Zadanie od widza z OMJ - ciekawa nierówność
HTML-код
- Опубликовано: 8 ноя 2024
- Moje rozwiązanie wymaga znajomości iloczynu skalarnego więc każdy kto podchodzi do OMJ raczej będzie szukał innego rozwiązania. Ale takie poszerzy wiedzę więc zapraszam do oglądania :) dzięki Blistar!
![YoungBoy Never Broke Again - Missing Everything [Official Video]](http://i.ytimg.com/vi/dTYeMZGzOzw/mqdefault.jpg)
Ja tu dopiero wstaje i widzę że już rozpracowała to zadanie. Dzięki wielkie 😻. No więc tak naprawdę to byłem niedaleko rozwiązania, bo zauważyłem że zachodzi równość w drugiej nierówności, ale nie zauważyłem że x, y, z muszą być wielokrotnościami 2, 3, 6. To by to całe zadanko rozwiązało, ale tobie się udało a ja się czegoś nauczyłem 😊. Jeszcze raz wielkie dzięki, jak bede miał jakieś inne ciekawe zadanka z którymi będzie problem to będę podsyłał.
@@Blistaar super cieszę się :)
@@pianoplayer281 a jak się rozwiązuje takie: Znajdź dwie ostatnie niezerowe cyfry liczby 1000!
@@EsteraRainbow liczyłbym na pieszo ile jest liczb kończących się jedynka, trójka itd pomijając dwójki, piątki i wielokrotności 10-tki (bo te dadzą zera na końcu). I wiedząc ile jest liczb kończących się jedynka, trójka i siódemka (bo z kolei czwórki to dwójki, szóstki to dwójki i trójki itd - jeśli wiesz o co mi chodzi) to można dać odpowiedź. Może nagram coś z tych rzeczy :) dzięki za świetnie pytanie :)
@@pianoplayer281 Ale dwójek jest więcej niż piątek, więc je też trzeba wziąć pod uwagę. To zadanie jest z krowiastego zbioru, więc powinno istnieć jakieś krótkie rozwiązanie 😫
Jak się policzy dwójki które są bez pary z piątką to będzie znana ostatnia cyfra. Przedostatnia musi z ostatnią tworzyć liczbe podzielną przez 4 , więc zostaje mało możliwości. Lecz nie wiem co dalej....
@@EsteraRainbow tak kojarzyłem te zadanie właśnie. No to policzyłbym ile dwójek i piątek można sparować. Myślę że o to chodzi w tym zadaniu.
Udało mi się rozwiązać, bez używania iloczynu skalarnego.
Wystarczy użyć nierówności Schwarza, mianowicie, zauważmy, że 49 = 2² + 3² + 6²
Załóżmy, że x² + y² + z² < 1
Wówczas:
(2² + 3² + 6²)(x²+y²+z²) < 49
Ponieważ obie strony nierówności są nieujemne, to możemy zrobić z nich pierwiastek, i wówczas z nierówności Schwarza otrzymamy sprzeczność z drugim założeniem, oznacza to, że x² + y² + z² = 1, nast3pnie powtarzamy pierwszy krok, i korzystamy z tego, że w nierówności Schwarza zachodzi równóść wtedy i tylko wtedy, gdy A_i/B_i jest takie samo, niezaleznie od i (inaczej, kiedy ilorazy elementów w wyrazach, są takie same), następnie uzyskujemy, że x/2 = y/3 = z/6
Wyznaczamy x, y i z i teza zadania staje się oczywista.
Zadanie wymagało odrobine pomyślenia, nie jest tak, że losowy AM-GM rozwala je w całości.
@@starydobrymagazyn8592 Dokładnie tak :) natomiast małe sprostowanie - iloczyn skalarny jest bardziej elementarny niż nierówność C-S :)
Dzien dobry, rowniez mam pytanie do zadania ktore podobno jest z matury z roku 1991 (profil matfiz)
"Na plaszczyznie dany jest kat α i punkt P wewnatrz niego. Skonstruowac prosta przechodzaca przez P, odcinajaca trojkat o najmniejszym polu."
Zrobilem to poprzez wsadzenie tego calego kata w uklad wspolrzednych, wyznaczanie rownan prostej przechodzacej przez P, oraz rownanie jednego z ramion (drugie, dla uproszczenia dalem na osi Ox), wyznaczenie gdzie sie one przecinaja w zaleznosci od wspolczynnika kierunkowego prostej przechodzacej przez P, skorzystanie ze wzoru na pole trojkata P=½ab•sinα i jakos to zminimalizowalem (wtedy sama konstrukcja juz nie byla problemem).
Rozwiazanie mi sie srednio podoba i jestem ciekaw czy nie ma pan innego pomyslu na jego rozwiazanie
Bardzo ciekawe zadanie. Z konstrukcji - w mojej 15 letniej karierze z matematyką - nie zrobiłem ani jednego zadania :) no może przeczytałem rozwiązanie do kilku dosłownie z krowy... :) a Twoje wydaje się bardzo ciekawe i na pewno pomyślę. Na pierwszy rzut oka spróbowałbym bez układu współrzędnych, próbując z jakimiś prostymi typu prostopadła do ramienia albo taka, która tworzy równe kąty z ramionami (czyli trójkąt równoramienny) i inne i próbowałbym udowodnić używając nierówności trójkąta, że każda inna już wyznacza trójkąt o większym polu :) Chętnie na to spojrzę :) Dziękuję!
Rozwiązaniem jest prosta wyznaczona przez takie punkty B, C na ramionach kąta, że P jest środkiem BC
Konstrukcja: Niech A to wierzchołek kąta. Odbijamy A względem P, dostając A'. Przez A' prowadzimy proste równoległe do ramion kąta. Punkty przecięcia z ramionami oznaczamy B, C. Dostajemy równoległobok ABA'C o środku w P
Dowód minimalności pola ABC: Niech prosta przez P przecina ramiona kąta w D, E. Powiedzmy, że D leży na odcinku AB, a E na prostej AC, poza odcinkiem AC. Wystarczy pokazać, że pole PEC > pole PDB. Czyli wystarczy |PE| > |PD|, co da się już zrobić jakkolwiek
@@mm18382 dokładnie tak jak nagrałem w shorcie :) bardzo ładne rozwiazanie
@@pianoplayer281 Zdziwiłem się, że u Pawłowskiego nie ma nic więcej o tej nierówności |PE| > |PD|, bo to zasadnicza część dowodu i chyba najtrudniejsza
Np. nie da się tego zrobić szacując |PE| > |PA| > |PD|, bo żadna z tych nierówności nie zachodzi w ogólności
Albo inny pomysł: wydaje się, że, obracając prostą przez P wyznaczającą punkty D, E, różnica |PE| - |PD| zmienia się monotonicznie (z tego już oczywiście wynika to co chcemy). To czasem jest prawda, ale nie zawsze. Zależy od położenia P wewnątrz kąta
Zostawiam do namysłu, da się tę nierówność zrobić bezboleśnie. Mogę napisać za kilka dni
@@mm18382to znaczy tak, ta nierówność PE > PD jest kluczowa i ona zachodzi w oczywisty sposób. To znaczy istotne jest jedynie to, że zachodzi jedna z dwóch: albo PE > PD albo PD > PE. Bo równość nie zachodzi bo tylko punkty A i B mają te własność. I z tych nierówności wynika już nierówność dla pól trójkątów. Pisze na szybko na spacerze w parku ale przemyślę dokładniej w domu.
Jaki zbiór zadań do algebry liniowej?
@@sieradziwi1870 Rutkowski :)
@@pianoplayer281 Dziękuję
No to co, kolejny dzień kolejne zadanie z serii, na które nie mam kompletnie pomysłu po długim zastanowieniu :)
Zadanie:
Udowodnij, że istnieje taka liczba pierwsza p oraz takie liczby całkowite a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, że dla k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 liczby (a_1)^k + (a_2)^k + (a_3)^k + (a_4)^k + (a_5)^k + (a_6)^k + (a_7)^k są podzielne przez p, ale liczba (a_1)^7 + (a_2)^7 + (a_3)^7 + (a_4)^7 + (a_5)^7 + (a_6)^7 + (a_7)^7 nie jest podzielna przez p.
Pochodzenie zadanka:
Obóz Naukowy OMG, poziom OMG, 2016 rok, zadanie 22.
Pozdrawiam i życzę miłego myślenia :)
Bardzo ciekawe. Póki co też nie mam pomysłu ale wieczorem może znajdę czas żeby nad tym posiedzieć to bardzo chętnie pomyślę :) dzięki :)
@@pianoplayer281 I udało się panu coś przekminić? Ja wracając z tatą z kina przez godzinę trochę pomyślałem no i jakiś super wniosków nie znaleźliśmy. No doszliśmy że na pewno p != 2, 3, 5, 7. No i tak naprawdę tyle, może jeszcze jest jakaś metoda żeby podnieść wyrażenie dla k=1 do 7 I coś z wniosków które można mieć po przeanalizowaniu różnic między k=1 i k=2, k=1 i k=3 itd i wtedy by coś powyciągać i dostać jakas zależność która wraz z poprzednimi daje coś ciekawego. No ale taka proba rozwiazania jakoś za bardzo mi się nie podoba tym bardziej że no to k=1 do 7 jakoś za bardzo realne do sensownego policzenia tylko na kartce jakoś nie wydaje z ograniczeniem czasu. Tak na prawdę myślę że tu jest jakiś mega lemat którego nie znam, albo jakiś super fakcik popularny który to zadanie praktycznie od razu prowadzi do rozwiązania. Takie moje przemyślenia i podobne ma mój tata xd. No i tak dodając do kontekstu to mój tata jest prof hab matematyki, jakieś układy dynamiczne czy coś takiego nie wiem i czasem dla funu sobie takie zadanka robi.
@@Blistaar dokładnie takie same wnioski, ponadto napisałem na szybko program, ktory sprawdził mi wszystkie reszty z dzielenia dla p=11 oraz p=13 i też nie pasują. Dla p=17 kombinacji jest za dużo… nie wiem jak to ugryźć zatem :) ale myślę cały czas :) bardzo miło, ze wspólnie z tatą rozwiązujecie :)
@@pianoplayer281 Dobra zrobiłem program i sprawdziłem tyle wartości p ile się udało, czyli do p = 139. Poniżej zamieszczam rozwiązania, jakie udało się znaleźć. Wydaje mi się, że ciekawe na pewno do zbadania jest pierwsze rozwiązanie dla p = 127. Liczę na to, że pomoże to nam w rozwiązaniu tego szacownego zadanka
------------------------- 29 -------------------------
1: 1, 7, 16, 20, 23, 24, 25,
2: 2, 3, 11, 14, 17, 19, 21,
3: 4, 5, 6, 9, 13, 22, 28,
4: 8, 10, 12, 15, 18, 26, 27,
------------------------- 43 -------------------------
1: 1, 4, 11, 16, 21, 35, 41,
2: 2, 8, 22, 27, 32, 39, 42,
3: 3, 5, 12, 19, 20, 33, 37,
4: 6, 10, 23, 24, 31, 38, 40,
5: 7, 18, 26, 28, 29, 30, 34,
6: 9, 13, 14, 15, 17, 25, 36,
------------------------- 71 -------------------------
1: 1, 20, 30, 32, 37, 45, 48,
2: 2, 3, 19, 25, 40, 60, 64,
3: 4, 6, 9, 38, 49, 50, 57,
4: 5, 8, 12, 18, 27, 29, 43,
5: 7, 11, 31, 46, 52, 68, 69,
6: 10, 15, 16, 24, 36, 54, 58,
7: 13, 17, 35, 47, 55, 56, 61,
8: 14, 21, 22, 33, 62, 65, 67,
9: 23, 26, 34, 39, 41, 51, 70,
10: 28, 42, 44, 53, 59, 63, 66,
------------------------- 113 -------------------------
1: 1, 16, 28, 30, 49, 106, 109,
2: 2, 32, 56, 60, 98, 99, 105,
3: 3, 34, 48, 84, 90, 92, 101,
4: 4, 7, 64, 83, 85, 97, 112,
5: 5, 19, 27, 37, 78, 80, 93,
6: 6, 55, 67, 68, 71, 89, 96,
7: 8, 14, 15, 53, 57, 81, 111,
8: 9, 26, 31, 44, 50, 77, 102,
9: 10, 38, 43, 47, 54, 73, 74,
10: 11, 36, 63, 69, 82, 87, 104,
11: 12, 21, 23, 29, 65, 79, 110,
12: 13, 22, 25, 51, 61, 72, 95,
13: 17, 24, 42, 45, 46, 58, 107,
14: 18, 41, 52, 62, 88, 91, 100,
15: 20, 33, 35, 76, 86, 94, 108,
16: 39, 40, 59, 66, 70, 75, 103,
------------------------- 127 -------------------------
1: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,
2: 3, 6, 12, 24, 48, 65, 96,
3: 5, 10, 20, 33, 40, 66, 80,
4: 7, 14, 28, 56, 67, 97, 112,
5: 9, 17, 18, 34, 36, 68, 72,
6: 11, 22, 44, 49, 69, 88, 98,
7: 13, 26, 35, 52, 70, 81, 104,
8: 15, 30, 60, 71, 99, 113, 120,
9: 19, 25, 38, 50, 73, 76, 100,
10: 21, 37, 41, 42, 74, 82, 84,
11: 23, 46, 57, 75, 92, 101, 114,
12: 27, 51, 54, 77, 89, 102, 108,
13: 29, 39, 58, 78, 83, 105, 116,
14: 31, 62, 79, 103, 115, 121, 124,
15: 43, 45, 53, 85, 86, 90, 106,
16: 47, 61, 87, 94, 107, 117, 122,
17: 55, 59, 91, 93, 109, 110, 118,
18: 63, 95, 111, 119, 123, 125, 126,
@@Blistaar Wow super, ciekawe jest dla p=127: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 :) te liczby tworzą grupę cykliczną rzędu 7 z mnożeniem mod 127. Podobnie jest np dla 1,4,16,64,256,1024,4096 i p=5461. Suma siódmych potęg tych liczb przystaje 7 mod 5461, gdy pozostałe sumy są podzielne przez 5461. Więc wydaje się że mamy metodę :)