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3:12ここのﾝｳﾞｨﾝ数分解したいなぁが好きすぎる
こんな感じの無限にあるだろって思っちゃうな…
数学オリンピックって次元違うけどげんげんが取り上げてくれると親近感湧く
意外にかんたん（発想に至るまでが鬼）だったりするから…
数学オリンピックの最初のほうの問題は結構簡単らしい
@@超人-r2u 1.2.3は割と普通にとけるかも
@@超人-r2u それは予選、、、
@@植田-i5d普通に解けるのは1だけだよ
需要がないかもしれませんが, mod7で考えようと自然に思えそうな考えの道筋を書きます.まず, nが3の倍数だったらいいのになあと思いましょう(). そして, x^3+3367=2^n という式からnを3で割った余りという情報を得る方法を考えます.それには, 次のような自然数 a について両辺の mod a を取ればうまくいきそうです.「2^1, 2^2, 2^3,...をaで割った余りが〇,×,△,〇,×,△というように3個を周期として繰り返す」そのようなaとして 7 があるので, mod7 を取ろうという発想ができます.
句点がピリオドなのなぜかめっちゃ気になる
3367が7の倍数だからでよいのでは
結果として3367が7の倍数だっただけであって、それが法を7とする理由にはなってないと思います。
@@ドラム式洗濯機-m4y 3367という値がなんらかの意味を持つことはどう考えても明らかなんだから素因数分解ぐらいすると思うけどなあ。というかすべき
@@timpo_dekai 別にx^3+k=2^nの定数kは、7で割って1余る数, 2余る数でも大丈夫だよ。
まじで天才だと感じる👏
テスト期間だしなんなら数学はもう終わったのにこの動画見てしまってる
ほかの人が非常に高い水準って言うと詐欺があるけど河野さんが同じこと言うと信憑性あるの草
ほんと整数問題すきー。そして河野さんの解説もすきー
これが数学オリンピックの問題か…一見シンプルなのにいろいろな要素が詰めてあっておもしろい✨
解法が美しいわ〜、流石げんげん✨
考え方ですごく鮮やかに解けるところがすごい！あとげんげんがその考え方に至るのもすごいです！
MOD（７）等の思考はなかなか浮かばない。 3367が素数（３，１３，３７）同士の掛け算であることが第一の解くヒントになるのでは。 あとは解説通り３乗同士の因数分解と大小比較で組み合わせは限られる（a、ｂ、ｃ->a bc/ ab c/ac bのみ)ので当てはめればすむ。
I've been working so much on my math lately that I'm even getting recommended Japanese math videos now.
Lol. He has the best brain in Japan 🧠
Lolで笑って意味なんだ初めて知った！
@@atjsmjsjw9610 LOLは Laugh Out Loudの略なので、日本の（笑）と同じ意味ですよ～(。・∀・)ノ🌟
3367が7.13.37の積で表されることから、mod7に着目x³の周期性を見て、2の指数乗がどーいう条件になればいいのか考える→nが3の倍数である事がわかる因数分解これが凡人でも解ける方法かな、最初に因数分解しようとして2の指数乗がどうなればいいかを考えて7に気づくのは厳しい。
modを使わないと指数絡みは大変だから3367の素因数で7が1番に見つかるからって感じね
僕もその方法で解きました
3367の素因数分解が既に辛い
3367が15³-2³ってことに気づくことができれば簡単にできますね
いろんなところから集めた倍数判定の知識を使ってみます。2、5の倍数は省略ッ！3の倍数でないのもすぐに分かる(3367=3360+7)ここで1001=7･11･13を利用すると面倒な3つの素数の倍数判定がしやすくなる。3367-1001･3=364=7･52=7･4･13より、3367は7と13の倍数(11の倍数でない)3367／(7･13)=37は素数である。以上より、3367=7･13･37
40分ぐらいかかったけど解けた。色々試行錯誤するのは楽しいですね。上手くいった時の達成感が気持ちいい
何気なくmod7出てきてるけどその発想が結構異次元
答えが一組みしかないことを証明するのがちょっと骨だけど、729 はすぐ見つかりますね。x^3 と 3367 を加えたものが 2^n になるんだから、3367 を超える 2^12 から 3367 を引いて 729=9^3 は出てきます、あとは答えがこれ以外にないことの証明。n≧13 を満たす n が解であれば、x^3 は 729+2^m の形にならなければ方程式を満たすことができない。x^3 = 2^m + 9^3..(1)これを満たす x がないことを示す。(1) を変形して、(x-9)(x^2+9x+81)=2^mこれがなりたつためには x-9 は 1 または 2^p という形でなければならない。（さらに x^2+9x+81 も 2^q という形にならなければならない。）x-9=1 すなわち x=10 のときx^2+9x+81 に x=10 を代入。x^2+9x+81=271 となり 2^q の形であらわせないから不適。x-9=2^p すなわち x=2^p+9 のときこれも x^2+9x+81 に代入。細かな計算をしなくても奇数となることが明らかだから、2^q の形であらわせない。ゆえに不適。以上のことから解は一組みしかないことが示された。
まじでこれ。一番早いと思う。
8.9.10行目がなぜそう言えるのかが分かりません教えてほしいです突然すみません
@@rkawa1181 デバイスによって行目が変わるのでどこを指してるのか不明確です。
@@cardogceo 申し訳無いです13以上のnが解の時にx^3が2^m+729のかたちになるのがなんでか分かんないです
@@rkawa1181 それな
河野氏の動画見ると、生まれつきの才能だけで勉強は出来るようになるわけではないのが分かる。数多くの問題を解く、あるいは他人に解法を教わって、問題ごとの解法パターンを身に付けているのが最低条件で、その知識を利用できる状態でないと、土俵に上がれない。
これは良問
答えには辿り着けませんでしたが問題見た瞬間にx^3-8=2^n-15^3から導けないかなぁとか考えてました。整数問題は難しいですねー
すごいですね。ふと疑問なんですが、nが3の倍数じゃない可能性についてはどうなんでしょうか？例えばn=3m+1もしくは3m+2
7:50あたり見れば分かるけど7を法として考えると左辺のあまりは0か1か6。でも右辺のあまりは2か4か1。つまり両辺1あまるしかありえない。2 4 1 2 4 1・・・という周期よりあまりが1になるには指数が3の倍数ではないといけない。
うん〜〜難しいwもっと勉強してからまた見に来ます
河野さんて本当に頭いいね。
発想も難しいけど計算も難しいな。数オリってエグいんだな
いつでも良いから、マスターデーモン挑戦ライブとかやってほしい。もう河野さんなら既に知ってる問題かな？
コラッツ予想についてなぜ悩むのか教えて欲しいです！
ループしない事の証明ですね。
規則性？
計算もアイデアも難易度高い良問だ。
解説素晴らしいです。なぜその解法を思いつくのかを説明いただくことが、受験生のためになると思います。
ちゃんと思いつき方から説明してるやん。本当に動画見た？？
@@タンパク質の塊 はい、ですから「なぜ思いついたのかというところから解説している動画」だからこそ素晴らしいと言っているのです。私の作文が下手だったというか、どちらとも取れる表現だったことの揚げ足取りをしたいのでしょうが、そんな不毛なことに時間を使うのはやめましょう。全く生産性がありません。貴重なコメント欄を汚すのみです。あー、時間無駄にした。
もっと文章を書く力があったら誤解されて時間無駄にせずに済んだのにね
@@そばっしー-v6e別にそうとも取れたぞ数学力鍛える前に国語頑張れ😊
@@-fri9638 主のコメントは動画を「〇〇することが受験生のためになってていいね」と賞賛するつもりで書いてるのに対して返信の1番上の人はそのコメントを「もっと〇〇したほうが受験生のためになる」というような批判的なものと解釈している。よってあなたの言うように異なる解釈ができてしまうので自分は「もっと文章を書く力があったら誤解を招かないですんだのに」とコメ主に対してコメントしました。したがって自分のコメントに誤りは無いと思います。数学力鍛える前に国語頑張れ☺️
3乗が整数問題で出てきたらmod7かmod9考えるようにしてる
とりまそれ使うのはめっちゃわかる
9も考えるんか、覚えとこ
色々考えてみたけどmod7を使う発想がどうしても出なかったくっそー次こそは
3の倍数だったらいいなー少し思いつかないmod7で考えるかなり思いつかない。
似たような問題が数学の新演習の整数分野に載ってましたよね
似たような問題を知りたいです。出題校、いつ出たのかなど、ざっくりとでも教えていただけませんか？
x³-9³=2ⁿ-2¹² とか、x³+15³=2ⁿ+2³ とか式変形はできるが、このままだと難しい。結局 x³+15³=2ⁿ+2³ の式からmod 7で考えて、x³≡2ⁿあとは動画と同じでした。
なるほど！
みなさん質問です！オススメのシャーペンと芯のcm教えてください🙏
2^m-x=37,13,7,1出して、2^n>3367からm≧4だからMOD4でx=1にしかならないことを使って2^m-x=7に絞った
何 を 言 っ て い る の か (←無知)
@@tt8na 大学受験終わって、1年以上受験数学から離れてるので、自分でも何を言ってるかわかりません笑
富澤「ちょっと何言ってるかわからない」
すごいな
感動
3367を2の12乗引く729にして解いても綺麗に解けましたよ、729が9の3乗なので3乗引く3乗の式を使いました
その発想はすごい
すご
mod7に気付いて因数分解できれば、後は計算問題ですね。
えぐすぎるぅ
3367=2^12-9^3に気づけば、x^3-9^3=2^n^-2^12になって、両辺見比べればx=9, n=12は簡単に出ます。これが唯一の答えであることを別途示さないといけませんが。
...？何当たり前なこと言ってるんだ？
@@自称トップ5数オリは予選は答えだけ書けば良いから予選はこうすればいいってことなのかも
これ問題を見て真っ先にやるべきは3367の素因数分解で、やってみると7×13×37になるから、mod.7をとってみるのが自然なのかな
この問題を教えるならまず3367=7×13×37に注目してからmod7で攻めるようにします。動画の授業ではいきなりmod7はかなり不自然です。
ゲンゲンの動画のサムネって動画覗いてしまうんだよな。
スマホの電卓でやったら答えにすぐ辿り着いたけど、ごり押し(しかも電卓チート)だから実力じゃないんだよなあ手順3367を越える2のn乗(最小)を電卓で計算=4096(2の12乗)4096-3367=7293の倍数っぽいので9とかで割ってみよ！729=9×9×9こたえ x=9 n=122の13乗はこの方法で出来なかったので、まあ多分これしかないんじゃね？()となりましたとさ
MOD 7を考えるときに、nが3の倍数であることを示したい、つまり、2^nの、その法において取る値の周期が3の倍数となるような法を考えたい。これはフェルマーの小定理より2と互いに素で3k+1（k≧0）と表される数である。という議論から7を法にしようという発想に至りました。
去年の難関大学入試解説お願いします。
サムネ見て40分くらいかけて解けたけどやっぱムズイ…
数オリ1問40分なら割と一般人からしたらだいぶ頭いいですよ確か数オリ3問で3時間とかだった気がするんで
xの3乗-729=2のa乗-2の12乗にして、左辺を因数分解してから、偶数と奇数に注目したら、2のb-12乗(自分で置いた)が奇数にならないといけないと気づいたので、b=12とわかって、バーっと求められました中学生の内にこういう問題が解けて、とても自信に繋がりました！
中学生だけど自信なくした
自分も同じ方法で解きました。この方法だとn>12 n=12 n
@@鯖な nが12以下だと右辺が分数になってしまうからでは？
白黒タイル 分数にはならないですね、まぁマイナスにはなりますが。n13の時で、結構複雑な解き方になったので、コメ主の「バーっと」という解法が知りたくなった次第です。
あ、そっかbが12以下ですね完全に間違えました
大学受験の勉強とか一切したことなく偏差値49の高校から就職した俺がこの問題解こうとした結果2を12乗した時4096になって初めて3367をこえて、引いたら729になってそれは9の3乗だってわかって、X=9.n=12ってとこまでは3分程度で求めれたけど、問題文がすべて求めよだったからその後もまだあると思って2の13乗、14乗、、、って一生してたら一生数が合わなくなって諦めて河野さんの解説見たら答え一つしかなかった事を知って悲しくなった笑
こういう問題、解くことはまぁまぁ出来るが、作れるようになりたいよなぁ。
こんなの解くんマジのバケモンじゃん、、
問題の意図より裏にある条件に気が行くので、n=12以上である事は明らかであるから近い値になるxを想像するのが一番最初に思いついてしまいますね
逆でしょ12以下でしょ
@@だだだ-o1f x>0だからx³>0だから2ⁿ>3367は確定だから2¹¹=2048だからn≧12は確定ですよ
3367と正の整数という事からn＞11っていうのと、x≡1 （mod2）って言うことは導けたけどmod7考えて手が止まった。数オリの問題は難しいな
いつも、河野くんの動画流しっぱなしにして内職(課題)やってます！学校の授業でも内職してたのでなんか凄い集中できますwいい意味で
mod7を思いつくのが難しくないですか？
個人的に、3367っていうヘンテコな数字が何を意味するかって考えたら7で割れることに気付けて、そこから残りの二項についてもmod7で割るとどうなるかなって試行しました。河野さんのように右辺に着目してmod7に気づくのはセンスを感じちゃいます笑
自己レスです。2^n:(2→4→1)→(2→4→1)の板書で示されてましたね。すみません。3の倍数+1の時の余りは2、3の倍数+2の時の余りは4。一方でxの3乗の時の余りは0,1,6。なので、因数分解できたらいいなぁと思って3の倍数にした仮定が期せずして当たってたと。
いつも学びをありがとうございます😭急ですが、質問です！片目を瞑ると、場所が変わったように見えるのですがこれは、なぜでしょうか❓
質問です！立体は三次元で、三次元空間なら頭のなかで想像はつきますが、四次元がそもそもどういうものなのか分からないのですが、四次元は三次元に何が加わりますか？また、三次元なら体積ですが、四次元ならなんと呼びますか？ドラえもんの四次元ポケットの空間の広さを三重積分を用いて求めたいのですが、寸法が分かれば求めることは可能ですか？また、求めた結果も教えていただければ幸いです。長文失礼しました
新課程だからmodがわかんないヨ〜😭😭
3367を二進表記したあと足して1のあと0が続く数で三乗数なのがいくつあるか？
数オリ予選の12問目解いてほしいです！
@Ki ra できてるよ通過は
@Ki ra 本戦通過とは
多項式関数より指数関数のほうが発散する速度が早く、正の整数に限っているから2^nが3367よりちょっと大きいところ(→2^12=4096)で一致するしか無いだろうなって検討はつくかも。
xとnが独立だからそんなことは無いのでは？究極的には（x,n)=(1000,1)とかも候補だから
mod7がどっから湧いてきたのか意味不明だったけど7じゃなくても解けるのね
少なくとも3367より大きい2の12乗の4096から試しにやったら答え出ちゃったけどこれ以外に解が無いことを示せてなくてダメだった笑
3367=15^3+2^3に着目して何かしようとしたけどうまくいかなかった。
mod8で30分やったらできたけどすごい自分が脳筋だったことに気づいた
めっちゃわかりやすい解説だったけどなんかゴリ押しで計算したら解けてしまった
範囲を絞るときに、x≧1から右辺>3367 ∴n≧12の2つの不等式から、途中の因数分解された形の右、(k^2+kx+x^2)≧273ってなって、調べるの二個で済みませんか?間違ってたらすいません
間違えてはないと思いますが、調べる数を3から2に減らすのにその説明をするのは時間の無駄じゃないですか？
@@user-if7il7mx6q 解けばわかるけど、動画では省略してる組み合わせ出してからの計算も少し面倒だったぞ。最初の不等式は整数定石の1つで試験場でも容易に出せるだろうし、xnが独立なのは分かりきってるんだから最小値考えてみるのは自然な発想じゃない？
@@user-if7il7mx6q 3から2に減らしてるんじゃなくて、解いてる過程で自然に2個に絞れてたのでコメントしてみただけです。
3367を2＾12-9＾3に分解する所まではいけたけどそこからなかなか手が動かなかった､､､完敗です…
自力で解けたああああああああぁぁぁ！
11:16 (37, 91)のペアは？
37^2 < 91だから弾かれるのか
サマーウォーズファンのワイ数学オリンピックの文字見て秒で見に来た
バカです。Nが"3の倍数で無い"可能性はどこで排除されたのでしょうか？偏差値38の人間でも分かるように説明お願いします。
nが3で割り切れないとしたら2^nを7で割った余りは2か4(確かめれば良い)。3367を7で割り切れるので、x^3＝2^n-3367を7で割った余りは2か4一方x^3を7で割った余りとして、1、6しか現れないからこれはおかしい
2^n-3367>0から絞って行けば良いと思ったら1発だったけど偶然だし応用利かないか…
その不等式だとn無限にあるから絞り込めてませんね
アホ高校通ってても分かりやすい解説でホント脱帽するわ
答えが合ってて嬉しかったけど、自分の場合はこれほどの解法は思いつかない...(２の１２乗は、２の１３乗は...という感じで３３６７をひたすら引いてました...)
河野さんはなんという塾にいってましたか？
時々参観させていただき、数学の面白さを再認識させてもらっています。さらに河野先生の卓越した能力に唯々感服しています。本日この学習内容に出会いチャレンジしてみました。私の時代には解法手段として「mod」は習っていないので（手法としてはあったのかもしれませんが）別なやり方で一応解いてみました。間違った解法でしたらお恥ずかしいのですが・・・また計算式の記載が難しく途中で混乱しているかもしれません。Ⅹの3乗＋3367＝２のn乗 を因数分解できるような形にするためにⅩの3乗＋3368ー１＝２のn乗 と「－１」をおき。さらに「３３６８」を分解しⅩの3乗＋２の3乗×421ー１＝２のn乗 とする。これを左右置き換え Ⅹの3乗ー１＝２のn乗ー２の3乗×421右辺を２の3乗で括れるように Ⅹの3乗ー１＝２の3乗（２のn-3乗ー１・421）左辺を分解すると （ｘ－１）（Xの2乗＋X＋１）＝２×２×２×（２のn-3乗ー421）の形になる。左右比べる。（Xの2乗＋X＋１）が ＝「２×２×２」、「２×２」、「２」は整数解がでないので考えられない。 残る場合として①X-1＝２×２×２ （Xの2乗＋X＋１）＝（２のn-3乗ー421）②X-1＝２×２ （Xの2乗＋X＋１）＝２×（２のn-3乗ー421）③X-1＝２ （Xの2乗＋X＋１）＝２×２×（２のn-3乗ー421） が想定される①の場合 X-1＝２×２×２より X＝９となる。 それを（Xの2乗＋X＋１）＝（２のn-3乗ー421）に代入すると ９１＝２のn-3乗ー421 整理すると ２のn-3乗＝512＝２の9乗これから n－３＝９で n＝12となる ①X＝９ n=12②の場合 X＝５ これを（Xの2乗＋X＋１）＝２×（２のn-3乗ー421）に代入すると ３１＝２×（２のn-3乗ー421）となるが左辺が奇数なので右辺の2×での偶数と一致しなくなる。 なので成立しない。③の場合も同様に成立しない。よって答えは X=9 n＝１２ となる。以上はるか昔に数学を習った身でやってみましたが、「それを言うためにはこれが証明されてない・・・」等・・のご指摘もあるかもしれません。
解けた👍🏻来月に数オリ控えてる身としてはこの問題は取らないとね
さらりと8^nを7で割ったら必ず1余るといわれたが、なぜなのか知りたい
二項定理をご存知でしたらa≡bのときa^k≡b^kが導けます。8≡1(mod7)ゆえ8^n≡1^n(mod7)になります。二項定理を知らない場合、もしくは導き方がわからない場合8=1+78^n=(1+7)^nこれを念頭においた上で二項定理をググるor右辺を二項定理で展開してみて下さい。二項定理とは(a+b)^nの展開の仕方的なやつです。すると、1^n以外の項は7の倍数であることがわかると思います。よって(7+1)^nは7で割ると1余ります。
質問です。くだらない質問かもしれないんですけど、真面目に考えているので答えて貰えると嬉しいです。河野さんは頭ぶつけるor頭を叩かれたことありますか？たまに友達に頭叩かれて学力低下したんじゃないかとか考えてしまいます。実際どうなんですかね？
数学的思考もくそもないけど9と12なら答えだけは出せそう正解にはならんだろうけど
くれぺりん検査の計算全部終わらせられますか？
やったー解けた。まぁ2の累乗知ってただけだけど
整数問題やりすぎて定型問題に見えてきた
改めて高校数学を見ると解法はフレームワーク、どうすれば解法に当てはまるだろう…は仮説思考なんだな。頭良い人はビジネスも得意なわけだ。
答え (x,n). (9,12)
トルコの数学オリンピックは、答えだけじゃダメって感じなのかな？
これが高校数学の範囲で解けるとか驚き・・・
文房具紹介して欲しいです！お願いしますm(_ _)m
この人にサマーウォーズの暗号の解読挑戦してみて欲しいね
11:1037と91の組は？
11:10の時右で二乗したんですけど、その時（K−X）を二乗したやつは−2KXが出ているため小さいのが分かったので（K−X）は右より小さくないといけません、と言う事で3367の約数のうち37と91の時は、37の二乗が1369となって91超えるので除かれてます
質問 お腹空いたときにグゥ～って鳴るのはなぜですか？
胃の収縮音じゃなかったっけ？
ありがとうございます
うん…うん…、なるほど…、そうね…
mod7に気づくまで日またいだわｗ
11:37 連立でもいいし、kxの値を素因数分解して先にm求めちゃってもいいもしれません。このとき、m≥4(☆)を使うと尚良いでしょう。☆2^10=1024暗記勢は2048
3367素因数分解計算ミスっちまった。これも実力
6:47n＝4の時も当てはまるってところおかしくないですか！！m=4ならわかりますが、、（mは整数）nが3の倍数ではない時、2^nは7で割ると2と4が余りであり、たまたまx^3のmod7は1と6で被ってなかったので、動画のでは全通り調べられたようになっている気がします。→nが3の倍数の時2^nを7で割ると1余るからnは3の倍数という仮定は正しく、これしか方程式が成立しない。
音声の説明を聞いたらわかると思いますが、n＝4の意味は、「nが4の倍数以上でも同様に成り立ってしまうため絞り込む条件として不適」という意味だと思います。(そもそもnが3以上ならいつでも成り立ってしまいますが)n＝3m+1、3m+2の時の余りは1に×2や×4すれば簡単に求まり、それはおっしゃる通り1、6と被っていないため省いたんだと思います。上の例でもわかる通り、この動画は厳密な論証ではなく考え方の紹介としての面が強いと思うので、そこら辺は各自で補完すべきなんだと思います。
3367を見た瞬間「3倍、または33倍してぇ～～」ってなった。同志おるかな🥺？
3:12ここのﾝｳﾞｨﾝ数分解したいなぁが好きすぎる
こんな感じの無限にあるだろって思っちゃうな…
数学オリンピックって次元違うけどげんげんが取り上げてくれると親近感湧く
意外にかんたん（発想に至るまでが鬼）だったりするから…
数学オリンピックの最初のほうの問題は結構簡単らしい
@@超人-r2u 1.2.3は割と普通にとけるかも
@@超人-r2u それは予選、、、
@@植田-i5d普通に解けるのは1だけだよ
需要がないかもしれませんが, mod7で考えようと自然に思えそうな考えの道筋を書きます.
まず, nが3の倍数だったらいいのになあと思いましょう().
そして, x^3+3367=2^n という式からnを3で割った余りという情報を得る方法を考えます.
それには, 次のような自然数 a について両辺の mod a を取ればうまくいきそうです.
「2^1, 2^2, 2^3,...をaで割った余りが〇,×,△,〇,×,△というように3個を周期として繰り返す」
そのようなaとして 7 があるので, mod7 を取ろうという発想ができます.
句点がピリオドなのなぜかめっちゃ気になる
3367が7の倍数だからでよいのでは
結果として3367が7の倍数だっただけであって、それが法を7とする理由にはなってないと思います。
@@ドラム式洗濯機-m4y 3367という値がなんらかの意味を持つことはどう考えても明らかなんだから素因数分解ぐらいすると思うけどなあ。というかすべき
@@timpo_dekai
別に
x^3+k=2^n
の定数kは、7で割って1余る数, 2余る数でも大丈夫だよ。
まじで天才だと感じる👏
テスト期間だしなんなら数学はもう終わったのにこの動画見てしまってる
ほかの人が非常に高い水準って言うと詐欺があるけど河野さんが同じこと言うと信憑性あるの草
ほんと整数問題すきー。そして河野さんの解説もすきー
これが数学オリンピックの問題か…
一見シンプルなのにいろいろな要素が詰めてあっておもしろい✨
解法が美しいわ〜、流石げんげん✨
考え方ですごく鮮やかに解けるところがすごい！あとげんげんがその考え方に至るのもすごいです！
MOD（７）等の思考はなかなか浮かばない。 3367が素数（３，１３，３７）同士の
掛け算であることが第一の解くヒントになるのでは。 あとは解説通り３乗同士の因数分解と大小比較で組み合わせは限られる（a、ｂ、ｃ->a bc/ ab c/ac bのみ)ので当てはめればすむ。
I've been working so much on my math lately that I'm even getting recommended Japanese math videos now.
Lol. He has the best brain in Japan 🧠
Lolで笑って意味なんだ
初めて知った！
@@atjsmjsjw9610 LOLは Laugh Out Loudの略なので、日本の（笑）と同じ意味ですよ～(。・∀・)ノ🌟
3367が7.13.37の積で表されることから、mod7に着目
x³の周期性を見て、2の指数乗がどーいう条件になればいいのか考える→nが3の倍数である事がわかる
因数分解
これが凡人でも解ける方法かな、最初に因数分解しようとして2の指数乗がどうなればいいかを考えて7に気づくのは厳しい。
modを使わないと指数絡みは大変だから3367の素因数で7が1番に見つかるからって感じね
僕もその方法で解きました
3367の素因数分解が既に辛い
3367が15³-2³ってことに気づくことができれば簡単にできますね
いろんなところから集めた倍数判定の知識を使ってみます。
2、5の倍数は省略ッ！
3の倍数でないのもすぐに分かる(3367=3360+7)
ここで1001=7･11･13を利用すると面倒な3つの素数の倍数判定がしやすくなる。
3367-1001･3=364=7･52=7･4･13より、3367は7と13の倍数(11の倍数でない)
3367／(7･13)=37は素数である。
以上より、3367=7･13･37
40分ぐらいかかったけど解けた。色々試行錯誤するのは楽しいですね。
上手くいった時の達成感が気持ちいい
何気なくmod7出てきてるけどその発想が結構異次元
答えが一組みしかないことを証明するのがちょっと骨だけど、729 はすぐ見つかりますね。
x^3 と 3367 を加えたものが 2^n になるんだから、3367 を超える 2^12 から 3367 を引いて 729=9^3 は出てきます、
あとは答えがこれ以外にないことの証明。
n≧13 を満たす n が解であれば、x^3 は 729+2^m の形にならなければ方程式を満たすことができない。
x^3 = 2^m + 9^3..(1)
これを満たす x がないことを示す。
(1) を変形して、
(x-9)(x^2+9x+81)=2^m
これがなりたつためには x-9 は 1 または 2^p という形でなければならない。（さらに x^2+9x+81 も 2^q という形にならなければならない。）
x-9=1 すなわち x=10 のとき
x^2+9x+81 に x=10 を代入。
x^2+9x+81=271 となり 2^q の形であらわせないから不適。
x-9=2^p すなわち x=2^p+9 のとき
これも x^2+9x+81 に代入。細かな計算をしなくても奇数となることが明らかだから、2^q の形であらわせない。ゆえに不適。
以上のことから解は一組みしかないことが示された。
まじでこれ。一番早いと思う。
8.9.10行目がなぜそう言えるのかが分かりません
教えてほしいです
突然すみません
@@rkawa1181 デバイスによって行目が変わるのでどこを指してるのか不明確です。
@@cardogceo 申し訳無いです
13以上のnが解の時にx^3が2^m+729のかたちになる
のがなんでか分かんないです
@@rkawa1181 それな
河野氏の動画見ると、生まれつきの才能だけで勉強は出来るようになるわけではないのが分かる。数多くの問題を解く、あるいは他人に解法を教わって、問題ごとの解法パターンを身に付けているのが最低条件で、その知識を利用できる状態でないと、土俵に上がれない。
これは良問
答えには辿り着けませんでしたが問題見た瞬間に
x^3-8=2^n-15^3
から導けないかなぁとか考えてました。整数問題は難しいですねー
すごいですね。ふと疑問なんですが、nが3の倍数じゃない可能性についてはどうなんでしょうか？例えばn=3m+1もしくは3m+2
7:50あたり見れば分かるけど
7を法として考えると
左辺のあまりは0か1か6。
でも右辺のあまりは2か4か1。
つまり両辺1あまるしかありえない。
2 4 1 2 4 1・・・という周期より
あまりが1になるには指数が3の倍数ではないといけない。
うん〜〜難しいwもっと勉強してからまた見に来ます
河野さんて本当に頭いいね。
発想も難しいけど計算も難しいな。数オリってエグいんだな
いつでも良いから、マスターデーモン挑戦ライブとかやってほしい。
もう河野さんなら既に知ってる問題かな？
コラッツ予想についてなぜ悩むのか教えて欲しいです！
ループしない事の証明ですね。
規則性？
計算もアイデアも難易度高い良問だ。
解説素晴らしいです。なぜその解法を思いつくのかを説明いただくことが、受験生のためになると思います。
ちゃんと思いつき方から説明してるやん。本当に動画見た？？
@@タンパク質の塊 はい、ですから「なぜ思いついたのかというところから解説している動画」だからこそ素晴らしいと言っているのです。私の作文が下手だったというか、どちらとも取れる表現だったことの揚げ足取りをしたいのでしょうが、そんな不毛なことに時間を使うのはやめましょう。全く生産性がありません。貴重なコメント欄を汚すのみです。あー、時間無駄にした。
もっと文章を書く力があったら誤解されて時間無駄にせずに済んだのにね
@@そばっしー-v6e
別にそうとも取れたぞ
数学力鍛える前に国語頑張れ😊
@@-fri9638
主のコメントは動画を「〇〇することが受験生のためになってていいね」と賞賛するつもりで書いてるのに対して返信の1番上の人はそのコメントを「もっと〇〇したほうが受験生のためになる」というような批判的なものと解釈している。よってあなたの言うように異なる解釈ができてしまうので自分は「もっと文章を書く力があったら誤解を招かないですんだのに」とコメ主に対してコメントしました。したがって自分のコメントに誤りは無いと思います。
数学力鍛える前に国語頑張れ☺️
3乗が整数問題で出てきたらmod7かmod9考えるようにしてる
とりまそれ使うのはめっちゃわかる
9も考えるんか、覚えとこ
色々考えてみたけどmod7を使う発想がどうしても出なかった
くっそー次こそは
3の倍数だったらいいなー
少し思いつかない
mod7で考える
かなり思いつかない。
似たような問題が数学の新演習の整数分野に載ってましたよね
似たような問題を知りたいです。
出題校、いつ出たのかなど、
ざっくりとでも教えていただけませんか？
x³-9³=2ⁿ-2¹² とか、x³+15³=2ⁿ+2³ とか式変形はできるが、このままだと難しい。
結局 x³+15³=2ⁿ+2³ の式からmod 7で考えて、x³≡2ⁿ
あとは動画と同じでした。
なるほど！
みなさん質問です！オススメのシャーペンと芯のcm教えてください🙏
2^m-x=37,13,7,1出して、
2^n>3367からm≧4だから
MOD4でx=1にしかならないことを使って2^m-x=7に絞った
何 を 言 っ て い る の か (←無知)
@@tt8na 大学受験終わって、1年以上受験数学から離れてるので、自分でも何を言ってるかわかりません笑
富澤「ちょっと何言ってるかわからない」
すごいな
感動
3367を2の12乗引く729にして解いても綺麗に解けましたよ、729が9の3乗なので3乗引く3乗の式を使いました
その発想はすごい
すご
mod7に気付いて因数分解できれば、後は計算問題ですね。
えぐすぎるぅ
3367=2^12-9^3
に気づけば、
x^3-9^3=2^n^-2^12
になって、両辺見比べれば
x=9, n=12は簡単に出ます。
これが唯一の答えであることを別途示さないといけませんが。
...？何当たり前なこと言ってるんだ？
@@自称トップ5数オリは予選は答えだけ書けば良いから予選はこうすればいいってことなのかも
これ問題を見て真っ先にやるべきは3367の素因数分解で、やってみると7×13×37になるから、mod.7をとってみるのが自然なのかな
この問題を教えるならまず3367=7×13×37に注目してからmod7で攻めるようにします。動画の授業ではいきなりmod7はかなり不自然です。
ゲンゲンの動画のサムネって動画覗いてしまうんだよな。
スマホの電卓でやったら答えにすぐ辿り着いたけど、ごり押し(しかも電卓チート)だから実力じゃないんだよなあ
手順
3367を越える2のn乗(最小)を電卓で計算=4096(2の12乗)
4096-3367=729
3の倍数っぽいので9とかで割ってみよ！
729=9×9×9
こたえ x=9 n=12
2の13乗はこの方法で出来なかったので、まあ多分これしかないんじゃね？()
となりましたとさ
MOD 7を考えるときに、nが3の倍数であることを示したい、つまり、2^nの、その法において取る値の周期が3の倍数となるような法を考えたい。これはフェルマーの小定理より2と互いに素で3k+1（k≧0）と表される数である。という議論から7を法にしようという発想に至りました。
去年の難関大学入試解説お願いします。
サムネ見て40分くらいかけて解けたけどやっぱムズイ…
数オリ1問40分なら割と一般人からしたらだいぶ頭いいですよ
確か数オリ3問で3時間とかだった気がするんで
xの3乗-729=2のa乗-2の12乗にして、
左辺を因数分解してから、偶数と奇数に注目したら、2のb-12乗(自分で置いた)が奇数にならないといけないと気づいたので、b=12とわかって、バーっと求められました
中学生の内にこういう問題が解けて、とても自信に繋がりました！
中学生だけど自信なくした
自分も同じ方法で解きました。この方法だとn>12 n=12 n
@@鯖な nが12以下だと右辺が分数になってしまうからでは？
白黒タイル 分数にはならないですね、まぁマイナスにはなりますが。
n13の時で、結構複雑な解き方になったので、コメ主の「バーっと」という解法が知りたくなった次第です。
あ、そっかbが12以下ですね完全に間違えました
大学受験の勉強とか一切したことなく偏差値49の高校から就職した俺がこの問題解こうとした結果
2を12乗した時4096になって初めて3367をこえて、引いたら729になってそれは9の3乗だってわかって、X=9.n=12ってとこまでは3分程度で求めれたけど、問題文がすべて求めよだったからその後もまだあると思って2の13乗、14乗、、、って一生してたら一生数が合わなくなって諦めて河野さんの解説見たら答え一つしかなかった事を知って悲しくなった笑
こういう問題、解くことはまぁまぁ出来るが、作れるようになりたいよなぁ。
こんなの解くんマジのバケモンじゃん、、
問題の意図より裏にある条件に気が行くので、n=12以上である事は明らかであるから近い値になるxを想像するのが一番最初に思いついてしまいますね
逆でしょ12以下でしょ
@@だだだ-o1f
x>0だからx³>0だから
2ⁿ>3367は確定だから
2¹¹=2048だから
n≧12は確定ですよ
3367と正の整数という事からn＞11っていうのと、x≡1 （mod2）って言うことは導けたけど
mod7考えて手が止まった。数オリの問題は難しいな
いつも、河野くんの動画流しっぱなしにして内職(課題)やってます！学校の授業でも内職してたのでなんか凄い集中できますwいい意味で
mod7を思いつくのが難しくないですか？
個人的に、3367っていうヘンテコな数字が何を意味するかって考えたら7で割れることに気付けて、そこから残りの二項についてもmod7で割るとどうなるかなって試行しました。河野さんのように右辺に着目してmod7に気づくのはセンスを感じちゃいます笑
自己レスです。
2^n:(2→4→1)→(2→4→1)の板書で示されてましたね。すみません。3の倍数+1の時の余りは2、3の倍数+2の時の余りは4。一方でxの3乗の時の余りは0,1,6。なので、因数分解できたらいいなぁと思って3の倍数にした仮定が期せずして当たってたと。
いつも学びをありがとうございます😭
急ですが、質問です！
片目を瞑ると、場所が変わったように見えるのですがこれは、なぜでしょうか❓
質問です！
立体は三次元で、三次元空間なら頭のなかで想像はつきますが、四次元がそもそもどういうものなのか分からないのですが、四次元は三次元に何が加わりますか？
また、三次元なら体積ですが、四次元ならなんと呼びますか？
ドラえもんの四次元ポケットの空間の広さを三重積分を用いて求めたいのですが、寸法が分かれば求めることは可能ですか？
また、求めた結果も教えていただければ幸いです。
長文失礼しました
新課程だからmodがわかんないヨ〜😭😭
3367を二進表記したあと
足して1のあと0が続く数で三乗数なのがいくつあるか？
数オリ予選の12問目解いてほしいです！
@Ki ra できてるよ通過は
@Ki ra 本戦通過とは
多項式関数より指数関数のほうが発散する速度が早く、正の整数に限っているから2^nが3367よりちょっと大きいところ(→2^12=4096)で一致するしか無いだろうなって検討はつくかも。
xとnが独立だからそんなことは無いのでは？究極的には（x,n)=(1000,1)とかも候補だから
mod7がどっから湧いてきたのか意味不明だったけど7じゃなくても解けるのね
少なくとも3367より大きい2の12乗の4096から試しにやったら答え出ちゃったけどこれ以外に解が無いことを示せてなくてダメだった笑
3367=15^3+2^3に着目して何かしようとしたけどうまくいかなかった。
mod8で30分やったらできたけどすごい自分が脳筋だったことに気づいた
めっちゃわかりやすい解説だったけどなんかゴリ押しで計算したら解けてしまった
範囲を絞るときに、x≧1から右辺>3367 ∴n≧12の2つの不等式から、
途中の因数分解された形の右、(k^2+kx+x^2)≧273ってなって、調べるの二個で済みませんか?間違ってたらすいません
間違えてはないと思いますが、調べる数を3から2に減らすのにその説明をするのは時間の無駄じゃないですか？
@@user-if7il7mx6q 解けばわかるけど、動画では省略してる組み合わせ出してからの計算も少し面倒だったぞ。
最初の不等式は整数定石の1つで試験場でも容易に出せるだろうし、xnが独立なのは分かりきってるんだから最小値考えてみるのは自然な発想じゃない？
@@user-if7il7mx6q 3から2に減らしてるんじゃなくて、解いてる過程で自然に2個に絞れてたのでコメントしてみただけです。
3367を2＾12-9＾3に分解する所まではいけたけどそこからなかなか手が動かなかった､､､完敗です…
自力で解けたああああああああぁぁぁ！
11:16 (37, 91)のペアは？
37^2 < 91だから弾かれるのか
サマーウォーズファンのワイ数学オリンピックの文字見て秒で見に来た
バカです。
Nが"3の倍数で無い"可能性はどこで排除されたのでしょうか？
偏差値38の人間でも分かるように説明お願いします。
nが3で割り切れないとしたら2^nを7で割った余りは2か4(確かめれば良い)。3367を7で割り切れるので、
x^3＝2^n-3367を7で割った余りは2か4
一方x^3を7で割った余りとして、1、6しか現れないから
これはおかしい
2^n-3367>0から絞って行けば良いと思ったら1発だったけど偶然だし応用利かないか…
その不等式だとn無限にあるから絞り込めてませんね
アホ高校通ってても分かりやすい解説でホント脱帽するわ
答えが合ってて嬉しかったけど、自分の場合はこれほどの解法は思いつかない...
(２の１２乗は、２の１３乗は...という感じで３３６７をひたすら引いてました...)
河野さんはなんという塾にいってましたか？
時々参観させていただき、数学の面白さを再認識させてもらっています。
さらに河野先生の卓越した能力に唯々感服しています。
本日この学習内容に出会いチャレンジしてみました。
私の時代には解法手段として「mod」は習っていないので（手法としてはあったのかもしれませんが）別なやり方で一応解いてみました。
間違った解法でしたらお恥ずかしいのですが・・・
また計算式の記載が難しく途中で混乱しているかもしれません。
Ⅹの3乗＋3367＝２のn乗 を因数分解できるような形にするために
Ⅹの3乗＋3368ー１＝２のn乗 と「－１」をおき。さらに「３３６８」を分解し
Ⅹの3乗＋２の3乗×421ー１＝２のn乗 とする。
これを左右置き換え Ⅹの3乗ー１＝２のn乗ー２の3乗×421
右辺を２の3乗で括れるように Ⅹの3乗ー１＝２の3乗（２のn-3乗ー１・421）
左辺を分解すると （ｘ－１）（Xの2乗＋X＋１）＝２×２×２×（２のn-3乗ー421）
の形になる。
左右比べる。
（Xの2乗＋X＋１）が ＝「２×２×２」、「２×２」、「２」は整数解がでないので考えられない。
残る場合として
①X-1＝２×２×２ （Xの2乗＋X＋１）＝（２のn-3乗ー421）
②X-1＝２×２ （Xの2乗＋X＋１）＝２×（２のn-3乗ー421）
③X-1＝２ （Xの2乗＋X＋１）＝２×２×（２のn-3乗ー421） が想定される
①の場合 X-1＝２×２×２より X＝９となる。 それを（Xの2乗＋X＋１）＝（２のn-3乗ー421）に代入すると ９１＝２のn-3乗ー421 整理すると ２のn-3乗＝512＝２の9乗
これから n－３＝９で n＝12となる ①X＝９ n=12
②の場合 X＝５ これを（Xの2乗＋X＋１）＝２×（２のn-3乗ー421）に代入すると
３１＝２×（２のn-3乗ー421）となるが左辺が奇数なので右辺の2×での偶数と一致しなくなる。 なので成立しない。
③の場合も同様に成立しない。
よって答えは X=9 n＝１２ となる。
以上はるか昔に数学を習った身でやってみましたが、「それを言うためにはこれが証明されてない・・・」等・・のご指摘もあるかもしれません。
解けた👍🏻
来月に数オリ控えてる身としてはこの問題は取らないとね
さらりと8^nを7で割ったら必ず1余るといわれたが、なぜなのか知りたい
二項定理をご存知でしたら
a≡bのときa^k≡b^kが導けます。
8≡1(mod7)ゆえ8^n≡1^n(mod7)になります。
二項定理を知らない場合、もしくは導き方がわからない場合
8=1+7
8^n=(1+7)^n
これを念頭においた上で二項定理をググるor右辺を二項定理で展開してみて下さい。二項定理とは(a+b)^nの展開の仕方的なやつです。
すると、1^n以外の項は7の倍数であることがわかると思います。よって(7+1)^nは7で割ると1余ります。
質問です。くだらない質問かもしれないんですけど、真面目に考えているので答えて貰えると嬉しいです。河野さんは頭ぶつけるor頭を叩かれたことありますか？たまに友達に頭叩かれて学力低下したんじゃないかとか考えてしまいます。実際どうなんですかね？
数学的思考もくそもないけど9と12なら答えだけは出せそう
正解にはならんだろうけど
くれぺりん検査の計算全部終わらせられますか？
やったー解けた。
まぁ2の累乗知ってただけだけど
整数問題やりすぎて定型問題に見えてきた
改めて高校数学を見ると解法はフレームワーク、どうすれば解法に当てはまるだろう…は仮説思考なんだな。頭良い人はビジネスも得意なわけだ。
答え (x,n). (9,12)
トルコの数学オリンピックは、答えだけじゃダメって感じなのかな？
これが高校数学の範囲で解けるとか驚き・・・
文房具紹介して欲しいです！お願いしますm(_ _)m
この人にサマーウォーズの暗号の解読挑戦してみて欲しいね
11:10
37と91の組は？
11:10の時右で二乗したんですけど、その時（K−X）を二乗したやつは−2KXが出ているため小さいのが分かったので（K−X）は右より小さくないといけません、と言う事で3367の約数のうち37と91の時は、37の二乗が1369となって91超えるので除かれてます
質問
お腹空いたときにグゥ～って鳴るのはなぜですか？
胃の収縮音じゃなかったっけ？
ありがとうございます
うん…うん…、なるほど…、そうね…
mod7に気づくまで日またいだわｗ
11:37 連立でもいいし、kxの値を素因数分解して先にm求めちゃってもいいもしれません。
このとき、m≥4(☆)を使うと尚良いでしょう。
☆
2^10=1024暗記勢は
2048
3367素因数分解計算ミスっちまった。
これも実力
6:47
n＝4の時も当てはまるってところおかしくないですか！！
m=4ならわかりますが、、（mは整数）
nが3の倍数ではない時、2^nは7で割ると2と4が余りであり、たまたまx^3のmod7は1と6で被ってなかったので、動画のでは全通り調べられたようになっている気がします。
→nが3の倍数の時2^nを7で割ると1余るからnは3の倍数という仮定は正しく、これしか方程式が成立しない。
音声の説明を聞いたらわかると思いますが、n＝4の意味は、「nが4の倍数以上でも同様に成り立ってしまうため絞り込む条件として不適」という意味だと思います。(そもそもnが3以上ならいつでも成り立ってしまいますが)
n＝3m+1、3m+2の時の余りは1に×2や×4すれば簡単に求まり、それはおっしゃる通り1、6と被っていないため省いたんだと思います。上の例でもわかる通り、この動画は厳密な論証ではなく考え方の紹介としての面が強いと思うので、そこら辺は各自で補完すべきなんだと思います。
3367を見た瞬間
「3倍、または33倍してぇ～～」ってなった。
同志おるかな🥺？