Aïe, aïe, aïe, c'est toujours la même chose. Quand je ne prends pas le temps de tout développer, je fais une erreur ! Merci de l'avoir remarqué si vite !
@@m.a.t.a.m belle attitude ... alors je peux te dire qu'3:22 ce serait plutôt "... que tout le monde comprenne!", dans le cas où c'est un souhait de ta part, sinon comprend peut se dire.
Très belle intégrale et un surprenant résultat qui fait référence au fameux problème de Bâle, reliant ainsi cette intégrale à la théorie des nombres. Euler devrait pousser des grimaces là où il est. C'est ça la magie des mathématiques.
Une autre méthode, que je trouve personnellement plus simple, est d'effectuer le changement de variable u=1/x qui est un C1 difféomorphisme ]0,+inf[ sur ]0,+inf[. On a dx=-1/u^2 du. L'intégrale devient alors : I = - int(entre 1 et +inf)(floor(u)/u^3)). Maintenant, on subdivise l'intervalle [1,+inf[ en [k,k+1[. Je trouve que c'est plus simple à manipuler. Certes, celà revient à la même chose, mais je toruve que c'est plus intuitif que de subdiviser comme vous l'avez fait.
J'ai essayé de rendre cette intégrale la plus accessible possible, mais le changement de variable n'est, je crois, pas au programme de terminale (le symbole sigma non plus, mais bon...). Donc, je me voyais mal faire un changement de variable sur une fonction aussi """"bizarre""""" (bornes et cpm).
Bravo pour ce petit bijou !! Je ferai cependant deux remarques : 1 - la figure représentant la fonction f(x) = x [1/x] n’est pas exacte… Les segments (une fois prolongés) passent par l’origine, ce qui ne correspond pas à votre graphique. Plus précisément, le segment correspondant à x € ]1/(k+1), 1/k ] joint les points Mk (1/(k+1), k/(k+1)) et Nk (1/k, 1). Ces deux points sont sur la droite y = k x, et les Mk sont alignés sur la droite x + y = 1, et les Nk sur la droite y = 1. NB : Le segment Mk Nk est ouvert en Mk. NB2 : tous les segments sont inclus dans le carré [0, 1] x [0, 1]. 2 - on peut s’inspirer du graphe pour une approche géométrique du calcul, en constatant que l’intégrale sur [0, 1] de f est aussi la somme infinie des trapèzes définis par les segment Mk Nk et leurs projections sur Ox, à savoir les segments ]1/(k+1), 1/k ]. Si on appelle Ak l’aire du trapèze d’ordre k, alors Ak est le produit de la base par la demi-somme des hauteurs, et donc (en calculant 2 Ak) : 2 Ak = (1/k - 1/(k+1)) (1 + k/(k+1)) En développant (audace !) : 2 Ak = 1/k - 1/(k+1) + 1/(k+1)^2 En sommant pour k € N*, on retrouve le télescopage, et aussi la somme zêta (2). Merci pour vos intéressantes videos !
@@Toonix11 Oui, bien sûr... mais le graphe exact donne aussi une méthode efficace de calcul de l'intégrale, c'est pour cela que j'ai essayé d'approfondir. Merci pour votre remarque.
Si on n’étudie pas le graphe, on peut aussi résoudre analytiquement : En posant t = 1/x, et dx = -1/t^2 dt, on obtient I = ∫ [t] / t^3 dt sur [1, +∞ [ Comme [t] / t^3 ~ 1/t^2 lorsque t -> ∞, l’intégrale est convergente. En séparant l’intervalle : I = ∑ Jn pour n € N*, avec Jn = ∫ [t] / t^3 dt sur [n, n+1[ Ou encore Jn = ∫ n / t^3 dt sur [n, n+1[. En intégrant : Jn = n/2 [1/n^2 - 1/(n+1)^2] On retrouve les mêmes termes que dans la video (normal !) et on finit le calcul de la même façon, avec pour résultat π^2 / 12. NB : le changement de variable permet de simplifier les calculs, et aussi de prouver facilement la convergence.
Super exercice! Petite remarque: si je ne me trompe pas, en effectuant le changement de variable y = x^2, on obtient une equivalence avec l'intégrale int_0^1 [ 1/ (2 * sqrt(y))] dy. L'aire sous la courbe est directement (la moitié de) la somme des inverses des carrés des nombres entiers (les bandes horizontales sont des rectangles d'aire 1/n^2), et on évite tout l'argument avec le téléscopage.
En fait, je ne connais pas les énoncés des changements de variable avec des fonctions CPM. Déjà qu'il y a des subtilités d'injectivité dans le théorème classique alors là. Mais, a priori, si tu obtiens le bon résultat, c'est que les hypothèses sont vérifiées (ou alors tu as beaucoup de chance).
calcul d'une intégrale très instructif (pour l'existence malheureusement certains commentaires mettent en évidence que la preuve est faillible) en admettant l'existence, une autre astuce pour le calcul est d'écrire le k en facteur comme une somme d'unités et d'intervertir les deux symboles sigma (tout est positif tu fais ce que tu veux), et ça se simplifie assez vite
La justification exacte, me semble-t-il, est que la somme infinie est absolument convergente. Concept qu'on n'abordait déjà pas en terminale de mon temps (années 80) et qui conduisait parfois à des démonstrations bancales. En même temps j'ai lu dans un autre commentaire que le symbole sigma ne serait plus au programme de terminale ?
j'ai pas regardé la vidéo mais a priori c'est pas comme ça que vous faites. chgt de var u = 1/x, on découpe trivialement puis on est à une transformation d'abel de zeta(2). bcp plus simple que de s'emebeter avec des 1/x pour x
Intuitivement le pi, on peut se dire que le fait que les segment pivote dangle en fonction de la valeur entière de 1/x, en allant vers 0 ça devient continue, un peu circulaire, ya une vibe
J’étais arrivé jusqu’à la somme mais j’avais pas vu l’astuce du k+1-1 malheureusement, donc j’étais bloqué, et même si je m’étais débrouillé pour faire apparaître la somme des inverses des carrés j’avais une autre somme que je savais pas calculer… je pense que j’aurais pu la faire avec une grosse astuce consistant à transformer le 1/k en intégrale et en permutant les symboles mais ça partait loin mdr
7:38 la représentation graphique de la fonction x partie entière de 1/x est incorrecte. Elle est majorée par 1, et composée de segments de droites passant par l'origine dont la pente est de plus en plus grande quand x s'approche de 0.
Oui, c'est exact. En fait, pour réaliser cette vidéo, je me suis dit qu'incorporer le graphe était une bonne manière d'avoir une approche simple et intuitive. Cependant, le graphe sur GeoGebra ne me semblait pas très clair au voisinage de 0, j'ai donc pris l'initiative d'en faire une approximation qui permet de comprendre l'idée. Je le précise heureusement dans la vidéo !
Mais elle n'est pas du tout continue par morceau, par définition c'est un nombre FINI de points de discontinuité... Sinon l'indicatrice de Q serai intégrable sur un segment (elle à un nombre dénombrable de points à changer pour la rendre continue) mais pourtant elle n'est pas intégrable avec l'int de Riemann (seulement avec lesbegue)
@@m.a.t.a.m non, l'indicatrice de Q n'est pas intégrable meme sur un intervalle fermé comme contre exemple. Je te laisse voir la définition de continuité par morceau sur bibmath ou wikipedia. C'est qu'il existe des sous-division, et cela en nombre FINI, qui est très très important.
@Cypooos Ok. D'après BibMath, "Si maintenant 𝑓 est définie sur un intervalle 𝐼 de 𝑅 qui n'est plus nécessairement un segment, alors on dit que 𝑓 est de classe 𝐶 𝑘 par morceaux sur 𝐼 si elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans 𝐼." Tu prends 𝑛∈𝑁*, sur ]1/𝑛,1/(𝑛+1)] la fonction est CPM. Rien de plus.
@@m.a.t.a.m my bad, absolument désolée. Maintenant je n'ai plus de problèmes avec la vidéo, mais j'en ai un avec la def qui rend non continue par morceau une fonction si on rajoute littéralement 1 point... Genre la fonction qui vaux x*floor(1/x) en x>0 et 0 en 0 n'est pas continue par morceau, mais si on la prend sur ]0;1] elle l'est... J'avais jamais vu cette particularité perso, c'est hyper bizarre que on utilise cette def et j'avais toujours assumer une def plus """""raisonnable""""" ou f est c.p.m. d'un A dans R si A se décompose en une union fini d'intervalle ouvert ou les restrictions sont continue et admettent un prolongement par continuité à chaque bord et que A privé de l'union était fini. Je sais pas si y'a des problèmes avec cette def pour tout les théorèmes usuels, mais au minimum elle me paraissait consistente (rajouter un nombre fini de points ne change pas le coté c.p.m de la fonction)... Bref je m'excuse pour tout ça btw !
@@Cypooos Aucun problème, au contraire, je me plante comme tout le monde et heureusement que des gens sont là parfois pour remettre en question ce que je dis dans mes vidéos.
@@juliencarbone01Dans la vie de tous les jours, à rien de spécial, mais pourquoi cette question ? Heureusement que l'on ne fait pas que des trucs purement pour "la vie de tous les jours", la vie serait bien fade sinon ! Ça a la même utilité dans la vie de tous les jours que l'histoire, la littérature, regarder des films ou des séries, faire des sudoku, jouer à des jeux : pour le plaisir, pour s'entraîner intellectuellement, etc. De plus les scientifiques s'en servent pour faire avancer les sciences et donc fatalement ça se répercute sur les technologies et techniques du quotidien.
Salut ! Je voulais juste savoir si il existait vraiment un théorème qui permettait de subdiviser de manière infinie les intégrales par la relation de chasles, car je sors de sup et j'ai encore jamais vu ça
Ça me semble être faisable pour u niveau d’une première année de prépa mpsi, peut être deuxième année MP Édit : j’ai surestimé le programme, c’est déjà passé à l’oral des mines
La "preuve" de l'existence de l'intégrale n'est pas correcte du tout. 1) EDIT : Confusion de ma part entre fonction CPM sur ]0,1] et sur [0,1] 2) Il y a des petites erreurs dans les inégalités, et faudrait justifier les équivalences, mais à la limite ça c'est pas bien grave. 3) Pour montrer que l'intégrale existe, tu utilises cette même intégrale... c'est un raisonnement circulaire, ça peut pas marcher. Et puis je vois pas pourquoi l'encadrement final permettrait de conclure. Ici c'est beaucoup plus simple que ça : la fonction est réglée donc elle est intégrable au sens de Riemann, mais malheureusement ça c'est plus au programme de prépa
Je pense qu'on peut s'en sortir avec le fait que f tende vers 1 en 0. Ainsi, elle est intégrable au voisinage de 0, puis elle est intégrable sur tout intervalle [a,1] a>0 puisque continue par morceaux
l'intégrale de Riemann est abordée en prépa, même dans les petites, et accessible au lycée sinon c'est parfaitement possible de montrer qu'elle converge : on ne somme que du positif, et c'est majoré par une fonction intégrable, c'est nickel
Je crois qu’il y a une erreur à 2:23 sur les inégalités strictes et larges puisque ça serait plutôt X-1 < [X]
Aïe, aïe, aïe, c'est toujours la même chose. Quand je ne prends pas le temps de tout développer, je fais une erreur ! Merci de l'avoir remarqué si vite !
@@m.a.t.a.m la vidéo est top en tout cas 👍
@@m.a.t.a.m belle attitude ... alors je peux te dire qu'3:22 ce serait plutôt "... que tout le monde comprenne!", dans le cas où c'est un souhait de ta part, sinon comprend peut se dire.
Merci, j'allais faire la même remarque.
Super, en plus c'est une intégrale qui peut faire peur mais qu'on peut calculer sans avoir un niveau de fou. Je le mets dans ma liste d exos
Très belle intégrale et un surprenant résultat qui fait référence au fameux problème de Bâle, reliant ainsi cette intégrale à la théorie des nombres. Euler devrait pousser des grimaces là où il est.
C'est ça la magie des mathématiques.
Absolument d'accord !!!!
C est magnifique
Une autre méthode, que je trouve personnellement plus simple, est d'effectuer le changement de variable u=1/x qui est un C1 difféomorphisme ]0,+inf[ sur ]0,+inf[. On a dx=-1/u^2 du.
L'intégrale devient alors : I = - int(entre 1 et +inf)(floor(u)/u^3)).
Maintenant, on subdivise l'intervalle [1,+inf[ en [k,k+1[. Je trouve que c'est plus simple à manipuler. Certes, celà revient à la même chose, mais je toruve que c'est plus intuitif que de subdiviser comme vous l'avez fait.
J'ai essayé de rendre cette intégrale la plus accessible possible, mais le changement de variable n'est, je crois, pas au programme de terminale (le symbole sigma non plus, mais bon...). Donc, je me voyais mal faire un changement de variable sur une fonction aussi """"bizarre""""" (bornes et cpm).
Bravo pour ce petit bijou !!
Je ferai cependant deux remarques :
1 - la figure représentant la fonction f(x) = x [1/x] n’est pas exacte… Les segments (une fois prolongés) passent par l’origine, ce qui ne correspond pas à votre graphique. Plus précisément, le segment correspondant à x € ]1/(k+1), 1/k ] joint les points Mk (1/(k+1), k/(k+1)) et Nk (1/k, 1). Ces deux points sont sur la droite y = k x, et les Mk sont alignés sur la droite x + y = 1, et les Nk sur la droite y = 1.
NB : Le segment Mk Nk est ouvert en Mk.
NB2 : tous les segments sont inclus dans le carré [0, 1] x [0, 1].
2 - on peut s’inspirer du graphe pour une approche géométrique du calcul, en constatant que l’intégrale sur [0, 1] de f est aussi la somme infinie des trapèzes définis par les segment Mk Nk et leurs projections sur Ox, à savoir les segments ]1/(k+1), 1/k ].
Si on appelle Ak l’aire du trapèze d’ordre k, alors Ak est le produit de la base par la demi-somme des hauteurs, et donc (en calculant 2 Ak) :
2 Ak = (1/k - 1/(k+1)) (1 + k/(k+1))
En développant (audace !) :
2 Ak = 1/k - 1/(k+1) + 1/(k+1)^2
En sommant pour k € N*, on retrouve le télescopage, et aussi la somme zêta (2).
Merci pour vos intéressantes videos !
Il a dit que c’était pas un graphe exact, simplement un moyen de ce donner des idées
@@Toonix11 Oui, bien sûr... mais le graphe exact donne aussi une méthode efficace de calcul de l'intégrale, c'est pour cela que j'ai essayé d'approfondir. Merci pour votre remarque.
Si on n’étudie pas le graphe, on peut aussi résoudre analytiquement :
En posant t = 1/x, et dx = -1/t^2 dt, on obtient I = ∫ [t] / t^3 dt sur [1, +∞ [
Comme [t] / t^3 ~ 1/t^2 lorsque t -> ∞, l’intégrale est convergente.
En séparant l’intervalle : I = ∑ Jn pour n € N*, avec Jn = ∫ [t] / t^3 dt sur [n, n+1[
Ou encore Jn = ∫ n / t^3 dt sur [n, n+1[.
En intégrant : Jn = n/2 [1/n^2 - 1/(n+1)^2]
On retrouve les mêmes termes que dans la video (normal !) et on finit le calcul de la même façon, avec pour résultat π^2 / 12.
NB : le changement de variable permet de simplifier les calculs, et aussi de prouver facilement la convergence.
Merci pour vos retours réguliers sous mes vidéos jp !
@@m.a.t.a.m You're welcome !!
résultat fascinant et très belle présentation merci
Merci !
Merci beaucoup pour ce contenu de haute qualité et très agréable à regarder
Continue comme ça 💪💪
Merci à toi 😁
Magnifique vidéo !! Un bijou, en effet !
Merci beaucoup 😊
Super exercice! Petite remarque: si je ne me trompe pas, en effectuant le changement de variable y = x^2, on obtient une equivalence avec l'intégrale int_0^1 [ 1/ (2 * sqrt(y))] dy. L'aire sous la courbe est directement (la moitié de) la somme des inverses des carrés des nombres entiers (les bandes horizontales sont des rectangles d'aire 1/n^2), et on évite tout l'argument avec le téléscopage.
En fait, je ne connais pas les énoncés des changements de variable avec des fonctions CPM. Déjà qu'il y a des subtilités d'injectivité dans le théorème classique alors là. Mais, a priori, si tu obtiens le bon résultat, c'est que les hypothèses sont vérifiées (ou alors tu as beaucoup de chance).
calcul d'une intégrale très instructif
(pour l'existence malheureusement certains commentaires mettent en évidence que la preuve est faillible)
en admettant l'existence, une autre astuce pour le calcul est d'écrire le k en facteur comme une somme d'unités et d'intervertir les deux symboles sigma (tout est positif tu fais ce que tu veux), et ça se simplifie assez vite
L'existence de l'intégrale est en soit intéressante je parie que beaucoup je justifieraient pas correctement
pas mal pas mal, bravo pour la vidéo
Merci beaucoup !
La partie entière inférieure de x est supérieure stricte à x-1 et inférieure ou égale à x
Super vidéo, magnifique intégrale et magnifique solution ! Quel filtre graphique appliques-tu et (avec quel logiciel) sur tes équations ?
Latex et Illustrator !
C'est vrai que les partie entière on en voit pas souvent dans les exos.
Oui, ça change, c'est cool (même si ça peut faire peur).
Bonjour et merci. À 15:00 il manque tout de même une justification pour scinder la somme en deux...
Elle converge puisque l’integrale converge
Il faut justifier la convergence des deux sommes
Vous avez raison, parfois compliqué de savoir ce qu'il faut justifier ou non...
La justification exacte, me semble-t-il, est que la somme infinie est absolument convergente. Concept qu'on n'abordait déjà pas en terminale de mon temps (années 80) et qui conduisait parfois à des démonstrations bancales.
En même temps j'ai lu dans un autre commentaire que le symbole sigma ne serait plus au programme de terminale ?
wow bluffant ce résultat
Oui c'est beau
j'ai pas regardé la vidéo mais a priori c'est pas comme ça que vous faites.
chgt de var u = 1/x, on découpe trivialement puis on est à une transformation d'abel de zeta(2).
bcp plus simple que de s'emebeter avec des 1/x pour x
Plus simple, mais pas plus accessible. Je dois choisir entre les deux :/
En effet c'est tres beau
Nice mais juste une petite coquille à 6:42 La partie entière de 1/2 n'est pas égale à 1.
Non
je pense qu'il voulait dire 1 et demi
Magnifique merci
Avec plaisir
Intuitivement le pi, on peut se dire que le fait que les segment pivote dangle en fonction de la valeur entière de 1/x, en allant vers 0 ça devient continue, un peu circulaire, ya une vibe
Euh, ouais ? Pas sûr d'avoir compris.
J’étais arrivé jusqu’à la somme mais j’avais pas vu l’astuce du k+1-1 malheureusement, donc j’étais bloqué, et même si je m’étais débrouillé pour faire apparaître la somme des inverses des carrés j’avais une autre somme que je savais pas calculer… je pense que j’aurais pu la faire avec une grosse astuce consistant à transformer le 1/k en intégrale et en permutant les symboles mais ça partait loin mdr
Ce n'est pas trop grave. On peut se débrouiller avec une DES, mais la technique belge est tellement rapide ici !
Claire, concis, efficace
meRci
Merci à vous
Une masterclass...Tout simplement.
Merci beaucoup !
7:38 la représentation graphique de la fonction x partie entière de 1/x est incorrecte. Elle est majorée par 1, et composée de segments de droites passant par l'origine dont la pente est de plus en plus grande quand x s'approche de 0.
Oui, c'est exact. En fait, pour réaliser cette vidéo, je me suis dit qu'incorporer le graphe était une bonne manière d'avoir une approche simple et intuitive. Cependant, le graphe sur GeoGebra ne me semblait pas très clair au voisinage de 0, j'ai donc pris l'initiative d'en faire une approximation qui permet de comprendre l'idée. Je le précise heureusement dans la vidéo !
@@m.a.t.a.m Merci de cette réponse.
Il aurait été souhaitable de modifier l'image pour ne pas troubler des apprenants curieux.
@@YannCogan J'y penserai à deux fois pour la prochaine fois !
il m'as perdu quand un PI au carré est apparu
Mais elle n'est pas du tout continue par morceau, par définition c'est un nombre FINI de points de discontinuité... Sinon l'indicatrice de Q serai intégrable sur un segment (elle à un nombre dénombrable de points à changer pour la rendre continue) mais pourtant elle n'est pas intégrable avec l'int de Riemann (seulement avec lesbegue)
Ta définition est vraie sur un intervalle fermé,
@@m.a.t.a.m non, l'indicatrice de Q n'est pas intégrable meme sur un intervalle fermé comme contre exemple. Je te laisse voir la définition de continuité par morceau sur bibmath ou wikipedia. C'est qu'il existe des sous-division, et cela en nombre FINI, qui est très très important.
@Cypooos Ok.
D'après BibMath, "Si maintenant 𝑓 est définie sur un intervalle
𝐼 de 𝑅 qui n'est plus nécessairement un segment, alors on dit que 𝑓 est de classe 𝐶
𝑘 par morceaux sur 𝐼 si elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans 𝐼."
Tu prends 𝑛∈𝑁*, sur ]1/𝑛,1/(𝑛+1)] la fonction est CPM. Rien de plus.
@@m.a.t.a.m my bad, absolument désolée. Maintenant je n'ai plus de problèmes avec la vidéo, mais j'en ai un avec la def qui rend non continue par morceau une fonction si on rajoute littéralement 1 point...
Genre la fonction qui vaux x*floor(1/x) en x>0 et 0 en 0 n'est pas continue par morceau, mais si on la prend sur ]0;1] elle l'est... J'avais jamais vu cette particularité perso, c'est hyper bizarre que on utilise cette def et j'avais toujours assumer une def plus """""raisonnable""""" ou f est c.p.m. d'un A dans R si A se décompose en une union fini d'intervalle ouvert ou les restrictions sont continue et admettent un prolongement par continuité à chaque bord et que A privé de l'union était fini. Je sais pas si y'a des problèmes avec cette def pour tout les théorèmes usuels, mais au minimum elle me paraissait consistente (rajouter un nombre fini de points ne change pas le coté c.p.m de la fonction)...
Bref je m'excuse pour tout ça btw !
@@Cypooos Aucun problème, au contraire, je me plante comme tout le monde et heureusement que des gens sont là parfois pour remettre en question ce que je dis dans mes vidéos.
Non suelement la solution est magnifique mais en plus... ON A ENFIN TROUVÉ UNE UTILITÉ À LA RELATION DE CHASLES
Et la méthode des rectangles alors?
En vrai ça sert à quoi ce truc dans la vie de tous les jours
C bien une réponse de toquards ça... Vas voir "Les maths ne servent à rien" d'Axel Arno, t'auras ta réponse @@juliencarbone01
@@juliencarbone01Dans la vie de tous les jours, à rien de spécial, mais pourquoi cette question ? Heureusement que l'on ne fait pas que des trucs purement pour "la vie de tous les jours", la vie serait bien fade sinon !
Ça a la même utilité dans la vie de tous les jours que l'histoire, la littérature, regarder des films ou des séries, faire des sudoku, jouer à des jeux : pour le plaisir, pour s'entraîner intellectuellement, etc.
De plus les scientifiques s'en servent pour faire avancer les sciences et donc fatalement ça se répercute sur les technologies et techniques du quotidien.
@@DanielBWilliamsJe n'aurais pas répondu mieux
super video, je trouve ca accessible meme pour moi qui rentre en prepa
Bon courage et merci !
c'est beau, merci très bonne vidéo !
Merci à vous pour votre commentaire (et votre magnifique photo de profil !)
Superbe vidéo !
Merci bien 😁
je me garde ce poulet de côté
sublime
Salut ! Je voulais juste savoir si il existait vraiment un théorème qui permettait de subdiviser de manière infinie les intégrales par la relation de chasles, car je sors de sup et j'ai encore jamais vu ça
Bah comme on passe à la limite via les séries, ça pose pas particulièrement de problème.
Aller pouf, un abonné de gagné.
Ahah merci !
Magnifique.
Oui !
C'est quel niveau,
Bac +....?
Juste pour savoir,
J'ai quitté l'école à 16 ans,
Mais là science m'intrigue..!
Ça me semble être faisable pour u niveau d’une première année de prépa mpsi, peut être deuxième année MP
Édit : j’ai surestimé le programme, c’est déjà passé à l’oral des mines
Merci.
Merci à vous
Très beau problème je suis dans l'obligation de m'abonner.
Merci et bienvenue !
Sans manquer de respect pour moi ce que tu racontes c'est de l'hébreu
La "preuve" de l'existence de l'intégrale n'est pas correcte du tout.
1) EDIT : Confusion de ma part entre fonction CPM sur ]0,1] et sur [0,1]
2) Il y a des petites erreurs dans les inégalités, et faudrait justifier les équivalences, mais à la limite ça c'est pas bien grave.
3) Pour montrer que l'intégrale existe, tu utilises cette même intégrale... c'est un raisonnement circulaire, ça peut pas marcher. Et puis je vois pas pourquoi l'encadrement final permettrait de conclure.
Ici c'est beaucoup plus simple que ça : la fonction est réglée donc elle est intégrable au sens de Riemann, mais malheureusement ça c'est plus au programme de prépa
Je pense qu'on peut s'en sortir avec le fait que f tende vers 1 en 0. Ainsi, elle est intégrable au voisinage de 0, puis elle est intégrable sur tout intervalle [a,1] a>0 puisque continue par morceaux
Tu connais la définition d’une fonction continue par morceaux sur un intervalle ? Tu me sembles un peu perdu…
l'intégrale de Riemann est abordée en prépa, même dans les petites, et accessible au lycée
sinon c'est parfaitement possible de montrer qu'elle converge : on ne somme que du positif, et c'est majoré par une fonction intégrable, c'est nickel
@@pom737 ouais, il est totalement à l’ouest l’autre 😂
@@clement4512 Oui, c'est vrai qu'on peut se servir des intégrales généralisées pour faire illusion. Mais bon c'est pas très élégant
Plus qu'à refaire la vidéo en corrigeant notamment toutes les erreurs repérées dans les commentaires. Mais elle est déjà très bien. ;-)