밑이 음수인 지수함수의 시각화 (y=(-1.5)^x 그리기!)
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- Опубликовано: 20 сен 2024
- 글로 정리된 곳: angeloyeo.gith...
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영상에서 사용된 모든 MATLAB 코드는 아래의 github repo에서 받아가실 수 있습니다.
github.com/ang...
![EBS[수학] 수학I - 지수함수의 뜻과 그래프는 어떤 것들이 있나요?](http://i.ytimg.com/vi/Jj4gRDHWja4/mqdefault.jpg)
![EBS[수학] 수학I - 지수함수의 뜻과 그래프는 어떤 것들이 있나요?](/img/tr.png)
단가임을 가정하신건가요?
안녕하세요. 단가가 뭔가요?
단가함수는 정의역 원소에 하나의 원소만 대응하는 것을 말하는데요. 복소수상에서 지수함수는 여러 분지(branch)가 있을 수 있어서 여쭈어 보았습니다. 예를 들어서 복소수상에서는 (-1)^(1/2)가 i 이거나 -i 이죠.
아하... 좋은 코멘트네요. single value 입력에 single value 출력이 나온다고 생각하고 설명한게 맞습니다. 말씀하신대로 사실 -1이 e^(i pi) 가 아니라 좀 더 정확하게는 e^(i *(pi+2n pi)), where n은 정수,가 되니까 사실은 제가 설명한 방식대로만 설명하는건 충분한 설명이 되지는 못하겠지요... 다만 영상에서는 최대한 쉽게 이해할 수 있게 설명해보려고 -1을 e ^(i pi)라고만 말했는데 말씀하신 내용이 포함되어야 잘 된 설명이라고 할 수 있겠네요 ㅠ 코멘트 감사함니다
친절한 답변 감사드립니다. 원활한 설명을 위해서 그러셨을거라 생각은 했는데 혹시나 하는 마음에 질문을 드렸습니다. 좋은 영상 감사합니다~~
지니갈게요
공돌이님~ 제 채널 커뮤니티에 좀 퍼가도 될까요? ^^
선생님 안녕하세요! 와우~ 물론입니다... 제가 더 영광이죠!! ㅎㅎ
정말 쉽게 설명해주시는 걸 보면 내공이 어마어마 하신 것 같습니다. 나이먹어도 항상 전공에 대한 회의감이 많이 들었는데 영상 보면서 정말 리프레쉬가 많이 되네요 :) 앞으로도 영상 많이 부탁드립니다.
안녕하세요. 과찬이십니다... 전혀 내공이 풍부한 그런 사람이 아닙니다 ^^; 틈틈히 생각나는 주제들 정리해서 영상 만들도록 하겠습니다. 들려주셔서 고맙습니다 ^^
와 저도 전에 이상엽님의 그 영상을 보고난 뒤 a가 음수이면 복소평면에서 어떻게 그려질까 궁금했는데 덕분에 잘 알아갑니다!
도움이 되었다니 다행입니다 ^^
그림으로 나타내 주시니 설명이 이해가 잘되네요
감사합니다
감사합니다 그림에 더 신경쓰겠습니다!
과고 준비하는 학생입니다,, 자소서 준비할 때 이 주제를 생각했었고 유튜브에 이 영상이 있어서 3번정도 본 뒤 자소서에 작성했는데 면담준비하니까 막막하네요 괜히썼다는생각이....ㅜㅡㅜㅠㅠ 밑이 음수인 로그함수 그래프를 밑댓글에 올려놓으셨길래 봤는데,,, 저저저게뭐지;;라는 생각밖에 안드는군요,.., 앞으로 한 10번은 더 보러 오겠습니다.,.,., ㅜㅜㅠ
;; 중학생이시라는게 더 신기하네요. 이런 내용을 알려고 하신다는 것도 놀랍구요... 스스로 이런 문제를 생각해 내셨다는 것에 더 칭찬(?) 드립니다
고민했던게 유투브에 올라오니 명쾌해서 좋습니다.
예전에 형이 올렸던 영상들 군대에서 공부하는데 도움 많이 됬었는데 최근에 다시 수학공부를 하려고 찾아왔는데, 채널이름이 더욱 전문적으로 바뀌었네요. 앞으로도 시청 잘할게요~
오... 나선환? 저게 커지는 속도가 클 수록 음... 뭐가 달라지는거지? 음 예쁜것만 기억에 남고 나머진 하나도 기억에 안남았네요 ㅠㅠㅋㅋㅋ
아 밑이 클 수록 저 환이 엄청 빨리 커지나 보네요.
맞습니다 ㅎ 밑이 양의 상수인 지수함수에서도 보실 수 있듯이 밑의 크기가 함수가 커지는 속도에 영향을 주기 때문이겠죠 ^^?
좋은 영상 감사합니다. 제 전공이 수학과는 거리가 있어서 대학과정 수학에 대해서는 잘 모르는데 혹시 기존 xy좌표평면에 허수축을 하나 더 대입해서 함수의 그래프를 공간좌표처럼 표현하는 경우는 없는지 궁금합니다. 그리고 만약 그렇게 표현하게 된다면 x축의 양의 방향으로 갈수록 점점커지는 회오리감자(?) 같은 모양의 그래프가 얻어지려나요.
안녕하세요. 좋은 질문이신 것 같습니다. 상상력이 풍부하시네요~! 회오리 모양의 결과를 원하신다면 지금 제가 그렸던 그래프에서 치역에 z 축을 더하고 z축은 y의 magnitude를 표현할 수 있게 하면 됩니다 ㅎㅎ 그러면 z축으로 커지면서 점점 회오리처럼 반지름이 커지는 모양의 결과를 얻으실 수 있습니다
제가 그린 그림을 아래에 첨부할테니 회오리 모양의 그래프를 확인해보세요!
drive.google.com/file/d/1Eo6HFv9yvFCZPCUMDkjGizK0CpHiBusY/view?usp=sharing
그리고 말씀하신 내용처럼 정의역에 허수축을 더해서 그림을 그리면 다음과 같습니다.
y = (-1.5)^z이고 z는 복소수 입니다. 색깔은 허수부를 나타냅니다.
drive.google.com/file/d/1psE2duKlJ8tr4iRuuQxBZN_2jUHnJ4gZ/view?usp=sharing
답변 감사합니다. 앞으로도 좋은 영상들 기대하겠습니다!!
@@AngeloYeo 이거 링크가 깨졌는데 혹시 다시 한 번 보내주실 수 있나요 ㅠㅠ
-1.5가 아닌 -1보다 큰 수라면 정의역이 점점 커짐에 따라 크기가 점점 작아지는게 맞나요?
네 그렇죠 ~ 맞습니다
밑이 -1이랑 -1.5인 함수는 연속이라 말할 수 있나요? 정의역이 실수이고 치역이 복소평면에서 연속적인 것처럼 보이는 함수는 연속적이라 말할 수 있나요?
안녕하세요! 유익한 영상 감사합니당 영상을 보자마자 고등학교 심화 탐구 주제로 이걸 하고 싶다는 생각이 들었는데, 저희 학교에서 하는 심화 탐구가 책에 기반한 탐구라서 그런데 혹시 영상 준비하시면서 참고하신 책이 있으신가요?ㅠㅠ
안녕하세요. 특별히 참고한 도서는 없는데 공학수학 교재들에 복소수 관련 내용을 다루기 때문에 참고문헌이 필요하시다면 아무런 공학수학 책이나 하나 고르시면 되지 않을까 싶어요 ㅎ
@@AngeloYeo 감사합니다 :)
설명참 잘하시네요 잘읽고갑니다!!
안녕하세요. 칭찬의 코멘트 감사합니다 ㅎ 좋은 하루 되세요 ~^^
함숫값을 복소수로 확장한거기 때문에 x에 대응되는 함숫값이 여러개가 되지않나요 ? 만약 x가 정수가 아닌 실수라면
오... 맞습니다. 그채서 사싷은 단가함수라는 가정이 들어가야 좀 더 엄밀하게 그려봌다고 할 수 있습니다.
대학과정에서는 밑이 음수인 지수함수도 있구나
학과별로 필요한 부분만 배우게 될테니 너무 겁먹지는 마시길
아무도 그렇게쓰지 않습니다.
e^(xipi)로 써야돼요
저두 이 부분은 공감합니다 ^^ 보통 자연상수의 지수승으로 표현하는게 일반적인 것 같습니다
취미로 수학공부하면서 막연햇는데 도움이 됏습니다. 감사합니다
재밌게 보셨다면 다행입니다 ^^ 댓글 감사합니다
안녕하세요 현재 고2인 학생입니다 이번 수학1 심화 탐구 수행평가에서 귀하의 영상 및 사진을 참고하여 발표를 준비하고 싶은데 혹시 문제될만한 부분이 있을까요?
얼마든지 쓰셔도 좋습니다 :)
@@AngeloYeo 앗 감사합니다! 좋은 자료 참고해서 열심히 발표 준비 하겠습니다!
이과 고2입니다. 살려주세요
예전에 의공학부 학생이라고 했던 것이 생각나는데요, 혹시 고려대이신가요?
졸업한지는 좀 되었고 연대 출신입니다 ~ ^^;
안녕하세요 저는 고등학교 2학년에 재학중인 학생인데요. 이 영상에 대해서 큰 대회의 발표를 진행하게 되었는데 mathlab을 어떻게 사용하는지에 대해서 발표하고 싶은데 어떻게 사용하는 지를 이해하기 어려워서 어떻게 사용하는지 알려주실 수 있나요ㅜㅜ
꼭 매트랩을 써야하는 것이 아닐텐데 제 블로그에 있는 gif 파일을 이용해서 발표에 사용해보세요.
angeloyeo.github.io/2019/09/12/negative_base_exponential.html
그리고 제 자료를 사적인 목적으로 이용하겠다는 이런 식의 질문은 곤란합니다.
@@AngeloYeo 오일러 공식에서 왜 e의 ix파이 제곱이 크기가 1이고 각도가 x파이rad인 점의 위치를 나타내는 지에 대해서 자세히 설명해주실 수 있나요
@@유동현-e9k 제 영상 중 오일러공식 유도 관련 영상이 두 편 있으니 참고해보시면 좋을 것 같습니다 확인한번 해보세요~
그럼 x의범위는 실수니까 x를 의미하는 x축과 y의 실수부를 의미하는 축y, 허수부를 의미하는 z축 이런식으로 3차원 좌표로도 나타낼수 있는건가요?
안녕하세요. 네 물론 가능합니다~ 아래와 같은 그림이 나옵니다~
drive.google.com/file/d/1d6Ctj2COet9aQ73SkRCh4d2pi1S5q6Jw/view?usp=sharing
@@AngeloYeo 오래됬지만 궁금해서 링크누르니 접속이 안되네요..ㅠㅠ 대충 어떤식으로라도 나오는지 설명해주싨 수 있나요 ?
안녕하세요. 아이구... 링크가 깨졌네요. 아래의 링크에 들어가보시면 될 것 같습니다.
raw.githubusercontent.com/angeloyeo/gongdols/master/%EA%B8%B0%EC%B4%88%EC%88%98%ED%95%99/%EB%B0%91%EC%9D%B4_%EC%9D%8C%EC%88%98%EC%9D%B8_%EC%A7%80%EC%88%98%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EC%8B%9C%EA%B0%81%ED%99%94/yoon_hee_joon_question.png
@@AngeloYeo 아ㅠㅠㅠ 감사합니다. 자소서를 갈아엎어야 할 것 같아 소재를 찾고있었는데 이영상과 더불어 그래프가 정말 큰 도움이 된것 같아요ㅠㅠ
오홍... 늦은 시간까지 공부하시네요 ^^~ 화이팅입니다 !
쌤..! 그 고등과정 중에서 (-8)^(1/3)의 값이 정의가 안된다고 인강에서 나왔는데
-2 = (-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = 2 이렇게 하나의 값에 결과값이 여러개라 모순이 생겨서 정의가 안된다고 하네요.. 그럼
고교과정에서 (-8)^(1/3) = -2 라는건 거짓인 틀린 건가요..? 도와주세요..
뭔가 맞다고 하면 값을 하나로 정할 수 없고
틀리다고 하면 실제 결과값이라 그것도 애매하고.. 혹 맞는 것도 틀린 것도 아닌지 아니면 그냥 틀린식인지가 궁금합미다..
안녕하세요. (-8)^(1/3)의 해답은 -2, 1±sqrt(3) * i 입니다. (여기서 i = sqrt(-1))
즉 정답이 세개입니다. 그래서 (-8)^(1/3)=-2라는건 일부만 맞는 말이라고 보면 될 것 같습니다.
저기 그럼.. 8^(1/3)도 2라는 실근과 두 개의 허근을 가지는데 2라고 정의할 수 있잖아요??
근데 왜 (-8)^(1/3) 은 값을 정의 할 수 없는것이죠..? 같은 방법인 것 같은데..
아주 좋은 지적인 것 같습니다. 저도 그래서 왜 저걸 정의할 수 없다고 말하는지 이해하기가 좀 어려운 것 같습니다... 복소수까지 수체계를 확장하면 답이 나오는 것인데...
그리고 (-8)^(2/6)은 또 왜 2라고만 할 수 있는지도 잘 모르겠습니다
교재에는 -2 = (-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = 2
이래서 정의가 안된다고 하네요..
혹시 그럼 정의되지 않은 식은 틀린식이라고 해야하나요??
@@user-ud2fn9iq9o 전 그래도 (-8)^(2/6) = 2라는게 잘 모르겠네요ㅠ (-8)^(2/6) 의 값도 마찬가지로 -2, 1±sqrt(3) * i 입니다. (여기서 i = sqrt(-1))
혹시 그 교재를 볼 수 있다면 좀 더 자세한 답변 가능할 것 같습니다.
혹시 밑이 음수인 지수함수가 다른 분야에 이용된 사례가 있나요?
0~1 사이의 세계가 따로 그려지는 게 신기하네요. 대체 0과 1 사이는 무슨 특별함이 있길래... 0.99999한없이 가다가 9에서 1로 넘어가는 그것. 그 전까진 다 차지 못한 분수개념인데... 1을 넘어가므로서 넘치고... 그 부족함때문에 저렇게 세계가 달라지는 것 같은데... 기준과 없다라는 게 뭔지 참... 어찌보면 0과 1간의 세계만이 실제일지도? 1 초과부터는 오버되어버리는 개념이잖아요. 1을 기준으로 부족함이 없으니까. 그런데 1미만은 비어있는 부분이 있으니까, 비어있단 개념이 존재하는 여기가 더 완전하고 실제세상일지도.
안녕하세요. 풍부한 사고력을 가지셨네요 ! ^^ 제 개인적인 생각입니다만, 1보다 약간 작거나 1보다 약간 큰 것은 그 차이가 크지 않지만 시각화시킨 함수가 지수함수이다보니 그 차이를 원래보다 더 크게 보여주게 되어서 그런 것은 아닐까요?
보통의 좌표평면에 나타낸 함수처럼 정의역과 치역을 합치진 못하나요?
안녕하세요. 보통 복소함수는 정의역과 치역을 분리해서 표현합니다. 그래도 제 나름대로 정의역을 색깔로 표현해서 치역에 그린 함수에 정의역을 표현하고자 노력했습니다.
그리고 영상 후반부에 나오는 방식대로 실수부와 허수부를 나눠서 표현하는 것도 가능하구요...
도움이 되셨는지요?
@@AngeloYeo 복소함수는 아직 안배워서 몰랐네요 복소함수는 언제 배우나요?
대학에서 배우기는 하는데 전공에 따라 다를것 같습니다 ㅎㅎ
잘봤습니다!!!
들려주셔서 감사합니다 ^^
9:11
10:33
13:04
감사합니다~~
밑이 음수인 로그함수도 같은 방법으로 그릴 수 있나요?
비슷합니다만, 로그함수의 경우 복소평면에서 그릴 수 있고 선의 형태가 아니라 곡면의 형태로 그려서 이해할 수 있습니다.
그림은 여기서 보실 수 있습니다. 빨간색 선이 보통 아는 자연로그의 그래프입니다. 참고 부탁드릴게요 ^^
raw.githubusercontent.com/angeloyeo/gongdols/master/%EA%B8%B0%EC%B4%88%EC%88%98%ED%95%99/%EB%B3%B5%EC%86%8C_%EB%A1%9C%EA%B7%B8%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EC%8B%9C%EA%B0%81%ED%99%94/complex_log.png
감사합니다
메이트릭 추천채널로 등록했습니다...^^
곰돌이밈 재밌어유
껄껄 재밌게 봐주셔서 감사합니다
곰돌이님 근데 그래프가 왜 반시계 방향으로 돌아가나요???!!
허수가 90도 회전할 때 방향을 반시계 방향으로 제가 설정했기 때문인데요. 보통 수학에서 회전의 정방향은 반시계 방향으로 많이 사용하기에 저도 그 컨벤션을 따랐습니다 ㅎㅎ
글쎄요... 그렇게 생각하려면 보통의 컨벤션을 쓰지 않는다고 언급해야하고 phase 를 계산할 때 많이 헷갈릴거에요 ㅎㅎ 제 생각에 당연히 반시계방향일 이유는 없을 것 같습니다 그래서 시계방향도 불가능하다고 생각은 하지 않지만 여러가지 부가적인 계산들이 헷갈릴 것 이라는 것은 생각해둬야할것 같아요 ㅎㅎ
너무 재밌어요 ㅠㅠ
음수의 지수함수는 복소평면에서 로그 나선 (logarithmic spiral)의 그래프로 나타나네요.
아아... 이런식으로 정립된 개념이 또 있었군요..! 좋은 정보 감사드려요~~!
섬네일 함수가 너무 귀엽네
따로 말고 3차원 그래프로 보는것은불가능한가요?
그래프가 여러개라... 어떤걸 말씀하시는건가요?
@@AngeloYeo 그러니까 저렇게 x축 따로 y복소평면따로 말고.
X축 y축을 3차원그래프로 그리는건 안되나요?
@@Iastking8 이 그래프를 참고해보세요. 이것 말씀하시는 것 같으시네요...
raw.githubusercontent.com/angeloyeo/gongdols/master/%EA%B8%B0%EC%B4%88%EC%88%98%ED%95%99/%EB%B0%91%EC%9D%B4_%EC%9D%8C%EC%88%98%EC%9D%B8_%EC%A7%80%EC%88%98%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EC%8B%9C%EA%B0%81%ED%99%94/plotted_in_3D.png
진짜 궁금해서 그러는데 사진보니 x축은 없는데 x축도 같이 있는 그래프는 보느것이 불가능한가요?
지금 x 축의 입력값들은 모두 색깔로 표시해둔 것이라고 보면 됩니다. 원하시는 것 처럼 축을 하나 더 넣고 싶으시면 4차원 표현이 가능해야 할 것 같네요. 색깔을 이용하지 않는 경우 보통 복소함수는 정의역과 공역을 나눠서 그리는게 일반적입니다.
여기 링크를 참고해보세요.
ghebook.blogspot.com/2021/01/representation-method-of-complex.html
양의 상수랑 양의 실수랑 같은 말 인가요?
안녕하세요. 맥락에 따라 다르긴하지만 많은 경우에 양의 상수라하면 양의 실수를 말하는 경우가 종종 있습니다 .여기서는 같은 말로 사용했습니다 :)
영어지만 최근에 비슷한 주제로 영상이 나왔는데, 깊이(?)를 파악하기 어렵지만 3차원 형태를 참고하기는 좋을 듯 합니다.
ruclips.net/video/_lb1AxwXLaM/видео.html
네 같은 주제가 맞습니다 😁
근데 함수의 정의에 어긋나는건아닌가요?
그래프개형에 어떤정의역에 대해 두개의치역을 가지는게..
아 고정해두신 댓글에 있는게 제가물어본질문인건가요
안녕하세요. 두 개의 치역을 갖지는 않구요. 하나의 복소수는 실수부와 허수부를 갖기 때문에 2차원 복소평면에 복소수 값 하나를 표시한 것 뿐입니다.
@@AngeloYeo 아항
@@AngeloYeo 죄송한데 이해가 안가여 ㅜㅜ 조금 더 쉽게 설명해주실 수 있나요? 복소수와 함수에 관한 지식은 있는데 이해가 안되네요
그래프는 어떤 도구로 그리는 지 알 수 있을까요?
해당 영상에서 그린 그림들이나 영상들은 모두 MATLAB으로 그렸습니다 ~~^^
문송문송....^^
ㅠㅠ 많이 어려우셨나요
으악 달팽이 함수다