현장강의 영상이 저장되지 않아, 부득이 추가촬영을 해서 올립니다. [보충] 1) 편집을 하고보니 판서 내용과 설명이 꼬여버렸는데, 2:53 즈음부터 나오는 상적분이란 '상합의 하한' 으로 구해지는 개념입니다. 즉, 곡선의 위까지 뻗은 직사각형들의 면적 합(상합)을 극한으로 쪼개 줄여서(하한) 적분(상적분)을 얻습니다. 2) 9:48 즈음부터 '임의의 양수보다 작으면 0이 된다.'라는 보충 설명은 영상 우측상단의 카드링크나 아래 주소를 클릭해 보시면 됩니다. ☞ ruclips.net/video/aYIxW2Cd0f8/видео.html
유리수의 길이를 구하는 부분의 설명에서 이해가 안가는 부분이 있는데요... 1. 유리수가 불연속적으로 분포되어 있으므로 각부분을 덮는 덮개를 가정하고 무한급수합으로 길이를 구했다는건 이해했습니다. 그런데 그런방식의 설명은 마찬가지로 불연속적으로 분포된 무리수에도 똑같이 적용하면 무리수의 길이도 0이 나오게 되는게 아닌가요? 2. 유리수가 조밀성을 만족한다는것을 고려할때 길이를 갖는 구간에 유리수가 단 하나씩 존재할 수 있나요?
정확히는 Borel 집합이라는 것을 통해 논하는데 이것은 열린집합의 가산개의 덮개으로 나타낼 수 있는 것을 말하고... 유리수는 가산개이므로 유리수마다 하나의 덮개를 정해서 그 폭을 좁히면... 덮개의 길이의 합의 하한이 0으로 됩니다. 그러나 무리수는 가산개가 아니므로 무리수마다 그에 대응되는 덮개를 정하면 가산개가 아니게 되고 이는 Borel 집합이 아니게 됩니다. 따라서 무리수의 집합의 르베그 측도는 0이 아니게 됩니다.
@@하이퍼수학 무리수가 연속성을 띈다는게 무슨 뜻인가요? 유리수는 dense subset이니 두 무리수 사이에 유리수를 언제나 뽑을수 있는 상황이잖아요? (0,1)\Q 에서 르벡 measure가 1인건 그냥 Q가 null set이고 sigma algebra 성질로 부터 유도되는거 아닌가요? 유리수를 뺀 무리수가 연속이라는게 어떤의미인가요?
![[지식in] 분수계 미적분학이란? Fractional Calculus](http://i.ytimg.com/vi/NE-5wmbz7mI/mqdefault.jpg)
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![[지식in] 정말로 점이 모이면 선이 될까?](http://i.ytimg.com/vi/YZKp8cLS4Fw/mqdefault.jpg)
현장강의 영상이 저장되지 않아, 부득이 추가촬영을 해서 올립니다.
[보충]
1) 편집을 하고보니 판서 내용과 설명이 꼬여버렸는데, 2:53 즈음부터 나오는 상적분이란 '상합의 하한' 으로 구해지는 개념입니다. 즉, 곡선의 위까지 뻗은 직사각형들의 면적 합(상합)을 극한으로 쪼개 줄여서(하한) 적분(상적분)을 얻습니다.
2) 9:48 즈음부터 '임의의 양수보다 작으면 0이 된다.'라는 보충 설명은 영상 우측상단의 카드링크나 아래 주소를 클릭해 보시면 됩니다.
☞ ruclips.net/video/aYIxW2Cd0f8/видео.html
와아 이거 정말 궁금했었습니다.
늘 간지러운 곳을 시원하게 긁어주시는 교수님
항상 감사드리옵니당 ^~^
매번 느끼지만 정말 쉽게쉽게 잘 설명해주시네요... 존경합니다.
르베그 적분... 신선한 충격이었습니다. 그냥 새 적분, 좋은 적분이라고만 알고 있었는데 아이디어가 기발하네요
측도론 수업 듣고 다까먹었는데 다시 생각나네요...ㅋㅋㅋ 감사합니다
유리수의 르베그측도 설명하신부분에서 처음에 포인트를 잘못잡아 입실론덮개면 유리수중 한개만 덮을수가 없는데 라고 생각했다가 어짜피 르베그측도 구하는데엔 덮개가 겹치는건 상관없음을 깨닫고 가산집합인 유리수의 측도가 0일수밖에 없는지 알았네요 재밌는 아이디어네요 수학교육과 학생인데 대학원 관심있어서 교수님께 얘기드렸다가 르베그적분은 따로 공부하고가는게 좋다하셔서 책만사두고 안했었는데 가볍게라도 영상보니 조금은 흥미가 생기네요 항상 유익한 영상 감사합니다!
말씀하신 대로 덮개들이
유리수를 모두 포함하기만 하면 되며,
꼭 하나씩만 포함필 필요는 없습니다.
설명 감사드립니다.
좋은강의 항상 감사합니다.
평소에 관심있던 분야가
르베그 적분인데
감격입니다.
좋은 영상 감사합니다 !
최고
하루에 영상이 두개나 ㄷㄷ
모든 유리수를 길이 엡실론/2^n인 n개의 덮개들로 덮을 수 있는가에서 또 증명이 필요하지 않나요? 유리수랑 자연수가 일대일대응 된다는 거요.
가산집합이라는 설명을 그냥 생략하고 간 것 같아요. 하나하나 하다보면 끝도 없으니까요 머
직관적으로 설명하면
유리수는 정수/정수로 표현할 수 있다는 점에서 2차원 데카르트 좌표계에서 x,y좌표가 정수인 점(물론 분모에 해당되는 부분이 0이 돼서는 안되겠지요)을 세는 과정과 동일합니다
이러한 점은 가산 무한이므로 유리수도 가산 집합임을 알 수 있죠
수학이 참 심오하고 오묘한게...0에서 1사이의 유한한 범위 안에 수가 무한히 들어가 있다는것이...ㅎㅎㅎ
재밌다
유리수의 길이를 구하는 부분의 설명에서 이해가 안가는 부분이 있는데요...
1. 유리수가 불연속적으로 분포되어 있으므로 각부분을 덮는 덮개를 가정하고 무한급수합으로 길이를 구했다는건 이해했습니다. 그런데 그런방식의 설명은 마찬가지로 불연속적으로 분포된 무리수에도 똑같이 적용하면 무리수의 길이도 0이 나오게 되는게 아닌가요?
2. 유리수가 조밀성을 만족한다는것을 고려할때 길이를 갖는 구간에 유리수가 단 하나씩 존재할 수 있나요?
무리수는 놀랍게도 연속성을 띕니다. 그러니까 말씀하신 1번 걱정은 안하셔도 됩니다.
구간에 유리수가 여러개 있어도 상관 없습니다. 어쨌든 중복되는 그 모든 구간길이의 합을 0에 수렴시킬수 있다는게 중요한 거죠.
@@하이퍼수학 한 덮개안에 유리수가 여러개 존재하는건 넘어가더라도 덮개사이의 구간에도 조밀성을 적용한다면 덮개 밖에도 유리수가 무한히 존재하게 되는것 아닌가요?
정확히는 Borel 집합이라는 것을
통해 논하는데
이것은 열린집합의 가산개의 덮개으로 나타낼 수 있는 것을 말하고...
유리수는 가산개이므로
유리수마다 하나의 덮개를 정해서
그 폭을 좁히면...
덮개의 길이의 합의 하한이 0으로 됩니다.
그러나 무리수는 가산개가 아니므로
무리수마다 그에 대응되는 덮개를 정하면
가산개가 아니게 되고
이는 Borel 집합이 아니게 됩니다.
따라서 무리수의 집합의 르베그 측도는
0이 아니게 됩니다.
@@1plang949 남는거 없이 모든 유리수에 덮개를 덮어주는겁니다. 이상엽 선생님의 설명을 다시 들어보세요.
@@하이퍼수학 무리수가 연속성을 띈다는게 무슨 뜻인가요? 유리수는 dense subset이니 두 무리수 사이에 유리수를 언제나 뽑을수 있는 상황이잖아요?
(0,1)\Q 에서 르벡 measure가 1인건 그냥 Q가 null set이고 sigma algebra 성질로 부터 유도되는거 아닌가요? 유리수를 뺀 무리수가 연속이라는게 어떤의미인가요?
실제로 적분의 정의만 해도
백가지가 넘고
그 중에는 흥미를 가질만한 것도 있지만
어찌 생각해보면 백가지가 넘는 다는 건
어차피 다 공부할 수 없다는
뜻이기도 합니다.
왠지 유리수는 가산의 무한이라서 0을 아무리 더해도 0이라고 생각했어요 ㅋㅋㅋ
그 개념에서 크게 벗어나는 건 아닙니다...
가산이라 n분의 입실론을 계속 더하는듯이 생각해도 오류가없는듯 합니다
한글로 적혀있는데도 뭔말인지😅😅😅