Данный интеграл определен и в области отрицательных t Это следует из того, что функция f(t)=-x^2-(t/x)^2 - является четной функцией при постоянном х, и непрерывна. Так как мы не интегрируем по t, то можем утверждать, что, искомый интеграл будет функция от t, которая будет четная. Соответственно искомый интеграл в этом случае будет Y(t)=0.5*ПИ^0.5*e^|t|
В книгах есть примеры, на других каналах, конечно, тоже смотрю, ну и еще есть справочники с интегралами (в них есть интегралы с ответами и по ним хотя бы понятно, что конкретный интеграл имеет красивый ответ, а дальше уже можно пробовать его найти).
даа, но в середине, когда делаем замену, используем, что t>0 (там нижний предел -> +бесконечности, если t>0), поэтому и нужно, строго говоря, рассматривать потом предел при t->+0...
ну там же весь смысл решения, чтобы как-то прийти обратно после дифференцирования к тому же интегралу (для этого пределы в интеграле должны получится от 0 до бесконечности). Когда делаем замену: при x->+0 u->+бесконечности только если t>0 (так что в этом месте, строго говоря, используем факт, что t>0)
да, я тогда знал про этот способ (сначала именно им решил, а потом мне попался тот, что в видео), он мне показался значительно интереснее: тут приводится к диф. уравнению, что более необычно и расширяет горизонты :) а в этом просто очередной раз серия замен :) я другой похожий сделаю потом этим способом ради разнообразия ;)
Когда я считал этот интеграл Интеграл от 0 до бесконечность e^(-x²)sin(x) , с трюком Фейнмана надо било решить этот уравнение, и меня удалось решит её.
тут одна переменная, по которой дифференцирование (t), а другая - переменная интегрирования. Посмотрите подробнее в книгах про дифференцирование интеграла по параметру.
Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления». Сейчас любят говорить, что это устаревшая книжка, но в ней очень много разных примеров (скорее всего и этот есть, но точно не помню).
никак не отношусь, не читал. Когда я учился, мне как-то было не до книжек по мат.анализу - обходился лекциями. Книги по мат.анализу открыл впервые уже через много лет, после того, как закончил учится и интересовали меня какие-то конкретные вопросы, красивые примеры, результаты к которым ведут теоремы, а не строгие их доказательства и фундаментальные основы, на которых они держатся. И мне кажется, Зорич как раз не про задачки, а про основы.
![Felix "Unfair" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/Oswujxm2Ag0/mqdefault.jpg)
Великолепное решение. Большое Спасибо за интересное видео.
Находить интеграл через решение дифференциального уравнения, получившегося после дифференцирования по параметру под знаком интеграла - просто балдёж
Как всегда превосходно. Спасибо Вам за Ваш труд
Лишний раз убеждаюсь, что Ричард Фейнман - один из лучших умов ХХ века 🤩
Вообще то этот метод придумал Лейбниц, а Фейнман его часто использовал, решал многие интегралы, которые другими методами не решались.
UVAJOUKHA!!!!!PROSTO SUPER!!!!
Браво! Без лишней воды, но все прозрачно и понятно
Спасибо. Реально крутой трюк
Потрясающе!
Классно! Красивейший интеграл будет при t = 1/2.
Спасибо. Великолепно!
Красота! Впрочем, как всегда
Fantastic work
Данный интеграл определен и в области отрицательных t Это следует из того, что функция f(t)=-x^2-(t/x)^2 - является четной функцией при постоянном х, и непрерывна. Так как мы не интегрируем по t, то можем утверждать, что, искомый интеграл будет функция от t, которая будет четная. Соответственно искомый интеграл в этом случае будет Y(t)=0.5*ПИ^0.5*e^|t|
Очень полезный и неотъемлемый метод) Особенно для интегралов Фурье и преобразованиях
Всегда было интересно: где вы берёте такие балдёжные примеры? Из книжек, или с зарубежных каналов по математике?
В задачнике Демидовича вроде такое было. Только без Антидемидовича, они не кажутся такими балдежными, как правило))
В книгах есть примеры, на других каналах, конечно, тоже смотрю, ну и еще есть справочники с интегралами (в них есть интегралы с ответами и по ним хотя бы понятно, что конкретный интеграл имеет красивый ответ, а дальше уже можно пробовать его найти).
А еще есть Градштейн-Рыжик
Вот что трюк животворящий делает
Огонь
Интегральные фокусы
Оаааааа
Как это красиво...
Спасибо за видео.
Но вопрос. Мы же изначально и так знаем у(0). И необходимо просто решить задачу Коши
даа, но в середине, когда делаем замену, используем, что t>0 (там нижний предел -> +бесконечности, если t>0), поэтому и нужно, строго говоря, рассматривать потом предел при t->+0...
ну там же весь смысл решения, чтобы как-то прийти обратно после дифференцирования к тому же интегралу (для этого пределы в интеграле должны получится от 0 до бесконечности). Когда делаем замену: при x->+0 u->+бесконечности только если t>0 (так что в этом месте, строго говоря, используем факт, что t>0)
@@Hmath Точно! Спасибо.
Решил пересмотреть старые видео)
Через призму нового опыта увидел элегантное и более простое для понимания решение)
Однако, нужно *заметить что* ...
J = S[0, +oo) e^-(x² + 1/x²) dx
Замена: x = 1/t.
S(+oo, 0] e^-(t² + 1/t²) d(1/t) =
S(+oo, 0] - e^-(t² + 1/t²) /t² dt =
Замена t = x
S[0, +oo) e^-(x² + 1/x²) /x² dx
Итого теперь
2J = S[0, +oo) e^-(x² + 1/x²) (1 + 1/x²)dx
*Заметим что* d(x - 1/x) = 1 + 1/x²
(x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2
Замена u = x - 1/x
2J = S[-oo, +oo) e^-(u² + 2) d(u) =
e^-2 * S[-oo, +oo) e^-u² du
А это уже интеграл Пуассона)
2J = e`² √π
J = √π / 2e
да, я тогда знал про этот способ (сначала именно им решил, а потом мне попался тот, что в видео), он мне показался значительно интереснее: тут приводится к диф. уравнению, что более необычно и расширяет горизонты :) а в этом просто очередной раз серия замен :) я другой похожий сделаю потом этим способом ради разнообразия ;)
Было бы неплохо, если бы мы знали откуда и зачем возникают те или иные формулы и интегралы.
Это уже часто видно в физике, интеграл Эйлера-Пуассона нужен для вывода функции распределения Максвелла, например
Зачем я это смотрю, если недавно сдал ЕГЭ и интегралы изучал на очень базовом уровне
так же. Просто очень интересно, да и нас это ждёт уже в скором времени
А можете решить этот диференциальное уравнение
f'(x)=1+xf(x) но его можно решить с рядами
довольно интересное. может когда-нибудь сделаю такое видео :)
Когда я считал этот интеграл
Интеграл от 0 до бесконечность e^(-x²)sin(x) , с трюком Фейнмана надо било решить этот уравнение, и меня удалось решит её.
А разве нет никаких проблем от того, что мы берем частную производную, а не полную?
тут одна переменная, по которой дифференцирование (t), а другая - переменная интегрирования. Посмотрите подробнее в книгах про дифференцирование интеграла по параметру.
@@Hmath А можно книжку посоветовать, где эта тема хорошо освещена? Буду очень благодарен)
Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления». Сейчас любят говорить, что это устаревшая книжка, но в ней очень много разных примеров (скорее всего и этот есть, но точно не помню).
@@Hmath А как вы к Зоричу относитесь ?
никак не отношусь, не читал. Когда я учился, мне как-то было не до книжек по мат.анализу - обходился лекциями. Книги по мат.анализу открыл впервые уже через много лет, после того, как закончил учится и интересовали меня какие-то конкретные вопросы, красивые примеры, результаты к которым ведут теоремы, а не строгие их доказательства и фундаментальные основы, на которых они держатся. И мне кажется, Зорич как раз не про задачки, а про основы.
Подскажите, пжл, почему мы условились считать t>0?
там, где делается замена: u=t/x пределы интегрирования получатся от 0 до +бесконечности, только если t>0
@@Hmath понял, спасибо
А если принять, что t
Почему так важно уточнять, что t>0?
при замене x->+0 u->+бесконечности (если t>0)
иначе было бы минус бесконечность (если t
@@Hmath иными словами, при отрицательных t несобственный интеграл расходится :)