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【訂正】6:49 tanα＝c/b→a/bでした。申し訳ございません🙇🙇
補助線、相似、級数、正弦定理の比較的シンプルな手法の合わせ技で証明してるのが有能感すごい
過去「教師含めた周囲の人間も本人も斬新な証明だと認識できなかった」ために歴史に埋もれていった天才たちが数多くいそうではある。
アインシュタインが子供のころに証明した方法が、補助線一本でばかばかしいほど簡潔（1～2行で）に三平方の定理を証明出来て好きですね。
高校数学の範囲でまとまるの凄いな。まさにアイディア。
余弦定理は三平方の定理の一般化だから、余弦定理を正弦定理から証明したということにもなるのかな。数年前の「数学セミナー」に、相加・相乗平均の関係（これもピタゴラスの時代から知られていたらしい）の新しい証明を発見して、それが海外の専門誌に載った人の話が載ってました。紀元前から知られている事実の新証明が21世紀になっても発見されうる（しかもあまり専門的なことは使わないから誰でもチャレンジできる）ことにロマンを感じます。
数学以外の科学的な発見を若者がしたって基本的に研究や周りのサポートが充実してるパターン多いけど数学は資金的な敷居が低くてこういう若者でも本人の努力とかセンス次第で成果上げれるのかっこいい。
そもそも初等幾何の問題で、級数を利用するというところが相当に珍しい気がしますね。三平方の定理の証明そのものよりも初等幾何の問題へ無限級数の応用ができるという発見にこそ、この証明の価値がありそうですな。
高校数学だけでまとまってるのほんと凄い…今現在都立の高校生なんだけど、極限は高二で終わったから完全に理解できた。逆にこれが見つかってないのがほんとに驚き。見つけた時の脳汁半端なかっただろうなぁ……
これ発表されてからずっと気になってたやつや。ニュースになってすぐ軽くだけ調べて出てこなくて諦めてたけど動画にしてくれてめっちゃ嬉しい
逆にこういったシンプルな証明方法が今まで発見されなかったことが驚き。案外他にも高校数学の知識だけで簡単に証明できる定理があるのではないかワクワクする
もっとシンプルな方法は中学の教科書に普通にのっているけどねｗ
三平方の定理は中学の知識で証明できるし解の公式とか色々中学のやつで証明できる
知らない事が余計な力学を働かせなかった、っていう好例ですね。
イノベーションのジレンマ
@@犬のちくわコハクむぎが好き勇者 それな嫌味のない切り返しってスマートでオシャレ❤
これは難しいものを利用せずに、高校生なら理解できる範囲で説明がつくところがすごいですね。私の大学時代は、三平方の証明法は360種類あると教えられましたが、現在はもっと増えているんでしょうね。
これを取り上げたなら、兵庫の高校生が最近証明した「新しい円周率の求め方」のニュースとかもうp主さんは知ってるかなあれも取り上げてもらいたいなあ
新たに証明法が発見されるのもすごいけど、それを高校生が発見するというのもすごい。
ラマヌジャン「知ってたけど言い忘れてたわ」
これ取り上げたってことは西宮の高校生が証明した円に内接する多角形は正n角形が面積最大になる初頭的な証明も紹介するのかな
ありとあらゆる人が挑戦しているのにここまでシンプルな証明がまだでできていないことに驚いた。けれどもこれが洗練されてきた結果とも捉えられる。いずれにしても基礎を学ぶことも大事だが発想というところもこういう分野では必要なんやな😊
高校数学の範囲でキレイに証明されてて大学入試に問題として出そう
高校３年の４人が「三角比の定理」などを用いて円周率の新しい求め方を証明したとかニュースに成ってましたね 凄いなぁ
大きい三角を作った時点で、数学エアプの自分でも「あ、これは相似から級数だな」って一瞬でわかるくらいあまりにもシンプルな証明。いままで気づかれてなかったのもすごいし、それを発見したのマジですごい。ただ、一番すごいのは「この方法がまだ発見されてない」のを知ってたこと。
凄さがわかってないガチエアプで草
おもろい😂
@@ごりら-d5i いやそうやろ。何百種類もある証明法の中に、この種類の証明はないっていうのを普通の高校生が知ってるわけない。知らないと新たに発見しようもない。
かっこいい〜😅
@@NA-dd4qv それも凄いけど、絶対に一番凄いところではない
三角形を４つ並べて、1辺cの大きな正方形の真ん中に1辺b-aの小さな正方形の穴の空いた図形を作って、面積から導くのが唯一の証明方法だと思ってたんだが、まだ百通り以上あるんやねーまず、JK二人組がこの思い込みを打ち破って新たな証明方法を試そうとしたことがすげえや次に、既存の百通り以上もある証明方法とは違うということに気付けて、生徒たちを学会に送り出してやろうと動いた数学の先生が超すげえや
05:00 イタチ兄さんが「仮にそれをAとする」でAとA'を繋げてたが、つまりイザナミの正体は循環論法だったのか…
自分が知ってる数学の知識だけで証明されている、自分にも証明を発見できる可能性があったわけだ。何故できなかったのか？やろうとしなかったからだ。しかし、これが一番大事な事、チャレンジしないと何も始まらない。感服です。
誰がどんな思い付きで、どこから何を見つけてくるか、まったくわからない世界だよな
こんなややこしい証明が称賛されてる意味がわからん。
@@沖田研司 「こんなややこしい」じゃなくて、「2000年間不可能といわれてきた」にしたら称賛されてる意味分かるあと、ややこしくない
ｲﾔｰ学力透けちゃう〜
@@沖田研司※気づかれてなかっただけで高校生でも理解出来る簡単な証明です
@@沖田研司 クッソ簡単な証明だぞ、お前がバカなだけ
動画ありがとうございます。面白かったです。これを論文にして出したということはたぶんそう指導したかたがいると想像しますが，もしそうだとしたらその指導した方にも拍手を送りたいです。😀
三平方の定理って中学生の範囲でも結構簡単に証明できたりするから証明するの結構楽しいよね。夏休みの自由研究とかでもいいかも。
説明聞いてるうちに眠くなりました…ぐっすり眠れそうです
今や叱ってくれる先生もいないし、この動画を見ていれば簡単に眠れる・・。保存して置いて毎晩見ます。
c = a cos(s) + b sin(s) に cos(s)=a/c , sin(s)=b/c を代入すれば c^2=a^2+b^2
９０度で固定しないで一般的な三角形の話できれいな証明がなされてるから誰（数学者）もやらないんだよ（余弦定理） ただ高校生が考えたってのはいいことだね教わるだけじゃなくって研究するってことが若いうちからできることはいいことだ
どのあたりがごちゃごちゃしてるのかわからないめっちゃまとまっててキレイだと思うけどな
６：８：１０の直角三角形が分かりやすいよ１０の辺から直角の部分に垂線を引くと三角形が元の三角形の相似形２つになり相似の条件満たす（３つ角度が同一）二つの辺の比は元の６０％と８０％１０辺は（６×６÷１０＋８×８÷１０）式に直して考えてから ＝の左右に１０掛けてみてくれ 全ての直角三角形で同様だから公式化しても最も簡単でしょうね
発想がスゴすぎて鳥肌たった
灯台もと暗しとはまさにこの事なんだろうね。
凄い女子高生…またインドかなと思ったら、アメリカだった。あの国は格差とか色々問題はあるけど、常にチャレンジ精神があるからイノベーションが生まれ続けるんだね。教育でもしかり。ひたすら公式を暗記する事になりがちな日本とは違うなあ。
無限等比級数に気が付いたとこが、天才的！それとsin(2α)を、三平方の定理に無関係な正弦定理と組み合わせることに気が付いたとこも。でも最初から「正弦定理だけを用いて証明するには、どんな補助線を引くか」という頭があったんでしょうね。
その逆算から補助線考え出すのが一番えげつない。。。
@@qp1165最初の発想一番すごいと思う2
トップの研究者たちが諦めてたものを、高校生が発見しちゃうって素晴らしい柔軟な発想ってやっぱりイノベーションを起こすんですね選考基準知らないからあれだけど、これでフィールズ賞なんか獲っちゃったら一層素敵だなって思いました
うーん流石にフィールズは…すごいことに違い無いけど
@@こむそーマン いわゆる高校生ブランドってやつだよね。偉大な何かをしない限り40以上では話題にならない
三角関数もこれが基本ですが正三角形は中線ひいてやると応用できる
案外ゴリ押しなのにしっかりした証明が見つかるのおもろい。
これが新しい証明方法だって気づけたってことは、最初から狙っていたってことなのかな。狙おうって心意気からしてすごい
三平方の定理の新たな証明だが、数学の世界には、今後も、新たに証明できる単元も出てくるのかな？数学の世界に存在する内容も、次々と発展していくんだね。
今年の東工大の問3ってこれのやつだったんだ総合型選抜で東工受かった親友が話してたからちゃんと調べておけばよかった😭
本番で第3問作図ミスして2直線交わらなかったから落ちた泣
シンプルに素晴らしい！！この高校生2人に心から拍手👏
まさに数学をやらされる理由である"柔軟な思考を養う"が産んだ究極系だな
中学で習う三平方の定理は既に証明されている。また、等比級数や正弦定理は高校で初めて習うので、この定理を習い始めたばかりの中学生には理解が難しい。それでも、高校生レベルでも解り、かつ誰も思いつかなかった証明法を思いついた彼女達は将来、優秀な数学教師になるのではと期待してしまう。
直線Aと直線Cをなぜ引こうと思ったんだろうなぁ。図形問題の動画って、「ここにこう補助線を引いて」のところで、なぜそこに補助線なのかがわからなくて脱落してしまいます。
ラマヌジャンの公式も証明できたらスゴイかもね…未だ謎の公式もあるからね。
確かに使ってる法則は中学～数1の内容だからなぁ、発想力が凄い
無限等比級数は数列和の極限なので数3の範囲。数列の極限の厳密な定義はイプシロンエヌ論法で大学の範囲。
「１：１：√２」直角二等辺三角形。「√２」対角線。直角二等辺三角形が二つで正方形。「√２×√２÷２＝１」正方形の面積。「１×１＝１」正方形の面積。「正方形の面積」「タコ。タコ。タコ。」「三つのタコ」を書き直行する「ひし形」の面積を出す。それを三つだす。途中をはぶく・・・「三つのタコ」に成りそのあとに・・・途中をはぶく「二つのタコ」なり。で「正方形」よって「二人のタコ。」ただの「バカのタコのふたり。」
え、この方法で中学生のときに授業かなんかで思いついて証明した覚えがあるんだけど……
アメリカでは、証明したのがアフリカ系女性っていうのが結構意外だったらしいね
1/sinθ＋1/cosθ＝を、変形させていって、1/tanθ＋1を作る。
この説明みると確かにって納得できるけど何故これを思いつかなかったんかってなると先入観って凄いよな。高校生っていっても頭柔らかくないとできないしこれを学会に発表してももうあるって思って発表しないだろうな。
理解できんかったが右の説明が「北を向いて東」だったのを、東西南北使わずに説明する方法見つけた感じ？
こういうのをエレガントな証明と云うんだね。証明を見つけた人は、すばらしい詩を書いた詩人のような心持でしょうね。
いつも楽しく拝見しております。細かくて恐縮ですが 6:48 でtanαの定義が間違っている気がします。
tanαはa/bですよね
この場合、三角比は相似比の言い換えでしかない高校数学として解説するなら級数だろう
凄い発見だけど、３個目の三角形位から面倒臭くなって寝落ちしそうになった…
日本各地でダイヤ改正と運賃値上げが起こった日だ
凄いな、確かにニューオリンズの高校の、いかにも南部の黒人と言った容姿の女の子2人組だ。😮
これで既にオイラーとかが発見してたのが彼らの書斎から見つかったとかなったら萎えそうw
延長した別の三角形て神秘。証明の仕方違いて個性あっておもろ～！
若いと、すぐガロアがよぎる。
この証明、俺が考えたやつじゃないか？
正弦定理は、円周角の定理が元で、円周角の定理は二等辺三角形の性質(公理)が元か？一応、公理までに三平方の定理が出てこないことを確認。三角の比の演算で三平方の定理が出てくるのがポイントなのか？～法の枠とか範疇とかは人間が勝手に枠を作っているだけだし。その枠からの証明はなかったなんてどうでもいいことだし。
未だに置き換えには頭のネジが外れる
シンプルか…？笑やっぱり古典的な正方形に内接する正方形の方法が最もシンプルかつ美しいと思うが
その通りだと私も思います。
まぁ、美しい証明っていう点ではサムネ詐欺感巨人の肩の上に乗った視点から、新しい証明方法を見つけた点は素晴らしい
三平方の定理の証明方法が何百通りもあるのは知りませんでした。高校で自分（達）の興味がある学問の分野で、大学の様に研究出来る点は日本とは明らかに違います。日本では、中学も高校もあくまで結果主義（偏差値の高い学校に入学する）本来は中学や高校でも学ぶべき内容が身についていなければ浪人するぐらいの厳しさがあってもいいと思います（自動車教習所で教習課程にすべて合格しないと卒業できないように）
高校までの簡単な知識で未解決問題を捌ききったのは凄い！全ての定理の本質を理解してこそ成しえた偉業だね。
めちゃくちゃめんどくさいやつと思われそうだけど言いたい。あるある言いたい
@@tinge__nsaiそれめんどくさいやつやなくてきしょいやつって思われてるで
@@mugi110_9 イラつかせちゃってごめんなあ
すごすぎ
どうして最後のところで正弦定理を使うんだろう？ 大きな三角形の三辺の長さが分かったんだから、計算で証明できるでしょ。
昔は高校生のとき正弦定理でつまずいたんだよな…
直角三角形の直角を持つ頂点から斜辺に垂線を引いて、相似比と面積比の関係から出すやつが1番単純
大昔、中学校で証明しようと皆で解いた結果、元の直角3角形から線分で分けた2つの相似形の2等辺三角形の辺から計算しました。相似形の解法は、簡単です。
凄いのは認めるが、なんかごちゃごちゃした証明だな。やっぱりよく中学入試ででてくる、大きい正方形から周りの4つの三角形を引いて中心の正方形を求める方法が1番好きだし美しい
極限からのアプローチはすごい
正直やってることは簡単でまだ誰も発見してなかったのが驚きな証明(俺が発見できるとは言ってない)なんだけど、割とこういうのって数学にはゴロゴロ転がってるのかな？
最後のダジャレの方が新しい証明よりも印象に残ったのは私だけ？
ピタゴラスの定理の証明はタイル敷き詰める感じの奴が原点？にして頂点なんだよなぁ
正弦定理ってどの辺を底辺としても三角形の面積は変わらないこととだいたい同じことを言っているので, 既知の証明も頑張れば正弦定理を経由したかたちに書きなおせそうな気がしてしまう. さすがに直角三角形だったら正弦定理をつかうまでもない(やっていることが三角関数の定義そのものになってしまう)ので, それを回避するためにわざわざ二等辺三角形をはじめに用意したのが動画の証明法なのでは……と考えるのは穿ちすぎか？
どういう環境に生きてりゃ高校生が友達と三平方の定理証明してみようぜってなんねん
高校生の頃にこれと同じ方法で証明を試みたけど誰も信じてくれない
工夫をさせて答えさせるアメリカの教育方法の成果だと感じました❗️ 日本は、こういう工夫を時間をかけてやらせる授業をほとんどしていないと思います。
生徒が考えないからどんどん簡単な教科書に変わっていくんだよwww
三平方の定理が成り立たないような曲面で定義された三角関数もあるのかな
凄いな、言語はわかるのに話は分からない
天才だな
tanαってa/bじゃなかったっけ？間違ってたらすみません 6:49
a/bで合ってます。
足し合わせるものは「無限等比級数の和」ですね
無限等比級数だけで和の意味があったはずです
@@neez3221 返信いただきましたとおり、級数の定義が「数列の和」でした。
「無限等比級数の和」の最後の「和」は足し算という意味ではなく，「足した結果(値)」のほうの意味なんですよね．習いたての頃，級数だけで足し算の意味なのに，そのまた足し算かい？と初め変な感じでしたが，「和」の意味が違うことに気付き今は慣れました．
三角関数で、というのはお見事ですね。このお2人、数学者になったりして。
三平方の定理の証明に三角関数使ってよいの？使ってよいなら、そもそもsin^2+cos^2=1で証明終わり。ってなっちゃう。
三角関数の定義、正弦定理の証明に三平方の定理は使われてないから循環論法じゃないで
頭悪い人はこの動画見てはいけない
寝る前に最適
1/sinθ＋1/cosθ−1/tanθ＝1だな。
三角比は、図形の相似によって定義され、三平方の定理の力を借りて歩いていく。しかし、この証明によって、三角比は、図形の相似によって定義され、無限の力を代わりに借りることでも歩いていけることがわかった。素晴らしい証明だと思う。
6:50tanαはa/bでは…？更に、11:26両端があるので、これは直線ではなく線分ですよ
三角法を用いて直角という事実のみから３辺の長さを導いてピタゴラスの見つけた法則にあてはめたということか。方針が当たり前でシンプルすぎる上に、補助線ゴリゴリ入れて小さく分割して計算しやすくしてから結合するという発想が中学生レベルなのでJK？が証明したことに納得する。日本の高校の数学の教科書にさっさと載せるべき。三角法の意味がわからず躓く生徒が減る。「直線」から「直角」を出すのは建築技術として非常に有益だから「数学役に立たない」という言い訳もできなくなるしねｗ
#ピュティフィ天才JKの三平方の定理の証明がレベチひな：あれ？この証明法⋯あんこ：この前２人で見つけたよね？二人：ね〜❣️なのを作ってみて欲しくなった(笑)
結局無限の概念は最強の手札なんだなぁ
なるほど。わからん。出直しますわ
なるほどね！って言いたい
来年の共通テストに出しますね
幾何の証明で級数が出てくるところに発想の飛躍が必要だったのかなとか思う数学者も専門分野に分かれて頭を捻らせることが多いから…
図だけ見つけたら級数はだれでも思いつくわな...図を思いついたのは凄いけど発想の飛躍は一切ないで
@@焼肉定食-c8v最初の発想がなぜ？って感じだわ級数から逆算したんかもしれないけど、それにしても凄い
一周目、なんで名前出た所だけ見逃したのかｗwww
【訂正】
6:49 tanα＝c/b→a/bでした。
申し訳ございません🙇🙇
補助線、相似、級数、正弦定理の比較的シンプルな手法の合わせ技で証明してるのが有能感すごい
過去「教師含めた周囲の人間も本人も斬新な証明だと認識できなかった」ために歴史に埋もれていった天才たちが数多くいそうではある。
アインシュタインが子供のころに証明した方法が、補助線一本でばかばかしいほど簡潔（1～2行で）に三平方の定理を証明出来て好きですね。
高校数学の範囲でまとまるの凄いな。まさにアイディア。
余弦定理は三平方の定理の一般化だから、余弦定理を正弦定理から証明したということにもなるのかな。
数年前の「数学セミナー」に、相加・相乗平均の関係（これもピタゴラスの時代から知られていたらしい）の新しい証明を発見して、それが海外の専門誌に載った人の話が載ってました。紀元前から知られている事実の新証明が21世紀になっても発見されうる（しかもあまり専門的なことは使わないから誰でもチャレンジできる）ことにロマンを感じます。
数学以外の科学的な発見を若者がしたって基本的に研究や周りのサポートが充実してるパターン多いけど数学は資金的な敷居が低くてこういう若者でも本人の努力とかセンス次第で成果上げれるのかっこいい。
そもそも初等幾何の問題で、級数を利用するというところが相当に珍しい気がしますね。三平方の定理の証明そのものよりも初等幾何の問題へ無限級数の応用ができるという発見にこそ、この証明の価値がありそうですな。
高校数学だけでまとまってるのほんと凄い…今現在都立の高校生なんだけど、極限は高二で終わったから完全に理解できた。逆にこれが見つかってないのがほんとに驚き。見つけた時の脳汁半端なかっただろうなぁ……
これ発表されてからずっと気になってたやつや。ニュースになってすぐ軽くだけ調べて出てこなくて諦めてたけど動画にしてくれてめっちゃ嬉しい
逆にこういったシンプルな証明方法が今まで発見されなかったことが驚き。案外他にも高校数学の知識だけで簡単に証明できる定理があるのではないかワクワクする
もっとシンプルな方法は中学の教科書に普通にのっているけどねｗ
三平方の定理は中学の知識で証明できるし解の公式とか色々中学のやつで証明できる
知らない事が余計な力学を働かせなかった、っていう好例ですね。
イノベーションのジレンマ
@@犬のちくわコハクむぎが好き勇者 それな
嫌味のない切り返しってスマートでオシャレ❤
これは難しいものを利用せずに、高校生なら理解できる範囲で説明がつくところがすごいですね。私の大学時代は、三平方の証明法は360種類あると教えられましたが、現在はもっと増えているんでしょうね。
これを取り上げたなら、兵庫の高校生が最近証明した「新しい円周率の求め方」のニュースとかもうp主さんは知ってるかな
あれも取り上げてもらいたいなあ
新たに証明法が発見されるのもすごいけど、それを高校生が発見するというのもすごい。
ラマヌジャン「知ってたけど言い忘れてたわ」
これ取り上げたってことは西宮の高校生が証明した円に内接する多角形は正n角形が面積最大になる初頭的な証明も紹介するのかな
ありとあらゆる人が挑戦しているのにここまでシンプルな証明がまだでできていないことに驚いた。けれどもこれが洗練されてきた結果とも捉えられる。いずれにしても基礎を学ぶことも大事だが発想というところもこういう分野では必要なんやな😊
高校数学の範囲でキレイに証明されてて大学入試に問題として出そう
高校３年の４人が「三角比の定理」などを用いて円周率の新しい求め方を証明したとかニュースに成ってましたね 凄いなぁ
大きい三角を作った時点で、数学エアプの自分でも「あ、これは相似から級数だな」って一瞬でわかるくらいあまりにもシンプルな証明。
いままで気づかれてなかったのもすごいし、それを発見したのマジですごい。
ただ、一番すごいのは「この方法がまだ発見されてない」のを知ってたこと。
凄さがわかってないガチエアプで草
おもろい😂
@@ごりら-d5i いやそうやろ。何百種類もある証明法の中に、この種類の証明はないっていうのを普通の高校生が知ってるわけない。知らないと新たに発見しようもない。
かっこいい〜😅
@@NA-dd4qv それも凄いけど、絶対に一番凄いところではない
三角形を４つ並べて、1辺cの大きな正方形の真ん中に1辺b-aの小さな正方形の穴の空いた図形を作って、面積から導くのが唯一の証明方法だと思ってたんだが、まだ百通り以上あるんやねー
まず、JK二人組がこの思い込みを打ち破って新たな証明方法を試そうとしたことがすげえや
次に、既存の百通り以上もある証明方法とは違うということに気付けて、生徒たちを学会に送り出してやろうと動いた数学の先生が超すげえや
05:00 イタチ兄さんが「仮にそれをAとする」でAとA'を繋げてたが、つまりイザナミの正体は循環論法だったのか…
自分が知ってる数学の知識だけで証明されている、自分にも証明を発見できる可能性があったわけだ。
何故できなかったのか？やろうとしなかったからだ。
しかし、これが一番大事な事、チャレンジしないと何も始まらない。感服です。
誰がどんな思い付きで、どこから何を見つけてくるか、まったくわからない世界だよな
こんなややこしい証明が称賛されてる意味がわからん。
@@沖田研司 「こんなややこしい」じゃなくて、「2000年間不可能といわれてきた」にしたら称賛されてる意味分かる
あと、ややこしくない
ｲﾔｰ学力透けちゃう〜
@@沖田研司※気づかれてなかっただけで高校生でも理解出来る簡単な証明です
@@沖田研司
クッソ簡単な証明だぞ、お前がバカなだけ
動画ありがとうございます。面白かったです。これを論文にして出したということはたぶんそう指導したかたがいると想像しますが，もしそうだとしたらその指導した方にも拍手を送りたいです。😀
三平方の定理って中学生の範囲でも結構簡単に証明できたりするから証明するの結構楽しいよね。夏休みの自由研究とかでもいいかも。
説明聞いてるうちに眠くなりました…ぐっすり眠れそうです
今や叱ってくれる先生もいないし、この動画を見ていれば簡単に眠れる・・。
保存して置いて毎晩見ます。
c = a cos(s) + b sin(s) に cos(s)=a/c , sin(s)=b/c を代入すれば c^2=a^2+b^2
９０度で固定しないで一般的な三角形の話できれいな証明がなされてるから誰（数学者）もやらないんだよ（余弦定理） ただ高校生が考えたってのはいいことだね教わるだけじゃなくって研究するってことが若いうちからできることはいいことだ
どのあたりがごちゃごちゃしてるのかわからない
めっちゃまとまっててキレイだと思うけどな
６：８：１０の直角三角形が分かりやすいよ
１０の辺から直角の部分に垂線を引くと
三角形が元の三角形の相似形２つになり
相似の条件満たす（３つ角度が同一）
二つの辺の比は元の６０％と８０％
１０辺は（６×６÷１０＋８×８÷１０）
式に直して考えてから ＝の左右に
１０掛けてみてくれ
全ての直角三角形で同様だから
公式化しても最も簡単でしょうね
発想がスゴすぎて鳥肌たった
灯台もと暗しとはまさにこの事なんだろうね。
凄い女子高生…
またインドかなと思ったら、アメリカだった。
あの国は格差とか色々問題はあるけど、常にチャレンジ精神があるからイノベーションが生まれ続けるんだね。
教育でもしかり。ひたすら公式を暗記する事になりがちな日本とは違うなあ。
無限等比級数に気が付いたとこが、天才的！
それとsin(2α)を、三平方の定理に無関係な正弦定理と組み合わせることに気が付いたとこも。
でも最初から「正弦定理だけを用いて証明するには、どんな補助線を引くか」という頭があったんでしょうね。
その逆算から補助線考え出すのが一番えげつない。。。
@@qp1165最初の発想一番すごいと思う2
トップの研究者たちが諦めてたものを、高校生が発見しちゃうって素晴らしい
柔軟な発想ってやっぱりイノベーションを起こすんですね
選考基準知らないからあれだけど、これでフィールズ賞なんか獲っちゃったら一層素敵だなって思いました
うーん流石にフィールズは…
すごいことに違い無いけど
@@こむそーマン いわゆる高校生ブランドってやつだよね。偉大な何かをしない限り40以上では話題にならない
三角関数もこれが基本ですが正三角形は中線ひいてやると応用できる
案外ゴリ押しなのにしっかりした証明が見つかるのおもろい。
これが新しい証明方法だって気づけたってことは、最初から狙っていたってことなのかな。狙おうって心意気からしてすごい
三平方の定理の新たな証明だが、数学の世界には、今後も、新たに証明できる単元も出てくるのかな？
数学の世界に存在する内容も、次々と発展していくんだね。
今年の東工大の問3ってこれのやつだったんだ
総合型選抜で東工受かった親友が話してたからちゃんと調べておけばよかった😭
本番で第3問作図ミスして2直線交わらなかったから落ちた泣
シンプルに素晴らしい！！
この高校生2人に心から拍手👏
まさに数学をやらされる理由である"柔軟な思考を養う"が産んだ究極系だな
中学で習う三平方の定理は既に証明されている。また、等比級数や正弦定理は高校で初めて習うので、この定理を習い始めたばかりの中学生には理解が難しい。それでも、高校生レベルでも解り、かつ誰も思いつかなかった証明法を思いついた彼女達は将来、優秀な数学教師になるのではと期待してしまう。
直線Aと直線Cをなぜ引こうと思ったんだろうなぁ。
図形問題の動画って、「ここにこう補助線を引いて」のところで、なぜそこに補助線なのかがわからなくて脱落してしまいます。
ラマヌジャンの公式も証明できたらスゴイかもね…
未だ謎の公式もあるからね。
確かに使ってる法則は中学～数1の内容だからなぁ、発想力が凄い
無限等比級数は数列和の極限なので数3の範囲。
数列の極限の厳密な定義はイプシロンエヌ論法で大学の範囲。
「１：１：√２」直角二等辺三角形。「√２」対角線。直角二等辺三角形が二つで正方形。「√２×√２÷２＝１」正方形の面積。「１×１＝１」正方形の面積。「正方形の面積」「タコ。タコ。タコ。」「三つのタコ」を書き直行する「ひし形」の面積を出す。それを三つだす。途中をはぶく・・・「三つのタコ」に成りそのあとに・・・途中をはぶく「二つのタコ」なり。で「正方形」よって「二人のタコ。」ただの「バカのタコのふたり。」
え、この方法で中学生のときに授業かなんかで思いついて証明した覚えがあるんだけど……
アメリカでは、証明したのがアフリカ系女性っていうのが結構意外だったらしいね
1/sinθ＋1/cosθ＝を、変形させていって、1/tanθ＋1を作る。
この説明みると確かにって納得できるけど何故これを思いつかなかったんかってなると先入観って凄いよな。
高校生っていっても頭柔らかくないとできないしこれを学会に発表してももうあるって思って発表しないだろうな。
理解できんかったが
右の説明が「北を向いて東」だったのを、東西南北使わずに説明する方法見つけた感じ？
こういうのをエレガントな証明と云うんだね。証明を見つけた人は、すばらしい詩を書いた詩人のような心持でしょうね。
いつも楽しく拝見しております。
細かくて恐縮ですが 6:48 でtanαの定義が間違っている気がします。
tanαはa/bですよね
この場合、三角比は相似比の言い換えでしかない
高校数学として解説するなら級数だろう
凄い発見だけど、３個目の三角形位から面倒臭くなって寝落ちしそうになった…
日本各地でダイヤ改正と運賃値上げが起こった日だ
凄いな、確かにニューオリンズの高校の、いかにも南部の黒人と言った容姿の女の子2人組だ。😮
これで既にオイラーとかが発見してたのが彼らの書斎から見つかったとかなったら萎えそうw
延長した別の三角形て神秘。証明の仕方違いて個性あっておもろ～！
若いと、すぐガロアがよぎる。
この証明、俺が考えたやつじゃないか？
正弦定理は、円周角の定理が元で、円周角の定理は二等辺三角形の性質(公理)が元か？
一応、公理までに三平方の定理が出てこないことを確認。
三角の比の演算で三平方の定理が出てくるのがポイントなのか？
～法の枠とか範疇とかは人間が勝手に枠を作っているだけだし。その枠からの証明はなかったなんてどうでもいいことだし。
未だに置き換えには頭のネジが外れる
シンプルか…？笑
やっぱり古典的な正方形に内接する正方形の方法が最もシンプルかつ美しいと思うが
その通りだと私も思います。
まぁ、美しい証明っていう点ではサムネ詐欺感
巨人の肩の上に乗った視点から、新しい証明方法を見つけた点は素晴らしい
三平方の定理の証明方法が何百通りもあるのは知りませんでした。
高校で自分（達）の興味がある学問の分野で、大学の様に研究出来る点は日本とは明らかに違います。
日本では、中学も高校もあくまで結果主義（偏差値の高い学校に入学する）
本来は中学や高校でも学ぶべき内容が身についていなければ浪人するぐらいの厳しさがあってもいいと思います（自動車教習所で教習課程にすべて合格しないと卒業できないように）
高校までの簡単な知識で未解決問題を捌ききったのは凄い！全ての定理の本質を理解してこそ成しえた偉業だね。
めちゃくちゃめんどくさいやつと思われそうだけど言いたい。あるある言いたい
@@tinge__nsaiそれめんどくさいやつやなくてきしょいやつって思われてるで
@@mugi110_9 イラつかせちゃってごめんなあ
すごすぎ
どうして最後のところで正弦定理を使うんだろう？ 大きな三角形の三辺の長さが分かったんだから、計算で証明できるでしょ。
昔は高校生のとき正弦定理でつまずいたんだよな…
直角三角形の直角を持つ頂点から斜辺に垂線を引いて、相似比と面積比の関係から出すやつが1番単純
大昔、中学校で証明しようと皆で解いた結果、元の直角3角形から線分で分けた2つの相似形の2等辺三角形の辺から計算しました。
相似形の解法は、簡単です。
凄いのは認めるが、なんかごちゃごちゃした証明だな。
やっぱりよく中学入試ででてくる、大きい正方形から周りの4つの三角形を引いて中心の正方形を求める方法が1番好きだし美しい
極限からのアプローチはすごい
正直やってることは簡単でまだ誰も発見してなかったのが驚きな証明(俺が発見できるとは言ってない)なんだけど、割とこういうのって数学にはゴロゴロ転がってるのかな？
最後のダジャレの方が新しい証明よりも印象に残ったのは私だけ？
ピタゴラスの定理の証明はタイル敷き詰める感じの奴が原点？にして頂点なんだよなぁ
正弦定理ってどの辺を底辺としても三角形の面積は変わらないこととだいたい同じことを言っているので, 既知の証明も頑張れば正弦定理を経由したかたちに書きなおせそうな気がしてしまう. さすがに直角三角形だったら正弦定理をつかうまでもない(やっていることが三角関数の定義そのものになってしまう)ので, それを回避するためにわざわざ二等辺三角形をはじめに用意したのが動画の証明法なのでは……と考えるのは穿ちすぎか？
どういう環境に生きてりゃ高校生が友達と三平方の定理証明してみようぜってなんねん
高校生の頃にこれと同じ方法で証明を試みたけど誰も信じてくれない
工夫をさせて答えさせる
アメリカの教育方法の成果だと感じました❗️
日本は、こういう工夫を時間をかけてやらせる授業を
ほとんどしていないと思います。
生徒が考えないからどんどん簡単な教科書に変わっていくんだよwww
三平方の定理が成り立たないような曲面で定義された三角関数もあるのかな
凄いな、言語はわかるのに話は分からない
天才だな
tanαってa/bじゃなかったっけ？間違ってたらすみません 6:49
a/bで合ってます。
足し合わせるものは「無限等比級数の和」ですね
無限等比級数だけで和の意味があったはずです
@@neez3221 返信いただきましたとおり、級数の定義が「数列の和」でした。
「無限等比級数の和」の最後の「和」は足し算という意味ではなく，「足した結果(値)」のほうの意味なんですよね．習いたての頃，級数だけで足し算の意味なのに，そのまた足し算かい？と初め変な感じでしたが，「和」の意味が違うことに気付き今は慣れました．
三角関数で、というのはお見事ですね。このお2人、数学者になったりして。
三平方の定理の証明に三角関数使ってよいの？
使ってよいなら、そもそもsin^2+cos^2=1で証明終わり。ってなっちゃう。
三角関数の定義、正弦定理の証明に三平方の定理は使われてないから循環論法じゃないで
頭悪い人はこの動画見てはいけない
寝る前に最適
1/sinθ＋1/cosθ−1/tanθ＝1だな。
三角比は、図形の相似によって定義され、三平方の定理の力を借りて歩いていく。
しかし、この証明によって、三角比は、図形の相似によって定義され、無限の力を代わりに借りることでも歩いていけることがわかった。
素晴らしい証明だと思う。
6:50
tanαはa/bでは…？
更に、
11:26
両端があるので、これは直線ではなく線分ですよ
三角法を用いて直角という事実のみから３辺の長さを導いてピタゴラスの見つけた法則にあてはめたということか。
方針が当たり前でシンプルすぎる上に、補助線ゴリゴリ入れて小さく分割して計算しやすくしてから結合するという発想が中学生レベルなのでJK？が証明したことに納得する。
日本の高校の数学の教科書にさっさと載せるべき。
三角法の意味がわからず躓く生徒が減る。
「直線」から「直角」を出すのは建築技術として非常に有益だから「数学役に立たない」という言い訳もできなくなるしねｗ
#ピュティフィ
天才JKの三平方の定理の証明がレベチ
ひな：あれ？この証明法⋯
あんこ：この前２人で見つけたよね？
二人：ね〜❣️
なのを作ってみて欲しくなった(笑)
結局無限の概念は最強の手札なんだなぁ
なるほど。わからん。出直しますわ
なるほどね！
って言いたい
来年の共通テストに出しますね
幾何の証明で級数が出てくるところに発想の飛躍が必要だったのかなとか思う
数学者も専門分野に分かれて頭を捻らせることが多いから…
図だけ見つけたら級数はだれでも思いつくわな...図を思いついたのは凄いけど発想の飛躍は一切ないで
@@焼肉定食-c8v最初の発想がなぜ？って感じだわ
級数から逆算したんかもしれないけど、それにしても凄い
一周目、なんで名前出た所だけ見逃したのかｗwww