楕円の面積の公式。グリーンの定理を使って求める。線積分と二重積分。

[@謎の数学者]

この動画の続編：ruclips.net/video/9woChItQdqw/видео.html

[@しみずハルオ]

ベクトル解析の終わりにでてくるグリーンの定理の使い方、
メチャ分かりやす解説ですね。微分方程式に出てくるグリーン関数の話や
複素関数論の終わりに触りしか出てこない、楕円関数の
話を5回ほどの連続解説を期待しています。

[@masamasado]

グリーンの定理を使った楕円面積の公式の証明は初めて見ました👀 面白かったです✏📓

[@sisisasa1895]

Stokesの定理は空間の微分と関数の微分が双対的っていう綺麗な定理

[@もと-k6x]

違う方向からアプローチしても同じ結果になるのが数学の好きなところ

[@やまだまや-s2v]

唐突なシータの画像ワロタwww

[@pachi06]

なんとなく鶏を割くに牛刀を用いるの類いだな

[@raba-340]

電磁気学の最初の講義で境界を面積にしてしまう技があったのを思い出した
こんな変な式だっけ
なんで引き算なんだ

[@まさし-i6t]

半径rの円をx方向にa倍、y方向にb倍引き伸ばしたから
πr^^2×(a/r)×(b/r)=abπ
みたいな認識でもいいのかな？

[@koko-chan8764]

座標変換
X = x/a, Y = y/b
したらそうなりますね。
dx dy = ab dX dY
となるので。

[@まさし-i6t]

式で見ると分かりやすいです、ありがとうございます

[@komugiko2508]

まあ、普通に「底辺×高さ」のうち、底辺固定で高さがb/a倍になっただけが、一番簡単な解釈ではある。

[@牛込恒]

ｶﾊﾞﾘｴﾘの定理を使うと、S=πa**2*(b/a)=πab となり、一発です。

[@michidayo_1729]

円を潰して導いた記憶がある

[@applepi314root]

急にシータの画像で集中力切れたわ笑

[@kingofm2010]

X十年前に数学じゃなくて電磁気の講義でやったような。。。ストークスの何とか定理とか。遠い記憶の彼方だ。

[@tb11fs60]

P(x,y) = -y, Q(x,y) = 0 として計算する方が簡単だと思うのですが、ダメなんでしょうか？

[@謎の数学者]

それでも可能です。
ただその場合だと、線積分を計算する際にsin^2の積分をする必要があるので、ちょっとだけ計算が複雑になります。

[@雄大一ノ瀬]

-1/2ydx+1/2xdyがなんで楕円の式になるのですか？

[@蒼霧-o6s]

5:15　から説明されておられますが、
グリーンの定理から、
「この関数(PとQ)の経路C上の線積分が、Cに囲まれた領域Dの面積に等しい」ということが分かるので、
じゃぁ逆に楕円の内部(境界を含むとか、言葉が曖昧ですが)の領域Dの面積を求めるのに、この関数の楕円C上での線積分が使えるよね！！
って言う話です。

[@gen9286]

-1/2ydx+1/2xdyは楕円の“曲線”を表す式ではありません。
線積分∫-1/2ydx+1/2xdyは楕円の面積である定値関数1の二重積分と、グリーンの定理から同じということです。
まず楕円の“曲線”を表す関数は常に1となるxとyの定値関数((x^2)/a)+((y^2)/b)=1です。
この定値関数1を楕円の内部の“領域”Dで二重積分したものが楕円の面積となります。
この二重積分がグリーンの定理より線積分と同じになります。
多分に技巧的に見えますがこの1を1/2 - (-1/2)と解釈して、グリーンの定理より面積である1の二重積分と線積分∫1/2ydx+1/2xdyが等しいことから、楕円の媒介変数表示を代入してabπを求められています。
グリーンの定理の等式を満たせば1となるように技巧的に線積分を決めてやれば何でも良いように思いますが、それだけグリーンの定理は強力なんでしょうね。

[@lyricospinto8940]

円の面積も小学校では積分した結果だけを丸暗記させられて
計算方法は知っていても求め方までは教えてもらえませんでした
数Ⅲでやっと置換積分を習って求め方を理解したのですが
面積の定義が重積分だということまでは教わりませんでしたね

[@kaj694]

面積を求めるのは積分ですね
重積分でも数値は一致しますが，高さが１の関数を積分領域で重積分すればその体積がもとまりますが，求めているのはグラフをイメージすれば分かるとおり体積ですので，物理とかでは注意した方がいいと思います．

[@バターズ-o5e]

小学校でも無限に分割する求め方教えてもらえるぞ適当こくなって

[@user-lc9fr9vw1d]

@@バターズ-o5e お前だけな

[@バターズ-o5e]

@@user-lc9fr9vw1d 教科書に乗ってるけど？

[@user-lc9fr9vw1d]

@@バターズ-o5e 証拠をどうぞ

[@妖精6648]

楕円じゃなかったらP,Qは違う式になるのでしょうか？？

[@蒼天-y8q]

高校範囲で求めるのは無理なんですかね

[@カガルー]

ガウスグリーンの公式に似ていますね。

[@pleaser4444]

初めから閉曲線の仮定で議論してるので、例えば0~π/6の範囲で積分することでその範囲の円弧が作る面積を求める、といったことは不可能なのでしょうか？？
何が知りたいかというと、楕円のピザをある角度θ(x軸からの角度)で切ったときの1切れの面積の公式を求めるには、投稿者様ならどう導くか、といった質問になります。

[@謎の数学者]

質問ありがとうございます。
不可能ではありませんが、線積分の際に、曲線部だけでなく、直線になる部分を計算する必要があります。その計算は、斜めになる部分が、ちょっと煩雑になると思います。

[@pleaser4444]

@@謎の数学者 お返事ありがとうございます。
線積分でも可能なのですね。
線積分は慣れない計算だったので、気になって質問させていただいた次第でございます。
遅くなりましたが、面白い動画をありがとうございます。

[@aiku777]

なぜ、「∫-1/2ydx + 1/2xdy 」で楕円の面積を表すのですか？