ITA 2022 - Questão 2 - Discursiva de Matemática
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- Опубликовано: 23 ноя 2024
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Parabéns pela série de vídeos que está postando!
Resolvi utilizando a forma polar de Z e ficou bem interessante, sem julgar se ficou mais ou menos trabalhoso.
Comecei com
Z = r*cos(t) + i*r*sen(t), logo
Z^2 = r^2*cos(2t) + i*r^2*sen(2t) e
Z^3 = r^3*cos(3t) + i*r^3*sen(3t).
Como Im(Z^3)=0, segue que r^3*sen(3t) = 0 => r não pode ser nulo e t = k*pi/3.
Deduz-se até aqui que, na primeira volta, t = {0; pi/3; 2*pi/3; pi; 4*pi/3; 5*pi/3}.
No entanto, como Z deve ser complexo, fica-se com t = {pi/3; 2*pi/3; 4*pi/3; 5*pi/3} como opções até o momento.
Segue que (Z + 1)^3 = Z^3 + 3Z^2 + 3Z + 1 => Im[(Z+1)^3] = r^3*sen(3t) + 3r^2*sen(2t) + 3r*sen(t) = 0.
Como r^3*sen(3t) = 0 então sobra 3r^2*sen(2t) + 3r*sen(t) = 0 => 3r*[r*sen(2t) + sen(t)] = 0.
r*sen(2t) + sen(t) = 0;
r*2sen(t)cos(t) + sen(t) = 0;
sen(t)*[2r*cos(t) + 1] = 0.
Como sen(t)0, logo r = -1/[2cos(t)]. Tendo como premissa que r > 0, cos(t) < 0 é necessário, restando apenas t = {2*pi/3; 4*pi/3}.
Como cos(2*pi/3) = cos(4*pi/3) = -1/2 tem-se r = 1.
Portanto Z = cos(2*pi/3) + i*sen(2*pi/3) e Z = cos(4*pi/3) + i*sen(4*pi/3) são as soluções desejadas, na forma polar.
A questão não especificava o formato final para Z. Então creio que essa resposta seria suficiente para atender ao comando.
Caso se desejasse, como os arcos são notáveis, as soluções na forma retangular Z = -1/2 + i*sqrt(3)/2 e Z = -1/2 - i*sqrt(3)/2 seriam facilmente encontradas!!!
Solução perfeita!
@@ITA-Matematica-Videoaula-gu8wu Obrigado, professor! Foi um prazer colaborar!
Corrigi algumas imperfeições na edição, que vi agora, mas a resolução permanece a mesma.