@@UnKnOwN-FMS les limites c'est enseigné en 1ère spé maths, lim x->0 pour les dérivées et lim x->+inf pour voir si la fonction diverge ou converge en +inf ex : 1/x quand x tend vers +inf, cette fonction converge en +inf et converge OU encore ex : x² quand x tend vers -inf, cette fonction diverge en +inf (j'ai pris des fonctions que tu connais en seonde pour que tu cernes un peu) essaie de faire le jeu toi même et regarde si une fonction que tu connais converge vers une valeur ou diverge vers +inf ou -inf
Explication à la fois claire, précise et technique !!! Vous auriez fait un super prof dans mes années lycée. Vous donnez vraiment envie de comprendre les maths 👍👍👍
@@Faxbable Non, c'est simplement le taux d'accroissement. La règle de l'Hôpital provient du développement limité stipulant : f(x+epsilon) # f(x) + epsilon*f'(x) Hors, dans le cas d'une forme indéterminé 0/0, on a donc que f(x) = 0 avec x qui tend vers la valeur désirée. On peut donc simplifier et obtenir à la fin la règle de l'Hôpital.
Vraiment passionnants cet exercice et vos explications qui vont avec, j'aime beaucoup. J'avais déjà commencé à suivre votre piste et je n'arrivais pas jusqu'au bout. Une chose intéressante que je voulais relever, la limite de e^x - 1/x est ultra importante pour démontrer la dérivée de exp(x). En effet : exp'(x) = exp(x+h) - exp(x)/h = exp(x) exp(h) - exp(x)/h = exp(x) (exp(h) - 1)/h = exp(x) * 1 lorsque h -> 0 On pourrait même aller plus loin et reconnaître ln(x) = x^h - 1/h lorsque h -> 0, on le voit à l'aide de la dérivée de a^x de dérivée ln(a) a^x. Mais sinon c'est la même chose avec sin(x)/x, on le retrouve lors de la dérivée de sin(x), et j'imagine l'équivalent avec cos(x) - 1/x avec cos(x) il me semble. C'était un point que je trouvais intéressant à soulever, mais du coup il faudrait faire attention à ne pas tomber dans un raisonnement circulaire et bien choisir s'il faudrait expliquer la limite par la dérivée ou la dérivée par la limite (et il me semble que c'est la deuxième option que l'on choisit plutôt). Quoi qu'il en soit, je comprends à présent l'idée de sin(theta) ≈ theta lorsque l'angle est faible en physique en plus de l'explication du développement limité.
@@arnobozo9722 C'est vrai d'une part que je vois tout le temps cette définition, avec la précision que exp(1) = e dans mes cours de maths. Mais comment on justifie que c'est e^x avec e un nombre tellement réel et comment on le trouve ? Personnellement c'est cette partie que je comprends pas. Par contre, si on part de la définition que e est la nombre tel que e^x - 1/x tend vers 1, contrairement à n'importe quelle autre base, bah tout va bien je trouve. Donc je sais vraiment pas lequel de nous deux a raison, peut-être on a tous les deux des points de vues différents valides, mais j'aimerais bien avoir des explications sur les déductions de cette définition que tu donnes.
@@darkkevindu6982 Y'a juste que lim en 0 de (f(x) - 1) / x = 1 , cela ne fait pas une définition, personne n'a rien à cirer d'une telle valeur. Il y avait 2 possibilités pour introduire la fnction, soit la propriété f'(x) = f(x) soit la propriété f(x+y) = f(x) * f(y) qui correspond à la définition de ln par : f(xy) = f(x) + f(y) Je ne me rappelle pas ce que j'ai rencontré en terminale / prépa. Dans mon formulaire je vois qu'ils proposent f(x+y) = f(x) * f(y), avec une base a, et pour fixer la base a à e, ils posent f'(0) = 1 La propriété exp'(x) = exp(x) sera ensuite à démontrer.
@@arnobozo9722 Attention. La "vraie" définition de exp(x) est que c'est la réciproque de ln(x). Le fait que exp'(x) = exp(x) est une propriété de cette fonction, et non sa définition. Si je ne me trompe pas, la fonction exponentielle est vue en première et le logarithme après, en terminale. Selon moi, c'est présenter les choses à l'envers puisque exp(x) et donc le nombre e découlent du logarithme népérien. En présentant les choses dans cet ordre : - le nombre e sort littéralement du chapeau (comment l'expliquer sans avoir vu le logarithme ?) - on ne peut comprendre ce que sont intrinsèquement le logarithme et l'exponentielle. D'où la confusion que vous faites - à votre corps défendant.
Bien expliqué. On y arrivait aussi en faisant apparaître la dérivée de : exp(x lna)en 0 , puis celle de exp(x ln b ) en 0, puis on soustrayait . [exp (x lna)]' - [exp (x lnb)]'en 0 Ce qui donne bien : ln a - ln b.
C'est vraiment bien fait merci. Toutefois, je n'ai jamais étudié ces formules de limites (que je vais apprendre par coeur). Il faut dire que le temps presse en Terminale et on a pas forcément le temps en classe d'étudier toutes ces limites, je trouve ça dommage...
@@azwawaftis2365 nooon c'est pas l'hopital si tu remarque bien lim x tend vers 0 c'est a^x-b^x tout sur x bah enfaite si tu remarque bien c'est la lim x tends vers 0 de f(x)-f(0)/x-0 la notion de derive en premiere et la solution de cette limite en premiere si tu te rappel bien c'est f'(0) { ah oui ! f(x) c'est a^x-b^x donc f(0)=0 } ce n'est pas l'hopital vu que je n'ai pas dérive le x
Je ne suis qu'en première et je me demandais, en terme de rédaction, s'il faut faire une démonstration pour appliquer la limite (exp^x-1)/x ou si c'est "reconnu" et donc on a le droit de l'appliquer direct
La manière la plus simple est sans doute l'expansion en série de Taylor (par contre, pas trop sûr s'ils voient ça au lycée), puisque c^x ~ 1-ln(c)x, qui donne immédiatement le résultat désiré.
Mais sinon quand on fait apparaître le (-1 -+1) on peut remarquer que c'est -(a^0-b^0). Au numérateur on a : a^x - b^x - (a^0-b^0). Au dénominateur on a x-0. On est donc de le forme lim f(x)-f(0)/(x-0) avec f(x) = a^x-b^x. C'est la définition de la dérivée de f(x) en 0 (comme on la voit lorsque l'on introduit la notion de dérivée au lycée). Et le calcul de la dérivée de f nous donne directement : f'(x) = ln(a)*a^x - lb(b)*b^x puis f'(0) = ln(a) - ln(b).
Bonjour, sans vouloir être grincheux, cette limite peut être résolue en 3 lignes à l'aide du théorème de l'hôpital (enseigné en terminale). À noter qu'il faut être curieux et connaitre la dérivée de a^x.
Puisque x--->0 alors a^x et b^x sont définis pour a>0 et b>0 donc: a^x-b^x= e^(xlna)-e^(xlnb) par définition = e(xlnb)[ e^(xln(a/b)-1] Posons r=ln(a/b), on obtient : (a^x-b^x)/x= e^(xlnb)[(e^(rx) -1)/(rx)]*r d'où : Lim(a^x-b^x)/x= 1 * 1*r= ln(a/b)
j'aurais posé f(x) = a^x - b^x et donc f(0) = 1 - 1 = 0; par conséquent la limite équivaut à lim x->0 [ (f(x) - f(0)) / (x - 0) ], on remarque que c'est donc un taux d'accroissement, donc on utilise la règle de l'Hospitale : f'(x) / g'(x) donc les dérivés de a^x et b^x sont : a^x * ln(a) et b^x * ln(b), le tout sur la dérivée de x donc 1: ce qui donne lorsque x tend vers 0 => 1*ln(a) - 1*ln(b), on utilise la loi des logarithmes et on retrouve donc ln(a/b). Je trouve ça plus évident personnellement
Note à l'attention des lycéens (et prépas) : il est hors de question de connaitre la lim en 0 de (exp(x) -1) / x Alors que on doit connaitre les autres sur exp. (j'y reviens à la fin) L'exercice est bien pour les 1res si on leur donne les 4 lim sur exp (ce qui évite de pointer trop fortement sur la lim (exp x -1)/x, alors que personne ne la connait). L'exercice permet de faire les manip intéressantes de la vidéo pour retomber sur une lim connue. Pourquoi on ne mémorise pas tout et n'importe quoi comme limite ? He bien pour se libérer l'esprit de trucs à la noix, parce que il y a quand même pas mal de choses à connaître, plus ou moins par coeur. Par exemple plein de développements limités / formules de Taylor (il y en a ~10 à pouvoir ressortir rapidement). Pour ne pas confondre les formules, on utilise la 1re dérivée et on compare les formules. exp x = 1 + x + x²/2! + O(x³) cela donne immédiatement la lim de (exp x - 1) / x , il faudrait être fou de mémoriser cette limite. Je connais par coeur la lim de sin(x)/x parce que c'est une fonction trigo et je la vois tout le temps, mais sinon on a l'obligation de connaître une partie de sa Taylor qui donne de suite la lim : sin(x) = x - x³/3! + O(x⁵) Le 1er terme est toujours vite recalculable avec la 1re dérivée, la suite pourrait être retrouvée en comparant avec la Taylor de exp. Si on hésite sur la formule de Taylor de ln(1+x), il faut se rappeler que la Taylor la plus simple de toutes est 1/(1-x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + ... On retrouve ln(1+x) en remplaçant x par -x et en intégrant. Ceci dit, pour avoir la lim de ln(1+x)/x, je peux me contenter du terme donné par la 1re dérivée. Note : quand je dis "on retrouve", je veux plutôt dire "on retrouve dans sa mémoire" avant d'avoir réellement fait le calcul. (Sauf si on n'a pas utilisé la formule depuis 10 ans). Il faut savoir économiser sa mémoire, et sélectionner des formules qui, elles, sont obligatoires. En prépa, il faut connaître ~ 12 formules de Taylor. Il faut en connaître par coeur un certain nombre. Et pour ne pas les mélanger, on les compare et on sait quelle opération permettrait de passer de l'une à l'autre. C'est pareil pour la trigo, il y a plus de 12 formules à savoir ressortir rapidement ; je les connaissais par coeur en terminales, mais je n'avais aucune chance de les retenir à long terme et surtout aucune chance d'éviter une coquille. En fait il n'y a que 2 formules à connaître par coeur : cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb et sin(a+b) = sina cosb + sinb cosa Pour toutes les autres, il FAUT SAVOIR qu'elles existent et on peut les retrouver à partir de ces 2 formules. On change b en -b, ou on change b en a, ou on combine pour inverser les formules. Par contre il faut "savoir par coeur" comment on retrouve les formules, sinon cela va trop lentement ou on risque la faute d'étourderie.
Hello ! Merci du message. Les lycéens n’ont pas accès a Taylor malheureusement. Par contre ils peuvent en effet retrouver la formule en pensant au nombre dérivé. Deux remarques rapides sur les formules de Taylor car il y avait de petites erreurs d’étourderie sur les coeffs de exp et sin : exp(x)=1+x+x^2/2!+o(x^2) Et sin(x)=x-x^3/3!+o(x^3) Bien à vous !
@@TheMathsTailor Ouaaw ! J'en reviens pas d'avoir laissé ces fautes d'étourderies ! Heureusement que t'étais là ! Cela pique les yeux. Et pourtant j'ai relu pour enlever les fautes d'orthographe. PS : j'ai corrigé le post.
@@dav3141 en fait, l'énoncé n'est pas 'obligé' de le préciser . En effet, ici x--->0 ===> a^x n'est définie que si a>0 , de même pour b^x. C'est une difficulté supplémentaire qu'on peut introduire, notamment en prépa.
Ou alors on étudie dans un pays qui a un vrai programme de maths et on apprend l'Hospital au lycée : lim (a^x - b^x)/x = lim (a^x - b^x)' / x' = lim (ln(a)*a^x - ln(b)*b^x) / 1 = ln(a) - ln(b). On peut appliquer l'Hospital grâce au fait qu'on a une forme indéterminée 0/0 et après il suffit de savoir dériver a^x.
Cet exercice aurait pu être résolu en 2-3 lignes. On a une limite : lim x->0 a^x - b^x / x On remarque ici qu'on a une limite du type 0/0 lorsqu'on remplace 0 dans la fonction. On peut donc utiliser la Règle de l'Hôspital. Règle de l'Hôspital : Lorsqu'on a une limite : lim x->a f(x)/g(x) et qu'on est dans le cas où la limite est type 0/0 ou ∞/∞ lorsqu'on remplace a dans les deux fonctions alors cette peut devenir lim x->a f'(x)/g'(x) En revenant à l'exerice, on a donc lim x->0 a^x . ln a - b^x . ln b / 1 On a donc tout simplement 1 . ln a - 1 . ln b = ln a - ln b = ln a/b (par les propriétés des logarithmes) Attention : la Règle d'Hôspital est uniquement valable si on a une limite du type 0/0 ou ∞/∞ !
Pas utile, l'astuce de couper en deux avec le -1+1, et méthode bien plus simple : la limite est de la forme (f(x)-f(0))/(x-0) avec f(x) = a^x - b^x. Du coup, c'est une limite de taux d'accroissement qui tend vers f'(0). Or, f'(x) = ln(a)*a^x - ln(b)*b^x (on peut le faire en terminale en passant par la fonction exponentielle), d'où f'(0) = ln(a) - ln(b), ou encore ln(a/b). À noter également qu'il n'est pas nécessaire de supposer ab. Par contre, les deux doivent être strictement positifs pour une bonne définition des puissances x lorsque x n'est pas entier. On peut toutefois traiter des cas à part quand a=0 et/ou b=0... 😁
@@jamane4855 Bonjour, la dérivée de a^x est ln(a) x a^x .En dérivant le numérateur et dénominateur comme l'indique la règle de l'hospital, on obtient la fraction : ln(a) x a^x - ln(b) x b^x/1. Dans ces cas là, il suffit de calculer : lim x-->0 ( ln(a) x a^x - ln(b) x b^x/1) on obtient que ça donne : ln(a) x a^0 - ln(b) x b^0 / 1 = ln(a)-ln(b) = ln(a/b). On retrouve le même résultat que la vidéo
Pourquoi ne pas utiliser la règle de l’hôpital on obtiendrait du coup lim (a^x In a - b^x In b)/1 Iim a^x ln a - b^x ln b x=) 0 donc on a a^0 et b^0 égale 1 Ce qui nous donne Iim a^0 ln a - b^0 ln b Iim ln a - ln b Iim ln(a/b)
Qui est prêt.e à relever le défi ? Et résoudre cette limite avec seulement des maths de niveau lycée ?!
Niveau Après seconde ??
Car en seconde je n’est pas entendu parler de limite ??
@@UnKnOwN-FMS les limites c'est enseigné en 1ère spé maths, lim x->0 pour les dérivées et lim x->+inf pour voir si la fonction diverge ou converge en +inf
ex : 1/x quand x tend vers +inf, cette fonction converge en +inf et converge OU encore ex : x² quand x tend vers -inf, cette fonction diverge en +inf (j'ai pris des fonctions que tu connais en seonde pour que tu cernes un peu) essaie de faire le jeu toi même et regarde si une fonction que tu connais converge vers une valeur ou diverge vers +inf ou -inf
Explication à la fois claire, précise et technique !!! Vous auriez fait un super prof dans mes années lycée. Vous donnez vraiment envie de comprendre les maths 👍👍👍
Un grand merci !
Je suis au lycée actuellement, j'ai deux heures de maths dans une heure, toujours un plaisir de suivre vos vidéos !
Merci bien!
merci de surtout continuer à nous enseigner les maths à votre maniere.
il faut surtout pas changer votre pedagogie tellement facilitatrice...
Merci à vous!
En utilisant la définition de la dérivée :
On pose f(x) = a^x - b^x
On a f(0) = 0
et f'(x) = a^x ln(a) - b^x ln(b)
d'où f'(0) = ln(a) - ln(b) = ln(a/b)
donc lim x->0 (f(x) - f(0))/(x-0) = ln(a/b)
donc lim x->0 (a^x - b^x)/x = ln(a/b)
Oui excellent!
Super malin !
est-ce que ce ne serait pas la de règle de l'hôpital simplement démontrée dans ce cas particulier ;) ?
@@Faxbable Non, c'est simplement le taux d'accroissement.
La règle de l'Hôpital provient du développement limité stipulant :
f(x+epsilon) # f(x) + epsilon*f'(x)
Hors, dans le cas d'une forme indéterminé 0/0, on a donc que f(x) = 0 avec x qui tend vers la valeur désirée.
On peut donc simplifier et obtenir à la fin la règle de l'Hôpital.
Excusez moi mais je comprend pas comment on obtient cette expression de la dérivée, pk la derivée c pas : xa^(x-1) - xb^(x-1) ??
Vraiment passionnants cet exercice et vos explications qui vont avec, j'aime beaucoup. J'avais déjà commencé à suivre votre piste et je n'arrivais pas jusqu'au bout. Une chose intéressante que je voulais relever, la limite de e^x - 1/x est ultra importante pour démontrer la dérivée de exp(x). En effet :
exp'(x) = exp(x+h) - exp(x)/h
= exp(x) exp(h) - exp(x)/h
= exp(x) (exp(h) - 1)/h
= exp(x) * 1 lorsque h -> 0
On pourrait même aller plus loin et reconnaître ln(x) = x^h - 1/h lorsque h -> 0, on le voit à l'aide de la dérivée de a^x de dérivée ln(a) a^x.
Mais sinon c'est la même chose avec sin(x)/x, on le retrouve lors de la dérivée de sin(x), et j'imagine l'équivalent avec cos(x) - 1/x avec cos(x) il me semble. C'était un point que je trouvais intéressant à soulever, mais du coup il faudrait faire attention à ne pas tomber dans un raisonnement circulaire et bien choisir s'il faudrait expliquer la limite par la dérivée ou la dérivée par la limite (et il me semble que c'est la deuxième option que l'on choisit plutôt).
Quoi qu'il en soit, je comprends à présent l'idée de sin(theta) ≈ theta lorsque l'angle est faible en physique en plus de l'explication du développement limité.
Merci beaucoup!
Ben non, c'est pas si important pour calculer la dérivée de exp.
A mon avis la définition de exp c'est : exp'(x) = exp(x)
@@arnobozo9722 C'est vrai d'une part que je vois tout le temps cette définition, avec la précision que exp(1) = e dans mes cours de maths. Mais comment on justifie que c'est e^x avec e un nombre tellement réel et comment on le trouve ? Personnellement c'est cette partie que je comprends pas.
Par contre, si on part de la définition que e est la nombre tel que e^x - 1/x tend vers 1, contrairement à n'importe quelle autre base, bah tout va bien je trouve.
Donc je sais vraiment pas lequel de nous deux a raison, peut-être on a tous les deux des points de vues différents valides, mais j'aimerais bien avoir des explications sur les déductions de cette définition que tu donnes.
@@darkkevindu6982 Y'a juste que lim en 0 de (f(x) - 1) / x = 1 , cela ne fait pas une définition, personne n'a rien à cirer d'une telle valeur.
Il y avait 2 possibilités pour introduire la fnction,
soit la propriété f'(x) = f(x)
soit la propriété f(x+y) = f(x) * f(y) qui correspond à la définition de ln par : f(xy) = f(x) + f(y)
Je ne me rappelle pas ce que j'ai rencontré en terminale / prépa. Dans mon formulaire je vois qu'ils proposent f(x+y) = f(x) * f(y), avec une base a, et pour fixer la base a à e, ils posent f'(0) = 1
La propriété exp'(x) = exp(x) sera ensuite à démontrer.
@@arnobozo9722 Attention. La "vraie" définition de exp(x) est que c'est la réciproque de ln(x). Le fait que exp'(x) = exp(x) est une propriété de cette fonction, et non sa définition.
Si je ne me trompe pas, la fonction exponentielle est vue en première et le logarithme après, en terminale. Selon moi, c'est présenter les choses à l'envers puisque exp(x) et donc le nombre e découlent du logarithme népérien. En présentant les choses dans cet ordre :
- le nombre e sort littéralement du chapeau (comment l'expliquer sans avoir vu le logarithme ?)
- on ne peut comprendre ce que sont intrinsèquement le logarithme et l'exponentielle.
D'où la confusion que vous faites - à votre corps défendant.
Merci pour cette vidéo . J'apprécie vraiment ton contenue
Merci à toi 😊
Bien expliqué.
On y arrivait aussi en faisant apparaître la dérivée de :
exp(x lna)en 0 , puis celle de
exp(x ln b ) en 0, puis on
soustrayait .
[exp (x lna)]' - [exp (x lnb)]'en 0
Ce qui donne bien :
ln a - ln b.
Top ! en effet ça marche très bien :)
Très chouette, à montrer à tous les élèves de terminale pour accroître leur potentiel.
Yes n’hésitez pas à partager!
C'est vraiment bien fait merci. Toutefois, je n'ai jamais étudié ces formules de limites (que je vais apprendre par coeur). Il faut dire que le temps presse en Terminale et on a pas forcément le temps en classe d'étudier toutes ces limites, je trouve ça dommage...
Merci ! Oui il y a quelques formules pratiques qu'il est bon de connaître, pas toujours couvertes malheureusement !
Un grand merci. Bonne continuation
Merci!
Merci Anthonin!
De rien !
super explication, merci !
Merci à toi 😊
Belle introduction aux développements limités
En effet ;)
Excellent comme toujours
Merci!
Intéressant merci
Merci!
En utilisant la notion de dérivé ça peut marcher aussi. f(x)= a^x-b^x implique que f'(x) = ln(a)xa^x-ln(b)×b^x donc f'(0)= ln(a)-ln(b) lihya ln(a/b)
Effectivement c'est un bon raccourci mais le théorème de l'Hôspital n'est du programme de la terminale.
@@azwawaftis2365 nooon c'est pas l'hopital si tu remarque bien lim x tend vers 0 c'est a^x-b^x tout sur x bah enfaite si tu remarque bien c'est la lim x tends vers 0 de f(x)-f(0)/x-0 la notion de derive en premiere et la solution de cette limite en premiere si tu te rappel bien c'est f'(0) { ah oui ! f(x) c'est a^x-b^x donc f(0)=0 } ce n'est pas l'hopital vu que je n'ai pas dérive le x
Je ne suis qu'en première et je me demandais, en terme de rédaction, s'il faut faire une démonstration pour appliquer la limite (exp^x-1)/x ou si c'est "reconnu" et donc on a le droit de l'appliquer direct
Ça dépend de ton prof! La démo sinon c’est juste de dire que c’est un nombre dérivé comme j’ai fait en vidéo ;)
Pourquoi ne pas appliquer la Règle de L'Hôpital directement?
J’ai voulu faire avec le programme de terminale ;)
@@TheMathsTailor je ne me rappelle plus les programmes du lycée. J'ai eu mon bac en 1966. 😂😂👍🏻👍🏻
😂
Aujourd’hui c’est vu en sup uniquement ;)
super vidéo merci 👍
Merci!
La manière la plus simple est sans doute l'expansion en série de Taylor (par contre, pas trop sûr s'ils voient ça au lycée), puisque c^x ~ 1-ln(c)x, qui donne immédiatement le résultat désiré.
Yes exactement
Au lycée ils ne le font pas en effet !
Mais sinon quand on fait apparaître le (-1 -+1) on peut remarquer que c'est -(a^0-b^0).
Au numérateur on a : a^x - b^x - (a^0-b^0).
Au dénominateur on a x-0.
On est donc de le forme lim f(x)-f(0)/(x-0) avec f(x) = a^x-b^x. C'est la définition de la dérivée de f(x) en 0 (comme on la voit lorsque l'on introduit la notion de dérivée au lycée). Et le calcul de la dérivée de f nous donne directement :
f'(x) = ln(a)*a^x - lb(b)*b^x puis f'(0) = ln(a) - ln(b).
Très classique, on sait d’amblé qu’il va falloir faire une disjonction de cas, factoriser ou passer par un équivalent et voilà
@@Daniel-xl2qu j’ai pas compris
Un taux d'accroissement aurait suffit nn? En posant f(×)=a**x +b**x
Bonjour, sans vouloir être grincheux, cette limite peut être résolue en 3 lignes à l'aide du théorème de l'hôpital (enseigné en terminale). À noter qu'il faut être curieux et connaitre la dérivée de a^x.
Bonne astuce oui ! Malheureusement ce n'est pas enseigné dans la majorité des terminales en ce moment ...
on ne pourrait pas juste faire la loi de l'hôpital?
Puisque x--->0 alors a^x et b^x sont définis pour a>0 et b>0 donc:
a^x-b^x= e^(xlna)-e^(xlnb) par définition
= e(xlnb)[ e^(xln(a/b)-1]
Posons r=ln(a/b), on obtient :
(a^x-b^x)/x= e^(xlnb)[(e^(rx) -1)/(rx)]*r d'où :
Lim(a^x-b^x)/x= 1 * 1*r= ln(a/b)
Yes!
j'aurais posé f(x) = a^x - b^x et donc f(0) = 1 - 1 = 0; par conséquent la limite équivaut à lim x->0 [ (f(x) - f(0)) / (x - 0) ], on remarque que c'est donc un taux d'accroissement, donc on utilise la règle de l'Hospitale : f'(x) / g'(x) donc les dérivés de a^x et b^x sont : a^x * ln(a) et b^x * ln(b), le tout sur la dérivée de x donc 1: ce qui donne lorsque x tend vers 0 => 1*ln(a) - 1*ln(b), on utilise la loi des logarithmes et on retrouve donc ln(a/b). Je trouve ça plus évident personnellement
En effet, mais comme j'essaie toujours de faire au max du 'lycée friendly' j'ai dû ignorer l'existence de la règle ;)
@@TheMathsTailor oh je vois, je viens d'entrer en terminal je croyais que c'était enseigné en maths expertes à la fin du programme!
Non il faut attendre la sup ;)
Alors comme ça on traîne sur le 18-25 ?
👍📈
On pourra la faire directement par la règle de l'hôpital, et on utilise le fait que (a^x)' = ln(a)*(a^x).
Oui ça marche! J’ai essayé de rester dans les limites du lycée ici
Note à l'attention des lycéens (et prépas) : il est hors de question de connaitre la lim en 0 de (exp(x) -1) / x
Alors que on doit connaitre les autres sur exp.
(j'y reviens à la fin)
L'exercice est bien pour les 1res si on leur donne les 4 lim sur exp (ce qui évite de pointer trop fortement sur la lim (exp x -1)/x, alors que personne ne la connait).
L'exercice permet de faire les manip intéressantes de la vidéo pour retomber sur une lim connue.
Pourquoi on ne mémorise pas tout et n'importe quoi comme limite ?
He bien pour se libérer l'esprit de trucs à la noix, parce que il y a quand même pas mal de choses à connaître, plus ou moins par coeur. Par exemple plein de développements limités / formules de Taylor (il y en a ~10 à pouvoir ressortir rapidement). Pour ne pas confondre les formules, on utilise la 1re dérivée et on compare les formules.
exp x = 1 + x + x²/2! + O(x³) cela donne immédiatement la lim de (exp x - 1) / x , il faudrait être fou de mémoriser cette limite.
Je connais par coeur la lim de sin(x)/x parce que c'est une fonction trigo et je la vois tout le temps, mais sinon on a l'obligation de connaître une partie de sa Taylor qui donne de suite la lim : sin(x) = x - x³/3! + O(x⁵)
Le 1er terme est toujours vite recalculable avec la 1re dérivée, la suite pourrait être retrouvée en comparant avec la Taylor de exp.
Si on hésite sur la formule de Taylor de ln(1+x), il faut se rappeler que la Taylor la plus simple de toutes est 1/(1-x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + ... On retrouve ln(1+x) en remplaçant x par -x et en intégrant. Ceci dit, pour avoir la lim de ln(1+x)/x, je peux me contenter du terme donné par la 1re dérivée.
Note : quand je dis "on retrouve", je veux plutôt dire "on retrouve dans sa mémoire" avant d'avoir réellement fait le calcul. (Sauf si on n'a pas utilisé la formule depuis 10 ans).
Il faut savoir économiser sa mémoire, et sélectionner des formules qui, elles, sont obligatoires.
En prépa, il faut connaître ~ 12 formules de Taylor. Il faut en connaître par coeur un certain nombre. Et pour ne pas les mélanger, on les compare et on sait quelle opération permettrait de passer de l'une à l'autre.
C'est pareil pour la trigo, il y a plus de 12 formules à savoir ressortir rapidement ; je les connaissais par coeur en terminales, mais je n'avais aucune chance de les retenir à long terme et surtout aucune chance d'éviter une coquille.
En fait il n'y a que 2 formules à connaître par coeur :
cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb et
sin(a+b) = sina cosb + sinb cosa
Pour toutes les autres, il FAUT SAVOIR qu'elles existent et on peut les retrouver à partir de ces 2 formules. On change b en -b, ou on change b en a, ou on combine pour inverser les formules. Par contre il faut "savoir par coeur" comment on retrouve les formules, sinon cela va trop lentement ou on risque la faute d'étourderie.
Hello ! Merci du message. Les lycéens n’ont pas accès a Taylor malheureusement.
Par contre ils peuvent en effet retrouver la formule en pensant au nombre dérivé.
Deux remarques rapides sur les formules de Taylor car il y avait de petites erreurs d’étourderie sur les coeffs de exp et sin :
exp(x)=1+x+x^2/2!+o(x^2)
Et sin(x)=x-x^3/3!+o(x^3)
Bien à vous !
@@TheMathsTailor Ouaaw ! J'en reviens pas d'avoir laissé ces fautes d'étourderies ! Heureusement que t'étais là !
Cela pique les yeux. Et pourtant j'ai relu pour enlever les fautes d'orthographe.
PS : j'ai corrigé le post.
Aucun problème 😄
il faudrait également préciser que a et b doivent être positifs
Fait au milieu de la vidéo quand je me rends compte que j'en ai besoin pour prendre le log ;)
@@TheMathsTailor on est d'accord pour dire que si a ou b est négatif, la limite n'a pas de sens?
@@dav3141 en fait, l'énoncé n'est pas 'obligé' de le préciser .
En effet, ici x--->0 ===> a^x n'est définie que si a>0 , de même pour b^x.
C'est une difficulté supplémentaire qu'on peut introduire, notamment en prépa.
Oui cf la vidéo sur x^x ;)
Ou alors on étudie dans un pays qui a un vrai programme de maths et on apprend l'Hospital au lycée :
lim (a^x - b^x)/x = lim (a^x - b^x)' / x' = lim (ln(a)*a^x - ln(b)*b^x) / 1 = ln(a) - ln(b).
On peut appliquer l'Hospital grâce au fait qu'on a une forme indéterminée 0/0 et après il suffit de savoir dériver a^x.
Fallait dériver la fonction c'est de la forme (f(x)-f(0)/x-0)
Cet exercice aurait pu être résolu en 2-3 lignes.
On a une limite : lim x->0 a^x - b^x / x
On remarque ici qu'on a une limite du type 0/0 lorsqu'on remplace 0 dans la fonction.
On peut donc utiliser la Règle de l'Hôspital.
Règle de l'Hôspital : Lorsqu'on a une limite : lim x->a f(x)/g(x) et qu'on est dans le cas où la limite est type 0/0 ou ∞/∞ lorsqu'on remplace a dans les deux fonctions alors cette peut devenir lim x->a f'(x)/g'(x)
En revenant à l'exerice, on a donc
lim x->0 a^x . ln a - b^x . ln b / 1
On a donc tout simplement 1 . ln a - 1 . ln b = ln a - ln b = ln a/b (par les propriétés des logarithmes)
Attention : la Règle d'Hôspital est uniquement valable si on a une limite du type 0/0 ou ∞/∞ !
Résultat immédiat : théorème de l'hôpital une fois, si on connait la formule suivante : (a^x)' = ln(a) . a^x
Bruh c'est un taux d'accroissement 😂
Pas utile, l'astuce de couper en deux avec le -1+1, et méthode bien plus simple : la limite est de la forme (f(x)-f(0))/(x-0) avec f(x) = a^x - b^x. Du coup, c'est une limite de taux d'accroissement qui tend vers f'(0). Or, f'(x) = ln(a)*a^x - ln(b)*b^x (on peut le faire en terminale en passant par la fonction exponentielle), d'où f'(0) = ln(a) - ln(b), ou encore ln(a/b). À noter également qu'il n'est pas nécessaire de supposer ab. Par contre, les deux doivent être strictement positifs pour une bonne définition des puissances x lorsque x n'est pas entier. On peut toutefois traiter des cas à part quand a=0 et/ou b=0... 😁
un mot hôpital
comment on résoud ça avec la règle de l'Hospital ?
@@jamane4855 Tu dérives le numérateur + dénominateur. Et tu recalcules la limite en prenant x->0.
@@tuti94140 ça me donne la limite de a^x-b^x quand x tend vers 0 donc...
@@jamane4855 Bonjour, la dérivée de a^x est ln(a) x a^x .En dérivant le numérateur et dénominateur comme l'indique la règle de l'hospital, on obtient la fraction : ln(a) x a^x - ln(b) x b^x/1. Dans ces cas là, il suffit de calculer : lim x-->0 ( ln(a) x a^x - ln(b) x b^x/1) on obtient que ça donne : ln(a) x a^0 - ln(b) x b^0 / 1 = ln(a)-ln(b) = ln(a/b). On retrouve le même résultat que la vidéo
La règle de l'Hopital fonctionne sous condition , comme pour un théorème.
la lim donnée peut sécrire
lim[( a^x-a⁰)-(b^x-b⁰)]/(x-0)
x->0
=(a^x)'-(b^x)' au point 0
=lna*a^x- lnb *b^x au pt 0
=lna*a⁰-lnb *a⁰
= lna -lnb
Bien joué!
Règle de L'Hospital
a^x*ln(a)-b^x*ln(b)
Les exp rendent vers 1
ln(a)-ln(b) = ln(a/b)
Done.
Bon après la Règle de L'Hospital au lycée je pense pas
Pourquoi ne pas utiliser la règle de l’hôpital on obtiendrait du coup
lim (a^x In a - b^x In b)/1
Iim a^x ln a - b^x ln b
x=) 0 donc on a a^0 et b^0 égale 1
Ce qui nous donne
Iim a^0 ln a - b^0 ln b
Iim ln a - ln b
Iim ln(a/b)
C’est très bien! Comme d’habitude j’essaie de garder un contenu technique mais abordable pour lycéens 😊
Apprenez à articuler.
Yes bien noté!