изменение вероятности с 1/2 до 2/3 связано с тем что выросла вероятность, что исходный шар в урне был белый. Если проделать операцию 10 раз. Класть в урну белый шар, а потом доставать из урны случайный (и каждый раз получать белый). То вероятность, что первый шар тоже был белый будет возрастать с каждой итерацией. А если после этого начать проделывать с этой же урной ту же операцию, но уже с чёрным шаром, то вероятность будет смещаться обратно...
Не совсем так. Вероятность первого шара не меняется. Однако мы можем строить гипотезы относительно этой вероятности. И с накоплением новых данных отбрасывать неправдоподобные гипотезы.
Вероятность меняется потому, что реализация описанного сценария несимметричным образом сужает пространство возможностей. Как в парадоксе Монти-Холла. Событие «не глядя, вынули белый шар» даёт дополнительную информацию. Однако, строго говоря, мы не может дать числовой ответ об апостериорной вероятности, без допущений об априорной вероятности. Допущение о симметричности необоснованно и подобно анекдоту о «встречу ли сегодня динозавра? 50-на-50». Мы лишь можем сказать, что апостериорная вероятность равна f(p)=2p/(1+p), где p - априорная вероятность. Реализация данного конкретного сценария указывает на большее правдоподобие того, что изначально в урне был белый шар. Но не позволяет делать утверждения об априорной вероятности. Другое дело, если задачу модифицировать: допустим, в урне был чёрный или белый шар, потом у нас на глазах в урну положили белый шар, затем вслепую вынули белый шар, положили его обратно, вслепую вынули опять белый, и так 100 раз. Вероятность такого сценария при изначально чёрном шаре - 1/2¹⁰⁰, что сильно меньше пресловутого уровня 0.05. Поэтому в модифицированном эксперименте мы можем делать некоторые гипотезы относительно априорной вероятности. В научной практике считаются правдоподобными гипотезы, при истинности которых, экспериментально наблюдаемые результаты происходили бы не реже, чем в 5% экспериментов. Поэтому в модифицированной задаче правдоподобно предположить, что изначально белый шар бывает чаще, чем в 5% случаев. Тогда в конце серии из 100 «белых» выборок, в урне останется белый шар с вероятностью больше, чем f¹⁰⁰(0.05) = 1 - 1e-29. В модифицированной задаче нам пришлось взять произвольно выбранный, хотя и общепринятый уровень в 0.05. А в исходной задаче и это не поможет, так как функция правдоподобия не опускается ниже 0.5.
Может я ересь тут конечно напишу, но вот такие у меня размышления по этому поводу: В задаче определено лишь то, что 1) шары обязательно существуют и у них есть одно единственное свойство - окрашиваться в два цвета 2) Один шар находится в урне, в суперпозиции этих состояний, второй в руках и он белый. Вероятность распределения цветов шаров "во вселенной эксперимента" нам не задана, и определяется дискретно как число возможных состояний на множестве (0;1/2] относительно общего количества шаров в мире. то есть: если всего существует два шара, то среди них один белый второй чёрный, можно ссказать что они между собой всегда в состоянии квантовой запутанности, то есть когда мы видим один мы точно знаем какого цвета второй. если всего существует три шара, то среди них обязательно будет 1 чёрный, 1 белый, и один вероятность окрашивания которого может принимать единственное значение 1/3 если четёре, то вероятности будут три дискретных значения 1/4 1/3 2/4 если X, то дискретных значений вероятности будет X-1 В таком случае задача представляет из себя стек кубитов с которыми нам предлагается провести с некую операцию, а затем прочитать его значение. Ответ будет напрямую зависеть от количества существующих шаров и(или?) от заданного значения вероятности. например, если вероятность существования белых шаров "во вселенной эксперимента" будет 90% а чёрных 10% то ответ уже не будет далеко не 2/3
Ну кстати тут может быть акцент на "еще ОДИН" (как если бы "ещё два шара"), то есть семантика не того, все мы положили такой же шар, а что добавили ещё картой-то шар, который просто оказался белого цвета. Но тогда, по идее, все также - шар белого положили, шар белого забрали. Но в данном случае наверное 1/2 все равно, потому что у нас по итогу выбор в любом случае только из двух шаров, один из которых точно белый, а второй неизвестно. Значит у него выбор точно 1/2 при таком варианте.
изменилось то, что мы получили дополнительную информацию вытащив белый шар. Если бы белый шар мы бы забирали оттуда не наугад, а это делал бы кто-то, кто видит какой шар он достаёт, и он намеренно достал бы белый шар, тогда и правда ничего бы не изменилось и вероятность осталась бы 1/2.
В начальной постановке задачи нет ничего про равновероятность белых и черных шаров. То есть в общем случае надо считать что изначально вероятность достать белый из урны была 0 < p
мы ничего не знаем про это р. И для нас на старте черный и белый шары никак не предпочтительны, а значит приходится считать их в каком-то смысле равновероятными, но не в смысле ансамбля.
@@schetnikov как я сказал выше у нас даже если мы будем считать p равновероятным у нас есть формула как получения искомой вероятности из p, значит можно построить распределение вероятности Y = 2*p/(1+p), F_Y(x) = P(Y < x) = P(2*p/(1+p < x) = P(p< x/(2-x)) = F_p(x/(2-x)) берем производную получаем распределение f_y(x) = f_p(x/(2-x))*2/(2-x)^2 = 2/(2-x)^2 на отрезке от 0 до 1 можем к примеру найти среднее через интеграл оно будет равно 2 - log(4) = 0.6137... так что при равновероятном p проблем в любом случае не будет
@@craftsmanPE Как по Байесу считать не знаю, но тоже решал в общем виде. Получил ту же формулу: newP = 2 * lastP / (1 + lastP). Т.е. например, для стартовой вероятности 1/2, получается на следующих итерациях ряд 1/2 => 2/3 => 4/5 => 8/9 => 16/17 =>... и т.д.
Меня поразило другое: повторим опыт много раз, добавляя белый и вытаскивая случайный шар. В случае, если достали белый, вероятность того, что в урне белый 2/3, если же достали черный, вероятность, что второй - белый 100%. Вероятность, что в урне белый шар так или иначе повышается, что контр интуитивно, но объяснимо)
Когда в урне лежал один шар, то мы имели два возможных варианта события(вытащить черный шар -1 вариант события или вытащить белый шар - 2 вариант события) , которые равновероятно могут случится, соответственно выбирая один из двух вариантов мы получаем для каждого варианта вероятность 1/2. Когда же мы добавляем один белый шар, у нас в итоге теперь не два варианта а три варианта событий: вытащить черный шар - 1 вариант события, вытащить белый шар (если он не был черным) - 2 вариант события, вытащить белый шар который мы положили-3 вариант события. Соответственно для каждого варианта мы имеем вероятность 1/3, из этих вариантов два варианта - мы вытаскиваем не черный шар а значит общая вероятность этих событий когда мы вытаскиваем не черный шар равна 1 - 1/3=2/3
Само по себе определение "вероятность 2/3 что остался белы" не корректно в принципе!!! Это же не означает что оставшийся шар на две трети белый, а на одну треть черный и потому он более белый чем черный!!!! Вероятность 2/3 всего лишь говорит о том, что, - из ста раз проведения этого эксперимента вы называя белый - 66 раз угадаете какой остался шар, а вот 34 раза не угадаете, но при этом называя что остался черный - вы 34 раза из 100 угадаете!!!!
Оснований предполагать, что количество чёрных шаров равно количеству белых, тем более нет, и достав белый шар, я бы предположил, что белых больше. Ну, допустим, есть урна, в которой 1000 шариков белых и чёрных в неизвестной пропорции, вы не глядя достаёте 10 шаров, и все они оказываются белыми, после этого вам предлагают угадать, каким будет одиннадцатый. Очевидно же, что скорее всего он тоже белым будет.
если нам сообщают, что в урне лежит один шар, и он или черный, или белый, у нас нет никаких оснований считать, что он скорее черный, или скорее белый, а значит для на вероятности на старте равны 1/2. это не то же самое, что пример с динозавром, потому что там у нас есть предварительное знание, в том числе и не вероятностного характера. Если мы несколько раз опустим белый и снова вытащим белый, вероятность того, что там исходно лежал чёрный, будет уменьшаться, но равной нулю не станет.
Да с какого перепуга эти вероятности равны??? В начале нам известно, что там либо белый шар, либо черный. Вам в ролике объясняют что нет такой уверености а вы говорите что она по умолчанию. Вы еще раз пересмотрите
@@schetnikov Вот, допустим, подходит к нам на улице человек и предлагает сыграть в игру: мешочек, в мешочке 10 шариков, белые и чёрные, нам разрешают достать один, посмотреть какого он цвета, и после этого угадать цвет следующего. Мы достали шарик, и он оказался белым, а дальше у нас есть да пути, мы можем сказать: "Ну, раз мы ничего не знаем, то давайте считать, что изначально там было 50/50, то есть осталось 4 белых и 5 чёрных, то есть следующий шар будет скорее чёрным", а можем применить такую логику: "Раз я достал белый шар, значит, существует повышенная вероятность того, что белых шаров там изначально больше, а чёрных меньше, 6/4, может 7/3, значит, ждём ещё один белый". Мне не хватает понимания математики, чтобы определить верную стратегию, но я уверен, что она есть, шарик, который будет извлечён первым, позволит нам чаще угадывать исход, просто потому, что при увеличении числа шариков и попыток мы получим готовое распределение. Если из бесконечного количества шариков я случайным образом выну сто белых подряд, всё же очевидно будет. А если 10? А если 2? А дальше мы просто берём ещё один такой же мешочек, но уже с исключительно белыми шариками, и получаем вашу задачу. А утверждение, что раз мы не знаем, значит 50/50, это просто выдуманное дополнительное условие, чтобы решать было проще.
@@ИванИванов-з6ю6р это рассуждение выглядит странным. допустим, что там лежало поровну чернных и белых шаров. если мы вынем черный шар, мы скажем " там больше черных шаров, чем белых", а если мы вынем белый шар, мы скажем "там больше белых шаров, чем черных"? Все-таки, первый вынутый шар не юдобавляет нам никакого знания. В задаче Кэрролла ситуация другая: мы сами положили в урну белый шар, у нас есть частичное знание о том, что там лежит наверняка.
Ну то, что вероятность меняется от 1/2 в большую сторону как раз неудивительно. Когда мы вынимали шар, мы могли вынуть тот же самый, а могли вынуть и тот, что был в самом начале. И вот этот второй случай и портит некую симметрию, так как в этом случае остаётся точно белый шар.
Какое-то рассуждение блондинки про вероятность встретить динозавра. Почему бы не решить задачу в общем виде: изначально вероятность того, что в урне белый шар принять за p (p как раз зависит от способа приготовления)? Думаю, не ошибусь, если предположу, что ответ будет тоже зависеть от p, а значит в исходной постановке задача однозначного ответа не имеет.
@@schetnikov Если бы мы ничего не знали о динозаврах, разве бы рассуждение блондинки стало было верным? Нет, потому что ошибка не в этом, а в приписывании равной вероятности всем возможным (или пришедшим в голову) исходам.
У вас на 2:55 неточность на картинке: после выбора белого шара поле вероятностей (event space) финального раунда будет {Ч, Б2, Б3}. (если был выбран Б1 -> {Ч}, если Б2 -> {Б3}, Б3 -> {Б2}). Тогда вытащить повторно белый шар: Б2/|{Ч, Б2, Б3}| + Б3/|{Ч, Б2, Б3}| = 2/3 Изменение вероятности с 1/2 до 2/3 связано с тем что матожидание (expected value) изменилось в пользу белых посколько был добавлен +1 белый шар в изначальную распределенность.
Измениться ли ответ если решать задачку с немного другим условием: Шарик может быть белым или чёрным. В урне лежат два шара. По крайней мере один из них белый. При первом вынимании был вытянут белый шар. Какова вероятность того, что оставшийся в урне шар окажется белым? Как по мне - 1/2: всего два состояние системы (два белых шара и белый с чёрным), так как, один белый шар уже вытянут, то цвет оставшегося зависит исключительно от того, каково было состояние системы изначально (если бб то белый, еси бч - чёрный) Неужели информация о том, какой шар был первым, а какой вторым - влияет на вероятность?
Что значит "был вытянут белый шар"? Это значит, что либо был вытянут второй шар, Б2, который доложили, либо первый шар, Б1, если он там был изначально. Вероятность, что вытянули Б1 вдвое ниже, он был в урне с вероятностью 50%, а Б2 был в урне с вероятностью 100%. Т.к. общая вероятность =1, вероятность, что вытянули Б1 - 1/3, вероятность, что вытянули Б2 - 2/3. Если вытянули Б1(с вер.1/3), то точно остался Б2(с той же вер.1/3). Если вытянули Б2(с вер.2/3), то в половине случаев останется Б1(половина случаев, это половина от 2/3, т.е. 1/3), а в другой половине случаев останется Ч (с вер.тоже 1/3) Итого у нас 1/3, что в урне остался Б2, 1/3, что остался Б1, и 1/3, что остался Ч. Белые в первых двух случаях с вер. 1/3+1/3=2/3. PS Если же добавить в условие задачи, что урна узкая, и вытащить можно только последний положенный шар, то ваше решение будет верным.
А вы решение какой задачи объясняете: моей или той, что в ролике? Спрашиваю, потому что в моей нет шара, которого доложили - они оба изначальные, нет ни Б1, ни Б2
@@Громницький-е6ш Вы спросили: "Неужели информация о том, какой шар был первым, а какой вторым - влияет на вероятность?". Я вам ответил. У меня Б1 и Б2, а не Б, как у вас.
@@AndreySkakun вы ответили просто решением задачи, которая была в ролике, само по себе, оно на вопрос о влиянии информации про порядок шариков - не даёт. (Или я по невнимательности не увидел в ваших размышлениях соответствующего вывода)
Ваша задача запутаннее (что интересно), но решение то же. Просто "доложенный" белый шар меняется на шар, который "один из них точно белый". Для решения задачи её придётся сначала в голове переформулировать.
Да успокойтесь вы. Вероятность того, что остался белый шар (Р) зависит от вероятности того, что изначально в урне был белый шар (р): Р = 2р / (р + 1). И хватит из пустого в порожнее переливать.
Но ведь мы уже подействовали на систему, вытащив белый шар, поэтому вероятность поменялась. Разве нет? Ну и если не нравится условие, что в урне находится белый, либо чёрный шар с вероятностью 50%, то можно решить задачу с условием, что в урне лежит белый шар с вероятностью p, а чёрный с вероятностью 1 - p.
Интересно обобщить: изначально в урне лежит х белых шаров и у черных. {Либо белый шар с вероятностью х}. Добавили k+m (б+ч). Вытащили p+q. Какова вероятность теперь?
Строго говоря устройство урны нам также не известно. Если она с двойным дном, то вероятность вытащить второй шар равна нулю, а по условию задачи мы должны ответить о вероятности цвета шара находящегося в урне, не доставая его. То есть вероятность в этом случае будет 1/2.
Первый шар находиться в квантовой суперпозиции, он черный и белый одновременно. И задач хоть и интересна, но проста. А что если поменять условие? Какова вероятность что в урне был белый шар, если достали шар и не стали смотреть его цвет? Вот где поел для обсуждения. А серьезно рассуждать можно так: достать белый шар из урны можно при условии что исходный шар черный - 1/2, а при условии что шар белый 1, тогда принимая равновероятность нахождения в урне белого/черного шаров, получим - 1/2·1/2 + 1/2·1 = 3/4 Достали белый шар, тогда вероятность того что в урне исходным был белый шар можно найти по формуле Байесса: (1/2)·(1) / (3/4) = 2/3
Для того, чтобы понять, как такое может получиться, нужно задуматься, а что будет, если мы достанем не белый, а чёрный шар. А перед этим отказаться от нелепой байесианской веры в то, что оценка вероятности - и есть вероятность, и вернуться к определению вероятности на основе случайного эксперимента.
Достав шар наугад и посмотрев его цвет мы получили дополнительную информацию о системе, считай провели косвенные измерения. Очень близко к идеям некоторых квантово-механических экспериментов. Можно сказать что мы запутали 2 шара исходное состояние одного из которых было неизвестно и провели измерение😁
В 70-е годы имел дело с математиками из СО АНСССР. Завьялов Ю.С. (знаю, что умер). Леус В.А. (в Англии). А вот о Скороспелове В.А. не знаю что с ним. Ежели знаете, напишите.
Почему-то когда в урне лежит волновая функция и потом туда добавляется другая волновая функция, ни у кого не возникает вопрос отчего вдруг измерения одной влияют на другую, а с шарами значит должно не так быть? Дискриминация по Гейзенбергу какая-то прямо!
Одно из двух: либо шар, изначально лежащий в урне, является белым с вероятностью p, тогда и вероятность того, что в итоге из двух белых шаров вытащат белый тоже равна p; либо шар, изначально лежащий в урне, является черным с вероятностью 1-p, тогда вероятность того, что в итоге из двух шаров, один из которых черный, а другой белый, вытащат именно белый, равна (1-p)/2. Поскольку какое-то одно из этих двух событий обязательно произойдет, то их вероятности складываем и получаем ответ на вопрос задачи: (1+p)/2. Если p =1/2, т.е. шар, изначально лежащий в урне, равновероятно является белым или черным, то ответ на вопрос задачи есть (1+1/2)/2 = 3/4. Вот и все! 😉
Собственно ответ за финальный вопрос содержится в решении - один из четырёх вариантов уже не сработал, значит и связанная с ним вероятность "первый шар был чёрным" снизилась. Вообще, как Андрей правильно заметил, тут есть разница в зависимости от того, как действовал тот, кто доставал шар, если он специально доставал белый шар, а не доставал наугад, то тогда результат должен быть другим (1/2) - вспоминаем парадокс Монти Холла. Веселее будет если аналогичную задачку задать так "у меня 2 ребёнка, один из них - девочка, какова вероятно, что и второй - девочка".
Может я ошибаюсь, но кажется есть какая-то логическая ошибка в рассуждениях. Давайте вернемся к тому моменту, когда в урну к одному шару неизвестного цвета (с равной вероятностью белого или черного) положили один белый шар. Что известно на этот момент точно, пока мы не достали ни одного шара? Ну, пожалуй, что один шар с вероятностью 100 процентов белый, а второй - с вероятностью 50 процентов белый и с вероятностью 50 процентов черный. Теперь достают шар и он точно белый. Что теперь известно об оставшемся шаре? Мы можем с равной вероятностью полагать, что достали тот шар, про который было неизвестно сначала, либо тот белый, который положили потом. Тогда в первом случае можно говорить со вероятностью 100 процентов, что остался белый, а во втором - вероятность того, что остался белый равна 50 процентов. На лицо два несовместных исхода (события), когда может остаться белый шар, при условии, что достали белый, но точно неизвестно какой из двух изначально) Словами вероятность этого события можно записать так: (достали неизвестный шар и остался белый) или (достали известный белый шар и (остался неизвестный и он белый))=0,5*1+0,5*0,5=0,75.
Пародоксально, что, несмотря на уровень полемики и причудливости мнений при решении задачи Монти Холла никогда не видил, чтобы кто-то аппелировал к неравномерности вероятности изначального распределения приза за дверьми и предпочтениях игрока. Здесь же каждый второй комментарий про это...
Если я выходя на улицу могу встретить динозавра, а могу его не встретить, это вовсе не означает что вероятность его встретить 50%. Так же и с шарами. Так что задача нерешаема ввиду недостатка данных. Ну если, конечно, это не задача шутка, в которой фраза "кладут ЕЩЁ ОДИН белый шар" - это не ошибка перевода, а хитрое условие.
вероятность 0,5. как до так и после добавления и вытаскивания белого шара.наблюдателю будет казаться что вероятность выросла но только из наблюдения что после первой попытки вытащили белый шар, а значит скорее всего там было два белых шара и т. д. но добавление белого шара смещает вероятность в сторону белого шара. так думаю , я не математик.
Какой была исходная вероятность вытащить белый шар, такой она и осталась после процедуры добавления и извлечения белого шара. Количество белых шаров не поменялось после процедуры, общее количество шаров тоже не поменялось, следовательно, и исходная вероятность осталась прежней.
"..после процедуры добавления и извлечения белого шара..." Вы могли извлечь тот же шар, тогда вероятность , что остался белый равна 1/2 (именно это вы и описали) Но вы также могли достать другой белый шар, тогда вероятность что , что остался белый равна 1.
Ох уж эти байесы-шмайесы... Ничерта не помню, попробую без них. Слова о том, что если экспериментатор точно знает, какой шар был в урне с самого начала, то вероятность вырождается до 0 или 1, - подсказывает нам, что надо ввести параметр! И этот параметр - распределение вероятностей этого самого первого шара. В видео были рассмотрены три случая - 0, 0.5 и 1. Штош. Пусть первый шар белый с вероятностью W. Добавили второй белый шар - P("бб") = W - P("чб") = 1-W Извлекли шар P1 = P("бб -> вытащили б -> остался б") = W P2 = P("чб -> вытащили б -> остался ч") = (1-W)/2 P3 = P("чб -> вытащили ч -> остался б") = (1-W)/2 P("вытащили б -> остался б") = P1 / (P1 + P2) = W / (W + 1/2 - W/2) = 2W / (1+W) Это и является ответом. И для частных случаев даёт частные ответы: - если шар строго чёрный, W=0, P=0 - если шар строго белый, W=1, P=1 - если равновероятно, W=1/2, P=2/3 - если на десять урн только в одной чёрный шар, W=9/10, P=18/19 - если на десять урн только в одной белый шар, W=1/10, P=2/11 Ну и в обратную сторону можно решить: - если P=1/2, то W=1/3 То есть, если мы хотим оставлять белый шар равновероятно, то нужно, чтобы изначально из трёх урн в одной был белый и в двух - чёрный шар.
Изменение (с 1/2 до 2/3) вероятности того, что после процедуры (положили белый шар и взяли белый шар) остался белый шар объясняется из того, что в начале процедуры у нас была возможность взять чёрный шар, а взяв белый мы жту возможность отсекли, что и повлияло на расклад вероятностей, ведь оставшихся возможностей стало меньше. Т.е. мы могли достать чёрный шар и тогда бы тоже изменилась вероятность того, что остался белый (она бы выроса до 1).
Не сходится. По теореме Байеса ответ 1/2. А-второй белый В-первый белый Р(А|В) =Р(В|А) *Р(А) /Р(В) =(1/2*3/4)/(3/4). Элементарное пространство вероятностей:у нас есть гарантированно белый шар, назовем его 1.И есть второй неопределённый, назовем его 2. И тогда будет 4 пары: Ч2, Б1 Б1, Ч2 Б2, Б1 Б1, Б2
На мой взгляд, вероятность что изначально шар был белый равна 1/2. Мы добавили белый шар. Теперь мы с вероятностью 1/2 можем вытащить либо первый шар, либо второй. Тогда если мы вытащили первый шар и он белый (шанс 1/2*1/2=1/4), тогда с вероятностью 1 второй шар будет белый (1/4 * 1 = 1/4 исхода). Прибавим вероятность другого исхода, когда мы вытащили второй шар. Это произошло с вероятностью 1/2, значит второй шар будет белым с вероятностью 1/2 (изначальная вероятность). Вероятность второго белого шара равна 1/2 * 1/2 = 1/4. Значит общая вероятность того что второй шар будет белым равна 1/4 + 1/4 = 1/2.
1/4 - вероятность, что вытащили первый шар и он чёрный (остался белый) 1/4 - вероятность, что вытащили первый шар и он белый (остался белый) 1/4 - вероятность, что вытащили свой шар (остался белый) 1/4 - вероятность, что вытащили свой шар (остался чёрный) "..Тогда если мы вытащили первый шар и он белый (шанс 1/2*1/2=1/4), тогда с вероятностью 1 второй шар будет белый (1/4 * 1 = 1/4 исхода).." - это вы посчитали вероятность второго пункта "..мы вытащили второй шар. Это произошло с вероятностью 1/2, значит второй шар будет белым с вероятностью 1/2 (изначальная вероятность). Вероятность второго белого шара равна 1/2 * 1/2 = 1/4.." - это вы посчитали вероятность третьего пункта В итоге вы посчитали вероятность того, что вы вытащили белый и остался белый из всех возможных вариантов. Первый пункт нас не интересует. Нас интересуют только 3 исхода из 4. 1/2 : 3/4 = 2/3
После того как вытащили белый шар в урне остался один шар. Он может быть белым или черным. Проведём эксперимент - вытащим этот шар. Сколько возможно вариантов? Два. Какова вероятность каждого из этих вариантов? Очевидно 1/2. Рассуждать о рекомбинации вероятностей можно и нужно до того как вытащили первый шар.
Вы совершаете ту же интуитивную ошибку, которую совершают те, кто не может решить задачу Монти Холла. Два возможных варианта могут быть и не равновероятными.
Какая-то демагогия. Вероятность изначально определена только для тиражируемых событий. Поэтому к конкретному случаю она может быть приложена только исходя из понимания, какое событие мы тиражируем, только тогда вообще можно говорить о вероятности того или иного исхода.
@@schetnikov байесовская вероятность тоже основана на тиражируемых событиях - вероятность одного тиражируемого собития при условии некоторого исхода другого тиражируемого события. И в этих определениях нельзя говорить о вероятности, если у нас нет тиражируемости события неизвестного первоначального шара.
@@fostergrand4497 однако эту тиражируемость при байесовском подходе мы домысливаем сами. я согласен с тем, что это выглядит странно, но никакого другого основания в данном случае у нас нет.
@@schetnikov а мы любую тиражируемость домысливаем. Вероятность возникновения жизни - подсчитывается через домысливание тиражируемости всех придумываемых условий. И вероятность исходов единственного броска монеты домысливается через тиражирование его условий. Ведь можно представить себе и такой бросок монеты, который даст почти 100% предсказуемый результат. Так и тут, пока мы не растиражируем условие возникновения начального шара в урне понятие "вероятность" вообще не применимо к задаче. Мне кажется, в этом ключе должен был работать ролик. К Байесу у меня в контексте данной конкретной задаче претензий нет.
Вы ещё кота Шрёдингера включите: пока не посмотрите кот и жив и мёртв; но для других кот останется и жив и мёртв пока вы им не скажете своё наблюдение.
Можно условия изложить таким способом: Представим фейковую монету, у которой с обеих сторон орел. Кладем её в непрозрачный стакан. Добавляем туда аналогичную по размеру и весу настоящую монету, у которой стороны разные. Перемешиваем монеты в стакане и наугад с закрытыми глазами достает одну, подбрасываем её вверх. Открываем глаза, смотрим, что монета упала орлом вверх. Какова вероятность того, что мы вытащили фейковую монету.
Но самое интересное: Можно ли говорить о том, что пока мы не перевернули монету и не посмотрели, что у неё с другой стороны, до того момента обе монеты одновременно и фейковые и настоящие. Более того, находятся в запутанном состоянии.
Какая-то надуманная проблема. Если бы каждый раз задавались подобными вопросами, до теории вероятности вообще не дошли бы. А как изготовили монетку? А у кубика точно 6 граней? А на этих гранях точно 6 разных цифр? А откуда вы знаете, вы же не можете видеть сразу все 6 граней? и т.д....
интересно как решал эту задачу Льюис? Если решить ее как предлагается сразу, то для этого не нужно быть великим математиком и вроде обсуждать не чего. Делал ли он рассуждения, которые здесь продолжились и которые усложняют задачу?
Мне кажется рассуждения в корне неверные. Ничто в задаче не говорит о том, что цвет шара в урне равновероятен. Об этом мы и должны узнать своим шаром. Если кладя белый шар и вынимая тоже белый в 100 случаях из 100 (т.е. всегда) будет большая вероятность, что в урне белый шар. Если же примерно 50 из 100, то черный. У нас одна урна с одним шаром. Вся статистика на которой основана вероятность производится только с нашим вторым (белым) шаром. Буду рад, если мне ответят компетентные люди -- обычно в таких ситуациях комментарии интересней самого поста. И гораздо познавательней тоже. СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 🙂
Первая фраза никакого недоумения не вызывает. Например, существуют шары только двух цветов, черные и белые. Мы неглядя, на ощупь определили, что шар там один. И не важно, как урну готовили.
@@Качигар-ъ3р ОК, вызов принят. Я тут общую формулу насчитал: newP = 2 * lastP / (1 + lastP). Где lastP - исходная вероятность (3/5 в вашем примере), а newP - вероятность обнаружения белого шара в остатке после подкладывания в стакан ещё белого шара, и случайного доставания белого же. В вашем случае получится newP = (2 * 3/5) / (1 + 3/5) = 6/8 = 3/4. Если повторить процедуру ещё раз, получится newP = (2*3/4) / (1+3/4) = 6/7. И т.д. ...
@@MetaDriver33 извините, с вами я полностью согласен. Изначальный пост, как и многие, берут начальное положение 50/50 и тут же пишут "например" где логика? А таких как вы и я вроде больше, хотя точно не знаю. Тоже пытаюсь обьяснить, что ролик то как раз частично и об этом. Что нет четкой уверености в начальной позиции. Имхо банальный стереотип 👻
Все задачи с вероятностями упираются в человеческий фактор. Поэтому все математические вычисления уже изначально неверны. Человеческое мышление не подчиняется математическим формулам. Даже 2 на первый взгляд одинаковых человека могут совершать совершенно разные вероятности. А если действия выполняет машина, то закон вероятности прописан каким-то человеком.
1) если задача воспроизводится много раз и всегда случайно вытягивают сначала белый, то это означает что черного там не может быть 2) Если заменить в условии задачи «в урне белый или черный шар» на «в урне лежит шар» ничего не изменится. Так как само это ИЛИ не дает никакой информации о вероятности цветов. Ответ: вероятность 1
@@eugenefomenko40011) чем больше итераций, тем меньше вероятность, но она никогда не обнулится. 2) каким бы ни был шар в урне, что отменяет вариант, что вы достанете тот же шар, который положили?
изменение вероятности с 1/2 до 2/3 связано с тем что выросла вероятность, что исходный шар в урне был белый.
Если проделать операцию 10 раз. Класть в урну белый шар, а потом доставать из урны случайный (и каждый раз получать белый). То вероятность, что первый шар тоже был белый будет возрастать с каждой итерацией. А если после этого начать проделывать с этой же урной ту же операцию, но уже с чёрным шаром, то вероятность будет смещаться обратно...
Не совсем так. Вероятность первого шара не меняется. Однако мы можем строить гипотезы относительно этой вероятности. И с накоплением новых данных отбрасывать неправдоподобные гипотезы.
Чем-то напоминает задачу про три двери. Тоже вероятности 1/2 и 2/3
напоминает значениями 1/3 и 1/2 ?
@@ikitsar459 как вы угадали?
@@canniballissimo потому что ничего общего в этих задачах не вижу, кроме этих чисел
@@ikitsar459 так и есть
Вероятность меняется потому, что реализация описанного сценария несимметричным образом сужает пространство возможностей. Как в парадоксе Монти-Холла. Событие «не глядя, вынули белый шар» даёт дополнительную информацию.
Однако, строго говоря, мы не может дать числовой ответ об апостериорной вероятности, без допущений об априорной вероятности. Допущение о симметричности необоснованно и подобно анекдоту о «встречу ли сегодня динозавра? 50-на-50». Мы лишь можем сказать, что апостериорная вероятность равна f(p)=2p/(1+p), где p - априорная вероятность.
Реализация данного конкретного сценария указывает на большее правдоподобие того, что изначально в урне был белый шар. Но не позволяет делать утверждения об априорной вероятности.
Другое дело, если задачу модифицировать: допустим, в урне был чёрный или белый шар, потом у нас на глазах в урну положили белый шар, затем вслепую вынули белый шар, положили его обратно, вслепую вынули опять белый, и так 100 раз. Вероятность такого сценария при изначально чёрном шаре - 1/2¹⁰⁰, что сильно меньше пресловутого уровня 0.05. Поэтому в модифицированном эксперименте мы можем делать некоторые гипотезы относительно априорной вероятности.
В научной практике считаются правдоподобными гипотезы, при истинности которых, экспериментально наблюдаемые результаты происходили бы не реже, чем в 5% экспериментов.
Поэтому в модифицированной задаче правдоподобно предположить, что изначально белый шар бывает чаще, чем в 5% случаев. Тогда в конце серии из 100 «белых» выборок, в урне останется белый шар с вероятностью больше, чем f¹⁰⁰(0.05) = 1 - 1e-29.
В модифицированной задаче нам пришлось взять произвольно выбранный, хотя и общепринятый уровень в 0.05. А в исходной задаче и это не поможет, так как функция правдоподобия не опускается ниже 0.5.
и это вы ещё не учли вероятность того, что на дне чашки была разлита белая краска, которая на поверхности шара моментально засыхает)
Может я ересь тут конечно напишу, но вот такие у меня размышления по этому поводу:
В задаче определено лишь то, что 1) шары обязательно существуют и у них есть одно единственное свойство - окрашиваться в два цвета 2) Один шар находится в урне, в суперпозиции этих состояний, второй в руках и он белый. Вероятность распределения цветов шаров "во вселенной эксперимента" нам не задана, и определяется дискретно как число возможных состояний на множестве (0;1/2] относительно общего количества шаров в мире.
то есть:
если всего существует два шара, то среди них один белый второй чёрный, можно ссказать что они между собой всегда в состоянии квантовой запутанности, то есть когда мы видим один мы точно знаем какого цвета второй.
если всего существует три шара, то среди них обязательно будет 1 чёрный, 1 белый, и один вероятность окрашивания которого может принимать единственное значение 1/3
если четёре, то вероятности будут три дискретных значения 1/4 1/3 2/4
если X, то дискретных значений вероятности будет X-1
В таком случае задача представляет из себя стек кубитов с которыми нам предлагается провести с некую операцию, а затем прочитать его значение. Ответ будет напрямую зависеть от количества существующих шаров и(или?) от заданного значения вероятности.
например, если вероятность существования белых шаров "во вселенной эксперимента" будет 90% а чёрных 10% то ответ уже не будет далеко не 2/3
В условиях задачи ясно сказано что "... кладут ЕЩЁ ОДИН белый шар..." дело закрыто, задача решена 😂
Самый правильный и, главное, однозначный, без всяких додумываний, ответ.
😁😁😁😁
Можно даже не теряя смысла сказать
Еше один такой-же белый шар
👻
Ну кстати тут может быть акцент на "еще ОДИН" (как если бы "ещё два шара"), то есть семантика не того, все мы положили такой же шар, а что добавили ещё картой-то шар, который просто оказался белого цвета.
Но тогда, по идее, все также - шар белого положили, шар белого забрали.
Но в данном случае наверное 1/2 все равно, потому что у нас по итогу выбор в любом случае только из двух шаров, один из которых точно белый, а второй неизвестно. Значит у него выбор точно 1/2 при таком варианте.
@@paleomakardi8250 написано:👇"ещё один👇белый шар"!!!👇значит до него положили именно белый. следовательно: вероятность равна 1. 5:20
Тогда это не теорвер, а подлость.
изменилось то, что мы получили дополнительную информацию вытащив белый шар. Если бы белый шар мы бы забирали оттуда не наугад, а это делал бы кто-то, кто видит какой шар он достаёт, и он намеренно достал бы белый шар, тогда и правда ничего бы не изменилось и вероятность осталась бы 1/2.
Именно так, тогда бы эта задача свелась к задаче о трех дверях.
В начальной постановке задачи нет ничего про равновероятность белых и черных шаров.
То есть в общем случае надо считать что изначально вероятность достать белый из урны была 0 < p
Хорошее замечание, можно даже построить распределение вероятности при заданном p, по Байесу получится P(остался белый | вытянули белый) = 2*p/(1+p)
мы ничего не знаем про это р. И для нас на старте черный и белый шары никак не предпочтительны, а значит приходится считать их в каком-то смысле равновероятными, но не в смысле ансамбля.
@@schetnikov как я сказал выше у нас даже если мы будем считать p равновероятным у нас есть формула как получения искомой вероятности из p, значит можно построить распределение вероятности Y = 2*p/(1+p),
F_Y(x) = P(Y < x) = P(2*p/(1+p < x) = P(p< x/(2-x)) = F_p(x/(2-x))
берем производную получаем распределение
f_y(x) = f_p(x/(2-x))*2/(2-x)^2 = 2/(2-x)^2 на отрезке от 0 до 1
можем к примеру найти среднее через интеграл оно будет равно 2 - log(4) = 0.6137... так что при равновероятном p проблем в любом случае не будет
@@craftsmanPE Как по Байесу считать не знаю, но тоже решал в общем виде. Получил ту же формулу: newP = 2 * lastP / (1 + lastP).
Т.е. например, для стартовой вероятности 1/2, получается на следующих итерациях ряд 1/2 => 2/3 => 4/5 => 8/9 => 16/17 =>... и т.д.
0
Меня поразило другое: повторим опыт много раз, добавляя белый и вытаскивая случайный шар. В случае, если достали белый, вероятность того, что в урне белый 2/3, если же достали черный, вероятность, что второй - белый 100%. Вероятность, что в урне белый шар так или иначе повышается, что контр интуитивно, но объяснимо)
Когда в урне лежал один шар, то мы имели два возможных варианта события(вытащить черный шар -1 вариант события или вытащить белый шар - 2 вариант события) , которые равновероятно могут случится, соответственно выбирая один из двух вариантов мы получаем для каждого варианта вероятность 1/2. Когда же мы добавляем один белый шар, у нас в итоге теперь не два варианта а три варианта событий: вытащить черный шар - 1 вариант события, вытащить белый шар (если он не был черным) - 2 вариант события, вытащить белый шар который мы положили-3 вариант события. Соответственно для каждого варианта мы имеем вероятность 1/3, из этих вариантов два варианта - мы вытаскиваем не черный шар а значит общая вероятность этих событий когда мы вытаскиваем не черный шар равна 1 - 1/3=2/3
Очень интересный выпуск!
Уже сразу решил задачу я кажется улучшил свои знания по математике после ваших видео
Само по себе определение "вероятность 2/3 что остался белы" не корректно в принципе!!!
Это же не означает что оставшийся шар на две трети белый, а на одну треть черный и потому он более белый чем черный!!!!
Вероятность 2/3 всего лишь говорит о том, что, - из ста раз проведения этого эксперимента вы называя белый - 66 раз угадаете какой остался шар, а вот 34 раза не угадаете, но при этом называя что остался черный - вы 34 раза из 100 угадаете!!!!
Правильный ответ: 100%.
Потому что "в урну кладут ещё один белый шар". "Ещё один белый", да.
Спасибо. Очень интересная задача!
Оснований предполагать, что количество чёрных шаров равно количеству белых, тем более нет, и достав белый шар, я бы предположил, что белых больше. Ну, допустим, есть урна, в которой 1000 шариков белых и чёрных в неизвестной пропорции, вы не глядя достаёте 10 шаров, и все они оказываются белыми, после этого вам предлагают угадать, каким будет одиннадцатый. Очевидно же, что скорее всего он тоже белым будет.
+ 1 👻
ИМХО ролик во многом об этом, а то многие считают что в начале черный-белый 50/50
если нам сообщают, что в урне лежит один шар, и он или черный, или белый, у нас нет никаких оснований считать, что он скорее черный, или скорее белый, а значит для на вероятности на старте равны 1/2. это не то же самое, что пример с динозавром, потому что там у нас есть предварительное знание, в том числе и не вероятностного характера. Если мы несколько раз опустим белый и снова вытащим белый, вероятность того, что там исходно лежал чёрный, будет уменьшаться, но равной нулю не станет.
Да с какого перепуга эти вероятности равны??? В начале нам известно, что там либо белый шар, либо черный.
Вам в ролике объясняют что нет такой уверености а вы говорите что она по умолчанию. Вы еще раз пересмотрите
@@schetnikov Вот, допустим, подходит к нам на улице человек и предлагает сыграть в игру: мешочек, в мешочке 10 шариков, белые и чёрные, нам разрешают достать один, посмотреть какого он цвета, и после этого угадать цвет следующего. Мы достали шарик, и он оказался белым, а дальше у нас есть да пути, мы можем сказать: "Ну, раз мы ничего не знаем, то давайте считать, что изначально там было 50/50, то есть осталось 4 белых и 5 чёрных, то есть следующий шар будет скорее чёрным", а можем применить такую логику: "Раз я достал белый шар, значит, существует повышенная вероятность того, что белых шаров там изначально больше, а чёрных меньше, 6/4, может 7/3, значит, ждём ещё один белый". Мне не хватает понимания математики, чтобы определить верную стратегию, но я уверен, что она есть, шарик, который будет извлечён первым, позволит нам чаще угадывать исход, просто потому, что при увеличении числа шариков и попыток мы получим готовое распределение. Если из бесконечного количества шариков я случайным образом выну сто белых подряд, всё же очевидно будет. А если 10? А если 2? А дальше мы просто берём ещё один такой же мешочек, но уже с исключительно белыми шариками, и получаем вашу задачу. А утверждение, что раз мы не знаем, значит 50/50, это просто выдуманное дополнительное условие, чтобы решать было проще.
@@ИванИванов-з6ю6р это рассуждение выглядит странным. допустим, что там лежало поровну чернных и белых шаров. если мы вынем черный шар, мы скажем " там больше черных шаров, чем белых", а если мы вынем белый шар, мы скажем "там больше белых шаров, чем черных"? Все-таки, первый вынутый шар не юдобавляет нам никакого знания. В задаче Кэрролла ситуация другая: мы сами положили в урну белый шар, у нас есть частичное знание о том, что там лежит наверняка.
Ну то, что вероятность меняется от 1/2 в большую сторону как раз неудивительно. Когда мы вынимали шар, мы могли вынуть тот же самый, а могли вынуть и тот, что был в самом начале. И вот этот второй случай и портит некую симметрию, так как в этом случае остаётся точно белый шар.
Вероятность меняется потому, что мы игнорируем четверть экспериментов (а конкретно те, когда мы достали чёрный шар)
Какое-то рассуждение блондинки про вероятность встретить динозавра. Почему бы не решить задачу в общем виде: изначально вероятность того, что в урне белый шар принять за p (p как раз зависит от способа приготовления)? Думаю, не ошибусь, если предположу, что ответ будет тоже зависеть от p, а значит в исходной постановке задача однозначного ответа не имеет.
мы не знаем, чему равно это р. яА в случае с динозавром мы много чего знаем заранее.
@@schetnikov Ну, предположение, что в урну равновероятно положили черный или белый шар - это же в точности рассуждение блондинки.
@@finemechanic это не так. о динозаврах на улице у нас есть предварительное знание. а о шарах в урне такого знания у нас нет.
@@schetnikov Если бы мы ничего не знали о динозаврах, разве бы рассуждение блондинки стало было верным? Нет, потому что ошибка не в этом, а в приписывании равной вероятности всем возможным (или пришедшим в голову) исходам.
@@finemechanic дело не в динозаврах, а в нашем знании о том, что может встретиться на улице.
У вас на 2:55 неточность на картинке: после выбора белого шара поле вероятностей (event space) финального раунда будет {Ч, Б2, Б3}.
(если был выбран Б1 -> {Ч}, если Б2 -> {Б3}, Б3 -> {Б2}).
Тогда вытащить повторно белый шар: Б2/|{Ч, Б2, Б3}| + Б3/|{Ч, Б2, Б3}| = 2/3
Изменение вероятности с 1/2 до 2/3 связано с тем что матожидание (expected value) изменилось в пользу белых посколько был добавлен +1 белый шар в изначальную распределенность.
Да, задача напоминает парадокс Монти Холла. Но от этого она не становится хуже, а наоборот.
вообще разные задачи.
Так и не смог понять, почему её все сравнивают с парадоксом Монти холла
Измениться ли ответ если решать задачку с немного другим условием:
Шарик может быть белым или чёрным. В урне лежат два шара. По крайней мере один из них белый. При первом вынимании был вытянут белый шар. Какова вероятность того, что оставшийся в урне шар окажется белым?
Как по мне - 1/2: всего два состояние системы (два белых шара и белый с чёрным), так как, один белый шар уже вытянут, то цвет оставшегося зависит исключительно от того, каково было состояние системы изначально (если бб то белый, еси бч - чёрный)
Неужели информация о том, какой шар был первым, а какой вторым - влияет на вероятность?
Что значит "был вытянут белый шар"? Это значит, что либо был вытянут второй шар, Б2, который доложили, либо первый шар, Б1, если он там был изначально.
Вероятность, что вытянули Б1 вдвое ниже, он был в урне с вероятностью 50%, а Б2 был в урне с вероятностью 100%.
Т.к. общая вероятность =1, вероятность, что вытянули Б1 - 1/3, вероятность, что вытянули Б2 - 2/3.
Если вытянули Б1(с вер.1/3), то точно остался Б2(с той же вер.1/3).
Если вытянули Б2(с вер.2/3), то в половине случаев останется Б1(половина случаев, это половина от 2/3, т.е. 1/3), а в другой половине случаев останется Ч (с вер.тоже 1/3)
Итого у нас 1/3, что в урне остался Б2, 1/3, что остался Б1, и 1/3, что остался Ч. Белые в первых двух случаях с вер. 1/3+1/3=2/3.
PS
Если же добавить в условие задачи, что урна узкая, и вытащить можно только последний положенный шар, то ваше решение будет верным.
А вы решение какой задачи объясняете: моей или той, что в ролике? Спрашиваю, потому что в моей нет шара, которого доложили - они оба изначальные, нет ни Б1, ни Б2
@@Громницький-е6ш Вы спросили: "Неужели информация о том, какой шар был первым, а какой вторым - влияет на вероятность?". Я вам ответил. У меня Б1 и Б2, а не Б, как у вас.
@@AndreySkakun вы ответили просто решением задачи, которая была в ролике, само по себе, оно на вопрос о влиянии информации про порядок шариков - не даёт. (Или я по невнимательности не увидел в ваших размышлениях соответствующего вывода)
Ваша задача запутаннее (что интересно), но решение то же. Просто "доложенный" белый шар меняется на шар, который "один из них точно белый". Для решения задачи её придётся сначала в голове переформулировать.
Да успокойтесь вы. Вероятность того, что остался белый шар (Р) зависит от вероятности того, что изначально в урне был белый шар (р): Р = 2р / (р + 1). И хватит из пустого в порожнее переливать.
Условная верояиность работает в обратную сторону?
Видео о том, что в первом предложении условия нужно было указать, что "в урне находится с равной вероятностью либо белый либо черный шар".
Но ведь мы уже подействовали на систему, вытащив белый шар, поэтому вероятность поменялась. Разве нет? Ну и если не нравится условие, что в урне находится белый, либо чёрный шар с вероятностью 50%, то можно решить задачу с условием, что в урне лежит белый шар с вероятностью p, а чёрный с вероятностью 1 - p.
Интересно обобщить: изначально в урне лежит х белых шаров и у черных. {Либо белый шар с вероятностью х}. Добавили k+m (б+ч). Вытащили p+q. Какова вероятность теперь?
Почему бы не обозначить вероятность приготовления урны с белым шаром за `p` и не решить для общего случая?
2p/(p+1)?
Строго говоря устройство урны нам также не известно. Если она с двойным дном, то вероятность вытащить второй шар равна нулю, а по условию задачи мы должны ответить о вероятности цвета шара находящегося в урне, не доставая его. То есть вероятность в этом случае будет 1/2.
Первый шар находиться в квантовой суперпозиции, он черный и белый одновременно.
И задач хоть и интересна, но проста. А что если поменять условие? Какова вероятность что в урне был белый шар, если достали шар и не стали смотреть его цвет? Вот где поел для обсуждения.
А серьезно рассуждать можно так: достать белый шар из урны можно при условии что исходный шар черный - 1/2, а при условии что шар белый 1, тогда принимая равновероятность нахождения в урне белого/черного шаров, получим - 1/2·1/2 + 1/2·1 = 3/4
Достали белый шар, тогда вероятность того что в урне исходным был белый шар можно найти по формуле Байесса:
(1/2)·(1) / (3/4) = 2/3
Для того, чтобы понять, как такое может получиться, нужно задуматься, а что будет, если мы достанем не белый, а чёрный шар. А перед этим отказаться от нелепой байесианской веры в то, что оценка вероятности - и есть вероятность, и вернуться к определению вероятности на основе случайного эксперимента.
Достав шар наугад и посмотрев его цвет мы получили дополнительную информацию о системе, считай провели косвенные измерения. Очень близко к идеям некоторых квантово-механических экспериментов. Можно сказать что мы запутали 2 шара исходное состояние одного из которых было неизвестно и провели измерение😁
В 70-е годы имел дело с математиками из СО АНСССР. Завьялов Ю.С. (знаю, что умер). Леус В.А. (в Англии). А вот о Скороспелове В.А. не знаю что с ним. Ежели знаете, напишите.
Почему-то когда в урне лежит волновая функция и потом туда добавляется другая волновая функция, ни у кого не возникает вопрос отчего вдруг измерения одной влияют на другую, а с шарами значит должно не так быть? Дискриминация по Гейзенбергу какая-то прямо!
Одно из двух:
либо шар, изначально лежащий в урне, является белым с вероятностью p, тогда и вероятность того, что в итоге из двух белых шаров вытащат белый тоже равна p;
либо шар, изначально лежащий в урне, является черным с вероятностью 1-p, тогда вероятность того, что в итоге из двух шаров, один из которых черный, а другой белый, вытащат именно белый, равна (1-p)/2.
Поскольку какое-то одно из этих двух событий обязательно произойдет, то их вероятности складываем и получаем ответ на вопрос задачи: (1+p)/2.
Если p =1/2, т.е. шар, изначально лежащий в урне, равновероятно является белым или черным, то ответ на вопрос задачи есть (1+1/2)/2 = 3/4. Вот и все! 😉
Собственно ответ за финальный вопрос содержится в решении - один из четырёх вариантов уже не сработал, значит и связанная с ним вероятность "первый шар был чёрным" снизилась. Вообще, как Андрей правильно заметил, тут есть разница в зависимости от того, как действовал тот, кто доставал шар, если он специально доставал белый шар, а не доставал наугад, то тогда результат должен быть другим (1/2) - вспоминаем парадокс Монти Холла.
Веселее будет если аналогичную задачку задать так "у меня 2 ребёнка, один из них - девочка, какова вероятно, что и второй - девочка".
Может я ошибаюсь, но кажется есть какая-то логическая ошибка в рассуждениях. Давайте вернемся к тому моменту, когда в урну к одному шару неизвестного цвета (с равной вероятностью белого или черного) положили один белый шар. Что известно на этот момент точно, пока мы не достали ни одного шара? Ну, пожалуй, что один шар с вероятностью 100 процентов белый, а второй - с вероятностью 50 процентов белый и с вероятностью 50 процентов черный. Теперь достают шар и он точно белый. Что теперь известно об оставшемся шаре? Мы можем с равной вероятностью полагать, что достали тот шар, про который было неизвестно сначала, либо тот белый, который положили потом. Тогда в первом случае можно говорить со вероятностью 100 процентов, что остался белый, а во втором - вероятность того, что остался белый равна 50 процентов. На лицо два несовместных исхода (события), когда может остаться белый шар, при условии, что достали белый, но точно неизвестно какой из двух изначально) Словами вероятность этого события можно записать так: (достали неизвестный шар и остался белый) или (достали известный белый шар и (остался неизвестный и он белый))=0,5*1+0,5*0,5=0,75.
Пародоксально, что, несмотря на уровень полемики и причудливости мнений при решении задачи Монти Холла никогда не видил, чтобы кто-то аппелировал к неравномерности вероятности изначального распределения приза за дверьми и предпочтениях игрока. Здесь же каждый второй комментарий про это...
Если я выходя на улицу могу встретить динозавра, а могу его не встретить, это вовсе не означает что вероятность его встретить 50%. Так же и с шарами. Так что задача нерешаема ввиду недостатка данных. Ну если, конечно, это не задача шутка, в которой фраза "кладут ЕЩЁ ОДИН белый шар" - это не ошибка перевода, а хитрое условие.
вероятность 0,5. как до так и после добавления и вытаскивания белого шара.наблюдателю будет казаться что вероятность выросла но только из наблюдения что после первой попытки вытащили белый шар, а значит скорее всего там было два белых шара и т. д. но добавление белого шара смещает вероятность в сторону белого шара. так думаю , я не математик.
Какой была исходная вероятность вытащить белый шар, такой она и осталась после процедуры добавления и извлечения белого шара. Количество белых шаров не поменялось после процедуры, общее количество шаров тоже не поменялось, следовательно, и исходная вероятность осталась прежней.
"..после процедуры добавления и извлечения белого шара..."
Вы могли извлечь тот же шар, тогда вероятность , что остался белый равна 1/2 (именно это вы и описали)
Но вы также могли достать другой белый шар, тогда вероятность что , что остался белый равна 1.
Ох уж эти байесы-шмайесы... Ничерта не помню, попробую без них.
Слова о том, что если экспериментатор точно знает, какой шар был в урне с самого начала, то вероятность вырождается до 0 или 1, - подсказывает нам, что надо ввести параметр!
И этот параметр - распределение вероятностей этого самого первого шара.
В видео были рассмотрены три случая - 0, 0.5 и 1.
Штош.
Пусть первый шар белый с вероятностью W.
Добавили второй белый шар
- P("бб") = W
- P("чб") = 1-W
Извлекли шар
P1 = P("бб -> вытащили б -> остался б") = W
P2 = P("чб -> вытащили б -> остался ч") = (1-W)/2
P3 = P("чб -> вытащили ч -> остался б") = (1-W)/2
P("вытащили б -> остался б") = P1 / (P1 + P2) = W / (W + 1/2 - W/2) = 2W / (1+W)
Это и является ответом.
И для частных случаев даёт частные ответы:
- если шар строго чёрный, W=0, P=0
- если шар строго белый, W=1, P=1
- если равновероятно, W=1/2, P=2/3
- если на десять урн только в одной чёрный шар, W=9/10, P=18/19
- если на десять урн только в одной белый шар, W=1/10, P=2/11
Ну и в обратную сторону можно решить:
- если P=1/2, то W=1/3
То есть, если мы хотим оставлять белый шар равновероятно, то нужно, чтобы изначально из трёх урн в одной был белый и в двух - чёрный шар.
Изменение (с 1/2 до 2/3) вероятности того, что после процедуры (положили белый шар и взяли белый шар) остался белый шар объясняется из того, что в начале процедуры у нас была возможность взять чёрный шар, а взяв белый мы жту возможность отсекли, что и повлияло на расклад вероятностей, ведь оставшихся возможностей стало меньше. Т.е. мы могли достать чёрный шар и тогда бы тоже изменилась вероятность того, что остался белый (она бы выроса до 1).
В общем случае 2р/(р+1).
р+(1-р)/2 - вероятность успешно завершить эксперимент.
р - вероятность вытащить белый шар из бадьи.
Не сходится. По теореме Байеса ответ 1/2.
А-второй белый
В-первый белый
Р(А|В) =Р(В|А) *Р(А) /Р(В)
=(1/2*3/4)/(3/4).
Элементарное пространство вероятностей:у нас есть гарантированно белый шар, назовем его 1.И есть второй неопределённый, назовем его 2. И тогда будет 4 пары:
Ч2, Б1
Б1, Ч2
Б2, Б1
Б1, Б2
На мой взгляд, вероятность что изначально шар был белый равна 1/2. Мы добавили белый шар. Теперь мы с вероятностью 1/2 можем вытащить либо первый шар, либо второй. Тогда если мы вытащили первый шар и он белый (шанс 1/2*1/2=1/4), тогда с вероятностью 1 второй шар будет белый (1/4 * 1 = 1/4 исхода). Прибавим вероятность другого исхода, когда мы вытащили второй шар. Это произошло с вероятностью 1/2, значит второй шар будет белым с вероятностью 1/2 (изначальная вероятность). Вероятность второго белого шара равна 1/2 * 1/2 = 1/4. Значит общая вероятность того что второй шар будет белым равна 1/4 + 1/4 = 1/2.
1/4 - вероятность, что вытащили первый шар и он чёрный (остался белый)
1/4 - вероятность, что вытащили первый шар и он белый (остался белый)
1/4 - вероятность, что вытащили свой шар (остался белый)
1/4 - вероятность, что вытащили свой шар (остался чёрный)
"..Тогда если мы вытащили первый шар и он белый (шанс 1/2*1/2=1/4), тогда с вероятностью 1 второй шар будет белый (1/4 * 1 = 1/4 исхода).." - это вы посчитали вероятность второго пункта
"..мы вытащили второй шар. Это произошло с вероятностью 1/2, значит второй шар будет белым с вероятностью 1/2 (изначальная вероятность). Вероятность второго белого шара равна 1/2 * 1/2 = 1/4.." - это вы посчитали вероятность третьего пункта
В итоге вы посчитали вероятность того, что вы вытащили белый и остался белый из всех возможных вариантов.
Первый пункт нас не интересует. Нас интересуют только 3 исхода из 4.
1/2 : 3/4 = 2/3
@@ikitsar459 В любом случае, Льюис Кэрол был слишком хорошим автором, чтобы задавать простые и скучные задачи. Уверен оригинал куда более интересен.
Доп. вопрос - обман: Вы говорите:"плложили белый, достали белый..." А на самом деле положили белый, достали произвольный, он оказался белым...
После того как вытащили белый шар в урне остался один шар. Он может быть белым или черным.
Проведём эксперимент - вытащим этот шар. Сколько возможно вариантов? Два. Какова вероятность каждого из этих вариантов? Очевидно 1/2.
Рассуждать о рекомбинации вероятностей можно и нужно до того как вытащили первый шар.
Вы совершаете ту же интуитивную ошибку, которую совершают те, кто не может решить задачу Монти Холла. Два возможных варианта могут быть и не равновероятными.
Вероятность зависит от изначального соотношения количества белых и черных шаров. Нас просто пытались запутать.
Какая-то демагогия. Вероятность изначально определена только для тиражируемых событий. Поэтому к конкретному случаю она может быть приложена только исходя из понимания, какое событие мы тиражируем, только тогда вообще можно говорить о вероятности того или иного исхода.
это называется "байесовская вероятность". она действительно странная, и тем не менее ей тоже пользуются.
@@schetnikov байесовская вероятность тоже основана на тиражируемых событиях - вероятность одного тиражируемого собития при условии некоторого исхода другого тиражируемого события.
И в этих определениях нельзя говорить о вероятности, если у нас нет тиражируемости события неизвестного первоначального шара.
@@fostergrand4497 однако эту тиражируемость при байесовском подходе мы домысливаем сами. я согласен с тем, что это выглядит странно, но никакого другого основания в данном случае у нас нет.
@@schetnikov а мы любую тиражируемость домысливаем.
Вероятность возникновения жизни - подсчитывается через домысливание тиражируемости всех придумываемых условий.
И вероятность исходов единственного броска монеты домысливается через тиражирование его условий. Ведь можно представить себе и такой бросок монеты, который даст почти 100% предсказуемый результат.
Так и тут, пока мы не растиражируем условие возникновения начального шара в урне понятие "вероятность" вообще не применимо к задаче.
Мне кажется, в этом ключе должен был работать ролик.
К Байесу у меня в контексте данной конкретной задаче претензий нет.
Вы ещё кота Шрёдингера включите: пока не посмотрите кот и жив и мёртв; но для других кот останется и жив и мёртв пока вы им не скажете своё наблюдение.
Зачем трясти лишними шарами, и так ясно из условий, что или белый, или черный? Никако не выделены, кроме последовательности провозглашения, правда ...
Можно условия изложить таким способом:
Представим фейковую монету, у которой с обеих сторон орел. Кладем её в непрозрачный стакан. Добавляем туда аналогичную по размеру и весу настоящую монету, у которой стороны разные. Перемешиваем монеты в стакане и наугад с закрытыми глазами достает одну, подбрасываем её вверх. Открываем глаза, смотрим, что монета упала орлом вверх. Какова вероятность того, что мы вытащили фейковую монету.
Но самое интересное:
Можно ли говорить о том, что пока мы не перевернули монету и не посмотрели, что у неё с другой стороны, до того момента обе монеты одновременно и фейковые и настоящие. Более того, находятся в запутанном состоянии.
Запахло котом Шредингера и эффектом наблюдателя
можно и так себе это представлять.
Какая-то надуманная проблема. Если бы каждый раз задавались подобными вопросами, до теории вероятности вообще не дошли бы. А как изготовили монетку? А у кубика точно 6 граней? А на этих гранях точно 6 разных цифр? А откуда вы знаете, вы же не можете видеть сразу все 6 граней? и т.д....
Да уж, интересная задачка
ИМХО условие интересней 😊
👻
чем-то похоже на задачу про вероятность, что второй ребенок тоже мальчик
интересно как решал эту задачу Льюис? Если решить ее как предлагается сразу, то для этого не нужно быть великим математиком и вроде обсуждать не чего. Делал ли он рассуждения, которые здесь продолжились и которые усложняют задачу?
Мне кажется рассуждения в корне неверные. Ничто в задаче не говорит о том, что цвет шара в урне равновероятен. Об этом мы и должны узнать своим шаром. Если кладя белый шар и вынимая тоже белый в 100 случаях из 100 (т.е. всегда) будет большая вероятность, что в урне белый шар. Если же примерно 50 из 100, то черный. У нас одна урна с одним шаром. Вся статистика на которой основана вероятность производится только с нашим вторым (белым) шаром. Буду рад, если мне ответят компетентные люди -- обычно в таких ситуациях комментарии интересней самого поста. И гораздо познавательней тоже. СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 🙂
Я дурак. Сначала подумал про половину, но всё-таки 2/3.
Красивая задача. На связанные вероятности. Интуитивно не решается.
Я вчера на улице видел динозавра. Страшную ящерицу.
Первая фраза никакого недоумения не вызывает. Например, существуют шары только двух цветов, черные и белые. Мы неглядя, на ощупь определили, что шар там один. И не важно, как урну готовили.
Ну почему неважно? Например "существуют лебеди двух цветов, чёрные и белые". А если вороны? Начальная пропорция вероятностей однозначно важна.
Интересное у вас суждение "Например"
ОК давай по вашему: например, существует всего пять шаров три белых и два черных
👻
@@Качигар-ъ3р ОК, вызов принят. Я тут общую формулу насчитал: newP = 2 * lastP / (1 + lastP). Где lastP - исходная вероятность (3/5 в вашем примере), а newP - вероятность обнаружения белого шара в остатке после подкладывания в стакан ещё белого шара, и случайного доставания белого же. В вашем случае получится newP = (2 * 3/5) / (1 + 3/5) = 6/8 = 3/4. Если повторить процедуру ещё раз, получится newP = (2*3/4) / (1+3/4) = 6/7. И т.д. ...
@@MetaDriver33 извините, с вами я полностью согласен. Изначальный пост, как и многие, берут начальное положение 50/50 и тут же пишут "например" где логика?
А таких как вы и я вроде больше, хотя точно не знаю. Тоже пытаюсь обьяснить, что ролик то как раз частично и об этом. Что нет четкой уверености в начальной позиции.
Имхо банальный стереотип
👻
50/50
Очень похоже на Монти холла
Ничего общего, кроме чисел в решении
👍
от 0 до 1 на мой взгляд интервал
2/3
Все задачи с вероятностями упираются в человеческий фактор. Поэтому все математические вычисления уже изначально неверны. Человеческое мышление не подчиняется математическим формулам. Даже 2 на первый взгляд одинаковых человека могут совершать совершенно разные вероятности. А если действия выполняет машина, то закон вероятности прописан каким-то человеком.
Наудачу достали белый шар. Значит черного шара , изначально его и не было . 100%вероятность что там белый шар
А если вытянули шар, который только что положили? Оставшийся может оказаться как и чёрным, так и белым.
1) если задача воспроизводится много раз и всегда случайно вытягивают сначала белый, то это означает что черного там не может быть
2) Если заменить в условии задачи «в урне белый или черный шар» на «в урне лежит шар» ничего не изменится. Так как само это ИЛИ не дает никакой информации о вероятности цветов.
Ответ: вероятность 1
@@eugenefomenko40011) чем больше итераций, тем меньше вероятность, но она никогда не обнулится. 2) каким бы ни был шар в урне, что отменяет вариант, что вы достанете тот же шар, который положили?