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3:25 １でなく10です。申し訳ございません。ブルーバックス「大学入試数学 不朽の名問100 大人のための“数学腕試し”」 amzn.to/2Q7bUvUこの1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8Cオイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
16^(sinx)^2をa、16^(cosx)^2をbと置くとa+b=10 ab=16なので tの二次方程式が出ました。
紹介されましたね！
数学のこういう所好き
掛けて、cos²x＋sin²x＝1ナルホド👏斬新です
見掛け倒しではなく魅せ倒す解法
こういう多角的な思考を持ちたい
リズムよく解説して頂いて気持ち良かったです。案外、簡単に解けたのですが、問題を考えた方のアイディアにも感服いたします。
備忘録70G"【 半角の公式より、】 与式 ⇔ 16^(1＋cos2x)/2 ＋16^(1－cos2x)/2 ＝ 10 ⇔ 4・4^cos2x ＋4・4^(－cos2x) ＝ 10 4^cos2x＝ t ( > 0 ) ･･･① とおいて、分母を払って整理すると ( 2t－1 )( t－2 )＝ 0 ⇔ t＝ 2⁻¹, 2¹ ①より、2^2cos2x ＝ 2⁻¹, 2¹ ⇔ 2cos2x ＝ ± 1 ∴ cos2x ＝ ± 1/2 ⇔ 2x ＝ ± π/3 ＋n・π ∴ x＝ ± π/6 ＋π/2・n ( n ∈整数 ) ■
☆ 一関数化が 第1歩☆☆半角の公式で次数下げ☆☆一般角の扱い方
2π周期で無数の解が有ることは分かりました。8通りに分類された解を更に詳しく見ると、π/2の周期性になっているので2通りにまでまとめられます。即ち整数ｎを用いてx=(n/2 ± 1/6)π
見た瞬間途方に暮れる問題ですが、とりあえず手を動かしてw＝cos²x とおくと 16ʷ＋16¹⁻ʷ＝10t＝16ʷ とおくと t＋16/t＝10とココまで来たら、先が見えますね。
何だこの訳解らん式…と思って分解してたら変数変換して一気に割と親しみのある式になった。
確かにぱっと見難しそうにも見えますが、見掛け倒しですね。題の付け方がすごくいいし、内容もわかりやすくてよかった
解析の方面では、sinxとcosxを最初から無限級数として定義してしまうそうですそうすると、諸々の公式は全て式変形だけで解決しますね(少々計算が大変なのと、無限の扱いに気をつけなければならないですが)
指数を無理数まで拡張できること改めて知りました。といっても、指数関数の図示は連続的に描かれますし、指数は無理数をとれるのだろうと思いますが、どのように値が定義されるのか不思議に思います。
指数関数の連続性について議論できれば実数での定義には困らないですね。
例えば2^√2は2^1.4, 2^1.41, 2^1.414, 2^1.4142, …という数列の極限として計算できます
@@jalmar40298 さん、2^{\sqrt{2}}=sup_{q は\sqrt{2}未満の有理数} 2^q でも定義できますね。
@@PC三太郎 なるほど、その定義は初めて見たけどありだね
当たり前のことを当たり前にやれば、「うまくできてる！」と思える問題ですね。ただ、指数法則とかがちゃんと身に付いてないと一瞬立ち止まったりするかもです。最終段階でご丁寧にlog₂ を持ち込んでしまいました。やってることは貫太郎先生と同じですが、このあたりはもっとセンスを磨かないと･･･。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
おはようございます。式を見た瞬間 (sinx)^2=t の置き換えが思い浮かびました。それと同時に 2+8=10 が "見え" たので、頭の中で 1/4+3/4=1 を確認することが、今日の "肝" でした。
なんで特に深い意味もないのに””＊つけるの？
@@aimy0306 "それな"
@@じゃがりこ-u8p _(^ω^」┌)┘三三三三 ブルドーザーごっこ楽しいいぃぃぃ！！！！！
本当に見かけ倒しでした。風呂に浸かりながら5分で捌けました。こういう問題を考え付く先生は素晴らしい。
0～π/2 だけでも三角関数の加法定理の証明は大変。 tanの倍角の公式の証明だけは,例の,右下が直角,右の辺1,底辺xの直角三角形の,左の角を伸ばして角度を半分にしたときに伸ばした長さが元の直角三角形の斜辺と同じになり,出来た直角三角形の底辺がx+√(x^2+1)であることを使って 1/tanA = 1/tan(2A)+√({1/tan(2A)}^2+1) から簡単に求められますが...{1/tanA - 1/tan(2A)}^2 = {1/tan(2A)}^2 + 1 ⇔ {1/tanA}^2 - 2/{tan(2A)tanA} = 1 ⇔{1/tanA}^2 - 1 = 2/{tan(2A)tanA} ⇔ tan(2A) = 2 tanA/(1 - {tanA}^2) 。
cosx=±(√3/2)とした後の解は単位円からも4つの解が周期2πのまとめ方からさらに2つの解が周期πでx=±(π/6)+nπとまとめられそうですねcosx=±1/2も同様
この問題いいですね。パッと見難しそうに見えるけど、初歩的なことで解ける。しかも答えも綺麗。
こんなにきれいにとけるのかぁ
いつも楽しく拝見させていただいております😃数学には一ミクロンも関係の無い仕事ですが😅本来、数学は面白い学問だと思います☺️以前の数学を雑学するの続編も楽しみにしております😁
Очень хорошо объясняет. Молодец, учитель👍
Спасибо
@@kantaro1966 как я заметил, такие задачи нам давали на Олимпиадах по математике. У вас тоже дают детям такие задачи?
分からん。翻訳しようにもコピペ出来んから出来ん。
@@kantaro1966 さん すごい！ロシア語？じゃん
@@coscos3060 私はロシア人ではない、私はカザフ人です、私はコンピュータの前に座って問題を解決していました。 私はこのビデオに出くわし、ロシア語で答えることにしました。 Google翻訳は私たちのカザフ語を日本語に翻訳するのが非常に悪いからです。 今の質問。 高校卒業生は大学に入るために試験を受けますか？
今の高校数学では三角比、正弦定理、余弦定理までが数学I の範囲で、弧度法、三角関数、加法定理は数学II の範囲ですね。
16、n乗、足して10、8と22の4乗が3乗と1乗、√3/230度60度×1〜4象限出来た！と思っても他の解がないか考え出すと結局ちゃんと計算せざるを得ないという。解は±π/6+(2n+1)π/4で1行におさめたい派です。
π/6じゃなくてπ/12ですね
最近指数方程式を見ると対数をとりたくならない病にかかってしまった気がしますcosかsinのみの式にして両辺に16^(cosx^2)(または16^(sinx^2))をかければ2次方程式になるなと分かれば簡単でした
半角の公式使って4^cos2x+1/4^cos2x=5/2まで持っていって、4^cos2x=tって置いてやったけどすごい時間かかった
3:25くらいのとこの式＝１じゃなくて＝10ですよね、その後はちゃんとしてたので大丈夫ですが
ご指摘ありがとうございます。
指数の底を16のまま処理したので、2=16^(1/4)、8=16^(3/4)としました。基本の定義域を0
Very very interesting question!!!!!
反射的に対数取ろうとしてしまった…
式に+が残ってるから綺麗にはならないのにしばらく考えちゃいますよね
定期的に楽しく見させて頂いております。xは負の可能性もあるのではないでしょうか。｢±π/6+2nπ, ±5π/6+2nπ｣は自然数nよりも整数kを用いて｢±π/6+2kπ, ±5π/6+2kπ｣ではないでしょうか。またまとめて｢±π/6+2kπ｣とした方が綺麗な解答かと思いました。同様に｢±π/6+(2k+1)π/2｣となり、これらを合わせて最終的な解答は｢±π/6+kπ/2｣と一行で書いた方が美しいように思いました。
解は+-1/6π+nπと+-1/4π+nπで表せないか？
思った(笑)
+-1/3π+nπ?
和積の式から2次方程式立てた
サムネだけ見て「両辺16^(sinx)^2かけたら二次方程式なるやろ～」思ったけどやってること実質同じだった
おはようございます。今の高校数学では三角比と三角関数の履修は学年が別らしい、我々の時はほぼ同時に習ったので境が不明確、定義も適当でした。今日の問題を見たとき笑っちゃいました。三角関数の基本の基cosx^2+sinx^2＝１を使えば瞬殺。明日もよろしくお願いします。
たとえば、82-93年度高校入学生の教育課程（今年度高校入学生が最後となる現行のものより3代前）上ですと、数学Iの三角比は教科書で言うと最後の章になっていて、基礎解析の三角関数は教科書で言うと最初の章になっていた、ということでほぼ同時に履修したと感じることはあるかもしれませんね（その当時だと数学Iを高1の年越し前までには終わらせ、遅くとも高1の年越し以降に代数・幾何と基礎解析を先取り履修させるケースがありましたね）。
@@PC三太郎 さん 自分は高校ではなく高等専門学校でした代数幾何、基礎解析いずれの先生も高専専用の教科書は使わずひたすら黒板に自らのノート内容を写し書き 生徒はひたすらそれをノートに取る、考察する余裕などありませんでしたでもおかげで貫太郎さん動画で高校内容を改めて履修させて貰った気分です 当初は複素数ましてガウス平面、mod, 多項定理……何も知りませんでした平面の方程式もベクトルを使わずに単位方向余弦を使うスキルで習いました（最終的に同じ事なのですが）そして2年生の材料力学で円の断面2次モーメントを微積分学も習ってないのに重積分で証明する講義にはさすがにドン引きしました 長々と失礼しました。
久しぶりに、サクサク解けました。『見掛け倒しの方程式』で良かったです。
受験終わってから、数学さわってなかったから、全然解けなくて萎えた
16^（sinx）^2両辺に掛けて16^（sinx）^2をtと置くと二次方程式ができました
2nπを添え忘れた…アプローチはほぼ同じでした。定義を述べよっていきなりいわれると戸惑いますね…
厳密な証明は難しかったが答としては2×8=16と2+8=10に着目して30°、60°、それと対象の角度を考えたがそれに円周の整数倍を足せるのを忘れてた
ﾔｯﾀｰ
劇場版 名探偵コナン 見掛け倒しの方程式(イクエーション)
答え書く時、+-2nπじゃなくて+-nπってしてれば答えの表記がより簡単になりますよ
+nπだけでいいです
＋-ないとダメじゃない？
正解はどれなんだ...
@@re8128 結論からいうと皆さん正しいです。三角関数のうちsin, cosは周期2π (360°)tanは周期π (180°)一般に周期関数f(x)=f(α)をみたすときx=α±周期×非負整数あるいはx=α+周期×整数ですしかもcosの場合、y=cosθの一つの解をθ=αとすると、θ=-αも解となるので少しややこしくなります。cosθ=cosαならθ=α±2πnまたは-α±2πn (n=0, 1, 2, …)あるいはθ=α+2πnまたは-α+2πn (n=0, ±1, ±2, …)となりますこの問題の場合はcosx=-1/2または1/2または-√3/2または√3/2となり解の候補がたくさんあるため、2πnの部分をπnに集約化しても結果的に正しくなりますし、αの部分を±αにまとめてもきれいです。かなり特殊なケースですが。
@@kskj5672 分かったありがとう！
変換が面白すぎるなぁ。そして1年前にもコメントしてる自分がいたw
同じ解き方で解けました
ここの視聴者すごすぎて焦ってしまう高３
わかる
普通にすごすぎる人多いだけだから自分のペースで頑張るんやで
そうですよね！コツコツ頑張るようにします！
ここはレベルタカスンギ
おはようございます☀️
「じゃ以上じぇしゅあじゃぁした」(早足で立ち去る)…
単位円の図を見てから気づいたのですが、『±π/6+2πn』と『±5π/6+2πn』は『±π/6+πn』にまとめられると回答欄が少しスッキリすると思います。『+2πn』で統一したほうがいいのかもしれませんが。
偶数と偶数かけるなので奇数をかけると奇数なのでxは2よくわかってないですが16と10の最小公約数の2右辺が偶数なので2乗を含むxの掛け算は最小の偶数2なります
初めから16^cos²xをかけても良いですね
初手logを取りたくなりますが、うまく行かないのはどんな要因があるんですかね、、
log の中身に和の形(16^(cos^2x)+16^(sin^2x))になるからだと思います。中身が積ならバラせるけど和だと手が進まないことが多いです
どうしても指数多項式（足し算を含む指数式）でlogをとりたいなら全体にlogをとるのではなく部分的にlogをとるとうまくいくことがあります16^(c^2)+16^(s^2)=1016^(c^2)=tとおき、この部分だけ底16の対数をとるとc^2=log₁₆tこのとき16^(s^2)=16^(1-c^2)=16^(1-log₁₆t)=16/16^(log₁₆t)=16/tよって与式はt+16/t=10両辺t≠0をかけた整理t^2-10t+16=0(t-2)(t-8)=0t=2, 8c^2=log₁₆tであるのでc^2=log₁₆2, log₁₆8c^2=1/4, 3/4c=±1/2, ±√3/2以下動画と同じ
とりあえずsinとcosを統一すればいいのは自力でわかった
おはようございます。今回もまんまと引っかかってしまいました😂
あー，そうやればただの2次方程式になるのかー😲実は最初に解だけがすぐに分かってしまったこともあって，それ以外にないことを示す方向で考えてしまい，面倒になりました。f(x) = 16^{(cosx)^2} + 16^{(sinx)^2}と置いてf'(x) = 16 * log16 * sin2x * [16^{(sinx)^2} - 16^{(cosx)^2}] = 0を解くと（以下，+2nπは省略）sin2x = 0より，x = 0，π/2，π，3π/216^{(cosx)^2} - 16^{(sinx)^2} = 0より，x = π/4，3π/4，5π/4，7π/4以上から増減表を書くと，f(x)が8≦f(x)≦17を値域として，周期π/2で振動する関数だと分かりf(x) = 10の解としては，0≦x≦π/4，π/4≦x≦π/2，π/2≦x≦3π/4，3π/4≦x≦π，π≦x≦5π/4，5π/4≦x≦3π/2，3π/2≦x≦7π/4，7π/4≦x＜2πの各区間に1つずつ存在することが示せるので，最初に分かった解以外に存在しないことが証明されたことになります。ちなみに，私の高校時代の先生は独自の判断で三角比をすっ飛ばして最初に三角関数（単位円周上の座標という定義）を教えてくれたので90°以上に対しても戸惑いなく入れました。
すごいですね😲 こんな別解思いつかない
@@coscos3060 さんただ単に面倒なだけなのでおすすめは出来ません😂ただ，受験とか関係なく数学の学び直しとかされている方の参考程度になればってところかと😅たまたま先に解が見えちゃったので，他にない証明ばかり考えてしまった結果です😅
遅くなりましたが、動画視聴を終え、答案のPDFを私のチャンネルの概要欄にございます先へアップしました。念のためですが、xは実数と断ったほうが良いかもしれませんね。16^{\sin^2 x}（または 16^{\cos^2 x}）の2次方程式に帰着させられれば、あとは三角方程式を解くだけになります。
こないだ指数を学校で習い始めて解けました！一見難しそうですが楽な問題ですね
ヨシッ❗
おぼろげながら、浮かんできたんです2+8 という数字が
きれいに因数分解できたので合っていると思いました。xの範囲を0≦x＜2πにしてほしかった
おはようございます。私は、恥ずかしながら、このような三角関数の指数の形の方程式を初めて見ました。とても刺激的でした。 明快な解説を、貫太郎先生ありがとうございました。
三角比の拡張された定義って、単位円じゃなくて半径rで言われていたような。
おはようございます。今日は珍しく自力でできた、と思ったら、30度と60度と両方ありか。ウッカリしてた。
指数部はsin^2x, cos^2xともに[0,1]の値域をもつので、左辺1,2項ともに1,2,4,8,16しかとり得ない。そのうちで足して10となるのは2と8の組み合わせのみ。すると指数部は1/4と3/4になるため、sinx, cosxはそれぞれ1/2, sqrt(3)/2のどちらか。あとは+-の組み合わせを適当に考える、という考え方も。
中尾彬？
ごめんなさい、数弱なもので「+2nπ」をつける理由が分かりません。どなたか教えてくれませんか？
sinもcosも360°=2π増えたら同じ値になるからです。
@@kantaro1966 なるほど、鈴木貫太郎さんありがとうございます！範囲の指定がなければこれをつけなければならないということですかね。
円の方程式で喋らず、距離の公式、と喋ればよかった。。。と貫太郎さんなら後悔しているはず、少しだけ。
計算の作業としては理解できました。ありがとうございます。たど、乗数に整数以外が入ることがどういうことなのか全くイメージがわきません。どのような意味合いの数字なのでしょうか。
この問題、一見するとギョッとするが、三角関数の定義を冷静に思い出せば解けると云うのがミソ。まぁ、16=2⁴ということでとりあえず２cosXのなんちゃらなんだろうな…と考える人も居そうな問題。どこかの大学でこれの類題が出たら大笑いですね。
32だと思った俺を殴れ
3:25 １でなく10です。申し訳ございません。
ブルーバックス「大学入試数学 不朽の名問100 大人のため
の“数学腕試し”」 amzn.to/2Q7bUvU
この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識
でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。
www.ttrinity.jp/p/248613/
16^(sinx)^2をa、16^(cosx)^2をbと置くと
a+b=10 ab=16なので tの二次方程式が出ました。
紹介されましたね！
数学のこういう所好き
掛けて、cos²x＋sin²x＝1
ナルホド👏斬新です
見掛け倒しではなく魅せ倒す解法
こういう多角的な思考を持ちたい
リズムよく解説して頂いて気持ち良かったです。案外、簡単に解けたのですが、問題を考えた方のアイディアにも感服いたします。
備忘録70G"【 半角の公式より、】 与式 ⇔
16^(1＋cos2x)/2 ＋16^(1－cos2x)/2 ＝ 10 ⇔ 4・4^cos2x ＋4・4^(－cos2x) ＝ 10
4^cos2x＝ t ( > 0 ) ･･･① とおいて、分母を払って整理すると ( 2t－1 )( t－2 )＝ 0
⇔ t＝ 2⁻¹, 2¹ ①より、2^2cos2x ＝ 2⁻¹, 2¹ ⇔ 2cos2x ＝ ± 1 ∴ cos2x ＝ ± 1/2
⇔ 2x ＝ ± π/3 ＋n・π ∴ x＝ ± π/6 ＋π/2・n ( n ∈整数 ) ■
☆ 一関数化が 第1歩
☆☆半角の公式で次数下げ
☆☆一般角の扱い方
2π周期で無数の解が有ることは分かりました。
8通りに分類された解を更に詳しく見ると、π/2の周期性になっているので2通りにまでまとめられます。即ち整数ｎを用いて
x=(n/2 ± 1/6)π
見た瞬間途方に暮れる問題ですが、とりあえず手を動かして
w＝cos²x とおくと 16ʷ＋16¹⁻ʷ＝10
t＝16ʷ とおくと t＋16/t＝10
とココまで来たら、先が見えますね。
何だこの訳解らん式…と思って分解してたら変数変換して一気に割と親しみのある式になった。
確かにぱっと見難しそうにも見えますが、見掛け倒しですね。題の付け方がすごくいいし、内容もわかりやすくてよかった
解析の方面では、sinxとcosxを最初から無限級数として定義してしまうそうです
そうすると、諸々の公式は全て式変形だけで解決しますね
(少々計算が大変なのと、無限の扱いに気をつけなければならないですが)
指数を無理数まで拡張できること改めて知りました。といっても、指数関数の図示は連続的に描かれますし、指数は無理数をとれるのだろうと思いますが、どのように値が定義されるのか不思議に思います。
指数関数の連続性について議論できれば実数での定義には困らないですね。
例えば2^√2は2^1.4, 2^1.41, 2^1.414, 2^1.4142, …という数列の極限として計算できます
@@jalmar40298 さん、2^{\sqrt{2}}=sup_{q は\sqrt{2}未満の有理数} 2^q でも定義できますね。
@@PC三太郎 なるほど、その定義は初めて見たけどありだね
当たり前のことを当たり前にやれば、「うまくできてる！」と思える問題ですね。
ただ、指数法則とかがちゃんと身に付いてないと一瞬立ち止まったりするかもです。
最終段階でご丁寧にlog₂ を持ち込んでしまいました。やってることは貫太郎先生と同じですが、このあたりはもっとセンスを磨かないと･･･。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
おはようございます。
式を見た瞬間 (sinx)^2=t の置き換えが思い浮かびました。
それと同時に 2+8=10 が "見え" たので、頭の中で 1/4+3/4=1 を確認することが、今日の "肝" でした。
なんで特に深い意味もないのに””＊つけるの？
@@aimy0306 "それな"
@@じゃがりこ-u8p _(^ω^」┌)┘三三三三 ブルドーザーごっこ楽しいいぃぃぃ！！！！！
本当に見かけ倒しでした。
風呂に浸かりながら5分で捌けました。
こういう問題を考え付く先生は素晴らしい。
0～π/2 だけでも三角関数の加法定理の証明は大変。 tanの倍角の公式の証明だけは,
例の,右下が直角,右の辺1,底辺xの直角三角形の,左の角を伸ばして角度を半分にしたときに
伸ばした長さが元の直角三角形の斜辺と同じになり,出来た直角三角形の底辺がx+√(x^2+1)
であることを使って 1/tanA = 1/tan(2A)+√({1/tan(2A)}^2+1) から簡単に求められますが...
{1/tanA - 1/tan(2A)}^2 = {1/tan(2A)}^2 + 1 ⇔ {1/tanA}^2 - 2/{tan(2A)tanA} = 1 ⇔
{1/tanA}^2 - 1 = 2/{tan(2A)tanA} ⇔ tan(2A) = 2 tanA/(1 - {tanA}^2) 。
cosx=±(√3/2)とした後の解は単位円からも4つの解が周期2πのまとめ方からさらに2つの解が周期πでx=±(π/6)+nπとまとめられそうですね
cosx=±1/2も同様
この問題いいですね。
パッと見難しそうに見えるけど、初歩的なことで解ける。
しかも答えも綺麗。
こんなにきれいにとけるのかぁ
いつも楽しく拝見させていただいております😃
数学には一ミクロンも関係の無い仕事ですが😅
本来、数学は面白い学問だと思います☺️
以前の数学を雑学するの続編も楽しみにしております😁
Очень хорошо объясняет. Молодец, учитель👍
Спасибо
@@kantaro1966 как я заметил, такие задачи нам давали на Олимпиадах по математике. У вас тоже дают детям такие задачи?
分からん。翻訳しようにもコピペ出来んから出来ん。
@@kantaro1966 さん すごい！ロシア語？じゃん
@@coscos3060 私はロシア人ではない、私はカザフ人です、私はコンピュータの前に座って問題を解決していました。 私はこのビデオに出くわし、ロシア語で答えることにしました。 Google翻訳は私たちのカザフ語を日本語に翻訳するのが非常に悪いからです。 今の質問。 高校卒業生は大学に入るために試験を受けますか？
今の高校数学では三角比、正弦定理、余弦定理までが数学I の範囲で、弧度法、三角関数、加法定理は数学II の範囲ですね。
16、n乗、足して10、8と2
2の4乗が3乗と1乗、√3/2
30度60度
×1〜4象限
出来た！と思っても他の解がないか考え出すと結局ちゃんと計算せざるを得ないという。
解は±π/6+(2n+1)π/4で1行におさめたい派です。
π/6じゃなくてπ/12ですね
最近指数方程式を見ると対数をとりたくならない病にかかってしまった気がします
cosかsinのみの式にして両辺に16^(cosx^2)(または16^(sinx^2))をかければ2次方程式になるなと分かれば簡単でした
半角の公式使って
4^cos2x+1/4^cos2x=5/2まで持っていって、4^cos2x=tって置いてやったけどすごい時間かかった
3:25くらいのとこの式＝１じゃなくて＝10ですよね、その後はちゃんとしてたので大丈夫ですが
ご指摘ありがとうございます。
指数の底を16のまま処理したので、2=16^(1/4)、8=16^(3/4)としました。
基本の定義域を0
Very very interesting question!!!!!
反射的に対数取ろうとしてしまった…
式に+が残ってるから綺麗にはならないのにしばらく考えちゃいますよね
定期的に楽しく見させて頂いております。
xは負の可能性もあるのではないでしょうか。
｢±π/6+2nπ, ±5π/6+2nπ｣は自然数nよりも整数kを用いて｢±π/6+2kπ, ±5π/6+2kπ｣ではないでしょうか。
またまとめて｢±π/6+2kπ｣とした方が綺麗な解答かと思いました。
同様に｢±π/6+(2k+1)π/2｣となり、
これらを合わせて最終的な解答は｢±π/6+kπ/2｣と一行で書いた方が美しいように思いました。
解は+-1/6π+nπと+-1/4π+nπで表せないか？
思った(笑)
+-1/3π+nπ?
和積の式から2次方程式立てた
サムネだけ見て「両辺16^(sinx)^2かけたら二次方程式なるやろ～」思ったけどやってること実質同じだった
おはようございます。今の高校数学では三角比と三角関数の履修は学年が別らしい、我々の時はほぼ同時に習ったので境が不明確、定義も適当でした。今日の問題を見たとき笑っちゃいました。三角関数の基本の基cosx^2+sinx^2＝１を使えば瞬殺。明日もよろしくお願いします。
たとえば、82-93年度高校入学生の教育課程（今年度高校入学生が最後となる現行のものより3代前）上ですと、数学Iの三角比は教科書で言うと最後の章になっていて、基礎解析の三角関数は教科書で言うと最初の章になっていた、ということでほぼ同時に履修したと感じることはあるかもしれませんね（その当時だと数学Iを高1の年越し前までには終わらせ、遅くとも高1の年越し以降に代数・幾何と基礎解析を先取り履修させるケースがありましたね）。
@@PC三太郎 さん 自分は高校ではなく高等専門学校でした
代数幾何、基礎解析いずれの先生も高専専用の教科書は使わず
ひたすら黒板に自らのノート内容を写し書き 生徒はひたすら
それをノートに取る、考察する余裕などありませんでした
でもおかげで貫太郎さん動画で高校内容を改めて履修させて貰った
気分です 当初は複素数ましてガウス平面、mod, 多項定理……何も知りませんでした
平面の方程式もベクトルを使わずに単位方向余弦を使うスキルで習いました（最終的に同じ事なのですが）そして2年生の材料力学で円の断面2次
モーメントを微積分学も習ってないのに重積分で証明する講義には
さすがにドン引きしました 長々と失礼しました。
久しぶりに、サクサク解けました。『見掛け倒しの方程式』で良かったです。
受験終わってから、数学さわってなかったから、全然解けなくて萎えた
16^（sinx）^2両辺に掛けて16^（sinx）^2をtと置くと二次方程式ができました
2nπを添え忘れた…
アプローチはほぼ同じでした。
定義を述べよっていきなりいわれると戸惑いますね…
厳密な証明は難しかったが
答としては
2×8=16と2+8=10に着目して
30°、60°、それと対象の角度を考えたが
それに円周の整数倍を足せるのを忘れてた
ﾔｯﾀｰ
劇場版 名探偵コナン 見掛け倒しの方程式(イクエーション)
答え書く時、+-2nπじゃなくて+-nπってしてれば答えの表記がより簡単になりますよ
+nπだけでいいです
＋-ないとダメじゃない？
正解はどれなんだ...
@@re8128
結論からいうと皆さん正しいです。
三角関数のうち
sin, cosは周期2π (360°)
tanは周期π (180°)
一般に周期関数f(x)=f(α)をみたすとき
x=α±周期×非負整数
あるいは
x=α+周期×整数
です
しかもcosの場合、y=cosθの一つの解をθ=αとすると、θ=-αも解となるので少しややこしくなります。
cosθ=cosαなら
θ=α±2πnまたは-α±2πn (n=0, 1, 2, …)
あるいは
θ=α+2πnまたは-α+2πn (n=0, ±1, ±2, …)
となります
この問題の場合は
cosx=-1/2または1/2または-√3/2または√3/2
となり解の候補がたくさんあるため、2πnの部分をπnに集約化しても結果的に正しくなりますし、αの部分を±αにまとめてもきれいです。かなり特殊なケースですが。
@@kskj5672 分かったありがとう！
変換が面白すぎるなぁ。そして1年前にもコメントしてる自分がいたw
同じ解き方で解けました
ここの視聴者すごすぎて焦ってしまう高３
わかる
普通にすごすぎる人多いだけだから自分のペースで頑張るんやで
そうですよね！コツコツ頑張るようにします！
ここはレベルタカスンギ
おはようございます☀️
「じゃ以上じぇしゅあじゃぁした」(早足で立ち去る)…
単位円の図を見てから気づいたのですが、『±π/6+2πn』と『±5π/6+2πn』は『±π/6+πn』にまとめられると回答欄が少しスッキリすると思います。『+2πn』で統一したほうがいいのかもしれませんが。
偶数と偶数かけるなので奇数をかけると奇数なのでxは2よくわかってないですが16と10の最小公約数の2右辺が偶数なので2乗を含むxの掛け算は最小の偶数2なります
初めから16^cos²xをかけても良いですね
初手logを取りたくなりますが、うまく行かないのはどんな要因があるんですかね、、
log の中身に和の形(16^(cos^2x)+16^(sin^2x))になるからだと思います。中身が積ならバラせるけど和だと手が進まないことが多いです
どうしても指数多項式（足し算を含む指数式）でlogをとりたいなら
全体にlogをとるのではなく部分的にlogをとるとうまくいくことがあります
16^(c^2)+16^(s^2)=10
16^(c^2)=tとおき、この部分だけ底16の対数をとると
c^2=log₁₆t
このとき
16^(s^2)=16^(1-c^2)
=16^(1-log₁₆t)
=16/16^(log₁₆t)
=16/t
よって与式は
t+16/t=10
両辺t≠0をかけた整理
t^2-10t+16=0
(t-2)(t-8)=0
t=2, 8
c^2=log₁₆tであるので
c^2=log₁₆2, log₁₆8
c^2=1/4, 3/4
c=±1/2, ±√3/2
以下動画と同じ
とりあえずsinとcosを統一すればいいのは自力でわかった
おはようございます。
今回もまんまと引っかかってしまいました😂
あー，そうやればただの2次方程式になるのかー😲
実は最初に解だけがすぐに分かってしまったこともあって，それ以外にないことを示す方向で考えてしまい，面倒になりました。
f(x) = 16^{(cosx)^2} + 16^{(sinx)^2}
と置いて
f'(x) = 16 * log16 * sin2x * [16^{(sinx)^2} - 16^{(cosx)^2}] = 0を解くと（以下，+2nπは省略）
sin2x = 0より，x = 0，π/2，π，3π/2
16^{(cosx)^2} - 16^{(sinx)^2} = 0より，x = π/4，3π/4，5π/4，7π/4
以上から増減表を書くと，f(x)が8≦f(x)≦17を値域として，周期π/2で振動する関数だと分かり
f(x) = 10の解としては，
0≦x≦π/4，
π/4≦x≦π/2，
π/2≦x≦3π/4，
3π/4≦x≦π，
π≦x≦5π/4，5π/4≦x≦3π/2，
3π/2≦x≦7π/4，7π/4≦x＜2π
の各区間に1つずつ存在することが示せるので，最初に分かった解以外に存在しないことが証明されたことになります。
ちなみに，私の高校時代の先生は独自の判断で三角比をすっ飛ばして最初に三角関数（単位円周上の座標という定義）を教えてくれたので
90°以上に対しても戸惑いなく入れました。
すごいですね😲 こんな別解思いつかない
@@coscos3060 さん
ただ単に面倒なだけなのでおすすめは出来ません😂
ただ，受験とか関係なく数学の学び直しとかされている方の参考程度になればってところかと😅
たまたま先に解が見えちゃったので，他にない証明ばかり考えてしまった結果です😅
遅くなりましたが、動画視聴を終え、答案のPDFを私のチャンネルの概要欄にございます先へアップしました。
念のためですが、xは実数と断ったほうが良いかもしれませんね。
16^{\sin^2 x}（または 16^{\cos^2 x}）の2次方程式に帰着させられれば、あとは三角方程式を解くだけになります。
こないだ指数を学校で習い始めて解けました！一見難しそうですが楽な問題ですね
ヨシッ❗
おぼろげながら、浮かんできたんです
2+8 という数字が
きれいに因数分解できたので合っていると思いました。xの範囲を0≦x＜2πにしてほしかった
おはようございます。私は、恥ずかしながら、このような三角関数の指数の形の方程式を初めて見ました。とても刺激的でした。
明快な解説を、貫太郎先生ありがとうございました。
三角比の拡張された定義って、単位円じゃなくて半径rで言われていたような。
おはようございます。今日は珍しく自力でできた、と思ったら、30度と60度と両方ありか。ウッカリしてた。
指数部はsin^2x, cos^2xともに[0,1]の値域をもつので、左辺1,2項ともに1,2,4,8,16しかとり得ない。
そのうちで足して10となるのは2と8の組み合わせのみ。
すると指数部は1/4と3/4になるため、sinx, cosxはそれぞれ1/2, sqrt(3)/2のどちらか。
あとは+-の組み合わせを適当に考える、という考え方も。
中尾彬？
ごめんなさい、数弱なもので「+2nπ」をつける理由が分かりません。どなたか教えてくれませんか？
sinもcosも360°=2π増えたら同じ値になるからです。
@@kantaro1966 なるほど、鈴木貫太郎さんありがとうございます！範囲の指定がなければこれをつけなければならないということですかね。
円の方程式で喋らず、距離の公式、と喋ればよかった。。。と貫太郎さんなら後悔しているはず、少しだけ。
計算の作業としては理解できました。ありがとうございます。
たど、乗数に整数以外が入ることがどういうことなのか全くイメージがわきません。どのような意味合いの数字なのでしょうか。
この問題、一見するとギョッとするが、三角関数の定義を冷静に思い出せば解けると云うのがミソ。
まぁ、16=2⁴ということでとりあえず２cosXのなんちゃらなんだろうな…と考える人も居そうな問題。
どこかの大学でこれの類題が出たら大笑いですね。
32だと思った俺を殴れ