Perché nella fisica si usano i numeri complessi?
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- Опубликовано: 31 июл 2024
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Наука
Sono laureato in ingegneria elettronica e non ho mai smesso di studiare matematica, fisica ed elettronica sui testi "tradizionali".
Seguendo anche questi video "divulgativi" , sovente esemplari nella loro chiarezza, mi sono reso conto che molte cose che si pretende insegnare nei testi "tradizionali" partendo "dai massimi sistemi" potrebbero essere introdotte più proficuamente con il "taglio" utilizzato in questi video, realizzati da persone competenti, che hanno realmente capito di che cosa si sta parlando, e non si limitano a copiare cose scritte da altri:
seguendo Foscolo "grandi traduttori dei traduttori d’Omero".
Ancora complimenti all'autore.
Vero. Certi testi sono troppo criptici tipo il Sernesi di Geometria 1 quindi serve anche la divulgazione. Quando entrai in internet nel 1996 c'erano solo i newsgroup come it.scienza.matematica e affini con discussioni tra studenti e professori del calibro di Elio Fabri (Normale di Pisa).
Fino all'età di 55 anni non avevo mai sentito neppure menzionare i numeri immaginari e tanto meno i numeri complessi. Si può vivere senza mai conoscerli. Ma scoprirli e capirli è una conquista e un'emozione impagabile. La lezione è, come sempre, esemplare.
Specialmente finalmente riesci a capire come funzionano e a cosa serve...vero integrale e derivate?
Amico mio se se hai tempo dai spazio all analisi non standard è davvero fantastico come nel modello della matematica tutto ciò sia realizzabile
I complessi possono sembrare cose molto astratte ma si usano in questioni anche tecnologiche , cioè pratiche, come l'elettrotecnica e l'elettronica. Si dovrebbero incontrare per la prima volta al liceo.
@@ichnussa_sardiniainfatti si incontrano al liceo
@@fernandodisumma certo io allo scientifico li ho fatti ma le applicazioni le vedevano solo gli amici dell'ITIS
Bellissimo video, complimenti! Sarebbe interessante anche uno sulla trasformata di Fourier di cui hai fatto un brevissimo accenno.
Che bel video! Complimenti!
Finalmente qualcuno che spiega perchè servono certi strumenti di calcolo, e non la solita lezione in cui bisogna imparare i numeri complessi perchè fa parte del programma. Magari avessi avuto professori più coinvolgenti proprio in questa maniera. Sinceramente, devo ancora capire perchè ci furono spiegati gli insiemi star e quale sia il loro reale utilizzo, però sò che esistono...
Bravissimo, taglio panoramico e trasversale, che serve sia a chi entra da neofita nella materia, sia a chi deve ricalibrare e rivedere con un'altro punto di vista le stesse conoscenze di base.
4 materie della triennale di ingegneria informatica compattata in 23 min, sei un grande!!
Magari avessi avuto, dei professori come te a scuola. I numeri complessi li studiai alle scuole superiori e non ci ho mai capito una mazza. Oggi a distanza di 30 anni, finalmente capisco i numeri complessi. Grazie.
@@GioJonnhyK Per quanto fossero stati degli asini quei professori, non credo parlassero a vanvera come lei!
Video molto interessante, in quanto spiega semplicemente e con estrema chiarezza un argomento non a tutti familiare.
Ciò che si dice lezione "tecnicamente" magistrale. Riesci a farmi intuire anche quando nn capisco assolutamente niente! 👍👍👍
grande Gabriele, spiegazione asciutta ed ampia che collega in chiaro modo un sacco di dilemmi che mi sono trascinato per anni GRAZIE
sei veramente un grande, ti ringrazio. Sono uno studente del terzo anno di Ingegneria Informatica
Complimenti per i tuoi video, hai delle doti didattiche straordinarie. Grazie per il tuo lavoro.
Grande Gabriele! Mi sono rinfrescato un bel po' di cose che ho studiato al primo anno di università. Se avessi avuto questo video ai tempi, sicuramente avrei fatto meno fatica, fortunati quelli che stanno studiando proprio ora ;)
Bravissssimo! Ho 69 anni e dopo aver ripassato i .... mi sono chiesto quali fossero le applicazioni materiali di i. Grazie grazie. Lei è bravissimo.
Sei fatto per insegnare. Una lezione così ad elettrotecnica 25 anni or sono, mi avrebbe fatto molto comodo.
Ottima lezione professore. Risulta naturale apprezzarli per il semplice fatto che in meccanica quantistica li richiede il principio di sovrapposizione per correlazione a distanza e l’ampiezza di stato che può manifestarsi solo attraverso il piano. Cordialmente la saluto.
Bellissimo video, incredibile che esistano dei video in italiano fatti così bene
Bravissimo, complimenti mi hai illuminato e risolto un quesito che mi ponevo da tempo.
Bravissimo, video ben fatto e spiegazione illuminante, mi auguro anche tu faccia anche i video su derivate e integrali👍👍
Uno dei video più belli mai visti su questo canale sotto il punto di vista divulgativo
Sei veramente bravo a spiegare !! Complimenti
Grande, bellissimo video. Complimenti per quello che fai.
Video interessantissimo. Spiegazione chiara. Bravo!
...al minuto 17.05 è rappresentato semplicemente (per esempio) il quadrante di un OROLOGIO le cui lancette ruotano in senso antiorario. Guardando il quadrante dall'alto , (in verticale quindi) vedremmo effettivamente rappresentato sull'asse delle X il movimento delle lancette(ore e minuti) in ogni momento della giornata . Aggiungendo la lancetta dei secondi, avremmo il risultato di 3 movimenti armonici sovrapposti.
Video fatto molto bene, impeccabile come sempre. Complimenti
Bellissima spiegazione e video.
Grazie.
Sei di una chiarezza straordinaria!
Molto bello. Io li ho usati spesso… ma il video mi è stato utilissimo perché mette in evidenza la loro origine. Grazie
Finalmente un video sul tubo dove ci sono 21280 Like e nessuno dislike!! , sei veramente bravo
Bellissima idea, che aiuta a capir meglio la matematica che, non a caso, é la lingua della fisica!
Grazie!
Video Davvero Affascinante!!!! Ed Utile Grazie!!!!!!
Bellissimo video, davvero complimenti
Bellissimo video! Complimenti
"dove sta l'angolo?" è veramente una chicca. gran bel video, grazie!
Chiaro e esaustivo, grazie
Complimenti, spiegazione per quanto ridotta nella sua semplicità è esaustiva.
Ben spiegato... bravo!
Gran bel video. Per me chiarissimo. Grazie
Spiegazione spettacolare!!
Ciao Gabriele, sei un grande!!!!
Bravissimo, come sempre.
Grazie Gabriele ! Appena puoi gentilmente fai un video “ a cosa servono derivate e integrali “ e quindi magari il passaggio da sommatoria a integrale . Ti ringrazio molto
Ormai per me sono passati decenni dall'università ma complimenti per la sintesi e la chiarezza dell'esposizione.
Spiegazione perfetta 👌
Bravo , argomenti interessanti
Spiegazione Magistrale!
Ecco una dimostrazione pratica del fatto che non esistono cattivi studenti, ma solo cattivi maestri. Chiarissima esposizione, veramente alla portata di chiunque. Esempi e grafiche scelti alla perfezione. Bravissimo.
Ma bastaaa con sti commenti scritti per assolvere a priori lo studente!! Facile scaricare ogni responsabilità sui professori, eh?! "Poverino, va male nella tal materia per colpa del prof :'( !!" Ebbene, se questo succede, non è certo la regola! I cattivi studenti esistono e come, a prescindere dai bravi o cattivi maestri che hanno davanti: sono gli studenti menefreghisti, gli svogliati cronici, gli spacconi, gli insolenti, quelli che il pomeriggio hanno da far altro, piuttosto che i compiti . E la colpa non è del prof, la colpa è tutta loro e dei genitori incapaci che quasi sempre si ritrovano. Finiamola con la stupidaggine che il lavoro debba farlo tutto il docente, che la voglia debba trasmetterla il docente e cazzate del genere: i somari esistono da sempre ed esisteranno sempre, a scuola come nella vita, a tutte le età.
No però ora non puoi lasciarmi col dubbio riguardo l l'interpretazione fisica della parte immaginaria come accennato a 19:00 :D
prossimo video trasformata e antitrasformata di Fourier e di Laplace così passiamo dal tempo alla frequenza e viceversa :)
Grazie per la spiegazione, ho finalmente capito a cosa servono
che bel video , complimenti
Ho visto il video domenica sera, e ieri mattina abbiamo fatto esattamente questo argomento in università. ricavando l'equazione del moto armonico. Interessante😅
video eccezionale.. viva gli esponenti!
Bravo come sempre
Sei un fuoriclasse
Ottimo! Gia'ho capito qualcosa di piu'delle mie conoscenze!
19:18 sarebbe interessante un video a riguardo
Sto studiando analisi complessa e mi hai aperto la mente
Grazie, finalmente ho capito cosa sono i numeri complessi!
grazie del Tuo impegno
Bellissimo video
Bravo, grazie
Grazie!
Averlo potuto vedere nel 2004/2005 quando ho iniziato il triennio di Elettrotecnica avrebbe semplificato molto le cose: argomenti che invece erano molto "fumosi".
Ecco un bel argomento interessante
Hai citato il caso del condensatore ; lo trovo un caso molto significativo, perché dà un senso ai numeri immaginari, secondo me.
In un circuito puramente resistivo la corrente è formata da elettroni che si muovono spinti dalla differenza di potenziale, come le gocce di un fiume.
Che succede quando ci mettiamo un condensatore?
Gli elettroni, invece di andare avanti (o indietro) per il circuito, si dispongono sulle armature del condensatore... secondo me questo spiega perché sono elettroni "immaginari" rispetto ad elettroni che viaggiano lungo il filo.
Genio!
Sarebbe stato utile fare il confronto tra un vettore P(x,y) e un numero complesso z = x+iy
Il fatto è che le operazioni tra vettori non soddisfano a certi fenomeni fisici, come per esempio il prodotto.
Per non parlare dei quaternioni
Ma il regno dei numeri complessi si trova nello studio delle funzioni analitiche e la possibilità di calcolare integrali con semplici passaggi a limite
Quaternioni
il professore di fisica ideale! Spiega bene, lineare (non complesso ahaha) ed è gnocco!
Domanda che non ho mai capito, capisco il fatto che i numeri immaginari siamo comodi. Ma come è possibile che si possa associare ad ho un significato fisico ai numeri complessi. Tipo perché posso dire che l’indice di rifrazione ha una parte complessa?
La trasformata di Laplace e relativa ai numeri complessi?
Grazie per il video, molto chiaro :)
1)E' corretto affermare che il campo complesso è identico al piano descritto da R^2? Se la risposta a fosse "no", cosa distingue C da R^2?
2) Se la risposta a 1)fosse "si", esiste una notazione simile a C per R^2 anche per R^3, 4, n? Se la risposta fosse "si", fino a che dimensione di R si sono sviluppati insiemi numerici specifici? Ci sono ragioni sostanziali (tipo quelle illustrate nel video) per averlo fatto?
3) Se la risposta a 2) fosse "no" che cosa ha R^2 rispetto a R^3 ..4...n di speciale, per cui c'è una notazione specifica per per R^2?
Ringrazio in anticipo (e mi scuso se le domande potessero risultare insensate a causa delle mie basi non proprio solide) :)
1) Non sono identici, nel senso che il campo complesso ha operazioni che il piano reale (R²) non ha: ad esempio il prodotto di numeri complessi non ha nulla a che vedere col "prodotto" tra vettori. Nonostante ciò sono isomorfi, cioè le operazioni algebriche in uno puoi riprodurle nell'altro, come se tu stessi traducendo un testo usando altri simboli mantenendone il significato. Ci sono tantissime altre proprietà invece analitiche, cioè legate alle funzioni a valori complessi, che invece R² si sogna di avere: ad esempio le equazioni di Cauchy-Riemann identificano completamente una funzione olomorfa (cioè differenziabile (che ammette derivate) sul piano complesso) e se una funzione è olomorfa, cioè ammette anche una sola derivata, allora ne può avere infinite. In R² questo non è assolutamente vero (gli esami di analisi 2 andrebbero a quel paese ahaha)
2) Il fatto è che associ a un numero complesso un vettore del piano, quindi raddoppi la dimensione. Se avessi un vettore complesso, cioè ad esempio 5 coordinate complesse, per ciascuna di esse devi usare due numeri reali (parte reale e immaginaria) quindi associabile a R¹⁰. È proprio per costruzione che il campo immaginario Cⁿ è isomorfo a R²ⁿ. Esistono anche vari teoremi che ti dicono che non puoi costruire una struttura complessa (cioè che si comporti come il campo complesso) su uno spazio di dimensione dispari (ad esempio R³, R⁵ ecc).
3) non c'è nulla di speciale, è solo la costruzione. Anzi, persino R³ ha proprietà che qualsiasi altro Rⁿ non ha, ad esempio il prodotto vettoriale usuale (che comunque può essere generalizzato ma non produce lo stesso effetto geometrico).
@@miotakamiya Grazie ❤️🙂
Un domandone, con premessa: provenendo da studi di elettronica questi argomenti mi sono piuttosto familiari, ovviamente...soprattutto la faccenda che le grandezze ondulatorie rappresentate in forma esponenziale semplificano alla grande tutte le leggi dell'elettrotecnica, e permettono di trattare le grandezze elettriche ondulatorie (noi le chiamiamo alternate :) ) e i loro rapporti quasi come se fossero grandezze continue.
Il punto pero' e' che questa mi e' sempre sembrata una impostazione nata appunto "per comodita'" ma che il numero complesso non venisse usato per il fatto che esso ha un vero e proprio significato fisico in quel contesto (un po' come la trasformazione di Laplace per convertire equazioni differenziali in equazioni polinomiali). Insomma in linea di principio si potrebbe non usare i complessi e calcolare i rapporti tra tensione e corrente lasciando un rapporto tra funzioni sinusoidali.
Allora mi chiedo (semrpe che la premessa fatta sia giusta): esistono campi della fisica in cui si usano i numeri complessi non per comodita' ma proprio perche' sono quei particolari fenomeni a necessitare di un numero complesso per essere descritti?
Quando si tratta di fisica "classica" i numeri complessi sono un mero strumento matematico più semplice da trattare rispetto al solito seno e coseno. Non solo è molto comodo in elettronica o nella descrizione di onde em visto che è più semplice derivare e integrare un esponenziale e trattare le fasi in quel modo, ma possiedono strumenti estremamente potenti come le trasformate di Laplace e Fourier. Proveniendo dal campo dell'elettronica tutto ciò ti sarà familiare. Ora in meccanica quantistica cambia tutta, in quanto i fenomeni all'interno di essa non sono più un algebra abeliana su R ma bensì un algebra NON abeliana su C! La funzione ψ che descrive la particella è una funzione complessa (Basti guardare l'eq di schroedinger per capire che non può essere altrimenti) ed è proprio questa sua caratteristica ad originare i fenomeni ondulatori descritti dalla teoria. I valori (medi) che misuri devono sempre essere reali ma se ψ fosse reale non sarebbe possibile in alcun modo predire i risultati degli esperimenti. Per fare un esempio si pensi a uno stato che deve descrivere la polarizzazione di un fotone che scomponiamo in componenti x e y ortogonali. Senza un fatore complesso che rappresenti una fase tra le due componenti sarebbe impossibile descrivere il comportamento (ad esempio la polarizzazione circolare) per un singolo fotone. Comunque secondo me la tua domanda va a proprio a tirare il difetto di questo video, non spiega questa sostanziale differenza presente in fisica.
@@emanueledasilvacosta7910 intanto grazie per l'esempio, che mi ha chiarito parecchio il dubbio che avevo. Per dirla in maniera semplice, se non ho capito male, nel caso dei fenomeni quantistici "o usi i complessi o proprio un modello matematico non lo trovi".
Pero' la mia non voleva essere una "critica" al video, semmai...l'invito a farne uno che risponda alla mia domanda :)
@@federicopari ma no, te non hai fatto una critica, io sì. Ma non perché voglio creare polemica, semplicemente spero di avere un confronto con l'autore del video. Comunque è esattamente come dici tu, senza i complessi la MQ proprio non riesci ad esistere e fu uno dei problemi che assalì Schroedinger quando tiro fuori la dipendenza dal tempo della funzione ψ. Solo a quel punto, per interpretazione di Born, si penso a vedere il modulo quadro di ψ come funzione di probabilità. Un altra evidenza del fatto che la MQ stia su un algebra in C è che presi l'operatore x e p che descrivono rispettivamente la posizione e l'impulso di una particella, il commutatore [x,p]=xp-px non sia zero (come in un algebra abeliana) ma bensì ih/2π che è addirittura un numero immaginario. Quello che rimane in MQ è che x e p, una volta misutati restituiscono sempre un valore reale!
Completo dicendo che pee Dirac, che creo per primo un formalismo, la differenza tra MC e MQ era prima di tutto proprio l'algebra NON abeliana su C.
@@emanueledasilvacosta7910 dovro' cominciare a studiarmi la MQ, e' troppo interessante per quanto "assurda" :)
Grazie
Domanda: visto che esiste una matrice 2x2 che al quadrato dà proprio la matrice identità moltiplicata per -1, è possibile in qualsiasi modello fisico sostituire la trattazione con i numeri complessi con una con matrici 2x2? Se è possibile allora è giusto dire che le grandezze fisiche non sono una retta reale ma matrici 2x2 e i numeri complessi sono solo una notazione compatta?
Certo per la prima parte, ma ti ricordo che la matrice è fissata, quindi ha senso parlare di rette, visto che nella parte reale cambia solo un parametro.
A quando il video sulle trasformate di Fourier? (che sono la più grande invenzione della storia dopo la ruota) 🙂
Molto interessante
Bella spiegazione. Ma di integrale e derivata si sente parlarne spesso, ancora prima di capire cosa siano 😁
Perche' non rappresentare il moto armonico con un rettangolo? Sostituendo il tempo con la velocita'? Quando il moto parte e' 0 quando arriva al massimo della velocita' diventa 0 e cambia verso. ? Sempre in un sistema di assi cartesiani
Video molto interessante, finalmente capisco a cosa servono i numeri complessi. Ho una domanda: non mi è chiaro il passaggio che c'è tra la forma (a+ib) alla forma esponenziale, con base di nepero. Intendo questo: vedo qui un "salto" senza passaggi: da dove viene l'utilizzo proprio della base "e" e non di un altro numero?
Se non erro la dimostrazione coinvolge l'utilizzo della formula di taylor per un esponenziale ed il suo confronto con quelle le formule di taylo della funzione seno e coseno, che nel caso rappresenterebbero proprio i valori di a e b
@@marcomulazzani4133 hai un link alla dimostrazione?
ciao, la dimostrazione della formula di Eulero è in uno dei primissimi video che ho pubblicato sul canale: ruclips.net/video/CGKOvT5E4ZY/видео.html
@@RandomPhysics visto ora. Pazzesco come sia semplice... Ma come gli sarà venuto in mente?...
Molte grazie
Io so che la variabile di Laplace è una variabile complessa s=δ+jω dove ho usato j al posto di i, come unità immaginaria, i (zeri, poli e residui), possono anche esso essere complessi ma se sono complessi compaiono sempre a coppie: complessi coniugati ma i coefficienti sono reali. Lo stesso nel tempo discreto con la trasformata zeta: z=α*e^(jθ). E spesso si dimentica della definizione di trasformata e antitrasformata sia Zeta che Laplace; poiché si usano le tabelle e i teoremi.
Complimenti
ma il canale instagram non va?
bravissimo
Grazie.
Nella trasformata di Laplace si può antitrasformare a coppie i fratti semplici, sapendo che i poli complesi compaiono sempre a coppie complessi coniugati, con la stessa molteplicità.
Molto ben spiegato, ma una domanda: perchè è stata considerata una circonferenza generante un'onda sinusoide a 2 dimensioni, quando i sistemi di cui solitamente si occupa la fisica sono onde elicoidali a 3 dimensioni?
Penso perché altrimenti servirebbero equazioni in due incognite molto più difficile da analizzare
@@mariopere6888 sicuramente è come dici tu, ma la visione 3D non consentirebbe di interpretare , nelle coordinate goniometriche, anche l'asse delle y , quello che è stato definito come "immaginario e inesistente" ?
@@pierovannuccini937 sicuramente si ma, essendo un video divulgativo, penso che avere una seconda coordinata complichi di molto la spiegazione quindi i non esperti non capirebbero quasi nulla
Il moto armonico in una dimensione è un modello molto comodo e importante in fisica, perché è un modello per molti fenomeni. Se hai una pallina attaccata ad una molla che fa avanti e dietro è un moto unidimensionale. Ma modellizza qualunque fenomeno oscillante attorno a un punto di equilibrio. Il fatto che sia unidimensionale non è riferito alle dimensioni fisiche dello spazio, ma ai numeri di parametri necessari. Un pendolo che viene spostato di poco dalla posizione di equilibrio oscillerà e le sue oscillazioni saranno armoniche e unidimensionali, perché ad oscillare è un angolo.
Ad essere 3 dimensionali sono le onde, per esempio il suono o i terremoti, che sono un fenomeno diverso anche se connesso al moto armonico
Ricordiamo che la trasformata zeta è l'equivalente della trasformata di Laplace nel tempo discreto per segnali campionati
Grazie Ho capito Meglio ora l'interazione tra corrente elettrica e i numeri complessi
👏👏👏👏
Complimenti. Devo ripassare la trigonometria
Ma posso chiedere quanti anni hai?
Bravo
Ottimo.
I concetti di analisi matematica di cui hai parlato sono ampiamente Presenti e studiati nei programmi di matematica dei licei scientifici e degli istituti tecnici e professionali! Forse tu hai seguito gli studi classici meno orientati alla fisica e alla tecnica(elettrotecnica e elettronica)! Comunque le funzioni ondulatorie sono più propriamente dette sinusoidali riferiti al seno di (omega*t) e non cosenusoidali come ha detto tu ma sostenzialmente il discorso non cambia! Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono strettamente correlate! Più complessi dei numeri complessi vi sono le funzioni complesse di variabile complesse! Comunque grazie per averne parlato!
Immagino sia cosi anche per le armoniche in musics
ciao bel video, ne faresti uno che spiega cosa diavolo sono i poli e gli zeri?
Se parli di poli allora stai parlando sicuramente di argomenti di teoria dei sistemi. Detto "terra terra", quando hai una certa equazione differenziale, tu puoi passare dal dominio del tempo al dominio di Laplace, attraverso la cosiddetta Trasformata di Laplace. Ecco, quando esegui la trasformata, non hai più un'equazione differenziale ma un certo polinomio p(s) (dove s è la variabile complessa) che, eventualmente andandolo a scomporre (è come se tu avessi una funzione polinomiale dentro l'integrale, per risolvere l'integrale applichi delle tecniche per "spezzettarti" l polinomio in tanti piccoli polinomi semplici), ed effettuando l'antitrasformata, ti restituisce y(t), quindi la funzione nel dominio del tempo. Ora, lo studio di p(s) ti può dare tantissime informazioni su che andamento avrà y(t), e uno di queste informazioni è proprio la stabilità del sistema. Quando tu studi la stabilità del sistema, ti stai chiedendo (sempre in maniera molto informale ovviamente) se y(t) ha termini del tipo e^-at, dove a è una qualsiasi costante, quindi quei termini che tendono a 0 per un t abbastanza grande. I poli non sono nient'altro che le radici del denominatore di p(s). Se queste radici sono TUTTE negative, sei sicuro che il tuo sistema è stabile. Se ANCHE SOLO una radice è positiva, non hai più e^-at ma un qualche altro termine che ti incasinerà il tuo sistema
Spero di esserti stato chiaro xD sto studiando questo semestre questi argomenti, quindi te lo esponendo proprio per come li ho capiti io
Dato che i numeri complessi sono vettori è naturale che vengano usati in fisica, del resto "i" è solo un vettore a 90 gradi
Grazie da un insegnante di Matematica, mi hai dato un ottimo spunto!