Числа Фибоначчи: формула Бине, предел отношения и сходимость ряда
HTML-код
- Опубликовано: 19 сен 2020
- Из этого видео вы узнаете, как получить формулу, выражающую числа Фибоначчи в явном виде (формула Бине), как найти предел отношения последовательных чисел Фибоначчи, а также как исследовать на сходимость ряд, состоящий из чисел, обратных к числам Фибоначчи.
Исследование на сходимость рядов 1/n^s можно посмотреть в этом видео: • Исследование сходимост...
Удивительным образом наткнулся на этот замечательный канал и теперь я стал его постоянным гостем. Благодарю за лаконичность и математическую строгость. Низкий поклон.
Лема о двух миллиционерах,лучшая и любимая вещь в математике. Просто и гениально!
Всё подробно. Спасибо за видео по числам Фибоначчи.
Наконец-то понятно обьяснили, с точками графика супер круто! Самое лучшее объяснение, спасибо!
Четко и подробное объяснение спасибо за труд
рад, что понравилось!
Вывод формулы Бине прост и гениален! но предел отношения следующего и текущего члена последовательности фиббоначи можно найти и без нее. Если это x, то из определения ряда Фиббоначи легко выводится, что x=1+1/x, дальше решается простое уравнение, решением которого является фи
если находить таким способом, то нужно еще доказать сначала, что предел вообще существует, иначе такие манипуляции лишены смысла :) а доказательство существования будет не меньше, чем вывод формулы для явного вида чисел фибоначчи :) А тут всё разом получилось, одно из другого
Интересный исследовательский подход с использованием графики. Если бы Ейлер имел такой инструментарий, то он нам подарил множество изящных формул. Вы это сделали изящно.
Эйлер вывел множество формул опередивших время. Например преобразование Фурье и быстрое преобразование Фурье. Только в его время эти алгоритмы были совершенно бесполезны и их вывели заново спустя много лет. А потом обнаружили, что Эйлер уже это сделал.
Я бы по-другому их сумму ввёл в формулу.
Заметим,что наше уравнение позволяет расслаивать функцию на слагаемые,для которых оно выполнено.
Это сразу видно из того,что тут всё линейно и нет особо помех.
Тогда как раз из двух корней делаем суммой вариацию на две переменные,дальше можно про ранг матрицы поговорить или просто для 0,1 начальных данных прогнать,как вы и сделали.
А вообще круто вы вот так неспеша дали такой мощный аппарат,ведь он реально почти все такие уравнения решает,если только корни не совпали)
Очень интересно, спасибо за видео!
рад, что понравилось!
Спасибо большое, разобралась, самое понятное объяснение!
В конце каждого ролика Вы осторожно предполагаете, что Ваши видео нравятся зрителям. И каждый раз у меня возникает вопрос: "А разве это кому-то может не понравиться?"
сейчас я все чаще говорю: "если вы досмотрели до этого момента, тогда вам ТОЧНО понравятся и другие видео" :)
Замечательное видео! Огромное спасибо!
освежили в памяти, спасибо
Ochen xoroshee video. Ya znal formulu, no nigde ne videl dokazatelstvo: prosto i chyotko
Спасибо большое!
отличное видео
Нахождение формулы Бине очень похоже на решение дифференциального уравнения. F_{n} = y. F_{n+1} = y'. F_{n+2} = y''. Потом (по сути почти эйлеровой подстановкой) находим корни уравнения и используем начальные значения :) В этом смысле даже логичнее задавать F_{0}=0, а не F_{1}=0. Потому что y^(0)=0
👍.
В восторге от качества контента! Спасибо за прекрасный ролик, очень интересная тема
Хотел узнать какой у вас математический бэкграунд, какой вуз оканчивали, какие книги читали?
физтех на урале. Но в плане математики там только какую-то небольшую базу дали, больше я потом сам уже изучал. Хотя, если честно говорить, то изучал что-то только в тех разделах, которые уже знал с вуза. Так что база всё-таки играла роль :)
@@Hmath здорово!
я сам с вмк, но такие интересные ряды нам не давали)
👍
Спасибо за видео!
Можете сказать, в какой программе пишите карандашом на экране?
любой графический редактор + захват экрана. мне привычнее писать в фотошопе, но думаю, что это не самый оптимальный вариант :)
Понял.
Спасибо!
Я думаю, что Фотошоп - хороший вариант!
Удивительное решение. Вроде бы всё так просто и логично, и даже вызывает чувство "как же я сам не додумался до этого". У меня по итогу возник один вопрос: Почему используется именно такая последовательность? А именно F₁=1; F₂=1; F₀=0. Ведь по идее можно было изначально выбрать другую последовательность, вернее взять ту же последовательность, но сдвинутую на один шаг. То есть F₁=0; F₂=1; F₃=1.
Да и вообще существуют ли такие же формулы для других последовательностей Фибоначчи? Скажем для последовательности 2;1;3;4;7;11...?
наверно есть формулы, я не интересовался этим вопросом :)
Последовательность можно начать любыми числами, предел отношения (n+1)-ого члена к n-ому останется прежним
Существуют, но a и b будут уже другие. Вы сами их можете найти для вашего случая ;)
существуют замкнутые формулы для любых линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами
Вы случайно не собираетесь делать видео по линейной алгебре?
не знаю, но точно не в ближайшее время
Возможно вопрос туповат, но почему в качестве добавки решили попробать пси(почему в плане полуинтуитивном(логическом), ну как с графиком например похож на показательную функцию, может её попробуем), просто для меня эт не очевидно. Заранее спасибо за ответ и за столько хороших роликов
пси - второй корень уравнения, значит будет а итоге удовлетворять тому же рекуррентному соотношению. такая может быть логика :)
формула Бине еще в механике есть
Wolfram Alpha выдал некий результат (его очень долго переписывать, можно найти по запросу "sum 1/Fib, n=1 to inf")
Не могу точно судить, но он давльно конкретный (то есть там конкретные стоят цифры, а значит, можно вычислить и точное значение... теоретически)
Или это не то?
он выдал ответ через специальные функции, которые по сути, тоже задаются через ряды :) под "точной суммой" я имел в виду, что не найдена сумма в виде алгебраической комбинации известных констант и чисел (или хотя бы через элементарные функции типа синуса косинуса и тп)
Т.е например сумма ряда 1/n^2 равна пи^2/6. А для этого ряда с обратными числами Фибоначчи ничего подобного не нашли. Как пишет википедия, доказали только, что сумма этого ряда иррациональное число, причем не так давно доказали.
en.wikipedia.org/wiki/Reciprocal_Fibonacci_constant
Понятно, что если ряд сходится (как в данном случае), то его сумму можно найти с любой точностью, все зависит от того, сколько просуммировать слагаемых из бесконечной суммы :)
@@Hmathну, для суммы ряда обратных квадратов тоже ведь хитрость, что он сводится к "точному" значению) Для пи точно так же невозможно получить точное значение, и вся эта неточность прячется под греческую букву. Просто константа фи, возможно, самостийная, и через другие константы не выражается, не имеет с ними связи
извините,но как вы построили график чисел фибоначчи ?
в каком смысле? нарисовал систему координат и отложил точки :)
Досмотрел до конца и решил посчитать сумму этих чисел. Пока я вижу только то, что эта сумма стремится к 3,36
сумму каких чисел? чисел фибоначчи?
видимо вы про сумму обратных к числам фибоначчи.
всё, что известно:
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8
Вывод интересный, однако получается, что предел отношения чисел Фибоначчи сам уже не является рациональным числом. По сути, бесконечность упрятали в иррациональное число, которое нужно знать с бесконечной точностью, чтобы рассчитать прямо таки для любого n. Тем интереснее, что для числа фибоначчи есть явная формула и в целых числах.
предел от последовательности рациональных чисел и не обязан быть рациональным числом. Собственно, иррациональные числа так и можно определить, как предел последовательности рациональных чисел. А что за "явная формула в целых числах"?
@@Hmath с подвохом, матрица [1 1, 1 0]^n. Но в степень можно возводить быстро, поэтому легко хоть миллионный член расчитать.
и где же это формула в явном виде? :) как же эту матрицу в 10 степень возвести, не вычисляя последовательным умножением 10 матриц? я только один способ знаю, как можно еще возвести матрицу в степень. Для этого нужно будет найти диагональную матрицу из собственных чисел, а они то как раз и будут с корнями - совсем даже не целые :)
а так, конечно, числа фибоначчи можно и по рекуррентной формуле искать - там все с целыми числами будет, и ничего изобретать не нужно дополнительно
@@Hmath быстрая степень это стандартный алгоритм, метод аддитивных цепочек. Квадрат, квадрат и т.д.
так я ж не про "скорость", я про рекуррентность. Как найти 100 степень матрицы, не находя при этом значения этой матрицы в меньшей степени? Если же нужно для этого найти хоть одну такую матрицу (в меньшей степени) - значит это уже рекуррентная формула по определению.
что значит точную сумму никто не нашёл? это же иррациональное число.. или нет?)
"иррациональное число" это не ответ
@@user-es6hc4qk3t вот именно. А как иррациональное число может быть точным?) можно всего лишь найти его и потом обозначить, как, например корень из двух, а точного то корня из двух тоже никто не нашёл
@@thebishop3588корень из двух можно, например, однозначно представить в виде периодической цепной дроби, что позволит найти с любой заданной наперед точностью
только если вычислять на компьютере с double, начиная 72 го числа вычисленные в лоб и по формуле Бине числа начинают различаться.
Я до сих пор не понииаю, откуда берется корень из 5
из корней квадратного уравнения)