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ありがとうございます！
ありがとうございます。励みになります。
コレは文句なしの良問ですね
めちゃめちゃいい問題やん！
これはいい問題👏👏けど入試で出たら絶句せざるを得ませんね...
mod3で上手くいかなかったので、nを1から代入してしらみつぶしで1個答えは見つかったが他にないことを示せませんでした
早朝に寝ぼけまなこで見てて｢2021か、それなら簡単だな｣って思ってたけど2001だったか思ったより大変だった
唯一のヒントであるはずの「2001」に惑わされているといつまでも解けない問題。この問題のカギを握る本質的な定数は「2002」であり、貫太郎さんはさりげない実験ののち「自然に」気づかれたかのように解説を進めているが、こんなの普通は気づかない。2001は3の倍数なので初手のmod 3は着想しやすいが、その後のmod a、(a+1)、8のすべてに着想が飛ばないと解決には至らないという恐ろしい問題。各ステップでやっていることは定跡通りとはいえ、それを積み重ねていくことは決して容易いことではなく、難関大入試でも出しづらい問題と見る。もしこれが入試で出されるとしたら、医学部の入試でいくつかの誘導が付いているのではないかと思われる。
僕だったら入試でこんなのが無誘導で出されたら捨て問にするか部分点を取る戦略になりそうです（解析系の問題で完答目指します）。やはりこのコメント欄の方々は「特殊に訓練」されているなぁ…。
3の倍数のヤツは最悪やらなくても、mod (a+1)でnが奇数だと、mod aで出したaの候補＋1が2000の約数でないといけなくなって、a＝1しか残らないので除外出来ますね。俺はそうしました。
あ、ダメか。a＝7も入るか？
厳選200問のやつ購入しました！いつもお世話になっております！！
ありがとうございます。
合同式は使わずに解きました。左辺にー1すると、aが外に出る形でくくれるので、aの候補を2、11、7、13のどれかに絞り、あとは当てはまるnがあるか調べました面白かったです！合同式、慣れないとな・・・。
a=13, a=2 は前半部分と同じように考えて1つの候補として出てきました。ｎがある程度大きな数だと底がひとつ増えると指数が1つ減っても n+1 乗した数より大きくなる場合が多いのでｎは小さな値なんだろうなぁという予想も立ちました。しかし自分の実力ではとても後半の議論は思い浮かびませんでした。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
一週間かけてもサムネイルで解けなかった。くやしー！aかnの漸化式による一般項を出すとどうにかなるかなと思ったけど無限地獄に陥った。代入で誤魔化したくなかったという想いはあった。
modの底力を感じました。ところで、他の人がこの問題は数列の問題かと思ったということが述べられてましたが、これはmod以外の数列などの他の解法はありませんか。
なぜか動画開くまで数列かと勘違いしてたmodって面白いなぁ
全く同じです笑笑
n=2,a=13は何とかわかりましたが、それしかないことを示すのはむつかしかったです。数列から？合同式？からと考えましたが、難しかったです。今日もありがとうございました。
いい問題。因数分解できないかなといろいろやって停止。Modで考えはしたけどもう一歩だったなぁ。答えがひとつしかないとは驚き。
解き方は同じでした。あと、mod 23やmod 29でも考えてみました。xⁿ⁺¹, (x+1)ⁿの余りが同じになるイメージ。できなくはないが、手計算だとかなり面倒でした。
なるほど！2002の約数のうち、連続しているものが13,14のみなので13しか当てはまらないといえるわけですね
@@田村博志-z8y 確かにそうですね
mod a mod a+1 とは。。。 mod3 mod4で手が止まった者にはびっくり！！
2001=3×667しか、合いませんでした。(a+1)^nに、二項定理を使うのかと思いました。mod3からn=2lくらいは、できるようになりたいものです。n=1,2とはめていくことは、いったんですが…。本日もありがとうございました。
これは難しいですね～正直ちゃんとは解けませんでした。動画のとおり，最初に１つの解(a , n) = (13 , 2)を見つけて，その後にa ≡ 1(mod 3)であることと，nが偶数であることと，aが2002の約数であることも分かりました。そうなるとaは最小でも7であることからa = 7を代入してnを大きくしていく実験だけをした感じです。以降は厳密な解法ではありませんが，一応載せておきます。その前段でf(x) = x^(n + 1) - (x + 1)^nという関数を考えて，微分するとf'(x) = (x + 1)^(n - 1){(n + 1)x + 1} > 0 ①であるため，関数f(x)はx > 0の領域で単調増加となることを示しておきました。また，g(x) = a^(x + 1) - (a + 1)^xという関数を考えて，微分するとg'(x) = a^(x + 1) * ln a - (a + 1)^x * ln(a + 1) = ln a * [{a^(x + 1) - (a + 1)^x * {ln(a + 1)/ln a} ] ②a = 7，x = 2で②を考えるとg'(2) = ln 7 * {7^3 - 8^2 *(ln 8/ln 7)} > 0関数f(a)がaに対して単調増加なので，aが大きくなるにつれてa^(n + 1) - (a + 1)^nが大きくなる一方でlim [a→∞] = ln(a + 1)/ln a = lim [a→∞] {a/(a + 1) } = 1であるため，aがある程度大きければ，g'(x) > 0と考えられるので，a≧7では，g'(x) > 0と考えられる。(1)n = 4でa = 7を考えると，与式に代入して7^5 - 8^4 = 2711で，①よりaをさらに大きくすると，2711よりもさらに大きくなるため，以降解なし(2)n = 6でa = 7を考えると，与式に代入して7^7 - 8^6 = 561399で，①よりaをさらに大きくるとと，561399よりもさらに大きくなるため，以降解なしこのように，nがこの程度の値で既に増加傾向にあるため，これ以上探しても2001よりは大きい値となると考えられるため，他に解は無さそうと考えました。これ以上の方法が思いつきませんでした。
難しいといいつつも何とか解く さすがですよ😃
@@coscos3060 さんまあ、厳密性はないんですけどね😅
面白かった。２００１＝３の倍数は判るが、これ、数列Σでも行けるんじゃないかと思った。これを足して2021になるような式を作ればいいので、その時のaの条件を突き止めれば…と予想したのだが、合同式で攻略したのはびっくり。よくよく考えてみるとこっちの方が綺麗ですよねぇ…
おはようございます。n に次々と自然数を代入して、n=2, a=13 が解であることはすぐにわかった。それから展開して整理することで、a× (a の n次式) = 2002 = 2×7×11×13になることも。次に mod3 で元の式から a≡13, n は偶数ということもつきとめた。a=13 は確定なので、あとは n=2 以外に解がないことを言えば良いのだけど、そこから先へ進めず、動画を見てしまいました…。あと一歩だったのにな〜。悔しゅうございます。
最後の評価のとこ帰納法使った
おはようございます。論理的思考力や分析力、計算力等を問われる良問と考えられます。数学の醍醐味を堪能しました。 貫太郎先生ありがとうございました。
これできなかったな！悔しい😡
mod8に至らない😢
mod a、mod a+1だけで、議論しても、aの候補は決まる。7と13。しかし、nが偶数、そして2のみであることを示すには、mod3、mod8などが必要になる。そこがセンスですね。難しかったです。
おはようございます。動画はまだ見ていないのですが、一組だけ答えを見つけましたので下記に書き留めました。回答はこの一組だけかは分りません。出かけますので、帰ってきたら再スタートします。ｎ＝１のときは該当する自然数aは無いｎ＝２のときa^3ー(a+1)^2＝2001a^3ーa^2ー2a＝2002(aー2)a(a+1)＝11×13×14よりa=13a＝13、ｎ＝2
おはようございます😌
ヨシッ❗コレ、自作問題ですか？よくこんなの思い付きましたね。恐らく、13^3－14^2＝2001に気付いた時に出来た問題でしょうね。20年前の出題なら、更にヨシッ（笑）❗動画と同じく、mod aとmod (a+1)でa＝13を見つけ、続いてn＝2を見つけました。多分これだけだろうと思い、やめてしまいましたが、nが大きくなると左辺がマイナスになるので、「下り」にもう一つある可能性もあったのですね。もう少し吟味が必要でした。失敗❗
おはようございます。13^3=2197=9^2+46^2 なのですが、これでは、良問になりそうにないですねぇ。ここは、ラマヌジャン先生にお出まし願いましょうか（笑）
うぃ
うぃめちゃ眠い
ありがとうございます！
ありがとうございます。励みになります。
コレは文句なしの良問ですね
めちゃめちゃいい問題やん！
これはいい問題👏👏
けど入試で出たら絶句せざるを得ませんね...
mod3で上手くいかなかったので、nを1から代入してしらみつぶしで1個答えは見つかったが
他にないことを示せませんでした
早朝に寝ぼけまなこで見てて｢2021か、それなら簡単だな｣って思ってたけど2001だったか
思ったより大変だった
唯一のヒントであるはずの「2001」に惑わされているといつまでも解けない問題。
この問題のカギを握る本質的な定数は「2002」であり、貫太郎さんはさりげない実験ののち「自然に」気づかれたかのように解説を進めているが、こんなの普通は気づかない。
2001は3の倍数なので初手のmod 3は着想しやすいが、その後のmod a、(a+1)、8のすべてに着想が飛ばないと解決には至らないという恐ろしい問題。
各ステップでやっていることは定跡通りとはいえ、それを積み重ねていくことは決して容易いことではなく、難関大入試でも出しづらい問題と見る。
もしこれが入試で出されるとしたら、医学部の入試でいくつかの誘導が付いているのではないかと思われる。
僕だったら入試でこんなのが無誘導で出されたら捨て問にするか部分点を取る戦略になりそうです（解析系の問題で完答目指します）。やはりこのコメント欄の方々は「特殊に訓練」されているなぁ…。
3の倍数のヤツは最悪やらなくても、mod (a+1)でnが奇数だと、mod aで出したaの候補＋1が2000の約数でないといけなくなって、a＝1しか残らないので除外出来ますね。俺はそうしました。
あ、ダメか。a＝7も入るか？
厳選200問のやつ購入しました！いつもお世話になっております！！
ありがとうございます。
合同式は使わずに解きました。左辺にー1すると、aが外に出る形でくくれるので、
aの候補を2、11、7、13のどれかに絞り、
あとは当てはまるnがあるか調べました
面白かったです！
合同式、慣れないとな・・・。
a=13, a=2 は前半部分と同じように考えて1つの候補として出てきました。
ｎがある程度大きな数だと底がひとつ増えると指数が1つ減っても n+1 乗した数より大きくなる場合が多いのでｎは小さな値なんだろうなぁという予想も立ちました。
しかし自分の実力ではとても後半の議論は思い浮かびませんでした。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
一週間かけてもサムネイルで解けなかった。くやしー！aかnの漸化式による一般項を出すとどうにかなるかなと思ったけど無限地獄に陥った。
代入で誤魔化したくなかったという想いはあった。
modの底力を感じました。
ところで、他の人がこの問題は数列の問題かと思ったということが述べられてましたが、
これはmod以外の数列などの他の解法はありませんか。
なぜか動画開くまで数列かと勘違いしてた
modって面白いなぁ
全く同じです笑笑
n=2,a=13は何とかわかりましたが、それしかないことを示すのはむつかしかったです。数列から？合同式？からと考えましたが、難しかったです。今日もありがとうございました。
いい問題。
因数分解できないかなといろいろやって停止。
Modで考えはしたけどもう一歩だったなぁ。
答えがひとつしかないとは驚き。
解き方は同じでした。
あと、mod 23やmod 29でも考えてみました。
xⁿ⁺¹, (x+1)ⁿの余りが同じになるイメージ。
できなくはないが、手計算だとかなり面倒でした。
なるほど！2002の約数のうち、連続しているものが13,14のみなので
13しか当てはまらないといえるわけですね
@@田村博志-z8y 確かにそうですね
mod a mod a+1 とは。。。 mod3 mod4で手が止まった者にはびっくり！！
2001=3×667しか、合いませんでした。(a+1)^nに、二項定理を使うのかと思いました。mod3からn=2lくらいは、できるようになりたいものです。n=1,2とはめていくことは、いったんですが…。本日もありがとうございました。
これは難しいですね～
正直ちゃんとは解けませんでした。
動画のとおり，最初に１つの解
(a , n) = (13 , 2)
を見つけて，その後に
a ≡ 1(mod 3)
であることと，nが偶数であることと，aが2002の約数であることも分かりました。
そうなるとaは最小でも7であることから
a = 7
を代入してnを大きくしていく実験だけをした感じです。
以降は厳密な解法ではありませんが，一応載せておきます。
その前段で
f(x) = x^(n + 1) - (x + 1)^n
という関数を考えて，微分すると
f'(x) = (x + 1)^(n - 1){(n + 1)x + 1} > 0 ①
であるため，関数f(x)はx > 0の領域で単調増加となることを示しておきました。
また，
g(x) = a^(x + 1) - (a + 1)^x
という関数を考えて，微分すると
g'(x) = a^(x + 1) * ln a - (a + 1)^x * ln(a + 1)
= ln a * [{a^(x + 1) - (a + 1)^x * {ln(a + 1)/ln a} ] ②
a = 7，x = 2で②を考えると
g'(2) = ln 7 * {7^3 - 8^2 *(ln 8/ln 7)} > 0
関数f(a)がaに対して単調増加なので，aが大きくなるにつれてa^(n + 1) - (a + 1)^nが大きくなる一方で
lim [a→∞] = ln(a + 1)/ln a = lim [a→∞] {a/(a + 1) } = 1であるため，
aがある程度大きければ，g'(x) > 0と考えられるので，a≧7では，g'(x) > 0と考えられる。
(1)n = 4でa = 7を考えると，与式に代入して
7^5 - 8^4 = 2711
で，①よりaをさらに大きくすると，2711よりもさらに大きくなるため，以降解なし
(2)n = 6でa = 7を考えると，与式に代入して
7^7 - 8^6 = 561399
で，①よりaをさらに大きくるとと，561399よりもさらに大きくなるため，以降解なし
このように，nがこの程度の値で既に増加傾向にあるため，これ以上探しても
2001よりは大きい値となると考えられるため，他に解は無さそうと考えました。
これ以上の方法が思いつきませんでした。
難しいといいつつも何とか解く さすがですよ😃
@@coscos3060 さん
まあ、厳密性はないんですけどね😅
面白かった。
２００１＝３の倍数は判るが、これ、数列Σでも行けるんじゃないかと思った。
これを足して2021になるような式を作ればいいので、その時のaの条件を突き止めれば…と予想したのだが、合同式で攻略したのはびっくり。
よくよく考えてみるとこっちの方が綺麗ですよねぇ…
おはようございます。
n に次々と自然数を代入して、n=2, a=13 が解であることはすぐにわかった。
それから展開して整理することで、
a× (a の n次式) = 2002 = 2×7×11×13
になることも。
次に mod3 で元の式から a≡13, n は偶数ということもつきとめた。
a=13 は確定なので、あとは n=2 以外に解がないことを言えば良いのだけど、そこから先へ進めず、動画を見てしまいました…。
あと一歩だったのにな〜。悔しゅうございます。
最後の評価のとこ帰納法使った
おはようございます。論理的思考力や分析力、計算力等を問われる良問と考えられます。数学の醍醐味を堪能しました。
貫太郎先生ありがとうございました。
これできなかったな！
悔しい😡
mod8に至らない😢
mod a、mod a+1だけで、議論しても、aの候補は決まる。7と13。しかし、nが偶数、そして2のみであることを示すには、mod3
、mod8などが必要になる。そこがセンスですね。難しかったです。
おはようございます。動画はまだ見ていないのですが、一組だけ答えを見つけましたので下記に書き留めました。回答はこの一組だけかは分りません。出かけますので、帰ってきたら再スタートします。
ｎ＝１のときは該当する自然数aは無い
ｎ＝２のとき
a^3ー(a+1)^2＝2001
a^3ーa^2ー2a＝2002
(aー2)a(a+1)＝11×13×14
よりa=13
a＝13、ｎ＝2
おはようございます😌
ヨシッ❗
コレ、自作問題ですか？よくこんなの思い付きましたね。
恐らく、13^3－14^2＝2001に気付いた時に出来た問題でしょうね。20年前の出題なら、更にヨシッ（笑）❗
動画と同じく、mod aとmod (a+1)でa＝13を見つけ、続いてn＝2を見つけました。多分これだけだろうと思い、やめてしまいましたが、nが大きくなると左辺がマイナスになるので、「下り」にもう一つある可能性もあったのですね。もう少し吟味が必要でした。失敗❗
おはようございます。
13^3=2197=9^2+46^2 なのですが、これでは、良問になりそうにないですねぇ。
ここは、ラマヌジャン先生にお出まし願いましょうか（笑）
うぃ
うぃ
めちゃ眠い