Формула Эйлера: объяснение | Самая красивая формула математики - Алексей Савватеев | Лекции
HTML-код
- Опубликовано: 2 авг 2023
- Почему формула Эйлера - «самая красивая» формула математики? Что такое тождество Эйлера, какими различными вариантами его можно представить и почему оно считается одной из самых красивых формул в математике? Как его вывести, как изобразить геометрически и как всё это можно понять наиболее наглядным образом, так сказать, «на пальцах и фломастерах»? 😉
Об этом в неподражаемой манере рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Канал Алексея Савватеева «Маткульт-привет!»:
/ Маткультпривет
Плейлист «Алексей Савватеев»:
• Алексей Савватеев (Лек...
Плейлист «Лекции по математике»:
• Лекции по математике
#НаукаPRO #Савватеев #АлексейСавватеев
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии #МЫВМЕСТЕ. 
Наука
Плейлист «Алексей Савватеев»:
ruclips.net/p/PL_8xXS9VcXHzuiCXZLcAUiSmcsvm3FSgv
Плейлист «Лекции по математике»:
ruclips.net/p/PL_8xXS9VcXHxyIF4hcIux1FS6FCihfbYg
Какой позитивный человек 😀
Ничего не понятно, но оочень интересно😂
Плохо, что не понятно. Повторите начала матана в таком случае - станет понятно.
Поражаюсь таким зябликам. Радуются что извилин совсем нет. Извилины это как мышцы, чтоб они были их качать надо
Уже соскучился по этим щелчкам фломастера и колпачка.
Примечание: на моменте технической леммы 1 можно w_n превратить в (w_n / n) и там в знаменателе оставить одно n . Тогда предел можно переделать в e^(w_n / n), очевидно, что показатель стремиться к нулю и не будет проблем подставить 0 вместо бесконечно-малого, а хотя, можно и вообще заменить по эквивалентности
e^(w_n / n)=1+(w_n / n).
Отличный ролик! Большое спасибо!
Чет странно) Если мы знаем разложение экспоненты в ряд Тейлора, то можно ровно также разложить sin(x) и cos(x) в ряды Тейлора. Тогда мы можем просто прямо подставить в разложение экспоненты iphi и выделить из ряда слагаемые для косинуса и синуса.
Поддерживаю. По-моему, вывод через ряд Маклорена наиболее понятен. Там, в принципе, можно вообще комплексных чисел не знать. Достаточно лишь того факта, что i·i = -1.
точно. Более того, я читал, что исторически Эйлер так и сделал в 1740 году, как вы сказали
протрезвел....
если без шуток, то очень крутой лектор и очень обидно,что так мало лайков под видео.
Великолепный материал!🔥Удивительно внятно объяснено.
Это шутка такая? Это может быть понятно тем, кто и без Савватеева хорошо знает эту тему, для остальных - какие-то странные кривляния какого-то мутного типа.
@@user-ox9fg3ld1x , почему же? Савватеев отлично излагает. Кто заканчивал школу в математическом классе и в вузе матанализ проходил хоть немного, тот сможет подтвердить четкость мысли лектора.
@@timura.sostin3449 , вы сильно заблуждаетесь. Невооруженным глазом видно, что "четкость мысли" у Савватеева отсутствует напрочь. Это видно и по его каракулям, и по манере доказывания. Это не преподаватель, это пародия на преподавателя.
Представил ситуацию. После кораблекрушения, волны выбрасывают меня на живописный остров. И там меня встречает худощавый человек с бородкой - по виду местный абориген. Мы здороваемся, и он начинает объяснять мне формулу Эйлера. Я падаю в обморок...
P.S. На комплексной плоскости нужно указывать оси действительных и мнимых чисел, чтобы всем было понятна тригонометрическая форма комплексного числа.
Я всю жизнь пользовался самой "красивой формулой математики" при умножении и делении комплексных чисел, и только сейчас увидел ( не не понял) откуда там ноги растут.))
Не забывайте про периодичность, как дополнение к лекции
Вижу не собранный мегаминкс на полке. Собрать незамедлительно, профессор)
Только что посмотрел фильм "Гений математики" - видимо ролик под него)
Рекомендую Вам посмотреть,, Деконструкцию " с Савватеевым.
👍🚩🎅👽😺
@@frankbit3598 Смотрим, знаем)
18:42. Как я понял, Вы используете свойство о сложении аргументов ( и произведении модулей), которая (в учебнике) доказывается через т.н. "тригонометрическую запись числа", через геометрические построения и неявного определения косинуса и синуса. Но можно синус и косинус определить так же как и экспоненту: сразу через ряды, и (возможно) останется только работа с рядами (а вернее с их частями, четными и нечетными степенями). И, кстати, определение экспоненты через ряд верно не только для для х принадлежащем ℂ, но и для матриц (квадратных конечно), Например для кососимметричной матрицы J = (0, 1..., - 1, 0), которая соответствует мнимой единице,и из произведения матриц заданных в базисе E (единичной) и J, наверное тоже можно вывести свойство о сложении аргументов. (wiki-- Imaginary_unit ---Matrices)
Омайгат. Это выше или ниже моего понимания? 😂
@@istremklipso Сбоку. В данном случае представлять мнимую единицу через матрицы и определением косинуса через ряды на мой вкус проще ( так же как представлять произведение сложных объектов через простые матрицы и получать тригонометричкие формулы, как и гиперболические) . Но начинать нужно с конечных автоматов, треугольника Паскаля и как с ним (и заодно с биномом) разобрался Ньютон.
Например в ролике "Как считали число пи? [Veritasium]"
а разве это не проще доказывается, е^z разложили в ряд и расскрыли скобки, там ряд получается равный sinz и cosz и все
А вы не знаете как проще всего (и только алгебраически) можно доказать, что ряд равный sin z (через этот ряд функцию синус можно определять, а не выводить ряд из других в том числе геометрических определений или соображений) равен именно нулю при значении Pi?
Для этого нужно доказать, что функции exp{z}, sin(z) и cos(z) - аналитические.
@@user-bf3ko7ts5e так очевидно, что так, условие коши римана работает, это вообще целая функция
Слегка видоизменил доказательство, используя свойство (cosx/n+isinx/n)^n=cosx+isinx. Дело в том, что это очень похоже при n стремящемся к бесконечности на (1+ix/n)^n, что и есть экспонента (использовал cosx/n = 1 + о(x/n) и sinx/n = x/n + o(x/n) при n стремящемся к бесконечности). Вот ссылка на полное видео: ruclips.net/video/rTfbjTWbc4U/видео.html. 5 минут и более простой язык в сравнении с комментарием)
Надеюсь для кого-то этот факт станет проще.
Почему мы решили что разложение экспоненты в ряд справедлив и для поля комплексных чисел? Какой в этом смысл?
Скажу, как школьник с задней парты: "Плохо видно! Доску отсвечивает!".
Есть такая функция, как масштабирование видео!
- и всё прекрасно видно
У меня на мониторе компа все формулы видны. Наверное еще и потом, что в настройках ютуба в данном видео установлено качество "1080 HD" (автонастройка, которая зависит от устройства, например монитор или телефон, и от скорости интернета)
Интерестно, можно ли показать, что формула предела для числа e не зависит от переменной предела? То есть может быть даже функция, но главное, что б возрастающая в бесконечность с ростом переменной предела. То есть замутить как (1 + 1/f(n) )^f(n) .
Весьма 🧐, а мне интересно, можно ли показать, что формула пердела
Можно, если функция монотонна. wiki второй замечательный предел (причем если функция даже убывает и уходит в минус бесконечность, то пределе тоже получится e (приближаясь к этому числу сверху))
@@goodok3, спасибо)
Пора уже кватан учить. Кватернионы.
Супер! Все логично и понятно
я может тупой, но что такое i? откуда оно взялось, почему при доказательстве пропало и нарисовалось только в конце?
Это мнимая единица, корень из i равен -1
@@astronom84i в квадрате равно - 1
@@alikgamalitdinov9842 да, вы правы 😌
Ура, ура, опять моя любимая математика.
ничего не понятно, но очень интересно
Можно ещё через разложение в ряд Тэйлора доказать. Разложим синус, косинус и экспоненту. И окажется, что последняя - сумма второй и первой, домноженной на i.
Да, в книгах по ЦОС обычно так и доказывают/показывают эту формулу.
Её можно получить иначе, и даже в полнорй форме exp(ix)=cos(x)+isin(x) через предположение, что "мультипликативные" свойства синуса
( sin(x+y)=sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x) ),
и показательной функции
(a^(xy)=(a^x)(a^y) ) могут быть связаны, значит выражение
C^x = Asin(x)+Bcos(x) может быть верно для некоторых А, В и С. Однако, что бы C=e^i надо возится немного больше.
Посмотрел 10 минут. Потом Изя всё.
Я думал что главная формула всей математики это что сумма всех натуральных чисел равна -1/12.
А я ,грешным делом , что это теорема Абеля-Галуа.)))
если уж считает АС справедливым разложение в ряд экспоненты, то синус и косинус разлагаются...тогда формула Эйлера и её следствие - тождество Эйлера моментально получаются...
"Если бы Остап знал,какую мудреную партию он играет ... " 😂
Формула красивая, но может ввести в заблуждение: в ней нет числа π, а есть угол в радианах. Поэтому говорить здесь о связи пяти констант математики - большая натяжка.
Хотя да, есть здесь пятая константа - число 180.😊
Человек который все понял откликнись!
кто это понимает, не будет смотреть ролик)
С. Колдовал целый вечер и вызвал Эйлера.
я пробывал понять
Отлично, только как это применить для проверки правильности банковских кредитов, чтобы выиграть суд у банка, доказав завышенный процент? Теория без практики ничего не стоит.
легко и просто
@@TurboGamasek228
Приведите лёгкий и простой пример. )
А можно сказать ,что эпсилон- нуль стремится к нулю?
Иногда мне кажется, что Савватеев пытается вызвать Ктулху... И однажды это у него получится...
Это не просто связывает все константы, а говорит что в целом они равны нулю! То есть вся математика, построенная на e, i, π и числах составленных из единиц "1", по сути взята из ничего, высосана из пальца. 😅
Не видно ничего
Шо это было...?
Ну вообще-то эта штука у математиков называется ТОЖДЕСТВО Эйлера, а не формула. Даже как-то неудобно.
Вот интересно кому он это все обьясняет? Такое впечатление что он просто хвастается 😂😂😂😂😂😂
не хвалитесь невежеством, учите математику!
@@user-rb8ux1no6j не знание математики это не грех
мне даже страшно смотреть - всегда Савватеев еще больше запутывал вопрос, после него в голове каша. А ведь есть чуваки, которые ясно объясняют удивительно сложную математику
Лектор похож на персонажа из людей в черном, которому все время отстреливали голову. А потом он восстанавливал память герою на самодельной установке.
Точно, это формулы для восстановления памяти.
опять сфаи икьри подкафёрный
Кого же это мне тут ютюб подсовывает?! Это ж тот мелкий недоимперец! Где там те довоенные интервью, на которых он так рьяно за собирательство земель русских агитировал? А послушать его про математику, так влюбиться можно, и в него и в математику. Так прискорбно, что такими могут быть люди науки.
Вот интересно, математика - это фарисейство или христианство?
Мда..Проблемка..Извините,но когда пишите важную формулу ,пишите её в середине доски, чтобы люди видели все части формулы..Какой смысл читать публичные лекции так ..почти невнятно.Писать формулы мелко или коряво..
Фрик и рашисто-нацист в одном !