@@MathePeter das Videoformat gefällt mir natürlich. Schreibe in einer Woche Analysis 2 und Stochastik und um warm zu bleiben schaue ich mir jeden Abend ein paar Videos von dir an.
In dem Fall muss die Funktion stückweise zerlegt werden, so dass jeder einzelne Teil wieder umkehrbar ist. Außerdem muss man sich dann auch ganz genau überlegen, welchen Körper man betrachten will.
Hi Peter, mit deinen super Erklärungen erleichterst du mir den Mathe-Alltag an der Uni sehr - danke ! Wir schreiben demnächst eine Modulprüfung; hast du einen Trick, um komische Werte wie zum Beispiel 1/e , 1/sqrt(2) etc. ohne sich das auf die Formelsammlung zu schreiben, herzuleiten ? Wie wenn man zum Beispiel den Konvergenzkreis mit Radius 1/e oder die normierten Eigenvektoren mit |n| = 1/sqrt(5) aus der Hauptachsentransformation skizzieren soll? LG aus Stuttgart
Ich denke bei einer Skizze brauchst du nicht die Werte ausrechnen, sondern kannst einfach an die Achsen die entsprechenden Werte wie 1/sqrt(5) schreiben.
Super Erklärung - ABER: Wenn der Körper eine Halbkugel mit Radius 1 ist f(x) = sqrt(1-x^2) und am Nullpunkt liegt..erhalte ich nach Ableitung beim Einsetzen der Grenzen eine Division durch 0 !! (Wegen den Grenzen 1 und -1 und sqrt(1-x^2) im Nenner...) - Mache ich irgendwo einen Fehler?
Für die Existenz der Umkehrfunktion muss die Funktion streng monoton sein. Darum Betrachte die Funktion f(x)=sqrt(1-x^2) nur im Bereich von x=0 bis 1. Durch die Rotation kommst du automatische auch zum Wert x=-1.
@@MathePeter Vielen Dank für den Hinweis! Abgesehen davon scheine ich auch die Integration vor dem Einsetzen der Grenzen vergessen zu haben. Lässt sich -x^3 / sqrt(1-x^2) überhaupt ohne techn. Hilfsmittel integrieren?
Erst mal muss das Minus noch weg, wegen des Betrags! Und ja, das Integral von x^3/sqrt(1-x^2) lässt sich bestimmen, indem z.B. z=sqrt(1-x^2) substituiert wird. Das verbleibende x^2 kann aus der Substitutionsgleichung gewonnen werden: x^2=1-z^2. Streng genommen muss auf das uneigentliche Integral eingegangen werden, aber ich machs mal Physiker Style. Es verbleibt: π* Integral (1-z^2) dz von z=0 bis 1, was 2/3*π ergibt. Das entspricht dem Volumen der Halbkugel für y≥0, bzw. dem Rotationsvolumen von f(x)=sqrt(1-x^2) im Bereich von x€[0,1] um die z-Achse.
Ist doch schön auch mal neues zu hören, oder? In der Schule wird generell bei Weitem nicht alles angesprochen, was die Welt der Mathematik zu bieten hat. Abgesehen davon, dass in der Schule eh nur gerechnet wird und in der Regel keine Mathematik gelehrt wird.
Hallo MathePeter, ich habe eine allgemeine Frage bzgl. der Mathematik. Ich tu mich damit schwer, mir vorzustellen, wie eine Funktion zweier Variablen aussieht, wenn ich sie plotte. Standardplots, wie z = x^2+y^2, weiß man mit der Zeit auswendig. Ist von einem Ingenieurs- bzw. Mathematikstudenten zu erwarten, dass er eine Vorstellung davon hat, wie eine Funktion zweier Variablen aussieht, sobald man diese plotted? Oder macht es wenig Sinn, sich seinem Kopf anzutrainieren, eine Vorstellung davon zu bekomme, wie Funktionen zweier Variablen im 3D Plot aussehen? Irgendwelche VOrschläge, wie ich besser darin werde? Lieben Dank für deine Antwort.
Es ist nicht unbedingt notwendig eine Vorstellung von der Funktion zu haben. Manchmal ist es aber fürs Gefühl angenehmer einige Informationen schon vorab zu kennen. Ich würde mir einfach die wichtigsten Abbildungen anschauen wie Kreise, Ellipsen, Zylinder, Kegel, Kugel, Paraboloid, ... Also alle mit einschlägigen Namen.
Bei der Berechnung des Volumens um die Y-Achse mit der Verwendung der Umkehrfunktion 2y=x^2 (2y)^1/2=x und Verwendung der Formel V= π*∫ (a->b) [f´(y)]^2*dy erhält man nach dem Einsetzen der Werte [1, 3] π* ∫ 1->3 >[ (2y)^1/2]^2 * dy und dem Durchführen der entsprechenden Integralberechnung ohne einen Ableitungsfaktor den Wert [ 8π*dy] VE. Jetzt frage ich mich in wieweit man ein mathematisches Verhältnis zwischen den beiden Ergebnissen [ 20π*dx] und [ 8π*dy] formulieren kann.
Dein Kanal hat einen Zweck und von allen RUclipsrn bist du der bedeutendste auf RUclips
So muss das! In diesem Video ist kein Stift zu Schaden gekommen. 🥳
Haha ja den sollte ich nicht so oft fallen lassen 😂
Wie gefällt dir das neue Videoformat? Ich musste ja notgedrungen wechseln nach meinem Umzug.
@@MathePeter das Videoformat gefällt mir natürlich. Schreibe in einer Woche Analysis 2 und Stochastik und um warm zu bleiben schaue ich mir jeden Abend ein paar Videos von dir an.
Sehr gute Idee. Du hast den Körper quasi auf die X Achse fliegen lassen und dadurch die einfachere Integration erhalten. Smart sehr gut 👍
Klasse Video :) …was macht man, wenn die Funktion nicht umkehrbar ist?
In dem Fall muss die Funktion stückweise zerlegt werden, so dass jeder einzelne Teil wieder umkehrbar ist. Außerdem muss man sich dann auch ganz genau überlegen, welchen Körper man betrachten will.
Hi Peter, mit deinen super Erklärungen erleichterst du mir den Mathe-Alltag an der Uni sehr - danke ! Wir schreiben demnächst eine Modulprüfung; hast du einen Trick, um komische Werte wie zum Beispiel 1/e , 1/sqrt(2) etc. ohne sich das auf die Formelsammlung zu schreiben, herzuleiten ? Wie wenn man zum Beispiel den Konvergenzkreis mit Radius 1/e oder die normierten Eigenvektoren mit |n| = 1/sqrt(5) aus der Hauptachsentransformation skizzieren soll? LG aus Stuttgart
Ich denke bei einer Skizze brauchst du nicht die Werte ausrechnen, sondern kannst einfach an die Achsen die entsprechenden Werte wie 1/sqrt(5) schreiben.
Super Erklärung - ABER: Wenn der Körper eine Halbkugel mit Radius 1 ist f(x) = sqrt(1-x^2) und am Nullpunkt liegt..erhalte ich nach Ableitung beim Einsetzen der Grenzen eine Division durch 0 !! (Wegen den Grenzen 1 und -1 und sqrt(1-x^2) im Nenner...) -
Mache ich irgendwo einen Fehler?
Für die Existenz der Umkehrfunktion muss die Funktion streng monoton sein. Darum Betrachte die Funktion f(x)=sqrt(1-x^2) nur im Bereich von x=0 bis 1. Durch die Rotation kommst du automatische auch zum Wert x=-1.
@@MathePeter Vielen Dank für den Hinweis!
Abgesehen davon scheine ich auch die Integration vor dem Einsetzen der Grenzen vergessen zu haben.
Lässt sich -x^3 / sqrt(1-x^2) überhaupt ohne techn. Hilfsmittel integrieren?
Erst mal muss das Minus noch weg, wegen des Betrags! Und ja, das Integral von x^3/sqrt(1-x^2) lässt sich bestimmen, indem z.B. z=sqrt(1-x^2) substituiert wird. Das verbleibende x^2 kann aus der Substitutionsgleichung gewonnen werden: x^2=1-z^2. Streng genommen muss auf das uneigentliche Integral eingegangen werden, aber ich machs mal Physiker Style. Es verbleibt: π* Integral (1-z^2) dz von z=0 bis 1, was 2/3*π ergibt. Das entspricht dem Volumen der Halbkugel für y≥0, bzw. dem Rotationsvolumen von f(x)=sqrt(1-x^2) im Bereich von x€[0,1] um die z-Achse.
Ist die Formel Abirelevant ? In meinem Buch finde ich nur das Volumen entlang der X- Achse
Kommt drauf an, wo du Abi machst.
@@MathePeter In Rheinland Pfalz und von der Achsen Verschiebung hatte ich noch nie was gehört
Also im Bezug zu dem Thema
Ist doch schön auch mal neues zu hören, oder? In der Schule wird generell bei Weitem nicht alles angesprochen, was die Welt der Mathematik zu bieten hat. Abgesehen davon, dass in der Schule eh nur gerechnet wird und in der Regel keine Mathematik gelehrt wird.
Das stimmt. Bin aber momentan ein bisschen im Stress muss noch sehr viel für das Abi lernen
Mit der 2. Methode ist ja dx , sind das wieder scheiben oder was sind das , haste net erwähnt danke
Ja es ist genau das gleiche. Nur anders ausgedrückt durch die Substitution.
Hallo MathePeter,
ich habe eine allgemeine Frage bzgl. der Mathematik.
Ich tu mich damit schwer, mir vorzustellen, wie eine Funktion zweier Variablen aussieht, wenn ich sie plotte. Standardplots, wie z = x^2+y^2, weiß man mit der Zeit auswendig. Ist von einem Ingenieurs- bzw. Mathematikstudenten zu erwarten, dass er eine Vorstellung davon hat, wie eine Funktion zweier Variablen aussieht, sobald man diese plotted?
Oder macht es wenig Sinn, sich seinem Kopf anzutrainieren, eine Vorstellung davon zu bekomme, wie Funktionen zweier Variablen im 3D Plot aussehen?
Irgendwelche VOrschläge, wie ich besser darin werde?
Lieben Dank für deine Antwort.
Es ist nicht unbedingt notwendig eine Vorstellung von der Funktion zu haben. Manchmal ist es aber fürs Gefühl angenehmer einige Informationen schon vorab zu kennen. Ich würde mir einfach die wichtigsten Abbildungen anschauen wie Kreise, Ellipsen, Zylinder, Kegel, Kugel, Paraboloid, ... Also alle mit einschlägigen Namen.
Sehr cooles Video. Wenn du schon in der Materie drin bist, könntest du ja mal ein Video über Gabriels Horn machen
Ist das so spannend? Ist ja nur die Rotation von 1/x um die x-Achse. Ich schreibs mir mal mit auf die Videoideen Liste.
Bei der Berechnung des Volumens um die Y-Achse mit der Verwendung der Umkehrfunktion 2y=x^2 (2y)^1/2=x und Verwendung der Formel V= π*∫ (a->b) [f´(y)]^2*dy erhält man nach dem Einsetzen der Werte [1, 3] π* ∫ 1->3 >[ (2y)^1/2]^2 * dy und dem Durchführen der entsprechenden Integralberechnung ohne einen Ableitungsfaktor den Wert [ 8π*dy] VE. Jetzt frage ich mich in wieweit man ein mathematisches Verhältnis zwischen den beiden Ergebnissen [ 20π*dx] und [ 8π*dy] formulieren kann.
Wenn du nach y integrieren willst, brauchst du auch y-Grenzen und nicht die x-Werte.
ich hab damit das Volumen eines Tegut Donuts errechnet (wir reden nicht über die torus formel)
Was ist ein Tegut Donut?
@@MathePeter ein Donut aus der Ladenkette Tegut
Ich habs mir fast gedacht 😂
Wie hast du es berechnet? Vor und nach dem Essen gewogen? :D