С наступающим Новым годом, друзья! Мы постарались сделать ролик, который стал бы отличным подарком для всех любителей математики - для всех вас. Если такой презент пришелся по душе, то лучшим подарком для нас будет клик по «большому пальцу вверх» и обратная связь в комментариях. Задавайте свои вопросы - с удовольствием отвечу; попробуйте и сами ответить на вопросы из видео. 2020 год не будет простым, вы это знаете лучше моего, но пусть же он состоит из одних лишь открытий и счастья! Обнимаю каждого! Ура!
Ответ на загадку про кратные 10 углы: их существует всего 9 : 3,4,6,8,12,18,24,36 и 72-ух угольники это прекрасно видно из формулы для нахождения угла в n-угольнике
Спасибо, что взялся за задачу! Ты правильно понял, что нужно поработать с формулой угла правильного n-угольника, но при n=8, n=24, n=72 что-то не то. А вот при n=9, напротив, «хороший» многоугольник! Не разберешься - дай знать!
В первой задаче ответ 7: количество вершин может быть 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Один угол правильного n-угольника равен (180n - 360) : n. = 180 - (360/n). 180 - целое число, которое делится на 10, поэтому чтобы все выражение было целым числом, делящимся на 10, должно выполняться 2 условия: 1) n - делитель числа 360; 2) n не делится на 5 и на 8 (Только в таком случае (360/n) будет делится на 10) Итак, 360 = 2*2*2*3*3*5 Чтобы конструировать подходящие числа мы должны выбирать простые из набора 2*2*3*3 Всего таких чисел 9: 1,2,3,4,6,9,12,18,36 1 и 2 вычеркиваем, потому что они не подходят по условию.
Для того, чтобы у нас получился многогранник, необходимо, чтобы сумма углов между ребрами, сходящимся в одной вершине, было меньше 360 градусов, чтобы наши куски граней, образованные этими ребрами как бы вырвались из плоскости прямиком в 3-мерное пространство) И я так полагаю, что если многогранники это замкнутая плоскость, то они должны удовлетворять еще условию В-Р+Г=2. 2) Проверим для начала треугольник, как самый простой вид грани, правильный тр-ик имеет углы по 60 градусов. Понятно, что в одной вершине не может сходиться больше шести таких треугольных граней. 6 таких "лоскутов" образуют плоскость, куда седьмой просто напросто не влезет, так как сумма углов при вершине уже 360 градусов. Более того, 6 мы тоже не можем взять, так как нам необходимо построить объемную фигуру, а для этого необходимо еще оставить "запас", чтобы нашим граням было куда "свернуться". Поэтому максимум мы можем взять 5 граней. Почему тогда пять это максимальное количество? Потому,что у следующего правильного мн-ка - квадрата, углы уже по 90 градусов и соответственно максимум мы можем положить только 3 таких грани у одной вершины, так как 4 уже образуют обычную плоскость (90*4=360). С пятиугольниками почти то же самое, там 3 грани образуют в сумме угол 108*3=324 градуса у одной вершины и очевидно, что четвертый тут лишний, так как для полного круга не хватает всего 36 градусов, тогда как угол между ребрами правильного пятиугольника=108 градусам, он слишком тупой для этого))) Три шестиугольника, сцепленные друг с другом одной вершиной уже изначально составляют плоскость, так как 6*120=360. А три n-угольника, где n>6, мы не сможем совместить у одной вершины по понятным причинам (просто сумма их углов при одной вершине будет больше 360). Таким образом, "пятисторонник" это максимум, которого мы можем достичь 1) Насчет ребер, думаю тут можно использовать характеристическое уравнение и исходя из того, что максимум граней это 5, посчитать сколько ребер. Составим граф, где одна точка в центре и еще 6 вокруг нее, соединим так, чтобы получить 5 треугольников, то есть пять граней плюс одна внешняя грань. 7-Р+6=2 => Р=11, но так как нам нужны только выходящие из одной вершины, то выкидываем 5 ребер, которые образовывали грани и еще убираем одну, так как при формировании объемного тела мы "склеим" одно ребро с другим, и в итоге остается 5 ребер Конечно, это нельзя назвать строгим доказательством, я просто своими словами и аналогиями описал весь этот процесс. Но все же мне очень интересно увидеть настоящее доказательство, поэтому с радостью приму ссылку на какую-нибудь статью! Спасибо огромное за такой предновогодний подарок, это однозначно достойный коллаб, которого мы все так ждали! С наступающими праздниками!
Спасибо, что один из первых взялся за эти нетривиальные вопросы! Ты верно рассуждаешь, образы твои понял вполне! Насчет 1): формула Эйлера действительно дает то, что нужно, но, оказывается, можно обойтись чистой геометрией (как в твоих рассуждениях по второму вопросу). В подсказке изобразил правильную шестиугольную пирамиду, изменяется высота. Намек здесь на то, что сумма плоских углов многогранного угла меньше 360°, - это становится ясно, если подумать о проекциях боковых ребер пирамиды на плоскость основания, - дальше нетрудно сделать требуемые выводы.
Доказательство леммки №2: Пусть у многогранников может быть 6 и более сторон, тогда углы между ребрами при вершине равны 120 градусам и больше. "Отсечем" от правильного многогранника вершину плоскостью, перпендикулярной оси симметрии, проходящей через данную вершину. Получим правильную пирамиду, у которой углы при вершине строго меньше 120 градусов - противоречие. Задачка №1: Величину угла (в градусах) посчитаем как 180 - 360/n. По условию (180-360/n)/10=18-36/n должно быть целым. n>=3, поэтому подойдут все делители числа 36=2^2*3^2, кроме единицы и двойки: (2+1)(2+1)-2=7
Идея доказательства леммы 2 - тоже верная! Разве что лучше не упоминать ось симметрии, проходящую через вершину многогранника, ведь она, может, и не существует (для тетраэдра это очевидно так и есть). Решение задачи №1 - целиком правильное и полное вплоть до пунктуации!
@@WildMathing , спасибо! Лучше эту "ось" назвать прямой, равноудаленной от всех ребер, исходящих из данной вершины. Вообще надо бы как-то иначе это сформулировать, просто написал первое, что пришло в голову :)
@@ЕвгенийВасильев-и3п, спасибо и вам, что 1 января уделили внимание этим задачам! Обычно мысль про ту «хорошую» плоскость формулируют так: отсечем от (такого-то) многогранного угла (такую-то) правильную пирамиду.
С наступающим вас новым годом! За последние полгода я понял, что вы - один из немногих каналов по математике, которые не то что можно смотреть без скуки, НУЖНО СМОТРЕТЬ! Я желаю вам счастья, здоровья, успехов в личной жизни и экспоненциального роста количества подписчиков!
#1 про 10 градусов: угол многогранника равен 180-360/n. это должно быть кратно 10, тогда 18-36/n - целое число больше 1. значит n - делитель 36и больше 2х. 36=3^2*2^2, всего дел-лей тогда 3*3=9. Но 1 и 2 не подходят, 9-2 = 7. Ответ: 7.
1) Разделим круг на секторы по 10 градусов, выходит 36 частей. Очевидно, что соеденять нужно равное количество точек - каждый раз. То есть сначала каждую, потом каждую вторую, третью и т.п. Число таких многогранников соответствует количеству делителей числа 36 (кроме 36 и 18). 1,2,3,4,6,9,12; всего - 7. Ответ: 7.
"Твой лунный календарь врёт, только я говорю правду."(как же задолбала реклама😂😂😂) Борис ваши видео очень познавательные, надеюсь и сам когда-нибудь доберусь до вашего уровня)))
Задача 1. Угол многоугольника 10k. Центральный угол 360/n, или из равнобедренного треугольника 180-(5k+5k), делится на 10. То есть 36/n целое число. Делители 36 это 1,2,3,4,6,9,12,18,36. С учётом n>2 Ответ: 7. Задача 2. У куба 9 осей симметрии. 3 через центры граней, 6 через центры противолежащих рёбер. Плоскостей симметрии 9. 3 через середины рёбер, 6 через противоположные рёбра. Задача 3. Формула верна для многих вогнутых многогранников, но Ленте Мёбиуса можно придать толщину, построить многогранник на её поверхности тогда В-Р+Г=0 не 2, формула не выполняется. Точно также можно поступить с бутылкой Клейна. Формула В-Р+Г=2 выполняется только для выпуклых многогранников.
Линейная скорость точки на краю равномерно вращающегося диска в 2 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 30 см ближе к оси диска. Найти радиус диска. Ответ приведите в сантиметрах. Народ, кто шарит помогите решить задачу. Пожалуйста.
Ответ на задачу 7) Решение сумма градусных мер правильного n-угольника - (n-2)*180, где n это кол-во вершин. Тогда для n удовлетворяющее условию задачи справедливо следующее, (n-2)*180/n=10*k а это равносильно, n(18-k)=2^2*3^2 и у этого диофантова уравнения есть два следствия, угол такого n-угольника не может быть больше 170, что было очевидно) и условию задачи удовлетворяют только n=3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (2 не подходит так как многоугольник по определению имеет хотя бы 3 вершины), в силу ограниченности делителей числа 36)) чтд
Я сделал по другому: (n-2)*180/n переобразовываем в 180-360/n, и делаем выводы: Чтоб число делилось на 10, то нужно, чтоб 360/n делилось на 10 ну и т.к. 360 имеет в себе 10, то просто его откладываем: 10*36/n 36/n должно быть натуральным целым, при том n>2, то Нам подходят все делители числа 36, кроме 2)
В задачке №2 и тех и тех по 9, но доказательство не могу пока осилить, надо наверное рассматривать всякие вращения и т. д., это для крутых. Задачка №3: По условию многогранник сделан из эластичного материала. Поэтому берем эти "впуклости" и вытаскиваем наружу. Получаются "выпуклости".
Про оси симметрии и плоскости симметрии - верный ответ! Строгое доказательство, почему нет других, и не планировал увидеть на RUclips: если про себя зритель может доказать, почему те упомянутые 9 являются осью (плоскостью) симметрии, то это уже замечательно! А вот про условие выпуклости: оно оказывается очень важным! И для невыпуклых многогранников можно придумать контрпримеры, когда В-Р+Г≠2. Кажется, вы единственный, кто решился побороться со всеми предложенными вопросами/задачами и порассуждать в комментариях! Очень ценю: вы хорошо справились!
@@WildMathing , я думаю сейчас нормальные люди Новый Год отпразднуют и тоже подключатся) Да, точно, многогранник же может быть с отверстием (как тор), тогда эту "впуклость" уже не вытащишь. Просто если отверстий нет (вроде это свойство гомеоморфностью называется), по первым прикидкам формула должна работать (правда, надо еще рассмотреть случаи, когда мы "вытаскиваем" (ну или симметрично отражаем наружу относительно такой-то "хорошей" плоскости) эту "ямку", а какие-то грани и ребра сливаются воедино - можно все равно провести линии ребер, и соотношение количества В+Р и Г не изменится).
Увидел Трушина на превью, потом долго искал ролик на его канале, уже испугался, что удалили. Спасибо за отличную совместную работу! Доказательство леммки №1 (кривоватое, но как умею): Пусть может сходиться более 5 ребер. Тогда при параллельном проецировании этой части многогранника на плоскость, перпендикулярную к оси симметрии, проходящей через вершину, эта плоскость будет разбита на 6 и более углов (равных, т. к. у правильных многоугольников все углы равны). Значит, многогранник состоит из правильных треугольников, и случаи с 7-ю и более сходящимися ребрами уже невозможны. Если же ребер 6, образуется правильная шестиугольная пирамида, у которой углы (недвугранные) при вершине меньше 60 градусов (т. к. стороны треугольников при основании меньше двух других сторон - проекция меньше наклонной), получили противоречие.
Поигрался я с формулой 180*(n-2)... Это сумма углов. Углы равны, то есть 1 угол получится делением этого выражения на n Всего может быть 7 многоугольников (3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36 углов соответственно), но я решил пойти против правил: 180*(n-2)=an, где a - угол n-угольника. После преобразований получил формулу получения числа сторон правильного многоугольника при заданной величине угла: n=360/(180-a), эта формула даёт корректный результат при реальных углах многоугольников, но выдаёт нечто особенное при «неожиданных» углах: например, 2.117647...-угольник (наверное мнимый многоугольник, я хз, как его называть) имеет угол ровно в 10°, если судить только по алгебраическим выражениям... Жду мнения профессионала)
Мне после этого видео приснилось то как теория Графов связанна с химическими структурами и их композициями. Приснилось буквально использование высшей математики с декомпозициями и различными методами анализа через замену "неизвестных элементов" на иксы, и будущее определение их по валентности, вроде и очевидно, но вроде и я многое упускаю тем что не помню из сна формул того как это происходит. Пиздец.
Очень классное видео! Насчёт первой задачки: сумма углов в правильном n-угольнике pi*(n-2), если измерять углы в градусах, то каждый угол равен 180*(n-2)/n нужно найти такие n что это выражение кратно 10, т.е. 180*(n-2)/n =10k, kєN, немного преобразовав получим 18-36/n = k нужно решить в целых числах, для этого рассмотрим делители 36 1,2,3,4,6,9,12,18,36. 1 и 2 нас неинтересны, а вот остальные и задают искомые n-угольники.
Прошло почти 3 года с момента выхода видео, но всё же напишу. 3) Предсавим куб и надавим на центр грани так, что бы точка оказалась ближе к центру куба. Тоже самое с противоположной гранью, пока вешины тетраэдров не соеденятья в одну. Вершин стало девять (+1); ребер стало двадцать (+8), и граней двенадцать (+6). Выходит: В-Р+Г+1-8+6=2-1=1. Не сработала формула. Но если "продавить" только одну грань изначального куба, то всё сойдется. Ответ: Формула Эйлера-Трушина не подходит для всех невыпуклых многоугольников. P. S. - Надеюсь решение верное. Буду пробовать найти общее решение. - Насколько я понимаю, для фигуры из доказательства при центральной проекции появиться одна лишняя точка и на неё понадобиться два ребра (я плохо знаю геометрию, так что это предложение может оказаться бессмыслецой). - В интернете нашёл проекцию гиперкуба (куб внутри другого куба) для него формула Э-Т равна нулю.
и тут выходит что мы плоские??? та пипец... одно совпадение ладно) два , ну допустим. 3 куда нишло))) но когда забыл какое уже это совпадение то точно плоские))) но как???
Вы хорошо понимаете, чем отличается учебная лекция от научно-популярной? В ролике уйма доказательств и нет неверных утверждений. Если же заметили ошибку, укажите тайм-код
@@pinkalien-bi2cd, если понимаете, то откуда исходная претензия? Откуда упрек в несерьезности? Для научно-популярного ролика доказательств здесь достаточно. Семь минут идет фрагмент с доказательством классического факта от БВ. Вы на школьном уровне встречали более строгое и при этом столь же простое и ясное рассуждение?
Насчёт первой задачи из конца ролика. Там надо решить линейное диофантово уравнение. Из известной формулы n-угольника получаем 180(n-2)/n=10k, где k это какой-то коэффициент и n, k целые числа. Немного преобразуем, 18-36/n=k, отсюда, чтобы получить целое k, необходимо в n положить любой из делителей числа 36. Для этого разложим его на простые множители: 36=2*2*3*3, и соберем все комбинации этих множителей. 1,2,3,4,6,9,12,18,36. Но 1 и 2 не берем, так как нам нужны многоугольники, и по итогу получаем 7 многоугольников Спасибо вам большое за качественные ролики, именно в таком виде надо подавать математику, чтобы большее число людей ей заинтересовалось!
Решение загадки 1. Пусть угол правильного n-угольника равен a, тогда a=180(n-2)/n. Пусть b=10a, тогда b=18(n-2)/n=(18n-36)/n=18-36/n. n - это натуральное число, n>2, поэтому n=36, 18, 12, 9, 6, 4, 3. Ответ: 7. Можно еще узнать, на какой возраст эта задача рассчитана? Я в 9 классе.
С наступающим Новым годом, друзья! Мы постарались сделать ролик, который стал бы отличным подарком для всех любителей математики - для всех вас. Если такой презент пришелся по душе, то лучшим подарком для нас будет клик по «большому пальцу вверх» и обратная связь в комментариях. Задавайте свои вопросы - с удовольствием отвечу; попробуйте и сами ответить на вопросы из видео. 2020 год не будет простым, вы это знаете лучше моего, но пусть же он состоит из одних лишь открытий и счастья! Обнимаю каждого! Ура!
У вас получилось сделать отличный подарок на новый год
@@9aket289, рад это слышать! Спасибо всем зрителям за ответный подарок: приятно читать комментарии под этим роликом!
Господи как же это круто подано столько отсылок и рофлов я в шоках
Ответ на загадку про кратные 10 углы: их существует всего 9 : 3,4,6,8,12,18,24,36 и 72-ух угольники это прекрасно видно из формулы для нахождения угла в n-угольнике
Спасибо, что взялся за задачу! Ты правильно понял, что нужно поработать с формулой угла правильного n-угольника, но при n=8, n=24, n=72 что-то не то. А вот при n=9, напротив, «хороший» многоугольник! Не разберешься - дай знать!
самый масштабный аниме кроссовер уходящего года
Не, ну это лайк!
Приятный голос, а от баса перепонки с ума сходят. Продолжайте ^^
14:22
Четвертушкаэдр, Осьмушка-полушкаэдр, Осьмушкаэдр, Осьмушка+четвертушкаэдр, Пудовичок+четвертушкаэдр, так считали наши геометрические предки!
На на самом деле всё это неправильная математика. У древних русов В - Г + Р = 2^n, как у перворода
пешка Евклида, залогинься
ШУЕ ППШ ШПШ
За Трушина и двор - решаю интеграл в упор!
В уме
А у меня стоят уведомления и на вас, и на Трушина. Поэтому сначала я подумала, что это баг Ютуба))
(Видео Трушина на канале Wild Mathing? Что???)
Даааа, не думал, что Боря может объяснить такую сложную вещь за 6 минут, да ещё и так, чтобы это было понятно почти каждому. Однозначно лайк
Коллаб года. Мстители покуривают в сторонке.
Коллаб года❤️
Я что сплю?
Лучший подарок на новый год!!
Осталось еще видео с Илоном Маском сделать
Всё будет, брат, но не сразу
©
И тут Борис Викторович появился))
В первой задаче ответ 7: количество вершин может быть 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Один угол правильного n-угольника равен (180n - 360) : n. = 180 - (360/n).
180 - целое число, которое делится на 10, поэтому чтобы все выражение было целым числом, делящимся на 10, должно выполняться 2 условия:
1) n - делитель числа 360;
2) n не делится на 5 и на 8
(Только в таком случае (360/n) будет делится на 10)
Итак, 360 = 2*2*2*3*3*5
Чтобы конструировать подходящие числа мы должны выбирать простые из набора 2*2*3*3
Всего таких чисел 9: 1,2,3,4,6,9,12,18,36
1 и 2 вычеркиваем, потому что они не подходят по условию.
Мария, безупречное решение, все верно, молодчина!
Спасибо, что приняла вызов! С наступающим!
Самый лучший новогодний подарок, который только можно было ожидать. Спасибо огромное вам и Борису за такой крутой и интересный ролик!
Спасибо, что посмотрел и оценил, Андрей!
Аха, не увидел подпись и думал, что это видео Трушина, а вы в нем гость.
Еееее, это свершилось! Ураааа!!!! Всех с Новым Годом!
Троекратное ура! С наступающим!
Вы хотите моей смерти из-за коллаборации моих любимых блоггеров?!
Хотим жизни! Долгой, счастливой, математичной!
Доказательство Теоремы Эйлера от Бори - отдельный вид искусства
6 минут, и почти никакой индукции!
Для того, чтобы у нас получился многогранник, необходимо, чтобы сумма углов между ребрами, сходящимся в одной вершине, было меньше 360 градусов, чтобы наши куски граней, образованные этими ребрами как бы вырвались из плоскости прямиком в 3-мерное пространство) И я так полагаю, что если многогранники это замкнутая плоскость, то они должны удовлетворять еще условию В-Р+Г=2.
2) Проверим для начала треугольник, как самый простой вид грани, правильный тр-ик имеет углы по 60 градусов. Понятно, что в одной вершине не может сходиться больше шести таких треугольных граней. 6 таких "лоскутов" образуют плоскость, куда седьмой просто напросто не влезет, так как сумма углов при вершине уже 360 градусов. Более того, 6 мы тоже не можем взять, так как нам необходимо построить объемную фигуру, а для этого необходимо еще оставить "запас", чтобы нашим граням было куда "свернуться". Поэтому максимум мы можем взять 5 граней. Почему тогда пять это максимальное количество? Потому,что у следующего правильного мн-ка - квадрата, углы уже по 90 градусов и соответственно максимум мы можем положить только 3 таких грани у одной вершины, так как 4 уже образуют обычную плоскость (90*4=360). С пятиугольниками почти то же самое, там 3 грани образуют в сумме угол 108*3=324 градуса у одной вершины и очевидно, что четвертый тут лишний, так как для полного круга не хватает всего 36 градусов, тогда как угол между ребрами правильного пятиугольника=108 градусам, он слишком тупой для этого))) Три шестиугольника, сцепленные друг с другом одной вершиной уже изначально составляют плоскость, так как 6*120=360. А три n-угольника, где n>6, мы не сможем совместить у одной вершины по понятным причинам (просто сумма их углов при одной вершине будет больше 360). Таким образом, "пятисторонник" это максимум, которого мы можем достичь
1) Насчет ребер, думаю тут можно использовать характеристическое уравнение и исходя из того, что максимум граней это 5, посчитать сколько ребер. Составим граф, где одна точка в центре и еще 6 вокруг нее, соединим так, чтобы получить 5 треугольников, то есть пять граней плюс одна внешняя грань. 7-Р+6=2 => Р=11, но так как нам нужны только выходящие из одной вершины, то выкидываем 5 ребер, которые образовывали грани и еще убираем одну, так как при формировании объемного тела мы "склеим" одно ребро с другим, и в итоге остается 5 ребер
Конечно, это нельзя назвать строгим доказательством, я просто своими словами и аналогиями описал весь этот процесс. Но все же мне очень интересно увидеть настоящее доказательство, поэтому с радостью приму ссылку на какую-нибудь статью!
Спасибо огромное за такой предновогодний подарок, это однозначно достойный коллаб, которого мы все так ждали! С наступающими праздниками!
Спасибо, что один из первых взялся за эти нетривиальные вопросы! Ты верно рассуждаешь, образы твои понял вполне! Насчет 1): формула Эйлера действительно дает то, что нужно, но, оказывается, можно обойтись чистой геометрией (как в твоих рассуждениях по второму вопросу). В подсказке изобразил правильную шестиугольную пирамиду, изменяется высота. Намек здесь на то, что сумма плоских углов многогранного угла меньше 360°, - это становится ясно, если подумать о проекциях боковых ребер пирамиды на плоскость основания, - дальше нетрудно сделать требуемые выводы.
Оххх, как же я люблю правильные многогранники 😄❤❤
Вот они слева направо: Тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр
Люблю вас❤❤❤
Каждое видео выглядит лучше любого мотивирующего видео)) Спасибо вам!С наступающим новым годом.
ЗЫ. Отсылка на бтс ха-ха-ха)
лучшая отсылка на мем про бтс 😍😍😍
Ура, Мама, я в ютубе) Самый долгожданный коллаб!
Труушин 😍 осталось только с Побединским коллаб замутить
Доказательство леммки №2:
Пусть у многогранников может быть 6 и более сторон, тогда углы между ребрами при вершине равны 120 градусам и больше. "Отсечем" от правильного многогранника вершину плоскостью, перпендикулярной оси симметрии, проходящей через данную вершину. Получим правильную пирамиду, у которой углы при вершине строго меньше 120 градусов - противоречие.
Задачка №1:
Величину угла (в градусах) посчитаем как 180 - 360/n. По условию (180-360/n)/10=18-36/n должно быть целым. n>=3, поэтому подойдут все делители числа 36=2^2*3^2, кроме единицы и двойки: (2+1)(2+1)-2=7
Идея доказательства леммы 2 - тоже верная! Разве что лучше не упоминать ось симметрии, проходящую через вершину многогранника, ведь она, может, и не существует (для тетраэдра это очевидно так и есть).
Решение задачи №1 - целиком правильное и полное вплоть до пунктуации!
@@WildMathing , спасибо! Лучше эту "ось" назвать прямой, равноудаленной от всех ребер, исходящих из данной вершины. Вообще надо бы как-то иначе это сформулировать, просто написал первое, что пришло в голову :)
@@ЕвгенийВасильев-и3п, спасибо и вам, что 1 января уделили внимание этим задачам! Обычно мысль про ту «хорошую» плоскость формулируют так: отсечем от (такого-то) многогранного угла (такую-то) правильную пирамиду.
С наступающим вас новым годом! За последние полгода я понял, что вы - один из немногих каналов по математике, которые не то что можно смотреть без скуки, НУЖНО СМОТРЕТЬ! Я желаю вам счастья, здоровья, успехов в личной жизни и экспоненциального роста количества подписчиков!
Спасибо за добрые пожелания!
С праздником и тебя!
#1 про 10 градусов: угол многогранника равен 180-360/n. это должно быть кратно 10, тогда 18-36/n - целое число больше 1. значит n - делитель 36и больше 2х. 36=3^2*2^2, всего дел-лей тогда 3*3=9. Но 1 и 2 не подходят, 9-2 = 7. Ответ: 7.
Совершенно верно!
Побольше таких видео.
То ли еще будет!
1) Разделим круг на секторы по 10 градусов, выходит 36 частей. Очевидно, что соеденять нужно равное количество точек - каждый раз. То есть сначала каждую, потом каждую вторую, третью и т.п. Число таких многогранников соответствует количеству делителей числа 36 (кроме 36 и 18). 1,2,3,4,6,9,12; всего - 7.
Ответ: 7.
"Твой лунный календарь врёт, только я говорю правду."(как же задолбала реклама😂😂😂)
Борис ваши видео очень познавательные, надеюсь и сам когда-нибудь доберусь до вашего уровня)))
Вайлд, спасибо вам с Борисом за крутой подарок на нг. Уж чего -чего, а вот такого фита я точно не ожидал)
Вам спасибо!
Новый год - время математических чудес!
Задача 1. Угол многоугольника 10k. Центральный угол 360/n, или из равнобедренного треугольника 180-(5k+5k), делится на 10. То есть 36/n целое число. Делители 36 это 1,2,3,4,6,9,12,18,36. С учётом n>2 Ответ: 7. Задача 2. У куба 9 осей симметрии. 3 через центры граней, 6 через центры противолежащих рёбер. Плоскостей симметрии 9. 3 через середины рёбер, 6 через противоположные рёбра. Задача 3. Формула верна для многих вогнутых многогранников, но Ленте Мёбиуса можно придать толщину, построить многогранник на её поверхности тогда В-Р+Г=0 не 2, формула не выполняется. Точно также можно поступить с бутылкой Клейна. Формула В-Р+Г=2 выполняется только для выпуклых многогранников.
С новым годом!!!
Спасибо! С наступающим!
Прикольный коллаб с Трушиным, побольше бы в будущем таких! Успехов и счастья в новом году!)
Как говорится, одна история офигительней другой
Линейная скорость точки на краю равномерно вращающегося диска в 2 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 30 см ближе к оси диска. Найти радиус диска. Ответ приведите в сантиметрах. Народ, кто шарит помогите решить задачу. Пожалуйста.
Интересная отсылка на Рыбникова, когда вы сказали "Ни в коем случае не четвертушка" (Если я правильно понял этот рофл)
Лайк за видос и четвертушку) Кто не понял шутку про четвертушку, смотрите интервью с Рыбочкиным(на Ютубе есть)
вау, просто вау
пока это лучший подарок на нг
На wild mathing подписан уже больше года, канал Трушина открыл для себя недавно, и это видео пришлось как нельзя кстати
Придется посмотреть еще раз, потому что половину первого просмотра не мог отойти крутости этого коллаба)
Следующий коллаб будет с Рыбниковым)
О дааа вот это та самая коллаборация котую я ждал
подумал что попал на канал Трушина
Трушин понятно. Остальное нет. Голос и манера на любителя.
Подобные видео занижают мою самооценку
вот это коллаб или кроссовер уже не знаю что сказать
просто слов нет....
АААААА два лучших ютуб математиков вместе. кайф
Ещё надо добавить Валерия Волкова
Самый топ каллаб на ютубе.
Ответ на задачу 7)
Решение сумма градусных мер правильного n-угольника - (n-2)*180, где n это кол-во вершин.
Тогда для n удовлетворяющее условию задачи справедливо следующее,
(n-2)*180/n=10*k а это равносильно,
n(18-k)=2^2*3^2
и у этого диофантова уравнения есть два следствия, угол такого n-угольника не может быть больше 170, что было очевидно)
и условию задачи удовлетворяют только n=3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (2 не подходит так как многоугольник по определению имеет хотя бы 3 вершины), в силу ограниченности делителей числа 36))
чтд
Я сделал по другому:
(n-2)*180/n переобразовываем в
180-360/n, и делаем выводы:
Чтоб число делилось на 10, то нужно, чтоб 360/n делилось на 10
ну и т.к. 360 имеет в себе 10, то просто его откладываем:
10*36/n
36/n должно быть натуральным целым, при том n>2, то
Нам подходят все делители числа 36, кроме 2)
Жаль, что пудовичокгранника нет
В задачке №2 и тех и тех по 9, но доказательство не могу пока осилить, надо наверное рассматривать всякие вращения и т. д., это для крутых.
Задачка №3:
По условию многогранник сделан из эластичного материала. Поэтому берем эти "впуклости" и вытаскиваем наружу. Получаются "выпуклости".
Про оси симметрии и плоскости симметрии - верный ответ! Строгое доказательство, почему нет других, и не планировал увидеть на RUclips: если про себя зритель может доказать, почему те упомянутые 9 являются осью (плоскостью) симметрии, то это уже замечательно!
А вот про условие выпуклости: оно оказывается очень важным! И для невыпуклых многогранников можно придумать контрпримеры, когда В-Р+Г≠2.
Кажется, вы единственный, кто решился побороться со всеми предложенными вопросами/задачами и порассуждать в комментариях! Очень ценю: вы хорошо справились!
@@WildMathing , я думаю сейчас нормальные люди Новый Год отпразднуют и тоже подключатся)
Да, точно, многогранник же может быть с отверстием (как тор), тогда эту "впуклость" уже не вытащишь. Просто если отверстий нет (вроде это свойство гомеоморфностью называется), по первым прикидкам формула должна работать (правда, надо еще рассмотреть случаи, когда мы "вытаскиваем" (ну или симметрично отражаем наружу относительно такой-то "хорошей" плоскости) эту "ямку", а какие-то грани и ребра сливаются воедино - можно все равно провести линии ребер, и соотношение количества В+Р и Г не изменится).
вот они, слева направо ...
Лучший подарок на Новый год для любителя математики♥♥♥
Спасибо большое♥
Увидел Трушина на превью, потом долго искал ролик на его канале, уже испугался, что удалили. Спасибо за отличную совместную работу!
Доказательство леммки №1 (кривоватое, но как умею):
Пусть может сходиться более 5 ребер. Тогда при параллельном проецировании этой части многогранника на плоскость, перпендикулярную к оси симметрии, проходящей через вершину, эта плоскость будет разбита на 6 и более углов (равных, т. к. у правильных многоугольников все углы равны). Значит, многогранник состоит из правильных треугольников, и случаи с 7-ю и более сходящимися ребрами уже невозможны. Если же ребер 6, образуется правильная шестиугольная пирамида, у которой углы (недвугранные) при вершине меньше 60 градусов (т. к. стороны треугольников при основании меньше двух других сторон - проекция меньше наклонной), получили противоречие.
Спасибо и вам, что не забыли, нашли, посмотрели!
Рассуждения верные, супер!
Это просто гениально! Как же классно,что вы объединились для создания ролика. Ждем новых видео!)
Всмысле не четверушка!?
Какую книжку по теории графов посоветуете почитать?
Николай Барзей
Оре
3:58 Звучит философски
Замечательный подарок от Бориса. Спасибо. С наступающим!
Кто сдает матем профиль
Лайк
Лучший фит!
Поигрался я с формулой 180*(n-2)... Это сумма углов. Углы равны, то есть 1 угол получится делением этого выражения на n
Всего может быть 7 многоугольников (3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36 углов соответственно), но я решил пойти против правил: 180*(n-2)=an, где a - угол n-угольника. После преобразований получил формулу получения числа сторон правильного многоугольника при заданной величине угла: n=360/(180-a), эта формула даёт корректный результат при реальных углах многоугольников, но выдаёт нечто особенное при «неожиданных» углах: например, 2.117647...-угольник (наверное мнимый многоугольник, я хз, как его называть) имеет угол ровно в 10°, если судить только по алгебраическим выражениям...
Жду мнения профессионала)
Всех с наступающим!)
Не хочу просыпаться!
Мне после этого видео приснилось то как теория Графов связанна с химическими структурами и их композициями.
Приснилось буквально использование высшей математики с декомпозициями и различными методами анализа через замену "неизвестных элементов" на иксы, и будущее определение их по валентности, вроде и очевидно, но вроде и я многое упускаю тем что не помню из сна формул того как это происходит.
Пиздец.
Очень классное видео! Насчёт первой задачки: сумма углов в правильном n-угольнике pi*(n-2), если измерять углы в градусах, то каждый угол равен 180*(n-2)/n нужно найти такие n что это выражение кратно 10, т.е. 180*(n-2)/n =10k, kєN, немного преобразовав получим 18-36/n = k нужно решить в целых числах, для этого рассмотрим делители 36 1,2,3,4,6,9,12,18,36. 1 и 2 нас неинтересны, а вот остальные и задают искомые n-угольники.
Все верно, отличное решение!
офигеееееееть! круто. круче под нг и не может быть подарочка: коллаб 2 любимых математиков)
Спасибо
Вам спасибо!
Под выражением "Пересчитать все ребра связанному графу" я подразумевал нечто иное.
15:35
тетраэдры какието... муть. Нужно проще: d4, d6, d8, d12, d20
Прошло почти 3 года с момента выхода видео, но всё же напишу.
3) Предсавим куб и надавим на центр грани так, что бы точка оказалась ближе к центру куба. Тоже самое с противоположной гранью, пока вешины тетраэдров не соеденятья в одну. Вершин стало девять (+1); ребер стало двадцать (+8), и граней двенадцать (+6). Выходит: В-Р+Г+1-8+6=2-1=1. Не сработала формула. Но если "продавить" только одну грань изначального куба, то всё сойдется.
Ответ: Формула Эйлера-Трушина не подходит для всех невыпуклых многоугольников.
P. S.
- Надеюсь решение верное. Буду пробовать найти общее решение.
- Насколько я понимаю, для фигуры из доказательства при центральной проекции появиться одна лишняя точка и на неё понадобиться два ребра (я плохо знаю геометрию, так что это предложение может оказаться бессмыслецой).
- В интернете нашёл проекцию гиперкуба (куб внутри другого куба) для него формула Э-Т равна нулю.
Если я не ошибся, то всего 7 правильных многоугольников, у которых углы кратны 10. Это 3,4,6,9,12,18 и 36-угольники
Все верно, молодчина!
16:19 плоскостей 9, 13 осей симметрии ( кубическая сингония из кристаллографии)
Спасибо, что принял вызов!
Плоскостей 9, но осей все-таки меньше: тоже 9. Если не разберешься, а желание будет - дай знать!
@@WildMathing почему 9? Их 13: 3 осей 4 порядка, 4 осей 3 порядка, 6 осей 2 порядка опять таки из кристаллографии
Ааааа, видос по моей просьбе. Ура!!!
Ваув ,а мне нравится эта каллобпоация
Новогоднее настроение: возвращение))) Лучший подарок, спасибо!!!
Спасибо и вам!
и тут выходит что мы плоские??? та пипец... одно совпадение ладно) два , ну допустим. 3 куда нишло))) но когда забыл какое уже это совпадение то точно плоские))) но как???
Поздравляю с почти наступившим!
Спасибо, что подсказали такого хорошего лектора.
Спасибо! С праздником и вас!
Рад, что изложение Бориса Трушина пришлось по душе: у него много интересного материала на канале!
Ура!! Коллеги, спасибо за ролик! Красиво!
Всех с наступающим Новым математическим годом!! 🌲🥳🎲
Спасибо!
С праздником!
Ребята, вы просто выкидываете утверждения и никак их не обосновываете. Это несерьёзно
Вы хорошо понимаете, чем отличается учебная лекция от научно-популярной? В ролике уйма доказательств и нет неверных утверждений. Если же заметили ошибку, укажите тайм-код
@@WildMathing Да, понимаю, и это именно научно-популярная лекция. Доказательств там не уйма и они крайне нестрогие.
@@pinkalien-bi2cd, если понимаете, то откуда исходная претензия? Откуда упрек в несерьезности? Для научно-популярного ролика доказательств здесь достаточно. Семь минут идет фрагмент с доказательством классического факта от БВ. Вы на школьном уровне встречали более строгое и при этом столь же простое и ясное рассуждение?
Вот так подарок под новый год!
почему на двойственном дереве не работает формула Эйлера?
Эх, как поставить 10 лайков..
Ты это уже сделал, написав аж два комментария, за что большое спасибо! С наступающим!
Насчёт первой задачи из конца ролика. Там надо решить линейное диофантово уравнение. Из известной формулы n-угольника получаем 180(n-2)/n=10k, где k это какой-то коэффициент и n, k целые числа. Немного преобразуем, 18-36/n=k, отсюда, чтобы получить целое k, необходимо в n положить любой из делителей числа 36. Для этого разложим его на простые множители: 36=2*2*3*3, и соберем все комбинации этих множителей. 1,2,3,4,6,9,12,18,36. Но 1 и 2 не берем, так как нам нужны многоугольники, и по итогу получаем 7 многоугольников
Спасибо вам большое за качественные ролики, именно в таком виде надо подавать математику, чтобы большее число людей ей заинтересовалось!
Верное решение, супер!
Спасибо и тебе!
Великолепно!)
Не, ну я, конечно, всё понимаю, но не всё
Как же классно!!!
Рад, что понравилось!
Спасибо огромное! Это однозначно лайк!
Спасибо и вам!
Поздравлю вы в эфире, Плотность Эфира
2 задача:там будет 9 осей и 9 плоскостей?
С НОВЫМ ГОДОМ!!!
Где ваши девайсы на Каронии или вообще на Ньтонии
Решение загадки 1.
Пусть угол правильного n-угольника равен a, тогда a=180(n-2)/n. Пусть b=10a, тогда b=18(n-2)/n=(18n-36)/n=18-36/n. n - это натуральное число, n>2, поэтому n=36, 18, 12, 9, 6, 4, 3.
Ответ: 7.
Можно еще узнать, на какой возраст эта задача рассчитана? Я в 9 классе.
Совершенно верно! Задача подойдет 8-11 классов и всех, кому она интересна в принципе. В любом случае ты молодчина!
Прямо с утра вы начнёте пить литий
Гениально!
Урааааааааа
Ответ к первой задаче:7
Да, точно!
когда коллаб с Лоу майнером?
Очень эпичное видео!
Все для вас!