Perché i²=-1? Una spiegazione dei numeri complessi per chi non li ha mai digeriti davvero
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- Опубликовано: 27 авг 2024
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Hai già provato ad applicare il prodotto fra numeri complessi come viene descritto nel video? Ad esempio:
• qualsiasi quantità (reale o complessa) moltiplicata per 1 rimane invariata perché 1 è il "versore" dei reali e il suo angolo con l'asse dei reali è zero;
• il prodotto fra due numeri reali negativi dà come risultato un numero reale positivo perché l'angolo rispetto all'asse reale di un numero negativo è 180° e 180°+180°=360° e si fa tutto il giro e si torna sull'asse reale positivo. Ti vengono in mente altri esempi?
Io preferisco questa visione geometrica perchè dire che -1 * -1 fa +1 in quanto è l'opposto dell'opposto può essere vero, ma non rende l'idea come il vettore che ruota.
io ti ammiro, quanta matematica avrai studiato anche fuori dalla fisica per fare questi video? chiaramente sono cose banali, ma sentirti parlare di chiusura algebrica mi ha commosso.
Beh...di matematica a fisica se ne studia parecchia, gli esami sono tosti
Grazie mille. Questa è la migliore spiegazione sui numeri complessi che abbia mai sentito.
Bel video! A me piace "presentare" i numeri complessi in quest'altro modo, ditemi che ve ne pare:
- Non esiste(va) nessun numero che, elevato alla seconda, facesse -1; o, in altri termini, non esiste(va) la radice di -1.
- Allora si è pensato: visto che questo numero non esiste, perché non "IMMAGINARE" un nuovo tipo di numero, tale che il suo quadrato faccia proprio -1? In altre parole si presenta l'unità immaginaria "i" come un "nuovo tipo" di numero introdotto appositamente per risolvere un problema che era impossibile da risolvere con i "soli" numeri reali.
- Però, quando in matematica si introduce un nuovo concetto, esso deve risultare coerente con tutto il resto della matematica, in particolare con le operazioni e con gli "altri" numeri già esistenti (i reali). È un po' come introdurre una nuova regola in un gioco che però non deve confliggere con le altre regole preesistenti del gioco stesso, in modo da evitare contraddizioni e poter continuare a "giocare" sia con i "vecchi" numeri reali che con questa nuova unità immaginaria.
- E allora si comincia a vedere cosa succede con le 4 operazioni, trattando questa unità immaginaria, che consiste in una lettera, come un comune monomio. Per esempio, cosa succede se facciamo i + i? Si ottiene 2i, che chiamiamo "numero immaginario". E con altri esempi simili abbiamo sistemato la somma algebrica fra numeri immaginari.
- E cosa succede se facciamo la somma algebrica fra un numero immaginario e un numero reale? Per esempio, 3 + 2i è una somma algebrica in cui possiamo trattare il 2i come un monomio che, essendo chiaramente non simile al monomio 3, rende questa somma algebrica non riducibile. Quindi ci dobbiamo tenere quella somma di monomi così com'è: un monomio reale e l'altro immaginario. Ecco, questa coppia di monomi la chiamiamo "Numero Complesso" e così abbiamo introdotto la rappresentazione algebrica di un numero complesso. Poi possiamo "giocare" a fare le 4 operazioni e la potenza con i numeri complessi, trattando i numeri complessi come dei semplici binomi, ricordando però che i²=-1 e scoprendo poi che i³=-i, che i^4 = 1 e così via per le altre potenze.
- Dopodiché su può dire: prendiamo un numero complesso e andiamo a scoprire che esso può essere rappresentato, oltre che in questa forma algebrica, anche prendendo la parte reale e il coefficiente della parte immaginaria e usandoli come coppia di coordinate per rappresentare un punto in un piano cartesiano. Così scopriamo che un numero complesso corrisponde anche a un vettore, e poi andiamo a interpretare il calcolo con i numeri complessi anche nel piano cartesiano, introducendo a questo punto anche il modulo e l'angolo rispetto all'asse reale, e anche la rotazione che si ottiene dalla moltiplicazione come hai descritto nel video.
- E poi si può passare alla rappresentazione trigonometrica, in cui in pratica "ricicliamo" il modulo e l'angolo già visti nella forma cartesiana per arrivare alla forma trigonometrica z = r[cos(α) + i·sin(α)], e poi ci rimettiamo a "giocare" con le operazioni fra numeri complessi anche in quest'altra rappresentazione.
Che te ne pare? A me il fatto di partire dall'idea «Ragazzi, se la radice i -1 non esiste, allora immaginiamola» mi sembra un modo molto "divertente" (anche se non rigoroso) di introdurre questo argomento. Invece quel partire direttamente dalla "coppia numerica (a, b)" come fanno tutti i testi mi sembra davvero il modo peggiore di far impattare gli studenti con questo argomento.
Grazie, è la prima volta che capisco qualcosa sui numeri complessi che, per me, erano solo definizioni. Video che condividerò perché merita. Ciao, ti seguo con grande interesse
Grazie per l'argomento trattato 😊❤ Da ex studente di matematica, corollo quanto detto. In primis, segnalo un refuso: il piano complesso è C², non C, poiché per «piano» si intende il prodotto cartesiano di qualcosa con sé stessa. Riguardo ai numeri complessi, il discorso è articolato. Intanto, dobbiamo partire dal presupposto che i numeri si "generano" per rispondere a determinati problemi algebrici, per esempio 2x + 1 = 0. Quando cu rendiamo conto che i naturali non permettono di rispondere al problema, pian piano si ampliano, cercando di conservare la coerenza. Questo approccio fu usato da Indiani e Greci, da Tartaglia e Cardano, fino al XIX secolo, con l'avvento dell'algebra moderna. Algebricamente, grazie a Kronecker e altri, sappiamo che possiamo costruire strutture algebriche partendo da altre, a patto di eseguire certe manovre. Partendo dai naturali, anche per via assiomatica, muniti di somma e prodotto, posso costruire gli interi (anello) e i razionali (campo dei quozienti). Posso costruire anelli di polinomi, l'anello degli interi gaussuani, e anche l'estensione complessa dei razionali, che risulta essere un campo algebricamente chiuso. La costruzione dei reali richiede un passaggio non algebrico ma trascendentale, portando alla completezza (continuità). Da lì, poi, posso eseguire nuovamente la costruzione algebrica e ottenerne la chiusura, ossia i complessi. Nel fare queste manovre, dobbiamo costruire nuove strutture al fine di ampliare quella precedente, definire operazioni e congruenze, passare alle strutture quoziente e verificare l'immersione effettiva tramite isomorfismi. Dunque, l'operazione della nuova struttura, che amplia la precedente, formalmente è la stessa ma si comporta alla stessa maniera se la restringiamo agli elementi della struttura immersa; pertanto, l'operazione nuova è un ampliamento di quella vecchia. «L'algebra non distingue fra cose isomorfe...» 😊
Ciao, no il piano complesso è proprio la rappresentazione bidimensionale dei complessi di cui parlo nel video, come puoi verificare su qualsiasi libro di testo in cui si fa uso di tale termine.
Like meritato! Quanto avrei voluto una spiegazione così al triennio di elettrotecnica, dove le somme e differenze delle correnti e tensioni in alternata si fanno sfruttando i vettori e quindi i numeri complessi. Purtroppo a metà anni duemila non c'era ancora youtube (o forse era proprio agli albori). Gli studenti di oggi non sanno quanto sono facilitati nella comprensione di argomenti come questi accedendo a contenuti come il tuo.
Chapeau!
Ps. All'epoca pensavo che chi avesse ideato questa rappresentazione vettoriale per facilitare i calcoli di forme d'onda sinusoidali fosse stato un genio!
11:40
Ottimo video! Spiegato con questo approccio l' argomento è decisamente più comprensibile rispetto alla classica introduzione dell' unità immaginaria "come atto di fede" 😅
Spiegazione finalmente comprensibile in profondità perché vista per i suoi effetti da vero fisico! Top
Questo video è bellissimo!...bravo bravo bravo!
Sarebbe interessante un esempio reale di un fenomeno fisico spiegato attraverso l'utilizzo dei numeri complessi. Complimenti ottimo video.
Fantastico!. Credevo di avere le idee abbastanza chiare sull'argomento, ma si sono aperte nuove prospettive.
Grazie, sei davvero in gamba.
Credo che una cosa molto utile a chi è appassionato di numeri immaginari (ma che non li ha mai usati) sia qualche esempio pratico di utilizzo in situazioni concrete.
Certamente l’approccio visivo geometrico e la modalità più efficace per le menti meno capaci di strazione. Se poi si aggiungono spiegazioni sulle possibilità di applicazione a situazioni reali, sarebbe anche più interessante. Come ammiro chi sa spiegare con tanta chiarezza.
Ciao, è tanto che ti ascolto e mi piace il tuo modo di comunicare la fisica. Perché non parli un po' dell' opera di Damiano Anselmi? A me da profano sembra un approccio promettente...
Complimenti, è migliorata molto la qualità dei video negli anni! Solo un suggerimento, che darei anche ad alcuni miei professori universitari, di essere meno monotono, nel senso di alterare il tono della voce portando enfasi su parti salienti. Si vede che in parte lo fai ma secondo me potresti accentuare questa caratteristica. Buona fortuna!
Ecco perché mi affascina un ingegnere trasforma la complessa e bella teoria in pratica mica roba da poco bellissima spiegazione 👍
Esprimere i numeri complessi come la sottoalgebra pari bidimensionale di Clifford. In anzitutto si parte da due vettori a1e1+a2e2+...+anen e si costruisce il prodotto in questo modo:
ab=+a/\b
Dove:
è il prodotto interno
Mentre
/\ è il prodotto esterno
Il prodotto geometrico è:
Associativo
Distributivo rispetto la somma
Omogeneo e
Commutativo con uno scalare.
Cosa succede se facciamo dei prodotti con i versori di base
Proviamo con i versori di base con se stesso
ekek=+ek/\ek=1+0=1
Per il parallelismo e la normalità dei versori
ekel=+ek/\el=0+ek/\el=
0-el/\ek
Per l'anticommutativà del prodotto wedge e la perpendicolarità dei versori.
Se sono paralleli
ab=ba in quanto la parte anticommutativa è nulla
Perpendicolari
ab=-ba
In quanto la parte commutativa è nulla
Se definiamo i numeri complessi come la sottoalgebra peri di Clifford otteniamo a+e1e2b Che è isomorfo ad un vettore nello specifico è
e1(ae1+be2)
Poiché a,b sono scalari vale la commutatività inoltre vale l'associatività e la distributività dunque
e1(ae1+be2)=ae1e1+be1e2 per le proprietà appena dimostrate abbiamo
ae1e1+be1e2=(a)1+be1e2=
=a+e1e2b CVD
Dove e1e2=i unità immaginaria
Ora dimostriamo che i²=-1
(e1e2)²=(e1e2)(e1e2)
Per le proprietà appena dimostrate
(e1e2)(e1e2)=-e1(e2e2)e1=
=-e1(1)e1=-e1e1=-1 CVD
Altro modo di dimostrarlo secondo un'altra definizione
Da cui viene detto i non più immaginario.
Complimenti, chiarissimo e utile! Sarebbe carino adesso utilizzare lo stesso punto di partenza della coppia ordinata e della particolare legge di moltiplicazione per ricavare la forma esponenziale e infine quella trigonometrica. Così potremmo ricavare quello che serve nei calcoli, senza dover imparare a memoria formule astruse.
In effetti questa cosa della rotazione aiuta a dare senso al fatto che l'ente matematico dei numeri complessi sia qualcosa di peculiare (come hai detto, non un semplice spazio vettoriale) che, quindi, aiuta a risolvere delle equazioni di fisica.
Domanda di curiosità: potrebbe esistere ed avere un senso un ente simile ai numeri complessi, ma con 3 o più dimensioni?
I quaternioni
Non conoscevo questa dimostrazione, molto interessante 🎉
Sei proprio bravo 👏
Dico solo una cosa....SEI UN GRANDE... complimenti per il video stupendo
infatti vista in questa prospettiva è meno complicato la compressione dei numeri complessi,cioè osservati da un punto di vista geometrico.video da salvare.grazie
bella spiegazione, grazie
Sei un genio! Finalmente ho capito 😊
Spiegazione eccellente grazie mille
Caro professore, non altri esempi, mi affascina il completamento della matematica con il numero complesso. Quello che mi sono azzardato chiamare: “invarianza entro simmetria interrotta dei numeri reali”. La risoluzione i^2=-1, va aldifuori dalla retta reale, ma la incorpora il piano. Ciò significa che la soluzione complessa non dipende dagli stessi dati, ma che tuttavia non possiamo dire che la soluzione non sia invariante rispetto la parte “immaginaria” in quanto quest’ultima compresa nella funzione reale del piano.
-Cordiali saluti
Potrebbe essere utile, in qualche modo, introdurre un versore anche per la parte reale di un numero immaginario?
Molto interessante grazie :)
Appena possibile può postare un video sulla teoria loop quantum gravity?
Finalmente ho capito il motivo ❤
Grazie👍😊
L'idea di base dei video è molto bella, mi piace qualcuno che spieghi queste teorie fisiche. Ma purtroppo le tue spiegazioni non sono molto comprensibili per chi non ha già una base degli argomenti. Dovresti essere molto più esplicativo di così, soprattutto utilizzando esempi pratici che rendano le informazioni più fruibili
Non si può piacere a tutti, se dovessi partire dall'ABC ogni volta farei solo video da 40+ minuti e in quel caso ci si lamenterebbe della lunghezza. Solitamente cerco di dare per scontate almeno lo conoscenze che si possono acquisire in un normale percorso di scuole superiori, ma sicuramente in futuro cercherò di creare anche contenuti dedicati a chi non ha quelle conoscenze!
Interessante
Ciao bel video, ma come fai a rappresentare su un piano due grandezze (a e b) che per formare un numero complesso si sommano, non rappresentano delle coordinate in uno spazio bidimensionale bo.... strano x me
per definizione!
Esatto!
Sarebbe molto interessante un tuo video sui quaternioni
Io non ho mai capito perché si possono utilizzare 3 unità immaginarie i, j e k quindi 4 ioni, oppure il doppio, oppure il quadruplo (Quaternamilianonagenisenions bellissimo numero) ma non solo due unità, solo cinque ecc
O almeno io non ho mai trovato delle spiegazioni, neanche sul significato geometrico di i e j da soli
UNa domanda: ma studiando la parabola d'equazione Y=X2+1 se volessi studiarla graficamente nel piano di Gauss cosa otterrei? Avevo pensato a due parabole con concavità opposta che interseca non l'asse degli imagginari in i ed in -i
Non sarebbe in due dimensioni
c'è una cosa che non mi è chiara: hai detto che il prodotto di due numeri complessi è la somma degli angoli dei numeri
prendo come esempio 1+i che equivale ad un angolo di 45°
Se lo moltiplico per se stesso dovrei avere un angolo di 90° data la somma dei due angoli, però il risultato che ottengo sommando gli angoli e traslocando il punto iniziale è √2i, però se faccio il calcolo a mano invece è 2i, cosa sto sbagliando?
Ciao, gli angoli si sommano ma il modulo è dato dal prodotto dei moduli. Il modulo di 1+i è radice di due, pertanto il modulo del prodotto (dato dal prodotto dei moduli) sarà due. L'angolo sarà giustamente 90°.
Anche nell'algebra geometrica si possono definire le rotazioni ma anche in più di due dimensioni
Da ragazzo mi aiutòmvisivamente chiamarli Numeri Laterali piuttosto che Immaginari
Ricordo che mi avevano introdotto la i, con il fatto che non esistesse una soluzione alla radice di numeri negativi come rad(-1) e che quindi quel numero avremmo dovuto chiamarlo i
Perché non attivi gli abbonamenti?
1:01 questo significato di prodotto come "potenza additiva" perde di senso già se non si lavora con i numeri interi. In Q continua a valere "a meno di rapporti", ma in maniera diretta smette di avere senso quella interpretazione intuitiva (e primitiva) di prodotto. In altre parole, nel campo reale, esattamente come succede nel video per i complessi con l'unità immaginaria i, la moltiplicazione pi*sqrt(3) non può essere intuita come sommare sqrt(3) volte pi (cioè come potenza additiva)! Nei reali il prodotto può essere interpretato piuttosto come una "dilatazione\contrazione" di un vettore sulla retta reale. Quindi questo aspetto dei complessi non è qualcosa di veramente nuovo o strano se ci si riflette in fondo in fondo.
Musil tratta dei numeri immaginari nel romanzo "I turbamenti del giovane Törless"
Nell'algebra geometrica c'è anche l'isomorfismo con i quaternioni.
Non è stato dato alcun significato intrinseco del significato del numeri complesso ed in particolare di i
In viso assomigli molto ad Einstein da giovane
Come ebbi a dire tempo fa è tutta un equivoco basato sulla parola "numero", dovuto al fatto che nel risolvere equazioni si cercassero soluzioni non risolvibili in R. Tuttavia, anche il più semplice problema di fisica, come le forze applicate su un corpo, richiedo per forza che vi sia la direzione e un verso, cambiando direzione e verso cambiano i risultati, quindi appare necessario usare i vettori. Un vettore a zero gradi di modulo uno lo chiamiamo +1, uno a 180 gradi -1, e uno a +90 gradi lo chiamiamo "i" ma un vettore a 90 gradi non è diverso da uno a zero gradi, però la terminologia usata per ragioni storiche li chiama reali, immaginari, ecc.. creando solo confusione...un pò come il qwerty della tastiera che non è certo la disposizione più efficiente ma che si è affermata per ragioni storiche. La parola "numero" andrebbe lasciata quando usiamo gli scalari, cioè quando indichiamo "quanto" di quell'unità, mentre per il resto andrebbero usati i vettori, ecco perchè il passaggio da N a Z non è in realtà così scontato, va bene se dobbiamo disegnare una funzione perchè allora cerchiamo i valori più semplici da calcolare ma sono oggetti diversi, in Z abbiamo un centro di simmetria, lo zero che in N non c'è.
Ho capito perché l universo in espansione
Un altro modo per vedere il significato che i²=-1 è quello di utilizzare l'algebra geometrica di Clifford
Ho capito perché l universo sembra in espansione
Ho sempre trovato misterioso il mondo dei numeri immaginari. Ad esempio, √-i quanto fa?
Nell'ambito dei numeri complessi le radici non sono più univocamente determinate, precisamente la radice n-esima di un numero complesso ha n risultati possibili. Tenendo conto di questo, le due radici quadrate di -i sono 1/√2 - i/√2 e -1/√2 + i/√2. Puoi verificare tu stesso elevando questi numeri al quadrato :)
Ma perché cazzo nessuno me l'ha mai spiegato così
Frase che ho detto dopo molti video di Random Physics e di 3blue1brown, quest'ultimo in riferimento all'algebra degli spazi vettoriali
Ecco perché: "In every case learning proceeds from the concrete to the abstract and not vice versa. However, the major reason for the popularity of the axiomatic rigorous approach is that it is easier to teach. The entire body of material is laid out in a clear, clean-cut sequence and all the teacher has to do is repeat it. He has but to offer a canned body of material."
(Morris Kline: Logic versus Pedagogy)
Se i professori ripetono come pappagalli, allora anche gli studenti sono autorizzati a fare altrettanto. Quanti tra gli studenti (e i professori!) avranno capito veramente?
Sei troppo cartesiano (nel senso di seguace) 😂😅- ovviamente sto scherzando -
Oggi pessimo audio. 😢