.е. r=1.5.
1. x^2=(2r+1)*1 - первое уравнение. 2. Поскольку ВО биссектриса, то 3/r = (3+x)/(1+r) - второе. 3. Решая первое и второе, приходим к 2r^3 = 9 - r^2 4. При r больше 0 левая ф-ция возрастёт, а правая убывает, поэтому решение только одно (на промежутке от нуля до трёх). Если на бумаге в клетку начертить графики, то где-то на середине между 0 и 3 графики пересекаются. Подстановка в ур-е значения 3/2 подтверждает догадку и выводит на ответ: площадь тр-ка 6 КВ. ед.
Меньший катет = 3 (гипотенуза до точки касания окружности) Классический 3 4 5 Площадь тругольника 6. Площадь полукруга 7.75/2 = 3.875 Остаток 2.125 Решение 1 мин устно Что такое "S" я не в курсе. Но: 3÷4 = r÷2 = 1.5 что мы уже знаем. Площадь меньшего теугольника .5(2×1.5) = .5(3) = 1.5 = .25 большого треугольника И даже так: так как треугольники подобные, то: Площадь малого треугольника = .25 большого поскольку 3÷r = 4÷x = 2
Проводим с вершины В биссектрису ВО , углы АВО = ОВС = а , tga=OC/BC=3/r , tg2a=AC/BC=(1+2r)/3 tg2a=2tga/1-tg*2a=(2r/3)/(1-r*2/3*2)=6r/(9-r*2) , (1+2r)|3=6r/(9-r*2) после преобразования - 2r*3+r*2-9=0 , раскладываем на множители : 2r*2(r-3/2)+4r(r-3/2)+6(r-3/2)=0 , (r-3/2)(2r*2+4r+6)=0 , r-3/2=0 , r=3/2 , сокращаем второй множитель на 2 - r*2+2r+3=0 - второй множитель положительных корней не имеет . АС=1+2r=1+2x3/2=4 , S=(ACxBC)/2=4x3/2=6
По поводу "доказательства" египетского тр-ка. Это не доказательство, а показательство. Да, у "египтянина" выполняется и 3 и 1, но теперь надо доказать, что (Валерий, Вы неправы, египетский очевидно совпадает с заданным ), кроме "египетского" не существует других треугольников с данными свойствами, и тут-то мы вынужденно вернёмся к алгебре.
Значит моё предположение оказалось верным. Хотя я не знаю имеется ли доказательство для него. Я дорисовала снизу такой же треугольник с полукругом, получился полный круг, на нижней гепттерузе такой же отрезок Х. Не знаю почему, но я решила, что расстояние от угла до пересечения окружности с биссектрисой в два раза меньше расстояния от угла до касания окружности с боковыми сторонами. Х : 2 = 1 значит Х = 2 Верный это ответ лили нет, я не знала, но у вас в результате вычислений тоже пооучается Х = 2.
Ну влоб же решается! АК=х, АС=х^2, ВС=3. По пифагоре неполное кубическое. По Безу х=2. Других положительных нет. Треугольник египетский. Ответ:6 Чоли фенечку какую поискать?
@@GeometriaValeriyKazakov Два Зависимость R от Х я записывал через теорему о касательной и хорде, а корень находил не группировкой ( поскольку это жульничество) а по Безу
Первое уравнение, как у Автора, 2R=a^2-1, из того же ∆ у левого угла. Только у меня (Отрезок гипотенузы)=a Второе уравнение - из 2-х вариантов площади всего ∆: S(∆)=(1+2R)*3/2, это катеты, и S(∆)=2*(3*R/2)+R*a/2, это сумма площадей составляющих ∆∆∆. Или 6R+3=6R+Ra, откуда 2R*a=6 (2R) подставим из первого уравнения, и: (a^2-1)*a=6, или a^3-a-6=0, a1=2. Бесхитростно делим "в столбик" на (a-2), и уравнение для a(2,3): a^2+2a+3=0, a(2,3)=-1±i*sqrt(2), их не берём. R*a=3 (2ур.) => R=3/2, Произведение катетов: S(∆)=(1+2*3/2)*3/2=6. Это Ответ.
Слишком много алгебры в геометрической задаче, добавим геометрии. Получили уравнениe x^3-x-6=0 c очевидным корнем 2. Надо доказать, что других положительных корней нет. Ну ок - одна фигура ограничена положительной полуосью ординат и положительной ветвью кубической параболы y=x^3. Эта фигура выпуклая. Ее пересекает прямая y = x+6, в двух точках, (0;6) и (2;8). Но пересечение границы выпуклой фигуры и прямой не может содержать больше двух точек [пусть их больше, возьмем крайние - тогда весь интервал с границами в крайних точках лежит строго внутри фигуры из-за выпуклости и третьей точки быть не может] - значит больше положительных корней нет. То, что фигура не строго выпуклая, имеет прямую границу - роли не играет, так как прямые x=0 и y=x+6 очевидно различны и более одной точки пересечения иметь не могут. Наверно это менее практично, чем теорема Безу, но за эстетику можно и переплатить.
Шикарная задача. Мне такое надо смотреть днём, в два часа ночи я уже спать хочу. С сентября буду задавать ученикам такие задачи. Что-то подобное я решала, когда ещё в школе училась. Во образование было, на уроках решали, не на олимпиадах.
Сейчас "олимпиадой" называют то, что в наше время было обычной контрольной работой. А ну не реши! А олимпиада - по желанию, но и опыт и почёт.
Извращенцы. "O tempora, o more!"
@@Alexander-Ufa Это точно. Вошел в интернет и списал. Когда я даю задачи, где нужен ум, то получаюсь виноватой.
Я вот решал, проводя из верхней точки треугольника отрезок к центру полукруга, получил 2 равных по гипотенузе и катету треугольника, так что меньший катет треугольника АВС равен 3, затем принял радиус за букву r, ту сторону, которая у Вас обозначена за Х из теоремы Пифагора вывел как корень из 1+2r, затем составил уравнение площадей: (r*корень из 1+2r)/2 + 2*3r/2 = 3(1+2r)/2. Получилось кубическое уравнение r^2+2r^3=9. Мы еще не изучали такие уравнения, так что воспользовался алгебраическим калькулятором. Есть ответ r = 1.5, остальные мнимые, так как при решении уравнений с нечетной степенью могут извлекаться корни из отрицательных чисел, так что ответ r = 1.5 правильный по смыслу задачи, и тогда площадь АВС будет равна (1+(1.5*2))/2 = 6 кв ед.
Отлично.
Задача решается устно, чисто геометрически, практически в одно действие. Обозначения: тр-к АВС, МС - диаметр полуокружности, точка О - середина диаметра, D - точка касания на АВ. Решение (конспективно). 1. Достраиваем полуокружность до полной окружности. Доказываем полноценность касательной ВС. 2. Касательные ВD и ВС равны; ВС=3. 3. Соединяем точки В и М отрезком прямой. 4. Вычисляем угол МВС: (180°-- 90°)/2=45°; угол С=90°; угол СМВ=45°. Отсюда, МС = ВС = 3. 5. S(ABC) = (3+1)×3/2=6. Геометрия - это полет мысли, творчество, сила ума. Алгебра... тоже хорошо. Поздравляю Вас и всех форумчан с приближающимся Рождеством Николая Чудотворца
А откуда такая уверенность, что угол МВС вычисляется так, - Вам чудотворец подсказал?
я составил уравнение, но оно было сложным, мне помог онлайн калькулятор решить. радиус 1,5 площадь 6
Как ни решай, получим кубические уравнения. Решаются все хитроЖ...ПО (пусть неизвестен радиус): очевидно решение 1.5. Подгоняем, заменив r на Х- 1.5. преобразуем, получим Х х F(Х) =0. F(Х) не имеет дейст. решений. Х = 0, т.е. r=1.5.
Обратная задача, как гипотеза помогает найти решение.
Иногда да. Но не в этом случае. Возьмем не 1 и 3, а 1 и 4. И что?
@@natashok4346 noy comment
1. x^2=(2r+1)*1 - первое уравнение.
2. Поскольку ВО биссектриса, то 3/r = (3+x)/(1+r) - второе.
3. Решая первое и второе, приходим к 2r^3 = 9 - r^2
4. При r больше 0 левая ф-ция возрастёт, а правая убывает, поэтому решение только одно (на промежутке от нуля до трёх). Если на бумаге в клетку начертить графики, то где-то на середине между 0 и 3 графики пересекаются. Подстановка в ур-е значения 3/2 подтверждает догадку и выводит на ответ: площадь тр-ка 6 КВ. ед.
Обошлось без 4-й степени. Система хR = 3 и х² = 1 + 2R сразу дала х³ - х - 6 = 0. Египет!
Подробнее пока некогда. Посмотрю позже.
Меньший катет = 3 (гипотенуза до точки касания окружности)
Классический 3 4 5
Площадь тругольника 6.
Площадь полукруга 7.75/2 = 3.875
Остаток 2.125
Решение 1 мин устно
Что такое "S" я не в курсе.
Но:
3÷4 = r÷2 = 1.5 что мы уже знаем.
Площадь меньшего теугольника .5(2×1.5) = .5(3) = 1.5 = .25 большого треугольника
И даже так: так как треугольники подобные, то:
Площадь малого треугольника = .25 большого поскольку 3÷r = 4÷x = 2
Советую досмотреть ролик ДО КОНЦА. У вас 0 баллов. ВЫ решили обратную задачу.
Зафиксируем AM и рассмотрим зависимость BC от радиуса. sin(
Тут, да! Полный.
Проводим с вершины В биссектрису ВО , углы АВО = ОВС = а , tga=OC/BC=3/r , tg2a=AC/BC=(1+2r)/3 tg2a=2tga/1-tg*2a=(2r/3)/(1-r*2/3*2)=6r/(9-r*2) , (1+2r)|3=6r/(9-r*2) после преобразования - 2r*3+r*2-9=0 , раскладываем на множители : 2r*2(r-3/2)+4r(r-3/2)+6(r-3/2)=0 , (r-3/2)(2r*2+4r+6)=0 , r-3/2=0 , r=3/2 , сокращаем второй множитель на 2 - r*2+2r+3=0 - второй множитель положительных корней не имеет . АС=1+2r=1+2x3/2=4 , S=(ACxBC)/2=4x3/2=6
Отлично.
По поводу "доказательства" египетского тр-ка. Это не доказательство, а показательство. Да, у "египтянина" выполняется и 3 и 1, но теперь надо доказать, что (Валерий, Вы неправы, египетский очевидно совпадает с заданным ), кроме "египетского" не существует других треугольников с данными свойствами, и тут-то мы вынужденно вернёмся к алгебре.
Подобие и никаких кубических тогда не потребуется r:3=(1+r):(x+3).
х по теореме Пифагора. Получим что r=1,5.
Понадобиться. Составьте теорему Пифагора и решение системы даст кубическое.
Задачи про полуокружности в треугольнике особо сложные и решаются через уравнения высших порядков. На канале их несколько.
У меня от них ступор.
СпАкойнА! Пройдет.
Значит моё предположение оказалось верным. Хотя я не знаю имеется ли доказательство для него.
Я дорисовала снизу такой же треугольник с полукругом, получился полный круг, на нижней гепттерузе такой же отрезок Х. Не знаю почему, но я решила, что расстояние от угла до пересечения окружности с биссектрисой в два раза меньше расстояния от угла до касания окружности с боковыми сторонами.
Х : 2 = 1 значит Х = 2
Верный это ответ лили нет, я не знала, но у вас в результате вычислений тоже пооучается Х = 2.
Спасибо. ВСе решения сводятся к кубическому уравнению.
Ну влоб же решается!
АК=х, АС=х^2, ВС=3. По пифагоре неполное кубическое. По Безу х=2. Других положительных нет. Треугольник египетский.
Ответ:6
Чоли фенечку какую поискать?
Мы так и решили.
Найдите 10 отличий.
@@GeometriaValeriyKazakov
Два
Зависимость R от Х я записывал через теорему о касательной и хорде, а корень находил не группировкой ( поскольку это жульничество) а по Безу
Первое уравнение, как у Автора, 2R=a^2-1, из того же ∆ у левого угла. Только у меня (Отрезок гипотенузы)=a
Второе уравнение - из 2-х вариантов площади всего ∆:
S(∆)=(1+2R)*3/2, это катеты,
и S(∆)=2*(3*R/2)+R*a/2, это сумма площадей составляющих ∆∆∆.
Или 6R+3=6R+Ra, откуда 2R*a=6
(2R) подставим из первого уравнения, и: (a^2-1)*a=6, или a^3-a-6=0, a1=2.
Бесхитростно делим "в столбик" на (a-2), и уравнение для a(2,3):
a^2+2a+3=0, a(2,3)=-1±i*sqrt(2), их не берём. R*a=3 (2ур.) => R=3/2,
Произведение катетов:
S(∆)=(1+2*3/2)*3/2=6. Это Ответ.
Отлично.
Пожалуйста покажите секретную формулу s=xy
Извините, уточните, о чем речь.
Слишком много алгебры в геометрической задаче, добавим геометрии.
Получили уравнениe x^3-x-6=0 c очевидным корнем 2. Надо доказать, что других положительных корней нет.
Ну ок - одна фигура ограничена положительной полуосью ординат и положительной ветвью кубической параболы y=x^3. Эта фигура выпуклая.
Ее пересекает прямая y = x+6, в двух точках, (0;6) и (2;8). Но пересечение границы выпуклой фигуры и прямой не может содержать больше двух точек [пусть их больше, возьмем крайние - тогда весь интервал с границами в крайних точках лежит строго внутри фигуры из-за выпуклости и третьей точки быть не может] - значит больше положительных корней нет. То, что фигура не строго выпуклая, имеет прямую границу - роли не играет, так как прямые x=0 и y=x+6 очевидно различны и более одной точки пересечения иметь не могут.
Наверно это менее практично, чем теорема Безу, но за эстетику можно и переплатить.
Где же здесь эстетика? Всё гораздо проще. Функция у = х³ - х имеет , очевидно, только одну точку пересечения с у = 6.
Тривиальный факт можно доказать миллионом разных способов.
А где эстетика - каждый выбирает по своему вкусу.
@@ald6980
Самое короткое доказательство в мире, что х^2+2*х+3=0 не имеет рациональных корней.