유익한 동영상에 도움을 많이 받고 있습니다. 질문이 있어 댓글을 남깁니다. ||A||||B||sinx를 증명하실 때 행렬식을 이용하시던데 생략된 연산자가 크로스프로덕트 인가요? ||A||||B||sinx가 n벡터에 상수배 되어 법선벡터가 완성된다면 ||A||||B||sinx의 연산이 도트프로덕트여야 하지 않나 싶어서요... 왜냐하면 ||A||||B||cosx를 증명하신 동영상에서는 도트프로덕트로 증명하셨기 때문에 여쭤봅니다. 내적이든 외적이든 도트, 크로스 모두 증명해 보았는데 결과는 같더라구요?! 그렇다면 연산자를 생략한것은 도트, 크로스 모두 상관없다는 의미가 되는 것인지... 궁굼합니다. ㅠㅠ
안녕하세요 :) 답변드립니다 사실 질문주신 부분에서 '생략된 연산자' 라는 말씀이 어떤 부분인지 잘 파악이 되지 않네요 ^^; 또한 언급하신 'dot product' 로 증명했다고 하신 부분에 대한 답은, '그 영상이 애초에 dot product의 또다른 표현식이 그와같다는 것 자체를 증명하려고 한 것' 으로 답변드릴 수 있겠습니다 :) 물론 inner product는 좀 더 넓은 의미로 쓰이는 편으로 알고있습니다 예를들어 선형대수 에서 정의하는 내적의 개념과 물리적인 점곱과는, 범위의 차이는 있을 수 있지만 저번의 cos이 나오는 그 영상은 원래 목적이 내적(이때 물리적인 'dot product' 임을 강조하지 않은 점에서 헷갈리게 해드린 것 같습니다^^) 을 증명하려 했던 것 이고 이번영상은 vector product의 벡터가 갖는 '성분'이, 연산을 취하는 두 벡터사이의 각도의 sin값을 갖는다는 것을 증명하고자 하는 것과 동시에, 왜 수직인지를 좀 더 명확하게 증명하고자 함에 그 목적이 있는 것 이에요 :) 사실 제 채널에서 아직 시간상 시작하지 못하고 있지만, 텐서해석을 따르면 대수적으로도 이를 증명가능합니다 답변을 드리면서 생각해보니, 혹시 텐서해석 적인 개념을 아신다면 언급하신 '어떤 연산자의 혼동'을 좀 더 명확히 이해하실 수 있겠다는 생각에 덧붙여 답변드릴게요 :) 내적은 '크로니커 델타' 를 이용해서 표현됩니다 간단하게 두 벡터의 내적을 예로들어서 a벡터와 b벡터라고 할게요 그럼 a 내적 b 는 (a_x)e_x 내적 (b_y)e_y 로 아인슈타인 합 표기법으로 표현가능하며 이때 두 단위벡터의 내적은 크로니커델타 의 개념으로 표현된다는 사실을 통해, 내적이 (a_x)(b_x) 라는 증명식이 도출됩니다 그리고 이 때 cos을 갖는 이유를 스칼라가 좌표변환에 무관한 값 이라는 사실을 통해 좌표를 다르게잡아서 증명한 것이 저번 내적 증명 영상 이었습니다 :) 또한 외적은 vector product 또는 cross product라고 하여 X 기호를 쓰죠? :) 그때는 텐서표기법에 따라 증명할 때 레비-치비타 기호를 쓰게 되고 레비-치비타 기호가 크로니커델타로 표현가능하다는 사실을 통해 증명해나가다보면, 결론적으로 그러한 [벡터의 외적] 의 제곱은 [벡터의 크기]의 제곱을 표현하는 합 기호 에 [벡터의 내적]의 제곱을 표현하는 합 기호를 빼준 것이다 라는 결론을 얻을 수가 있습니다 그런데 내적이라는게, 내적은 좌표변환에 불변한 양인 스칼라 이며 (사실 이부분도 텐서로 쉽게 증명이 가능합니다) 그에 따라 증명된 크기에 cos이 들어가게 되므로 그 제곱을 전체적인 크기의 제곱에 빼준 것 = 외적의 크기의 제곱 이라면 1에 cos제곱을 뺄셈을 해준 것이 sin제곱이라는 제곱관계공식 에 의해서 외적의 값에 sin이 들어간다 라는 사실이 증명이되는 것을 확인하는 방법도 있긴합니다 ㅎ 쓰다보니 꽤 길어진 것 같은데, 제가 질문주신 부분을 잘 이해한건지는 아직 모르겠네요 ㅠ 헷갈리시면 또 답글로 질문주세요! 추후에 확인 후 추가적으로 답변드릴게요 :)
안녕하세요 ! 채널에 영상 보면서 도움 정말 많이 받고 있습니다. 여쭤보고 싶은 게 있는데 x축을 x'y' 평면 상에 위치하도록 좌표번환을 했다면 z랑 z'은 일치해야 하지 않나요 ? z와 z' 축이 일치하기에, 결과적으로 A,B 벡터와 동시에 k(k')벡터가 수직하다고 할 수 있는 게 아닌가요 ? 제가 잘못 이해하고 있는 건 아닌지 답변 부탁드리겠습니다.
아마 위에서 답변해주신 내용이 제가 드릴 설명과 같을 것 같습니다 : A벡터는 x' y' 평면에 놓여있을 수 있더라도, 임의의 방향인 B벡터 까지 같은 x' y'평면에 있을 이유는 없습니다 :) 그렇기 때문에 x y평면이라는 새로운 면을 잡아준 것이고, 만약 A와 B가 이미 x' y' 평면 상에 놓이는 경우라면 단지 z축을 회전축으로 삼아서 적절히 돌려주다가 x'축이 x축과 일치하도록 설정해주면 되죠 :)
매번 정말정말 도움많이 받고 있습니다 ㅠㅠ 정말 감사합니다 ㅠ 그런데 여쭤보고 싶은게 있는데 1. 단위벡터 옆 성분들을 2차 정방행렬의 행렬식으로 보기 전의 식에 바로 대입해도 (3×3행렬식에 대입하지않고) AxBsin세타k벡터가 나올것 같은데 이렇게 해도 되는건가요? 2. 외적의 경우 결과가 벡터값인데 회전이 가능한 이유가 잘 이해가 안갑니다.. ㅠ sin세타의 경우 회전하든 안하든 같은값이니까 상관없다는건 알겠는데 AB벡터는 괜찮은건가요? 답변해주시면 정말 감사할것 같습니다 🙇♂️🙇♂️
안녕하세요 ^_^ 1. 말씀해주신 부분이 1분 30초 즈음의 설명인 것 같은데, 맞는 말씀입니다 :) 더 보기좋게 쓰면서 설명드리기 위해서 이차 정방행렬의 행렬식을 쓴 것일 뿐이에요! 2. 이 부분은 '벡터를 기준으로' 보시면 덜 헷갈리실 것 같습니다 :) 즉, 벡터는 '그대로' 입니다, "좌표축"을 돌려주는 것 이에요 벡터는 그자리에 그대로 있는데, 좌표계를 다르게 잡아준다는 개념입니다 그러니 굳이 텐서에 대해서 설명드리지 않더라도 벡터의 회전에 대해서 문제될 것은 없습니다 벡터가 회전하는 것은 아니니까요 :) 이 영상 찍은지가 꽤 오랜만이라서, 이해하시기 쉽게끔 답을 드린 건지 모르겠네요 :) 읽어보시고 혹시나 이 부분 관련해서 또 헷갈리시는 부분이 있으시면 답글로 또 질문주세요 :) 추후에 다시 확인해서 또 답변드리겠습니다 :)
![[역학 기초] 벡터 '내적' 의 공식 유도](http://i.ytimg.com/vi/Onk_JDeWPjE/mqdefault.jpg)
![[역학 기초] 벡터 '내적' 의 공식 유도](/img/tr.png)
행렬식계산 포스팅 설명 링크 참고 ^^ (링크 수정)
여인수전개 (라플라스 전개) : blog.naver.com/bosstudyroom/221732083775
Sarrus 전개 : blog.naver.com/bosstudyroom/221725989706
:)
[00:07] 외적 공식 소개
[02:50] 외적 공식 유도과정 설명
:)
수학은 정말 우리뇌에서 어마어마한 창의력을 끌어내는 생각같아보이네요
점점 대학 수학을 공부하면 할수록 수학은 어려운 과목이라고 생각되네요
ㅠㅠㅠㅜㅜㅜ편수 너무 어렵다..
편입수학 화이팅 : )
왜 두 벡터에 수직인지 궁금했는데 영상 보니까 바로 이해가 되네요. 좋은 영상 감사합니다!
친절한 댓글 남겨주신 용규님께 저도 감사드립니다 :)
도움 많이 됐습니다. 감사합니다!
ㅎㅎ 감사드려요 ^_^
보스님 x,z프라임축 사이에 z가 합쳐진 ?수직으로 가는 원리에 대해서 이해가 잘안되네여 ... 그리고 ax가 a의 크기이고 b의크기는 무엇미, sin세타의 사이값이 무엇인지 알려주실수 있을가여
유익한 동영상에 도움을 많이 받고 있습니다.
질문이 있어 댓글을 남깁니다.
||A||||B||sinx를 증명하실 때 행렬식을 이용하시던데 생략된 연산자가 크로스프로덕트 인가요?
||A||||B||sinx가 n벡터에 상수배 되어 법선벡터가 완성된다면 ||A||||B||sinx의 연산이 도트프로덕트여야 하지 않나 싶어서요...
왜냐하면 ||A||||B||cosx를 증명하신 동영상에서는 도트프로덕트로 증명하셨기 때문에 여쭤봅니다.
내적이든 외적이든 도트, 크로스 모두 증명해 보았는데 결과는 같더라구요?! 그렇다면 연산자를 생략한것은 도트, 크로스 모두 상관없다는 의미가 되는 것인지... 궁굼합니다. ㅠㅠ
안녕하세요 :) 답변드립니다
사실 질문주신 부분에서 '생략된 연산자' 라는 말씀이 어떤 부분인지 잘 파악이 되지 않네요 ^^;
또한 언급하신 'dot product' 로 증명했다고 하신 부분에 대한 답은, '그 영상이 애초에 dot product의 또다른 표현식이 그와같다는 것 자체를 증명하려고 한 것' 으로 답변드릴 수 있겠습니다 :)
물론 inner product는 좀 더 넓은 의미로 쓰이는 편으로 알고있습니다
예를들어 선형대수 에서 정의하는 내적의 개념과 물리적인 점곱과는, 범위의 차이는 있을 수 있지만
저번의 cos이 나오는 그 영상은
원래 목적이 내적(이때 물리적인 'dot product' 임을 강조하지 않은 점에서 헷갈리게 해드린 것 같습니다^^) 을 증명하려 했던 것 이고
이번영상은 vector product의 벡터가 갖는 '성분'이, 연산을 취하는 두 벡터사이의 각도의 sin값을 갖는다는 것을 증명하고자 하는 것과 동시에, 왜 수직인지를 좀 더 명확하게 증명하고자 함에 그 목적이 있는 것 이에요 :)
사실 제 채널에서 아직 시간상 시작하지 못하고 있지만, 텐서해석을 따르면 대수적으로도 이를 증명가능합니다
답변을 드리면서 생각해보니, 혹시 텐서해석 적인 개념을 아신다면
언급하신 '어떤 연산자의 혼동'을 좀 더 명확히 이해하실 수 있겠다는 생각에 덧붙여 답변드릴게요 :)
내적은 '크로니커 델타' 를 이용해서 표현됩니다
간단하게 두 벡터의 내적을 예로들어서
a벡터와 b벡터라고 할게요
그럼 a 내적 b 는
(a_x)e_x 내적 (b_y)e_y 로 아인슈타인 합 표기법으로 표현가능하며
이때 두 단위벡터의 내적은 크로니커델타 의 개념으로 표현된다는 사실을 통해,
내적이 (a_x)(b_x) 라는 증명식이 도출됩니다
그리고 이 때 cos을 갖는 이유를
스칼라가 좌표변환에 무관한 값 이라는 사실을 통해 좌표를 다르게잡아서 증명한 것이 저번 내적 증명 영상 이었습니다 :)
또한 외적은 vector product 또는 cross product라고 하여 X 기호를 쓰죠? :)
그때는 텐서표기법에 따라 증명할 때
레비-치비타 기호를 쓰게 되고
레비-치비타 기호가 크로니커델타로 표현가능하다는 사실을 통해
증명해나가다보면, 결론적으로
그러한 [벡터의 외적] 의 제곱은
[벡터의 크기]의 제곱을 표현하는 합 기호 에
[벡터의 내적]의 제곱을 표현하는 합 기호를 빼준 것이다 라는 결론을 얻을 수가 있습니다
그런데 내적이라는게, 내적은 좌표변환에 불변한 양인 스칼라 이며 (사실 이부분도 텐서로 쉽게 증명이 가능합니다) 그에 따라 증명된 크기에 cos이 들어가게 되므로
그 제곱을 전체적인 크기의 제곱에 빼준 것 = 외적의 크기의 제곱 이라면
1에 cos제곱을 뺄셈을 해준 것이 sin제곱이라는 제곱관계공식 에 의해서
외적의 값에 sin이 들어간다 라는 사실이 증명이되는 것을 확인하는 방법도 있긴합니다 ㅎ
쓰다보니 꽤 길어진 것 같은데, 제가 질문주신 부분을 잘 이해한건지는 아직 모르겠네요 ㅠ
헷갈리시면 또 답글로 질문주세요! 추후에 확인 후 추가적으로 답변드릴게요
:)
5:11에서 A X B 의 계산 결과에서 부호가 -가 되어야 하는게 아닌가요?
아닙니다. 영상의 부호가 맞는데, - 라고 생각하신 이유가 있을까요?
안녕하세요 ! 채널에 영상 보면서 도움 정말 많이 받고 있습니다.
여쭤보고 싶은 게 있는데 x축을 x'y' 평면 상에 위치하도록 좌표번환을 했다면 z랑 z'은 일치해야 하지 않나요 ?
z와 z' 축이 일치하기에, 결과적으로 A,B 벡터와 동시에 k(k')벡터가 수직하다고 할 수 있는 게 아닌가요 ?
제가 잘못 이해하고 있는 건 아닌지 답변 부탁드리겠습니다.
X축이 x'y' 평면상에 위치해도 x푹을 회전축으로 삼아서 B벡터가 x'y'평면에 오도록 돌리면 결국 z z' 이 어긋나게 됩니다
@@신쯔앙구 제가 생각이 짧았네요 감사합니다
@@신쯔앙구 댓글을 늦게 확인했는데, 대신 답변해주셔서 감사합니다 :-)
아마 위에서 답변해주신 내용이 제가 드릴 설명과 같을 것 같습니다
: A벡터는 x' y' 평면에 놓여있을 수 있더라도, 임의의 방향인 B벡터 까지
같은 x' y'평면에 있을 이유는 없습니다 :)
그렇기 때문에 x y평면이라는 새로운 면을 잡아준 것이고, 만약 A와 B가 이미 x' y' 평면 상에 놓이는 경우라면
단지 z축을 회전축으로 삼아서
적절히 돌려주다가 x'축이 x축과 일치하도록 설정해주면 되죠 :)
@@bosstudyroom 감사합니다 ! 항상 영상 잘 보고 있습니다
매번 정말정말 도움많이 받고 있습니다 ㅠㅠ 정말 감사합니다 ㅠ
그런데 여쭤보고 싶은게 있는데
1. 단위벡터 옆 성분들을 2차 정방행렬의 행렬식으로 보기 전의 식에 바로 대입해도 (3×3행렬식에 대입하지않고) AxBsin세타k벡터가 나올것 같은데 이렇게 해도 되는건가요?
2. 외적의 경우 결과가 벡터값인데 회전이 가능한 이유가 잘 이해가 안갑니다.. ㅠ sin세타의 경우 회전하든 안하든 같은값이니까 상관없다는건 알겠는데 AB벡터는 괜찮은건가요?
답변해주시면 정말 감사할것 같습니다 🙇♂️🙇♂️
안녕하세요 ^_^
1. 말씀해주신 부분이 1분 30초 즈음의 설명인 것 같은데, 맞는 말씀입니다 :)
더 보기좋게 쓰면서 설명드리기 위해서 이차 정방행렬의 행렬식을 쓴 것일 뿐이에요!
2. 이 부분은 '벡터를 기준으로' 보시면 덜 헷갈리실 것 같습니다 :)
즉, 벡터는 '그대로' 입니다, "좌표축"을 돌려주는 것 이에요
벡터는 그자리에 그대로 있는데,
좌표계를 다르게 잡아준다는 개념입니다
그러니 굳이 텐서에 대해서 설명드리지 않더라도
벡터의 회전에 대해서 문제될 것은 없습니다
벡터가 회전하는 것은 아니니까요 :)
이 영상 찍은지가 꽤 오랜만이라서, 이해하시기 쉽게끔 답을 드린 건지 모르겠네요 :)
읽어보시고 혹시나 이 부분 관련해서 또 헷갈리시는 부분이 있으시면
답글로 또 질문주세요 :) 추후에 다시 확인해서 또 답변드리겠습니다
:)
@@bosstudyroom 답변 모두 완전 잘 이해됐습니다 ㅠㅠ!! 정말 감사합니다 :)
4년 전 영상이지만 유익했습니다.
그런데 초반 AxB를 전개한 식에서 그냥 수학자들이 이렇게 하기로 했다는 설명은 조금 엄밀함이 떨어지지 않나 싶어요.
행렬의 (성분의) 곱에 의한 당연한 결과이죠 ㅎㅎ …
영상의 어느 시간대인지 대략적인 정보도 없고, 어떤 부분을 말하시는지 알 수가 없네요.
확인을 해야 답변을 할 수 있을 것 같아요.
만약 행렬식의 '정의'를 언급한 부분을 말하시는 거라면, 그것은 당연함을 논할 것이 아닙니다.
'정의'에 대해서 생각해보시면 좋을 것 같네요.