Благодарю. Я решил достройкой симметричного треугольника и формулой полупроизведения сторон на синус 30 град. Потом всё это разделил пополам. ДЗ легко решить методом Никиты: высоту тругольника легко вычислить. Она выходит в 4 раза меньше гипотенузы.Значит угол альфа= 15 град.
Достраиваем к этому треугольнику такой же, чтобы было 2 стороны по 8 и угол между ними 30°. Учитывая, что площадь этого треугольника в 2 раза больше заданного то площадь треугольника АВС будет равна 8*8*sin30°/4= 8.
Если решать с помощью тригонометрии, то вообще ничего не надо достраивать. Находим один катет, это 8*sin15, второй - 8*cos15. Площадь треугольника - половина произведения его катетов. Перемножаем, преобразовываем, там получается синус двойного угла, получаем 8.
Вот я допустим, тригонометрию не знаю ( всамделе), но где-то слышал о катете о 30 градусах. Строю треуг. -- равнобедренный с углом при вершине 30 градусов и боковушками по 8 (удвоенный заданный). Провожу высоту из основательной вершины. Она равна 4. Откуда площадь нового треугольника = 16, а заданного =8 Ответ:8
'Свет мой, зеркальце..." (С) Вместе с зеркальным отражением снизу получим основание 8, красивый угол 30, высоту 4. Умножаем 4 на 8 и дважды делим на 2. 8.
BC/AB = sin 15 (Здесь и далее все значение угла в градусах, разумеется) AC/AB = cos 15.Площадь S (ABC) = AC*BC/ 2 = AB*sin 15 AB* cos 15 /2 = AB^2 *1/2 sin 30 * 1/2 = 64 *1/2*1/2*1/2 = 8 (используется формула синуса двойного угла)
метод - почесать левой рукой правое ухо - (значки для комментов 4²15°√4⊥∠45⁰ ½∠▲²∆ α β γ) - допустим, у нас нет под рукой таблиц синусов-тангенсов. Зеркалим ▲АВС по АС, получаем ▲АВВ1 с ∠30⁰. Из т.В опускаем на АВ1 высоту в т. М. ∠В1ВМ = 15⁰ как образованный взаимо перпендикулярами ВС и СА к ВМ и МА. Зеркалим и левый ▲ВВ1М относительно ВМ, получив аналогично большому т. М1. Итак мы имеем удвоенный искомому▲ВВ1А, в котором часть - ▲ВМА ищем по Пифагору, т.к при суммарном ∠А = 30⁰ высота ВМ = ½ВА = 4, а вторая часть, ▲ВМВ1 ищется как половина ▲ВВ1М1 с ∠при вершине = 30⁰ и высотой = 4. Тоже по Пифагору. Сложив, вычев и разделив пифагоровы горы вычислений, находим S▲АВС
Проводим медиану с точки С прямого угла. Получаем два равновеликих равнобедренных треугольника. Углы в них найти несложно: в одном 15:15:150, а в другом 30:75:75. Несложно найти и боковые стороны в них: они все равны 4. Находим по формуле S=1/2*a*b*sinC площадь треугольника с углом 30 градусов. S=1/2*4*4*sin30°=4. Площадь всего представленного треугольника в 2 раза больше: S∆ABC=4*2=8
В прямоуг. тр-ке с углами 15 и 75 высота к гипотенузе всегда вчетверо меньше гипотенузы, значит она равна 2. Площадь тогда равна (2*8)/2=8. Я, кстати, искренне не понимаю, почему этот и в самом деле крайне полезный (и ведь довольно очевидный же!!!!) факт не обнародуют в школе...
Прекрасная в своей простоте задача.Все способы решения хороши.Для себя я выбрал бы триго,но триго не годится для 8 класса.Так что придется идти вместе с удивительно красивой девочкой Катей.
Было? Достроить до равнобедренного. Площадь искомая равна половине площади равнобедренного. S=(1/2)*(1/2)*8*8*sin(30°)=8*8/2/2/2=8*8/8=8 Вроде самое простое, в уме.
@@dmirtydimitryk1915 я тоже. Кстати, можно использовать формулу через сторону и синусы трёх углов, но это просто использовать калькулятор- кто теперь помнит значение синуса 15 или выводит его ?
Для ученкиа 7 класса - это олимпиадная. И она давалась на ФПМ в апреле 20... года. Жаль, вас не было тогда в 7 классе. вы бы сразу поняли. Олимпиадные - те которые не подходят под известный алгоритм нахождения площади. Треубут дополнилльного потсроения. @@dmirtydimitryk1915
ДЗ: S тр. = ha/2 = 1. а = √8 значит 1 = h√8/2 значит h = 2/√8 =1/√2. Из разобранной задачи мы уже знаем, что высота прямоугольного треугольника с углом 15 градусов равна 1/4 гипотенузы. h/a = 1/√2√8 = 1/4. Угол α = 15 градусов. Задача решена! Ну и можно построения с медианой произвести и более подробно расписать)
ДЗ в решении смешанный метод алгебры и тригоноиетрии с геометрией... Найдем сторону квадрата- это гипотинуза в рассматриваемом треугольнике. Затем обозначаем катеты через х и у и выразим площадь треугольника 1/2ху=1. Откуда ху=2. Теперь выразим синус и косинус искомого угла альфа. Перемножим эти два равенства левую на левую а правую на правую сторону в равенствах. Получим ху/8 = синусальфа×косинус альфа. Тогда ху=4×синус2альфа=2. И получаем синус2альфа=1/2, следовательно 2×альфа=30°. И искомый угол альфа =15°
Сначала, как всегда, решаю до просмотра. Имеем: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. один катет это гипотенуза умножить на синус угла, другой- гипотенуза на косинус. Имеем: половина от квадрата гипотенузы на синус и на косинус угла. Вспоминаем тригонометрию: 2*синус*косинус= синус двойного угла. Теперь площадь = четверть квадрата гипотенузы на синус 30 градусов, или (синус 30 есть 1/2) - восьмая часть квадрата гипотенузы Результат: одна восьмая от восемью восемь , или восемь. Теперь смотрю ролик.... Да, геометричекие методы красивы.
![Felix "Unfair" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/Oswujxm2Ag0/mqdefault.jpg)
Спасибо за разные способы решения.
Очень понравились все способы. Особенно красиво для школьников, которые ещё не знакомы с тригонометрией.
Согласен.
Благодарю. Я решил достройкой симметричного треугольника и формулой полупроизведения сторон на синус 30 град. Потом всё это разделил пополам.
ДЗ легко решить методом Никиты: высоту тругольника легко вычислить. Она выходит в 4 раза меньше гипотенузы.Значит угол альфа= 15 град.
Здорово!
У Никиты - самый геометричный способ!
Абсолютно согласен.
Самый красивый 3-ий способ.
Согласен.
Задача решается устно!!
Интересны и второй ,и третий способы. Спасибо!
Согласен.
Достраиваем к этому треугольнику такой же, чтобы было 2 стороны по 8 и угол между ними 30°. Учитывая, что площадь этого треугольника в 2 раза больше заданного то площадь треугольника АВС будет равна 8*8*sin30°/4= 8.
Все методы хороши. Первый более универсальный, он хорошо подходит для решения дз. Ответ те же самые 15 градусов, если в арифметике не напутал.
Согласен.
Если решать с помощью тригонометрии, то вообще ничего не надо достраивать. Находим один катет, это 8*sin15, второй - 8*cos15. Площадь треугольника - половина произведения его катетов. Перемножаем, преобразовываем, там получается синус двойного угла, получаем 8.
Спасибо.
Вот я допустим, тригонометрию не знаю ( всамделе), но где-то слышал о катете о 30 градусах. Строю треуг. -- равнобедренный с углом при вершине 30 градусов и боковушками по 8 (удвоенный заданный). Провожу высоту из основательной вершины. Она равна 4. Откуда площадь нового треугольника = 16, а заданного =8
Ответ:8
Да, вы совпали со способом 2. Позд.
можно во втором способе использовать S=0.5*a*b*sin 30 и результат поделить на 2
Да, конечно!
Так же
@@galinaberlinova3896
добавляем зеркальный прямоугольник, из угла 75 градусов опускаем высоту, она равна 4, площадь двойного 4х8/2=16, нашего половина, т. е. 8
Спасибо.
'Свет мой, зеркальце..." (С)
Вместе с зеркальным отражением снизу получим основание 8, красивый угол 30, высоту 4. Умножаем 4 на 8 и дважды делим на 2. 8.
Спасибо.
BC/AB = sin 15 (Здесь и далее все значение угла в градусах, разумеется) AC/AB = cos 15.Площадь S (ABC) = AC*BC/ 2 = AB*sin 15 AB* cos 15 /2 = AB^2 *1/2 sin 30 * 1/2 = 64 *1/2*1/2*1/2 = 8 (используется формула синуса двойного угла)
Спасибо.
Из 4х треугольников сделать ромб, а дальше 8*8*sin30=32 и поделить на 4
ОТлично!
Мне все нравится,кроме тригонометрии.
метод - почесать левой рукой правое ухо - (значки для комментов 4²15°√4⊥∠45⁰ ½∠▲²∆ α β γ) - допустим, у нас нет под рукой таблиц синусов-тангенсов. Зеркалим ▲АВС по АС, получаем ▲АВВ1 с ∠30⁰. Из т.В опускаем на АВ1 высоту в т. М. ∠В1ВМ = 15⁰ как образованный взаимо перпендикулярами ВС и СА к ВМ и МА. Зеркалим и левый ▲ВВ1М относительно ВМ, получив аналогично большому т. М1. Итак мы имеем удвоенный искомому▲ВВ1А, в котором часть - ▲ВМА ищем по Пифагору, т.к при суммарном ∠А = 30⁰ высота ВМ = ½ВА = 4, а вторая часть, ▲ВМВ1 ищется как половина ▲ВВ1М1 с ∠при вершине = 30⁰ и высотой = 4. Тоже по Пифагору. Сложив, вычев и разделив пифагоровы горы вычислений, находим S▲АВС
Проводим медиану с точки С прямого угла. Получаем два равновеликих равнобедренных треугольника. Углы в них найти несложно: в одном 15:15:150, а в другом 30:75:75. Несложно найти и боковые стороны в них: они все равны 4.
Находим по формуле S=1/2*a*b*sinC площадь треугольника с углом 30 градусов. S=1/2*4*4*sin30°=4.
Площадь всего представленного треугольника в 2 раза больше: S∆ABC=4*2=8
Спасибо. А вы за какой метод?
@@GeometriaValeriyKazakovМетод Кати самый простой и быстрый, на мой взгляд.
Спасибо. Мне тоже нравится. Он - геометрический.@@P.S.Q.88
@@GeometriaValeriyKazakov 🙏
@@P.S.Q.88
Супер
Ну, спасибо!
Первый способ отличный
Отразить относительно длинного катета, получив 30 градусов и высоту двойного треугольника.
Спасибо. Вы за какой метод?
№2@@GeometriaValeriyKazakov
За видео. Все способы хорошие, но голосую за Никиту.
Интересно а 5-6 класс бы решил такое?
Оимпиадники решили бы. У Спивака (МГУ)
Теорема синусов, я всегда ей пользовался и во время института.
Спасибо. Теорема косинусов.
Sin15º=BC/AB; Cos15º=CA/AB; BC=AB*Sin15º; CA=AB*Cos15º; Площадь прямоугольного треугольника ABC= (BC*CA)/2=(8*Sin 15º)*(8*Cos 15º)/2= 32*Sin 2*15º/2= (32*(1/2))/2=32/4=8 единиц ^2; приложение к решению: используемые формулы :Sin(2x)=2*Sin(x)*Cos(x); Sin(30º)=1/2
Спасибо.
15 градусов. Корень из 8 сторона квадрата и гипотенуза ВКС. S= 1/2 * 8cos&sin&=4cos&sin&= 2sin2&=1. Значит sin2&=1/2, 2&=30, &=15.
Согласен.
В первом методе катет "а" не нужно искать. Достаточно катета "в". есть две стороны и угол между ними. Дальше понятно. это более рационально.
Согласен.
Почему обозначения углов против часовой стрелке? Отлично, что у прямого С ,.
Спасибо.
Описать окружность, из радиусов угол 30°, (по свойству.) Дальше как в 3 способе
Да, с окружостью отлично!
В прямоуг. тр-ке с углами 15 и 75 высота к гипотенузе всегда вчетверо меньше гипотенузы, значит она равна 2. Площадь тогда равна (2*8)/2=8. Я, кстати, искренне не понимаю, почему этот и в самом деле крайне полезный (и ведь довольно очевидный же!!!!) факт не обнародуют в школе...
Отлично. Таких мелких свйоств очень много. У Киселева он был.
У таких треугольников площадь всегда равна гипотенузе?
Не, если взять 4, то уже нет.
Прекрасная в своей простоте задача.Все способы решения хороши.Для себя я выбрал бы триго,но триго не годится для 8 класса.Так что придется идти вместе с удивительно красивой девочкой Катей.
Передам привет!
Было?
Достроить до равнобедренного. Площадь искомая равна половине площади равнобедренного. S=(1/2)*(1/2)*8*8*sin(30°)=8*8/2/2/2=8*8/8=8
Вроде самое простое, в уме.
Отлично!
Вариант задачи-близнеца: Прям. треугольник, угол А =15 градусов. Известна разность катетов (в-а). Найти площадь тр-ка. (Ответ: 0.25 (......)**2 )
Согласен!
Пифагор и теорема о биссектрисе- долго.
Этот треугольник - половина равнобедренного с углом при вершине 30 , делим его площадь 8×8×sin30÷2 пополам. 8.
Отлично!
Как бы да - очевидное решение. Я не не понял что в этой задаче олимпийское?
@@dmirtydimitryk1915 я тоже. Кстати, можно использовать формулу через сторону и синусы трёх углов, но это просто использовать калькулятор- кто теперь помнит значение синуса 15 или выводит его ?
Для ученкиа 7 класса - это олимпиадная. И она давалась на ФПМ в апреле 20... года. Жаль, вас не было тогда в 7 классе. вы бы сразу поняли. Олимпиадные - те которые не подходят под известный алгоритм нахождения площади. Треубут дополнилльного потсроения. @@dmirtydimitryk1915
ДЗ: S тр. = ha/2 = 1. а = √8 значит 1 = h√8/2 значит h = 2/√8 =1/√2. Из разобранной задачи мы уже знаем, что высота прямоугольного треугольника с углом 15 градусов равна 1/4 гипотенузы. h/a = 1/√2√8 = 1/4. Угол α = 15 градусов. Задача решена! Ну и можно построения с медианой произвести и более подробно расписать)
Отлично!
Я решил способом семиклассника в 9 классе, кайф
Супер!
Я начал, как Катя. Получил 3к с 30 градусами
Отлично!
ДЗ в решении смешанный метод алгебры и тригоноиетрии с геометрией...
Найдем сторону квадрата- это гипотинуза в рассматриваемом треугольнике. Затем обозначаем катеты через х и у и выразим площадь треугольника 1/2ху=1. Откуда ху=2.
Теперь выразим синус и косинус искомого угла альфа. Перемножим эти два равенства левую на левую а правую на правую сторону в равенствах. Получим ху/8 = синусальфа×косинус
альфа. Тогда ху=4×синус2альфа=2.
И получаем синус2альфа=1/2, следовательно 2×альфа=30°. И искомый угол альфа =15°
Отлично. Спасибо.
@@GeometriaValeriyKazakov 👌👍
Голосую за первый способ.
Спасибо. Отлично.
Задача устеая
Спасибо. А задача китайский 8-классников какая - письменная? Нужно отметить. Пропускаете
1 и 3 метод
Спасибо. Я тоже! Никаких отражений. Все по-честному!
Сначала, как всегда, решаю до просмотра. Имеем: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. один катет это гипотенуза умножить на синус угла, другой- гипотенуза на косинус. Имеем: половина от квадрата гипотенузы на синус и на косинус угла. Вспоминаем тригонометрию: 2*синус*косинус= синус двойного угла. Теперь площадь = четверть квадрата гипотенузы на синус 30 градусов, или (синус 30 есть 1/2) - восьмая часть квадрата гипотенузы Результат: одна восьмая от восемью восемь , или восемь.
Теперь смотрю ролик....
Да, геометричекие методы красивы.
Только что хотел это написать.
Ну, вот мы мыслим абсолютно одинаково!
Второй метод.
Согласен!