Ну, что мы не понимаем, это задачка полезная! Возьмём египетский треугольник с Гипотенузой Г=5. В нём вписана окружность с Rадиусом R=1. Поставим N окружностей, тогда Гипотенуза увеличится и будет Г2=Г+2*(N-1). Полученный треугольник подобен данному с коеффициентом подобия k=5/(5+2(N-1)); Значит в нашем случае r=R*5/7=5/7; Цыганятам нравица!
Спасибочки за интересную задачку. Жаль, что материалов канала недостаточно для подготовки к различного рода испытаниям по математике в школе. А времени в сутках в обрез.
*Д.З.* Вполне достаточно подобия треугольников РВК, АМК и АВС, нет необходимости акцентировать внимание на равенстве первых двух. Пусть: РВ = с∙к₂, АМ = с∙к₁ , искомый радиус окружностей r, а радиус окружности, вписанной в АВС - r₀ . Тогда с∙к₁/с = r/ r₀, с∙к₂/с = r/ r₀ . Таким образом, коэффициент подобия первых двух треугольников к основному равен *r/ r₀.* Тогда *а∙ r/ r₀ + b∙ r/ r₀ = с ⟹ r = с∙ r₀ /(а + b) = [с/(а + b)]∙(а + b - с)/2.* *Для любого прямоугольного треугольника.*
Я решил более "лобовым" способом. Из А и В проводим отрезки к центрам - это же биссектрисы. По формуле тангенса половинного угла на находим, что тангенсы углов А/2 и В/2 равны соответственно 1/2 и 1/3. Противоположные катеты в обоих случаях равны r. НУ и получаются, что касательные/катеты 2r и 3r, а еще третий отрезок между точками касания 2r. Вот и получается все вместе 7r равно 5, и соответственно r=5/7
@Diph64 Да. Радиус вписанной будет 2; "двувписанной" 26/17. Сами посудите, если взять первый способ В. Казакова. В двух новых (равных) треугольниках сумма катетов равна гипотенузе исходного. А поскольку все эти треугольники подобны, то и радиус вп. окр., и сумма катетов меняется в соответствии с коэффициентом подобия, т. е. c/(a+b)
Решал в общем виде положив катеты a, b и гипотенузу c и k - количество вписанных окружностей, тогда, n=2(k-1) длина части составленной из касающихся между собой окружностей, в задаче k = 2, формула нахождения радиуса таких окружностей r = c / ( 2c / (a+b-c) + n ), если k = 1 то формула превращается в формулу для радиуса вписанной окружности (a+b-c)/2. Благодарю ув. В.В.
Теперь о полученном результате. Из способа 1 равенство треугольников АКМ и РКВ дает что АВ = АК+КМ, откуда и следует что коэффициент подобия АКМ и АВС = АВ/(АС+СВ)
уже второй раз у меня получается ПОЧТИ верное численное значение. где я точки не правильно прочитал? я вписывал в прямоугольный дельтоид окружность и через ее радиус находил искомое
Я недавно на канале. Думал улучшить свои познания в геометрии школьной. Но вот сейчас мне дошло, что канал классный, но не для нас, школоты. Скорее познавательно-развлекательный канал с элементами рекламы. Прорабатываю все задачки. Сама система логики интересна. Но школьникам не рекомендую. Завалят все контрольные и экзамены из-за несоответствия школьной программы по классам методам решения задачек на канале. Моему папе очень интересно разбирать задачки. Его школьные годы далеко за горизонтом сзади.
Спасибо за отзыв. У нас на канале тысячи отзывов школьников, которые благодаря каналу научились геометрии. Задачи у нас самые разные, 50% из школьных учебников, остальные из материалов школьных олимпиад разного уровня, включая межнар. Никакой развлекаловки у нас в помине нет. Сам я автор учебников по геометрии, и ВНИМАНИЕ! - автор программы по геометрии для школы, а также соавтор Сборника экзаменационных материалов. Поэтому прекрасно знаю все требования более тоо, я их как раз формулирую через Министерство образования. У нас в роликах как раз ВСЕ РЕШАЕТСЯ В ПОЛНОМ СООТВЕТСТВИИ СО ВСЕМИ ТРЕБОВАНИЯМИ ПРОГРАММЫ! Ничего развлекательного нет, есть эвристические задачи для широкой публики, никакой рекламы нет - только рекомнедации моих же пособий, откуда и взяты задачи. Вы правы в том, что много задач приличноо уровня для начинающего олимпиадника или для тех, кто знает математику. Для начинающих же (а вы начинающий) весь материал разбит по классам и уровням. Заходим в плей-листы, находим 8 класс базовый уровень, там все по теоремкам и ключевым задачам. Успехов. P.S. А папа ваш большой молодец. Еще раз, спасибо за коммент и советую походить по задачам, где изображены на превью школьники или указал класс. Это для вас.
долго не мог понять почему катеты 4 и 5 на рисунке и почему это всё работает) потом почитал описание и понял что на рисунке длинны катетов не верно подписаны были
Если взять ∠A=α со сторонами Ab и Ac и строить единичные окружности, первая из которых касается лучей Ab и Ac, а вторая и следующие касаются предыдущей и луча Ab, потом построить касательную B₁C₁ к первой окружности так что B₁C₁⊥Ac и продолжить для остальных окружностей, получается занятный результат: AB₁ = (1+sec α)(1+cosec α)−1; AB₂ = (1+sec α)(1+cosec α)+1; AB₃ = (1+sec α)(1+cosec α)+3; ABₙ = (1+sec α)(1+cosec α)+2n−3. Для нашего треугольника секанс и косеканс ∠A равны 5⁄3 и 5⁄4 соответственно; тогда AB₁ = r((1+5⁄3)(1+5⁄4)−1) = r(8⁄3·9⁄4−1) = r(72⁄12−1) = 5r, AB₂ = AB = 7r, откуда r = 5⁄7.
Никакого креативу Из О1 и О2 провел перпендикуляры на стороны треугольника и соединил О1 и О2 с вершинами треугольника. Три треугольника площадью (3*R)/2, (4*R)/2, R*(12/5-R) и трапеция площадью ((2*R+5)/2)*R Складываем и приравниваем к 6. 84*R=60 Ответ:5/7
Я тоже решила через площади. С первыми двумя треугольниками все просто, но как Вы нашли площадь третьего треугольника R*(12/5-R) ? Мне пришлось найти площадь всего пятиугольника (который с тремя прямыми углами).
@@ИраДжи Центры крайних кругов, между ними расстояние 2R*(N-1), соедините с каким-нибудь концом гипотенузы и с вершиной прямого угла. Получится четырёхугольник площади R*(N-1)* h, где высота на гипотенузу h = 12/5. Помимо этого четырёхугольника есть ещё три равноправных треугольника общей площади (3 + 4 + 5)*R/2
В. В.! С новым годом! Спасибо Вам за то , что Вы "ведёте среди нас разъяснительную работу, а мы растём над собой" (стиль оригинала).
Покажу сыну, чтоб подходил по науке! Жаль в мое время не было таких учителей!
Да, с шедеврами нужно знакомить. Правда я профессор, что тоже неплохо.
Ну, что мы не понимаем, это задачка полезная!
Возьмём египетский треугольник с Гипотенузой
Г=5.
В нём вписана окружность с Rадиусом
R=1.
Поставим N окружностей, тогда Гипотенуза увеличится и будет
Г2=Г+2*(N-1).
Полученный треугольник подобен данному с коеффициентом подобия
k=5/(5+2(N-1));
Значит в нашем случае
r=R*5/7=5/7;
Цыганятам нравица!
Нравится Вам наращивать! Можно было бы и вырезать с таким же успехом кусок гипотенузы 2R(N-1), если отталкиваться от условий задачи.🙂
Спасибочки за интересную задачку. Жаль, что материалов канала недостаточно для подготовки к различного рода испытаниям по математике в школе. А времени в сутках в обрез.
Все три решения великолепны. Мне очень понравилось решение Дмитрия Ивашкевича и следствия из него. Красота! Спасибо всем.
СПАСИБО!
*Д.З.* Вполне достаточно подобия треугольников РВК, АМК и АВС, нет необходимости акцентировать внимание на равенстве первых двух. Пусть:
РВ = с∙к₂, АМ = с∙к₁ , искомый радиус окружностей r, а радиус окружности, вписанной в АВС - r₀ . Тогда с∙к₁/с = r/ r₀, с∙к₂/с = r/ r₀ . Таким образом, коэффициент подобия первых двух треугольников к основному равен *r/ r₀.* Тогда *а∙ r/ r₀ + b∙ r/ r₀ = с ⟹ r = с∙ r₀ /(а + b) = [с/(а + b)]∙(а + b - с)/2.*
*Для любого прямоугольного треугольника.*
Я решил более "лобовым" способом. Из А и В проводим отрезки к центрам - это же биссектрисы. По формуле тангенса половинного угла на находим, что тангенсы углов А/2 и В/2 равны соответственно 1/2 и 1/3. Противоположные катеты в обоих случаях равны r. НУ и получаются, что касательные/катеты 2r и 3r, а еще третий отрезок между точками касания 2r. Вот и получается все вместе 7r равно 5, и соответственно r=5/7
Тангенсы половинок острых углов в египетском треугольнике 1/2 и 1/3 (легко увидеть из того факта, что радиус вписанной окружности 1)
2R+3R+2R=5
R=5/7
Если в общем виде, то
r/R=c/(a+b), здесь r - радиус двух вписанных, R- радиус вписанной.
@Diph64 Да. Радиус вписанной будет 2; "двувписанной" 26/17. Сами посудите, если взять первый способ В. Казакова. В двух новых (равных) треугольниках сумма катетов равна гипотенузе исходного. А поскольку все эти треугольники подобны, то и радиус вп. окр., и сумма катетов меняется в соответствии с коэффициентом подобия, т. е. c/(a+b)
@@ДмитрийИвашкевич-я8т Да, согласен. Взял второй способ, тоже всё получилось. Формула верна.
Кстати, этот способ подходит для нахождения радиуса N вписанных окружностей. Для египетского это будет R=5/(3+2N)
It works!
Красиво! Но решение ADEPTa еще упрощаем и говорим, что из подобия треугольников длина АВ1 это 5r. Значит r=5/7.
Решал в общем виде положив катеты a, b и гипотенузу c и k - количество вписанных окружностей, тогда, n=2(k-1) длина части составленной из касающихся между собой окружностей, в задаче k = 2, формула нахождения радиуса таких окружностей r = c / ( 2c / (a+b-c) + n ), если k = 1 то формула превращается в формулу для радиуса вписанной окружности (a+b-c)/2.
Благодарю ув. В.В.
Теперь о полученном результате. Из способа 1 равенство треугольников АКМ и РКВ дает что АВ = АК+КМ, откуда и следует что коэффициент подобия АКМ и АВС = АВ/(АС+СВ)
На 4:34 звучит: ‘стороны треугольника ACB 3,4,5. Откуда такой вывод? Может кто не поленится пояснить начинающему геометру.
уже второй раз у меня получается ПОЧТИ верное численное значение. где я точки не правильно прочитал?
я вписывал в прямоугольный дельтоид окружность и через ее радиус находил искомое
Я недавно на канале. Думал улучшить свои познания в геометрии школьной. Но вот сейчас мне дошло, что канал классный, но не для нас, школоты. Скорее познавательно-развлекательный канал с элементами рекламы. Прорабатываю все задачки. Сама система логики интересна. Но школьникам не рекомендую. Завалят все контрольные и экзамены из-за несоответствия школьной программы по классам методам решения задачек на канале. Моему папе очень интересно разбирать задачки. Его школьные годы далеко за горизонтом сзади.
Спасибо за отзыв. У нас на канале тысячи отзывов школьников, которые благодаря каналу научились геометрии. Задачи у нас самые разные, 50% из школьных учебников, остальные из материалов школьных олимпиад разного уровня, включая межнар. Никакой развлекаловки у нас в помине нет. Сам я автор учебников по геометрии, и ВНИМАНИЕ! - автор программы по геометрии для школы, а также соавтор Сборника экзаменационных материалов. Поэтому прекрасно знаю все требования более тоо, я их как раз формулирую через Министерство образования. У нас в роликах как раз ВСЕ РЕШАЕТСЯ В ПОЛНОМ СООТВЕТСТВИИ СО ВСЕМИ ТРЕБОВАНИЯМИ ПРОГРАММЫ! Ничего развлекательного нет, есть эвристические задачи для широкой публики, никакой рекламы нет - только рекомнедации моих же пособий, откуда и взяты задачи. Вы правы в том, что много задач приличноо уровня для начинающего олимпиадника или для тех, кто знает математику. Для начинающих же (а вы начинающий) весь материал разбит по классам и уровням. Заходим в плей-листы, находим 8 класс базовый уровень, там все по теоремкам и ключевым задачам. Успехов. P.S. А папа ваш большой молодец. Еще раз, спасибо за коммент и советую походить по задачам, где изображены на превью школьники или указал класс. Это для вас.
долго не мог понять почему катеты 4 и 5 на рисунке и почему это всё работает) потом почитал описание и понял что на рисунке длинны катетов не верно подписаны были
У нас все верно, катеты 3r и 4r.
@@GeometriaValeriyKazakov0:56 почему катеты 4 и 5?
Аналогично, не понял. Либо на рисунке опечатки.@@Георгий.Цыфаркин
Если взять ∠A=α со сторонами Ab и Ac и строить единичные окружности, первая из которых касается лучей Ab и Ac, а вторая и следующие касаются предыдущей и луча Ab, потом построить касательную B₁C₁ к первой окружности так что B₁C₁⊥Ac и продолжить для остальных окружностей, получается занятный результат: AB₁ = (1+sec α)(1+cosec α)−1; AB₂ = (1+sec α)(1+cosec α)+1; AB₃ = (1+sec α)(1+cosec α)+3; ABₙ = (1+sec α)(1+cosec α)+2n−3.
Для нашего треугольника секанс и косеканс ∠A равны 5⁄3 и 5⁄4 соответственно; тогда AB₁ = r((1+5⁄3)(1+5⁄4)−1) = r(8⁄3·9⁄4−1) = r(72⁄12−1) = 5r, AB₂ = AB = 7r, откуда r = 5⁄7.
Проводим с центров окружностей перпендикуляры О1К и О2М в точки касания окружностей с АВ , которые =r и с углов А и В в центры окружностей - биссектрисы , АК=Х , ВМ=Y , углы О1АК=а , О2ВМ=в , с тр-каАО1К - tg a=r/X , tg 2a=2tg a/(1-tg*2 a)=(2r/X)/(1-r*2/X*2)=2rX/(X*2-r*2) , из тр-ка АВС tg 2a=BC/АС=4/3 , 2rX/(X*2-r*2)=4/3 , 2X*2-3rX-2r*2=0
делим уравнение на r*2 , 2(X/r)*2-3X/r-2=0 , Х/r=n , 2n*2-3n-2=0 , n12=(3+-\|3*2+4x2x2)/2x2=(3+-\|25)/4 n=(3+5)|4=2 , (второй корень - отрицательное число) Х/r=2 , X=2r . Из тр-ка ВО2М tg в=r/Y , tg 2в=2rY/(Y*2-r*2) , из тр-ка АВС tg 2в=АС/ВС=3/4 , 2rY/(Y*2-r*2)=3/4 , 3Y*2-8rY-2r*2=0 , 3(Y/r)*2-8Y/r-3=0, Y/r=m , 3m*2-8m-3=0 , m12=(8+-\|8*2+4x3x3)/2x3=(8+-\|100)/6 , m=(8+10)/6=3 , Y/r=3 , Y=3r . Длина АВ=АК+КМ+ВМ=Х+2r+Y (КМ=2r - расстояние между центрами окружностей) , подставляем : 5=2r+2r+3r , 5=7r , r=5/7 .
Как и c одной окружностью, с N окружностями дважды находим площадь:
S = 3*4/2 = (3 + 4 + 5)/2*R + (N-1)*h*R, где высота на гипотенузу h = 3*4/5
Работает 👍
Спасибо.
Решил в уме за 30 секунд 😅 ооочень смелая задача
Жалко, что это осталось в уме! А мы не узнали!
Никакого креативу
Из О1 и О2 провел перпендикуляры на стороны треугольника и соединил О1 и О2 с вершинами треугольника.
Три треугольника площадью (3*R)/2, (4*R)/2, R*(12/5-R) и трапеция площадью ((2*R+5)/2)*R
Складываем и приравниваем к 6. 84*R=60
Ответ:5/7
А ларчик просто открывался!
Я тоже решила через площади. С первыми двумя треугольниками все просто, но как Вы нашли площадь третьего треугольника R*(12/5-R) ? Мне пришлось найти площадь всего пятиугольника (который с тремя прямыми углами).
@@ИраДжи Центры крайних кругов, между ними расстояние 2R*(N-1), соедините с каким-нибудь концом гипотенузы и с вершиной прямого угла. Получится четырёхугольник площади R*(N-1)* h, где высота на гипотенузу h = 12/5. Помимо этого четырёхугольника есть ещё три равноправных треугольника общей площади (3 + 4 + 5)*R/2
@@alfal4239 Спасибо большое. Ваше решение намного проще и красивее, чем мое.
@@ИраДжи Высота АВС на АВ равна (АС*ВС)/АВ=(3*4)/5=12/5. Высота О1СО2 равна высоте 12/5 за вычетом R, а основание равно 2*R
Я что-то пропустил ? Или искомое равно отношению гипотенузы к сумме катетов ?
upd . меня получилось R=a*b*c/((a+b)*(a+b+c))