Pourquoi la moitié des commentaires sont dédaigneux ou désobligeants ? Il a proposé une solution qui fonctionne, et certains trouvent quelque chose à dire. C'est pas comme si vous étiez forcés de regarder la vidéo, vous avez délibérément cliqué dessus. Merci pour la solution mec :)
Vous partez d’une relation linéaire entre f(f(x), f(x) et x, au lieu d’en tirer les conséquences immédiates et simples, vous faites le détour par l’itération d’ordre n et vous vous décidez à constater que la relation est linéaire, puis vous trouvez la solution au prix de calculs inutilement laborieux. Il est plus que temps, pour le crédit du groupe G+ de supprimer cet exercice simple dont la solution proposée ne mérite pas la qualification d’élégante.
@@jean-claudedouvry1636 Avec tout le respect que je vous dois, je ne comprend pas votre vendetta futile contre une vidéo qui présente simplement un exo de maths.. L'exercice est en effet pas tres difficile pour un X-ENS: les outils demandés sont humblement simples, et le raisonnement en demeure intéressant. Mais je ne comprends pas pourquoi cela vous déclenche une réaction aussi viscérale à l'encontre de l'auteur. J'en ai parlé un second année qui est lauréat du concours général de ma classe qui l'avait eu en TD, et il fait la même démonstration que dans la vidéo (cela ne doit pas être dénué de sens!)
L'autre solution est de passer par le calcul matriciel, on pose (fn+2, fn+1) = A^(n+1) (f1, f0), où f1=f, f0=x et A est la matrice ((-1 6), (1 0)). Puis on diagonalise A, on obtient alors A^(n+1)=PD^(n+1)P^-1, où P est la matrice de passage et D la matrice A diagonalisée. Puis on calcule (f2, f1) = A^1 (f1, f0) et on trouve f.
Bonjour, je me permets une remarque mineure: la separation en deux cas (09:35) peut etre evitee; en effet la suite V_n = (-1/3)^n U_n tend vers lambda (toujours) ; comme V_{2p-1} < 0 et V_{2p} >0 pour tout p (de l'hypothese U_n >0), on en deduit par passage a la limite que lambda = 0 , soit lambda = 0 . Voila, ca evite de separer en deux cas (j'avais prevenu: remarque mineure :) ). Merci pour ces videos.
Autre idée serait de considérer deux suite tq An*x < f(x) < Bn*x et par itération montrer (An) et (Bn) convergent vers 2. on peut prendre evidemment B0=6 ( 6-f(x)=f(f(x)) >0) et ensuite A0=6/7 ( 6-f(x)=f(fx))
Pour ma part j'ai fait presque pareil Je vois que les fonctions f^n (f appliquée n fois) a la forme suivante : f^n = a_n f + b_n Id En effet on oeut démontrer ce fait là par récurrence Inotialisation f^0 = Id a_0 = 0 et b_0 = 1 f^n+1 = a_n f^2 + b_n f f^n+1 = a_n (6Id - f) + b_n f f^n+1 = (b_n - a_n) f + 6a_n Id On a donc a_n+1 = b_n - a_n et b_n+1 = 6a_n On peut expliciter a_n et b_n 6a_n+1 = 6b_n - 6a_n b_n+2 = 6b_n - b_n+1 Donc b_n = ⅗2^n + ⅖(-3)^n avec b_n+1 = 6a_n on en déduit a_n a_n = ⅕2^n - ⅕(-3)^n f^n est str. positive sur R+* Donc a_n f + b_n Id > 0 sur R+* a_n f > - b_n Id On veut diviser par a_n mais il faut faire attention au signe de a_n Si a_n > 0 alors f > -b_n/(a_n) Id Si a_n < 0 alors f < -b_n/(a_n) Id Grâce à l'expression obtenue de a_n on peut montrer que a_n est positif si n est impair et négatif si n est pair On a donc pour tout x dans R+* l'encadrement -b_(2n+1)/a_(2n+1) x < f(x) < -b_(2n)/a_(2n) x La limite de b_n/a_n est -2 on conclut par le théorème des gendarmes que f(x) = 2x
Le truc que je me demande c'est... Pourquoi il y a cet éxo dans ma fiche de td de sup sur les suites ?! ahah ( j'avais pensé aux suites linéaires récurrentes d'ordre 2 mais j'avais pas réussi à montrer que lambda = 0 mrc pour cette belle solution)
Bonjour, puis-je vous demander pourquoi il est possible de se ramener à l'équation a 3:38? L'equation est vraie pour n = 0 mais j'ai l'impression qu'on affirme que c'est vrai pour tout n. Si oui ne faudrait il pas faire une recurrence pour montrer que f^n(x) peut s'ecrire comme une combinaison lineaire en l'occurence de f(x) et de x (j'ai l'impression que ca se simplifie bien) ? Je suis en PT alors pas trop d'attente svp !
@@ridaoueld5939 En effet comme on a très peu d'hypothèses (pas de régularité) il faut se ramener à des outils très simples comme l'étude de suites réelles. Donc en fait ça ressemble plus à un problème de suites réelles au final.
comment ça de la cuisine, s'il existait une méthode universelle en 4 étapes pour résoudre tous les problèmes ca serait bien pratique. Il y a un raisonnement pour chaque exo un peu difficile, ça relève ici complètement d'un raisonnement
Oui, vous avez raison. Dès la 1ère ligne de la démonstration, il est supposé, sans que ce soit dit, que la relation fonctionnelle est linéaire du type f(x) = k.x. La suite tient en deux lignes.
@@muusteh4060 oui, on remplace x par f(x) et on constate qu’il en résulte que f se compose linéairement avec la formule de départ. Cela constaté, la suite tient en deux lignes.
Mais c'est encore jean Claude. On peut voir votre CV pour comprendre voire vos articles de recherche pour comprendre ce que c'est que des maths avancées ?
Avec une telle « démonstration » on est certainement recalé aussi bien à l’X qu’à l’ENS. Dès le départ, on suppose que f est linéaire. Avec cette hypothèse, il suffit de trouver k tel que f(x) = k.x. L’équation fonctionnelle donne alors k^2.x = 6.x -k.x pour tout x, soit k^2 + k - 6. = 0 Cette équation du 2nd degré à deux racines, k = 2 qui convient et k=-3 qui ne convient pas. Donc à supposer f linéaire, la solution est f(x) = 2.x
Pour être plus positif, reconnaissons qu’après avoir remplacé x par f(x), l’auteur de la démonstration aurait pu constater que la relation fonctionnelle était linéaire. La suite en deux lignes pour aboutir à f(x) = 2x.
@@jean-claudedouvry1636 Bonjour Jean Claude, vous dîtes n'importe quoi ! Si on suppose que f est linéaire on trouve en effet le résultat mais il ne suffit pas de l'intuiter comme vous suggérez mais bien de le démontrer comme j'ai fais dans la correction. C'est vous qui n'aurez pas eu les points à X-ENS malheureusement...
@@Groupe_Plus Je confirme mon point de vue. Je ne suppose pas que la relation fonctionnelle est linéaire, je le constate, comme je vais essayer de vous en convaincre: Dans la relation fonctionnelle (a) f(f(x)) = 6.x - f(x), remplaçant x par f(x), Vous avez obtenu la relation (b) f(f(f(x))) = 6.f(x) - f(f(x)). Il vous suffit de constater que partant de (a) l’on obtient exactement la même relation si l’on suppose f linéaire. Autrement dit, partant de (a), la relation (b) est nécessaire et suffisante pour que la relation f soit linéaire. La suite en résulte immédiatement.
@@jean-claudedouvry1636 Voici un contre exemple : on pose f(x)=0 si x est rationnel et pi sinon. On a alors f(f(x))=f(x) la relation est bien linéaire pourtant f n'est pas linéaire, elle n'est même continue nulle part.
Euh, il doit y avoir moins calculatoire quand même, non? Pourquoi ne pas essayer d'obtenir la solution juste... en utilisant un raisonnement faux? Accrochez-vous. On peut factoriser f^2+f-6id en utilisant les racines -3 et 2 du trinôme x^2+x-6. On obtient (f+3id)(f-2id)=0, d'où deux solutions évidentes possibles Puis en excluant f = -3id qui ne satisfait pas à la condition sur le signe des images, il reste f = 2id. Bien sûr le raisonnement est faux puisque (f+3id)∘(f-2id), au sens de la composition des fonctions, est égal à f∘f+3f+f∘(-2id)-6id, et il y a un autre résultat si on fait la composition dans l'autre sens. Et puis u∘v = 0 n'implique pas u=0 ou v=0 en général. Ok, mais tout serait juste si on savait à l'avance que f est linéaire. Et on a quand même trouvé le résultat en deux minutes. Manque la preuve de l'unicité, peut-être?
Le discriminant pour une telle équation.... 2 est solution évidente, tout de même... Arrivé à ce niveau-là, l'utilisation du discriminant montre un manque de réflexe de calculs.
Pourquoi la moitié des commentaires sont dédaigneux ou désobligeants ? Il a proposé une solution qui fonctionne, et certains trouvent quelque chose à dire. C'est pas comme si vous étiez forcés de regarder la vidéo, vous avez délibérément cliqué dessus.
Merci pour la solution mec :)
il y a surtout l'autre gogole de jean claude...
Super exo agréablement compréhensible pour un premier année , continuez vos vidéos :)
@@Nerhy Merci beaucoup !
Vous partez d’une relation linéaire entre f(f(x), f(x) et x, au lieu d’en tirer les conséquences immédiates et simples, vous faites le détour par l’itération d’ordre n et vous vous décidez à constater que la relation est linéaire, puis vous trouvez la solution au prix de calculs inutilement laborieux. Il est plus que temps, pour le crédit du groupe G+ de supprimer cet exercice simple dont la solution proposée ne mérite pas la qualification d’élégante.
@@jean-claudedouvry1636 vous avez vraiment un probleme...
@@Nerhy Errare humanum est, perseverare diabolicum !
@@jean-claudedouvry1636 Avec tout le respect que je vous dois, je ne comprend pas votre vendetta futile contre une vidéo qui présente simplement un exo de maths.. L'exercice est en effet pas tres difficile pour un X-ENS: les outils demandés sont humblement simples, et le raisonnement en demeure intéressant. Mais je ne comprends pas pourquoi cela vous déclenche une réaction aussi viscérale à l'encontre de l'auteur. J'en ai parlé un second année qui est lauréat du concours général de ma classe qui l'avait eu en TD, et il fait la même démonstration que dans la vidéo (cela ne doit pas être dénué de sens!)
L'autre solution est de passer par le calcul matriciel, on pose (fn+2, fn+1) = A^(n+1) (f1, f0), où f1=f, f0=x et A est la matrice ((-1 6), (1 0)). Puis on diagonalise A, on obtient alors A^(n+1)=PD^(n+1)P^-1, où P est la matrice de passage et D la matrice A diagonalisée. Puis on calcule (f2, f1) = A^1 (f1, f0) et on trouve f.
Trop fort
Bonjour,
je me permets une remarque mineure: la separation en deux cas (09:35) peut etre evitee;
en effet la suite V_n = (-1/3)^n U_n tend vers lambda (toujours) ; comme V_{2p-1} < 0 et V_{2p} >0 pour tout p (de l'hypothese U_n >0), on en deduit par passage a la limite que lambda = 0 , soit lambda = 0 . Voila, ca evite de separer en deux cas (j'avais prevenu: remarque mineure :) ).
Merci pour ces videos.
Oui ça marche aussi 🙃
Excellant ! Merci pour cette correction, l’exo est bien élégant :)
@@johnmattsmith257 merci !
Autre idée serait de considérer deux suite tq An*x < f(x) < Bn*x et par itération montrer (An) et (Bn) convergent vers 2.
on peut prendre evidemment B0=6 ( 6-f(x)=f(f(x)) >0) et ensuite A0=6/7 ( 6-f(x)=f(fx))
Ça doit marcher mais je trouve ça moins intuitif
Merci ! J'étais parti sur cette idée après avoir intuité la solution sans réussir à conclure
Bonne video continue comme ça
Merci !
Merci pour l'exo, c'est pas hyper dure comme exercice, mais faut avoir les idées claires sur la démarche à suivre
@@rafik6042 exactement c'est pas un des plus durs mais ça reste intéressant
Pour ma part j'ai fait presque pareil
Je vois que les fonctions f^n (f appliquée n fois) a la forme suivante :
f^n = a_n f + b_n Id
En effet on oeut démontrer ce fait là par récurrence
Inotialisation
f^0 = Id
a_0 = 0 et b_0 = 1
f^n+1 = a_n f^2 + b_n f
f^n+1 = a_n (6Id - f) + b_n f
f^n+1 = (b_n - a_n) f + 6a_n Id
On a donc
a_n+1 = b_n - a_n
et b_n+1 = 6a_n
On peut expliciter a_n et b_n
6a_n+1 = 6b_n - 6a_n
b_n+2 = 6b_n - b_n+1
Donc b_n = ⅗2^n + ⅖(-3)^n
avec b_n+1 = 6a_n
on en déduit a_n
a_n = ⅕2^n - ⅕(-3)^n
f^n est str. positive sur R+*
Donc a_n f + b_n Id > 0 sur R+*
a_n f > - b_n Id
On veut diviser par a_n mais il faut faire attention au signe de a_n
Si a_n > 0 alors f > -b_n/(a_n) Id
Si a_n < 0 alors f < -b_n/(a_n) Id
Grâce à l'expression obtenue de a_n on peut montrer que a_n est positif si n est impair et négatif si n est pair
On a donc pour tout x dans R+* l'encadrement
-b_(2n+1)/a_(2n+1) x < f(x) < -b_(2n)/a_(2n) x
La limite de b_n/a_n est -2
on conclut par le théorème des gendarmes que f(x) = 2x
@@undecorateur oui, ça revient à peu près au même. Bien joué
Le truc que je me demande c'est... Pourquoi il y a cet éxo dans ma fiche de td de sup sur les suites ?! ahah ( j'avais pensé aux suites linéaires récurrentes d'ordre 2 mais j'avais pas réussi à montrer que lambda = 0 mrc pour cette belle solution)
@@fallay2808 on peut tout faire avec les outils de Sup oui !
Bonjour, puis-je vous demander pourquoi il est possible de se ramener à l'équation a 3:38? L'equation est vraie pour n = 0 mais j'ai l'impression qu'on affirme que c'est vrai pour tout n. Si oui ne faudrait il pas faire une recurrence pour montrer que f^n(x) peut s'ecrire comme une combinaison lineaire en l'occurence de f(x) et de x (j'ai l'impression que ca se simplifie bien) ? Je suis en PT alors pas trop d'attente svp !
oui alors en fait on prend juste l'équation de l'énoncé et on remplace x par f^n(x) tout simplement
Excellent 👌
Merci !
Super
Merci
Bien joué :)
Ça relève plus de la cuisine que du calcul systématique ou du raisonnement
Est ce que c’est propre aux équations fonctionnelles ?
@@ridaoueld5939 En effet comme on a très peu d'hypothèses (pas de régularité) il faut se ramener à des outils très simples comme l'étude de suites réelles. Donc en fait ça ressemble plus à un problème de suites réelles au final.
comment ça de la cuisine, s'il existait une méthode universelle en 4 étapes pour résoudre tous les problèmes ca serait bien pratique. Il y a un raisonnement pour chaque exo un peu difficile, ça relève ici complètement d'un raisonnement
Merci infiniment
Ça a pas l’air si difficile que ça en vrai
C'est pas un des plus durs en effet mais ça reste technique.
Bon courage pour cette année !
@@Groupe_Plus chuis en première année mais tranquille mdrr on prend de l’avance
Je vais faire des vidéos pour les SUP aussi 🙃
Trivial
Bravo
Merci
Nice👍
Je suis fou ou il manque une hypothése de linéarité de f pour l'etape un ?
Non, on ne compose pas l'égalité par f, on l'applique pour x valant f(x)
@@muusteh4060 Aaaah je comprend mieux ,
Oui, vous avez raison. Dès la 1ère ligne de la démonstration, il est supposé, sans que ce soit dit, que la relation fonctionnelle est linéaire du type f(x) = k.x. La suite tient en deux lignes.
@@muusteh4060 oui, on remplace x par f(x) et on constate qu’il en résulte que f se compose linéairement avec la formule de départ. Cela constaté, la suite tient en deux lignes.
@@jean-claudedouvry1636 d'accord mais on ne suppose aucune linéarité
« Au cœur des mathématiques avancées ». Heureusement pour les auteurs de l’énoncé et de la solution, le ridicule ne tue plus.
❤
Mais c'est encore jean Claude. On peut voir votre CV pour comprendre voire vos articles de recherche pour comprendre ce que c'est que des maths avancées ?
@ c'est abusé il veut pas lâcher ça 😭
@ ça fait trois mois quand même
La luminosité putain est 23 heures, ça me déglingue la gueule mais merci
Désolé, c'est mieux sur la dernière vidéo ?
Avec une telle « démonstration » on est certainement recalé aussi bien à l’X qu’à l’ENS. Dès le départ, on suppose que f est linéaire. Avec cette hypothèse, il suffit de trouver k tel que f(x) = k.x. L’équation fonctionnelle donne alors k^2.x = 6.x -k.x pour tout x, soit k^2 + k - 6. = 0
Cette équation du 2nd degré à deux racines, k = 2 qui convient et k=-3 qui ne convient pas. Donc à supposer f linéaire, la solution est f(x) = 2.x
Pour être plus positif, reconnaissons qu’après avoir remplacé x par f(x), l’auteur de la démonstration aurait pu constater que la relation fonctionnelle était linéaire. La suite en deux lignes pour aboutir à f(x) = 2x.
@@jean-claudedouvry1636 Bonjour Jean Claude, vous dîtes n'importe quoi ! Si on suppose que f est linéaire on trouve en effet le résultat mais il ne suffit pas de l'intuiter comme vous suggérez mais bien de le démontrer comme j'ai fais dans la correction. C'est vous qui n'aurez pas eu les points à X-ENS malheureusement...
@@Groupe_Plus Je confirme mon point de vue. Je ne suppose pas que la relation fonctionnelle est linéaire, je le constate, comme je vais essayer de vous en convaincre:
Dans la relation fonctionnelle (a) f(f(x)) = 6.x - f(x), remplaçant x par f(x),
Vous avez obtenu la relation (b) f(f(f(x))) = 6.f(x) - f(f(x)). Il vous suffit de constater que partant de (a) l’on obtient exactement la même relation si l’on suppose f linéaire. Autrement dit, partant de (a), la relation (b) est nécessaire et suffisante pour que la relation f soit linéaire. La suite en résulte immédiatement.
@@jean-claudedouvry1636 Voici un contre exemple : on pose f(x)=0 si x est rationnel et pi sinon. On a alors f(f(x))=f(x) la relation est bien linéaire pourtant f n'est pas linéaire, elle n'est même continue nulle part.
@@Groupe_Plus ce n’est pas du tout un contre-exemple. Je vous suggère de prendre l’avis d’un tiers.
Euh, il doit y avoir moins calculatoire quand même, non? Pourquoi ne pas essayer d'obtenir la solution juste... en utilisant un raisonnement faux? Accrochez-vous. On peut factoriser f^2+f-6id en utilisant les racines -3 et 2 du trinôme x^2+x-6. On obtient (f+3id)(f-2id)=0, d'où deux solutions évidentes possibles Puis en excluant f = -3id qui ne satisfait pas à la condition sur le signe des images, il reste f = 2id. Bien sûr le raisonnement est faux puisque (f+3id)∘(f-2id), au sens de la composition des fonctions, est égal à f∘f+3f+f∘(-2id)-6id, et il y a un autre résultat si on fait la composition dans l'autre sens. Et puis u∘v = 0 n'implique pas u=0 ou v=0 en général. Ok, mais tout serait juste si on savait à l'avance que f est linéaire. Et on a quand même trouvé le résultat en deux minutes. Manque la preuve de l'unicité, peut-être?
@@marcbavant3374 c'est pas mal pour l'intuition mais ça ne marche pas car on ne sait pas que la fonction est linéaire à priori…
Le discriminant pour une telle équation.... 2 est solution évidente, tout de même... Arrivé à ce niveau-là, l'utilisation du discriminant montre un manque de réflexe de calculs.
Je vais m'entraîner au calcul alors 👍
l’ecoute pas c’est d’une condescendance abominable on s’en fiche totalement
@@merwan.houiralami Je sais je rigolais haha j'ai rien à prouver :)
tu peux juste pas être bon en maths et écrire un tel commentaire