@integral(sin(x))- eine eher theoretische Frage Kann man nicht sagen, dass die Ergebnisse bei 0; integral(sin(x)) von 0 bis x=180°; (integral(sin(x)) von 0 bis x=180°) / 2 liegen? Im Grunde verhält es sich doch damit so wie bei 1-1+1-1+1-1+.... wie hier gezeigt: One minus one plus one minus one - Numberphile
Das zu sagen, würde diverse liebgewonnene Regeln über Grenzwerte zerstören. Lieber nicht. Die 1-1+1-Geschichte nehme ich den Kollegen sehr übel. Wenn ich Zeit hätte, würde ich ein Video machen, in dem ich 1-1+1-1+-.. = 42 "beweise". Man kann sehr viel machen in der Mathematik, 1/0 als oo definieren usw. Aber meist bleiben dabei wichtige Sachen wie Kommutativität usw. auf der Strecke.
Nachtrag: Dass ich das Integral umsortiere, ist allerdings bei dem schulüblichen Begriff des uneigentlichen Integrals nicht vorgesehen. Dort bildet man den Grenzwert für obere Grenze gegen unendlich und dann bleiben die Ergebnisse immer im Bereich von - Fläche unter Halbwelle bis + Fläche unter Halbwelle. Konvergieren tut das aber nicht.
Vorsicht: die Integrale von einer positiven (!) unteren Grenze bis ins Unendliche. Der rechnerische Grund ist das verschiedene Verhalten der jeweiligen Stammfunktionen für x --> oo.
hallo, ich hätte 2 Verständnisfragen. Erstens, setzt man die vorgegebenen Grenzen vor oder nach der Integration (z.B. Sie haben bei 5:50 die Polstelle herausgefunden, indem Sie gedanklich [ integ (1/sqrt(0)) ] eingesetzt haben) ? Zweitens, wann erkennt man, dass ein Integral ein uneigentliches Integral ist ?. Ich weiß, dass es so bei einem asymptotischen Verlauf der Fall ist. Aber wie sehe ich es auf den ersten Blick, zumal die festen Grenzen vorgegeben sind. z.B. warum ist [ integ( 1/x ) von -3 bis 3 ] uneigentlich und divergent ? ich wäre ihnen sehr dankbar, wenn Sie mir dies erklären könnten. Vielen lieben Dank im Vorraus.
+lifeisworth Man spart bei der Integration zunächst die Polstellen und unendlichen Grenzen aus und bildet dann die entsprechenden Grenzwerte (falls die existieren). Uneigentliche Integrale sind welche mit einem Bereich, der ins Unendliche reicht und/oder Polstellen der zu integrierenden Funktion enthält/berührt. Warum int_-3^+3 1/x dx divergent ist: int_-3^-a + int_b^+3 1/x dx berechnen (ausgesparte Polstelle, nicht mehr uneigentlich!) und den Grenzwert betrachten: a,b fallen gegen 0 (a und b unabhängig voneinander). Dieser Grenzwert existiert nicht. (Man kann allerdings in diesem Fall den Cauchyschen Hauptwert bilden.)
+Jörn Loviscach Danke schön für die schnelle Antwort. Ich muss jedoch zugeben, dass ich nicht durchblickt habe, wie Sie auf [ int_-3^-a + int_b^+3 1/x dx ] gekommen sind. Denn, die Stammfunktion dieser Funktion ist ja ln(x), wobei die Grenzen -3 und 3 sind. Aber ich glaube den Grundgedanken dennoch verstanden zu haben. Solange die Funktion mit einem oder beiden der Grenzen ins Unendliche geht oder zwischen den Grenzen eine Polstelle enthält, muss man mit limes arbeiten. Sowie bei [ int (1/x), x € [-3, 3] liegt ] der Fall ist. Zwischen den Grenzen an der Stelle (0) weist ln(x) eine Polstelle auf, deshalb die Aufspaltung bei 0 und die Grenzwertbetrachtung. Stimmt es so ?
+lifeisworth 1. Absatz: Die Stelle x = 0 aus dem Integrationsintervall nehmen, also int_-3^-a + int_b^+3 statt int_-3^+3. 2. Absatz: Ja. (Wobei mit die ausdrückliche Grenzwertbetrachtung mit einem besseren als dem Riemannschen Integralbegriff wegfallen kann.)
Hallo, ich hätte eine frage zu dem uneigentlichenen integral von sinus(x). Könnte man zumindest sagen, dass der Grenzwert im Bereich von [0;1] liegt, sich der obere Teil des Sinus mit dem Unteren aufhebt. Und somit maximal ein vollständiger oberer Teil im Unendlichen hinzukommen kann. Dessen Integral entspricht dem bestimmten Integral von 0 bis pi/2, also=1. Stimmen meine Überlegungen?
Nicht mal das. Man könnte ja die ersten 1000 positive Halbwellen summieren, dann die ersten 100 negativen Halbwellen. dann die nächsten 1000 positiven und die nächsten 100 negativen usw. Man würde so jede Halbwelle irgendwann erwischen, aber die Zwischenergebnisse werden beliebig groß und bleiben nicht kleiner gleich 1.
Das Video ist aus einer Zeit wo man noch nicht direkt auf RUclips Kommentare antworten konnte xD
Das ist fantastisch! Es hat mir wirklich geholfen! Danke vielmals!
@integral(sin(x))- eine eher theoretische Frage
Kann man nicht sagen, dass die Ergebnisse bei
0;
integral(sin(x)) von 0 bis x=180°;
(integral(sin(x)) von 0 bis x=180°) / 2
liegen?
Im Grunde verhält es sich doch damit so wie bei 1-1+1-1+1-1+.... wie hier gezeigt:
One minus one plus one minus one - Numberphile
Das zu sagen, würde diverse liebgewonnene Regeln über Grenzwerte zerstören. Lieber nicht. Die 1-1+1-Geschichte nehme ich den Kollegen sehr übel. Wenn ich Zeit hätte, würde ich ein Video machen, in dem ich 1-1+1-1+-.. = 42 "beweise".
Man kann sehr viel machen in der Mathematik, 1/0 als oo definieren usw. Aber meist bleiben dabei wichtige Sachen wie Kommutativität usw. auf der Strecke.
Nachtrag: Dass ich das Integral umsortiere, ist allerdings bei dem schulüblichen Begriff des uneigentlichen Integrals nicht vorgesehen. Dort bildet man den Grenzwert für obere Grenze gegen unendlich und dann bleiben die Ergebnisse immer im Bereich von - Fläche unter Halbwelle bis + Fläche unter Halbwelle. Konvergieren tut das aber nicht.
Was ist denn jetzt der entscheidente Unterschied, warum das Integral von 1/sqrt(x) endlich ist, das über 1/x aber nicht endlich ist?
Vorsicht: die Integrale von einer positiven (!) unteren Grenze bis ins Unendliche. Der rechnerische Grund ist das verschiedene Verhalten der jeweiligen Stammfunktionen für x --> oo.
Herzlichen Dank für die schnelle Antwort auf ein 7 (!) Jahre altes Video!
hallo, ich hätte 2 Verständnisfragen.
Erstens, setzt man die vorgegebenen Grenzen vor oder nach der Integration (z.B. Sie haben bei 5:50 die Polstelle herausgefunden, indem Sie gedanklich [ integ (1/sqrt(0)) ] eingesetzt haben) ?
Zweitens, wann erkennt man, dass ein Integral ein uneigentliches Integral ist ?. Ich weiß, dass es so bei einem asymptotischen Verlauf der Fall ist. Aber wie sehe ich es auf den ersten Blick, zumal die festen Grenzen vorgegeben sind.
z.B. warum ist [ integ( 1/x ) von -3 bis 3 ] uneigentlich und divergent ?
ich wäre ihnen sehr dankbar, wenn Sie mir dies erklären könnten.
Vielen lieben Dank im Vorraus.
+lifeisworth Man spart bei der Integration zunächst die Polstellen und unendlichen Grenzen aus und bildet dann die entsprechenden Grenzwerte (falls die existieren). Uneigentliche Integrale sind welche mit einem Bereich, der ins Unendliche reicht und/oder Polstellen der zu integrierenden Funktion enthält/berührt. Warum int_-3^+3 1/x dx divergent ist: int_-3^-a + int_b^+3 1/x dx berechnen (ausgesparte Polstelle, nicht mehr uneigentlich!) und den Grenzwert betrachten: a,b fallen gegen 0 (a und b unabhängig voneinander). Dieser Grenzwert existiert nicht. (Man kann allerdings in diesem Fall den Cauchyschen Hauptwert bilden.)
+Jörn Loviscach Danke schön für die schnelle Antwort. Ich muss jedoch zugeben, dass ich nicht durchblickt habe, wie Sie auf [ int_-3^-a + int_b^+3 1/x dx ] gekommen sind. Denn, die Stammfunktion dieser Funktion ist ja ln(x), wobei die Grenzen -3 und 3 sind.
Aber ich glaube den Grundgedanken dennoch verstanden zu haben.
Solange die Funktion mit einem oder beiden der Grenzen ins Unendliche geht oder zwischen den Grenzen eine Polstelle enthält, muss man mit limes arbeiten. Sowie bei [ int (1/x), x € [-3, 3] liegt ] der Fall ist. Zwischen den Grenzen an der Stelle (0) weist ln(x) eine Polstelle auf, deshalb die Aufspaltung bei 0 und die Grenzwertbetrachtung.
Stimmt es so ?
+lifeisworth 1. Absatz: Die Stelle x = 0 aus dem Integrationsintervall nehmen, also int_-3^-a + int_b^+3 statt int_-3^+3.
2. Absatz: Ja. (Wobei mit die ausdrückliche Grenzwertbetrachtung mit einem besseren als dem Riemannschen Integralbegriff wegfallen kann.)
+Jörn Loviscach Vielen lieben Dank :)
Hallo, ich hätte eine frage zu dem uneigentlichenen integral von sinus(x).
Könnte man zumindest sagen, dass der Grenzwert im Bereich von [0;1] liegt,
sich der obere Teil des Sinus mit dem Unteren aufhebt. Und somit maximal ein vollständiger oberer Teil im Unendlichen hinzukommen kann. Dessen Integral entspricht dem bestimmten Integral von 0 bis pi/2, also=1.
Stimmen meine Überlegungen?
hallloo,
ist dies heir FH mathematik oder uni?
gr derryk
super erklärt, danke
Nicht mal das. Man könnte ja die ersten 1000 positive Halbwellen summieren, dann die ersten 100 negativen Halbwellen. dann die nächsten 1000 positiven und die nächsten 100 negativen usw. Man würde so jede Halbwelle irgendwann erwischen, aber die Zwischenergebnisse werden beliebig groß und bleiben nicht kleiner gleich 1.
Die Fläche von 0 bis 1 von ln(x) müsste ja 1 sein, weil die Fläche von -oo bis 0 von e^x 1 ist und es sich um dieselben Flächenstücke handelt(?)
So ist es.
Ok, weil Sie nämlich beim letzten Beispiel im Video nicht darauf eingegangen sind... (leider kenn ich mich mit lebesgue Integralen nicht gut aus)
@@karl-leopoldkontrus6544 Das hat mit Lebesgue nix zu tun!
Ah ok danke!!! Ich hab die Stammfunktion vertauscht! LG
@deyomash Das ist FH.
genial, danke :-)
super
Aber siehe meinen Nachtrag.
ah ok,
danke