이런 문제들이 과거 (꽤 오래전 본고사)에서는 단골 입시 문제 였습니다. 일본에서는 아직도 출제 됩니다. --- 이 문제는 y=x^(1/x)그래프를 이해해야 한다고 하는데... 어렵네요. 암튼... 그래프 특성에 따라 e^π > π^e라고 하네요. 암기해봐야 응용문제 나오면 못푸니 결과를 암기할 필요는 없습니다. -- Ray수학님의 설명이 제일 쉬워요 참고로 "e^π vs π^e"라고 검색하면 다른 나라 풀이법과 비교가능 합니다
선형대수학을 배우는 이유는 크게 2가지라고 생각이 됩니다. 첫번째는 선형성인데요. 우리가 중고등학교때 배웠던 시그마, 극한, 벡터, 미분, 적분은 모두 lim(A+B)=limA+limB와 같이 덧셈에 대해 분배가 가능하며 실수배도 가능합니다. 이는 원점을 지나는 일차함수 f(x+y)=f(x)+f(y)와 같은 성질이라고 해서 선형성이라 부릅니다. 따라서 이러한 선형성에 대해 공부하면 선형성을 띄는 모든 것에 대해 접근할 수 있게 됩니다. 두번째는 선형대수학에서 다루는 벡터와 행렬의 개념인데요. 쉽게만 따져보면 벡터는 차원을 만드는 축 역할을 하며(basis, axis) 행렬은 그 차원 공간 또는 그 해결값이라고 볼 수 있습니다. 따라서 3차원과 실수에서만 다뤘던 중고등학교과정에서 더 나아가야하는 학부과정에서 가장 기본이 되는게 선형대수학이라서 공대와 수학과에서는 1학년때 선형대수학을 배웁니다. 나중에 선형대수학뿐만 아니라 다른 과목에 대해서도 정리를 해보려고 하는데 그 때 다시 한번 정리해보겠습니다.^^
이런 증명법도 있지만.. 다른 방식으로도 할 수 있습니다 2^3과 3^2를 비교하면 밑이 더 큰 3^2가 큽니다. 하지만 3^4과 4^3을 비교하면 밑이 작은 3^4이 더 큽니다. 이렇게 n이 2보다 큰 정수일 때, n^(n+1) > (n+1)^n 이 성립함을 알 수 있습니다. 비록 e와 pi가 정수는 아니지만 모두 2보다 크기 때문에 위와 같은 논리로 밑이 더 작은 e^pi가 더 크다는 것을 알 수 있습니다. 솔직히 약간 야매(?)에다가 예외가 있을 수도 있고 증명하는 법도 모르겠지만, 방금 떠오른 아이디어라서 한 번 적어봅니다..ㅎㅎ 영상 잘 보구 있어요!!
p=원주율 k=임의의 실수 e^p=p^e+k^e라 가정 e^(p/e)=p+k ln(p+k)=p/e 여기서 함수 lnx와 x/e의 교점과 도함수를 비교 교점은 (e,1) 도함수 교점은 (e,1/e)이므로 x값 e에서 교점, 도함수 교점을 가지므로 (e,1)에서 기울기 1/e로 접함 이때 ln(x+k)=x/e에 대해 p>e이므로 그래프 상 ln(x+k)그래프는 왼쪽으로 이동해야함(둘이 한점에서만 접하므로 그래프가 오른쪽으로 가면 해가 안생김) 이를 만족하는 k는 양수 즉,e^p=p^e+k^e e^p>p^e (k가 음수면 해가 안나온다고 이의를 제기할 수 있겠으나, 실수만을 다루므로 양수일 경우에 해가 없으면 귀류법에 의해 음수로 보내면 됨) 이상, 수학 좋아하는 고1이었습니다.
대소비교를 할 때는
1. 뺀다
2. 나눈다
3. 그린다
순으로 접근하면서 문제를 해결해주세요.
이번 6월 평가원에서도 그린다로 풀면 더 빨리 풀 수 있었죠?
Ray님 감사합니다. 논술에 비슷한 문제나와서 이거생각하고 풀어냈습니다.
진짜 예술이다..
이거 옛날 수리논술에서 풀어봤는데 너무신기해서 아직도 안잊혀진다
님은 정말로 천재세요.
e^x>=x+1 에 x=pi/e-1을 대입.(등호는 x=0일 때 성립)
e^(pi/e-1)>pi/e
e^(pi/e)>pi
e^pi>(pi)^e
훨씬쉽네
Apple pie?
애초에 e^x>=x+1이 왜 성립하는지.. 궁금하네요 ㅎㅅㅎ
@@행복한양 x=0에서 접해요
@@행복한양테일러 급수에서 유도된겁니다.
예전 사관학교 문제에 이 아이디어를 이용한 문제가 있죠 10년 전쯤인가
이런 문제들이 과거 (꽤 오래전 본고사)에서는 단골 입시 문제 였습니다.
일본에서는 아직도 출제 됩니다.
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이 문제는 y=x^(1/x)그래프를 이해해야 한다고 하는데... 어렵네요.
암튼... 그래프 특성에 따라 e^π > π^e라고 하네요.
암기해봐야 응용문제 나오면 못푸니 결과를 암기할 필요는 없습니다.
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Ray수학님의 설명이 제일 쉬워요
참고로 "e^π vs π^e"라고 검색하면 다른 나라 풀이법과 비교가능 합니다
x^(1/x) 그래프로 푸는 건 번거롭고요, 여기에 ln을 취한 형태인 y = lnx / x 의 그래프를 통해 푸는게 훨씬 쉽고 간단합니다.
고등학생 때 봤던 문제네요
풀이를 알아내고 되게 놀랐던 기억이 있네요
양변을 ln씌워서
lne^ㅠ - lnㅠ^e
이식을 eㅠ로 나누면
lne^(1/e) - lnㅠ^(1/ㅠ)
x^1/x는 e에서 최댓값이므로 0보다 크다
따라서 e^ㅠ이.더 크다
근삿값으로 계산기 대입하려 했는데
2.7의 3제곱
3.1의 2.7제곱
이렇게 넣으려니까 2.7제곱이 처리안되는 내폰
CalcES같은 공학용 계산기 앱 다운받아 쓰세요.. 그러면 근사값이 아니라 그냥 넣어도 됩니다
2^e과 e^2도 해주세요
아 자야하는 데 궁금해졌어... 중3의 잠... 허어
완전 판박이처럼 똑같은 방법으로 풀어서 깜짝 놀랐어여;;
영상 잘 보고 있습니다!! 이번에 공대에 입학했는데 선형대수학을 배우는 이유를 알려주실 수 있나요?? 배우는 이유를 모르겠어요 😂
선형대수학을 배우는 이유는 크게 2가지라고 생각이 됩니다.
첫번째는 선형성인데요. 우리가 중고등학교때 배웠던 시그마, 극한, 벡터, 미분, 적분은 모두 lim(A+B)=limA+limB와 같이 덧셈에 대해 분배가 가능하며 실수배도 가능합니다. 이는 원점을 지나는 일차함수 f(x+y)=f(x)+f(y)와 같은 성질이라고 해서 선형성이라 부릅니다. 따라서 이러한 선형성에 대해 공부하면 선형성을 띄는 모든 것에 대해 접근할 수 있게 됩니다.
두번째는 선형대수학에서 다루는 벡터와 행렬의 개념인데요. 쉽게만 따져보면 벡터는 차원을 만드는 축 역할을 하며(basis, axis) 행렬은 그 차원 공간 또는 그 해결값이라고 볼 수 있습니다. 따라서 3차원과 실수에서만 다뤘던 중고등학교과정에서 더 나아가야하는 학부과정에서 가장 기본이 되는게 선형대수학이라서 공대와 수학과에서는 1학년때 선형대수학을 배웁니다.
나중에 선형대수학뿐만 아니라 다른 과목에 대해서도 정리를 해보려고 하는데 그 때 다시 한번 정리해보겠습니다.^^
선대는 필수
@@Ray수학 선형사상은 왜배우나요...?
이런 증명법도 있지만.. 다른 방식으로도 할 수 있습니다
2^3과 3^2를 비교하면 밑이 더 큰 3^2가 큽니다. 하지만 3^4과 4^3을 비교하면 밑이 작은 3^4이 더 큽니다. 이렇게 n이 2보다 큰 정수일 때, n^(n+1) > (n+1)^n 이 성립함을 알 수 있습니다. 비록 e와 pi가 정수는 아니지만 모두 2보다 크기 때문에 위와 같은 논리로 밑이 더 작은 e^pi가 더 크다는 것을 알 수 있습니다.
솔직히 약간 야매(?)에다가 예외가 있을 수도 있고 증명하는 법도 모르겠지만, 방금 떠오른 아이디어라서 한 번 적어봅니다..ㅎㅎ 영상 잘 보구 있어요!!
1. n^(n+1)>(n+1)^n은 n=2에서 성립하지 않고 n=3에서 성립하므로 2
근데 대충 지수랑 밑이랑 비슷하면 지수가 큰게 더 크더라구요
e^(x/e)-x 는 x≥e 에서 증가하니 e^π＞π^e
오 ㅋㅋ
와
직관적으론 e^파이가 클거같긴한뎅
자연로그를 써도 좀더 대소관계를 빨리 알수 있지 않을까요? ^^
이게 자연로그 쓴 풀이에요.
@@김익명-n9v 처음부터 양변에 ln을 취하라는 얘기 같슴다.
나는 이렇게 풀었는데 e^pi는 이를 pi 곱한 건데 pi가 더 크니까 e^pi라고합
수학과 면접 기출문제..
그냥 감으로 e^pi
p=원주율
k=임의의 실수
e^p=p^e+k^e라 가정
e^(p/e)=p+k
ln(p+k)=p/e
여기서 함수 lnx와 x/e의 교점과 도함수를 비교
교점은 (e,1)
도함수 교점은 (e,1/e)이므로
x값 e에서 교점, 도함수 교점을 가지므로 (e,1)에서 기울기 1/e로 접함
이때 ln(x+k)=x/e에 대해 p>e이므로
그래프 상 ln(x+k)그래프는 왼쪽으로 이동해야함(둘이 한점에서만 접하므로 그래프가 오른쪽으로 가면 해가 안생김) 이를 만족하는 k는 양수
즉,e^p=p^e+k^e
e^p>p^e
(k가 음수면 해가 안나온다고 이의를 제기할 수 있겠으나, 실수만을 다루므로 양수일 경우에 해가 없으면 귀류법에 의해 음수로 보내면 됨)
이상, 수학 좋아하는 고1이었습니다.
x-elnx도 추가염~ 이함수의 최소는 x=e에서 0이라 x에 ㅠ를 느면 ㅠ>elnㅠ 이므로 e의ㅠ승이 ㅠ의e승보다 커져여
당연이 e의 Pi 제곱에 크지
이^파 대 파^이
이파대파이
지수함수 두개로 풀어도 되지 않나 밑이 e인 지수함수와 밑이 ㅠ인함수
결론 e^pi>pi^e
e는 대충 2쯤 파이는 대충 3쯤
2에 3제곱보다 3의 2제곱이 더 크니까
대충 파이에 e제곱이 더 크지 않을까?
저도 그 생각 했네요 ㅎㅎ...
반올림하면 둘다 3임
a^b 와 b^a를 비교 할 때 지수 부분이 큰 게 더 큼.
이 뿐 아니라 a^b와 c^d를 비교할때도 b가 d보다 크다면 c가 압도적으로 크지 않는 이상 대부분 a^b가 더 큼.
반례: 2^3 3^2
@@sciencesuper3901 그건 차이가 작잖아요 ..
@@판처파우스트-p5m 차이가 크다 작다는 기준이 너무 모호한거 같아요
극한의 정의로 한없이 가까워진다라는 표현조차도 모호하다고 느끼는 수학에서
차이가 크다 라는 주관적인 기준은 엄밀하지 않다고 말할 수 있습니다.
하지만 쉽죠?
Desmos에서 x^y
증명은 못하지만 저는 이렇게 생각합니다.
a,b에서 a>b면 a^b보다 b^a 가 크다고 생각합니다.
(a, b는 1초과의 수)
예를 들어, 2^10=1024, 10^2=100으로 2^10이 더 큰 것처럼 말입니다.
a=3,b=2라는 반례가 존재합니다.
영상에서 보신 함수가 e가 최댓값이므로e를 기준으로 결과가 바뀝니다