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我的方法積分從 -pi/4 到 pi/4 arccos(x)/cos(x) dx= 積分從 -pi/4 到 pi/4 (pi/2 - arcsin(x))/cos(x) dx= 積分從 -pi/4 到 pi/4 [(pi/2)/cos(x) - arcsin(x)/cos(x)] dx= 積分從 -pi/4 到 pi/4 (pi/2)/cos(x) dx - 積分從 -pi/4 到 pi/4 arcsin(x)/cos(x) dxarcsin(x) 是奇的分母 cos(x) 是偶的所以 arcsin(x)/cos(x) 是奇的=> 積分從 -pi/4 到 pi/4 arcsin(x)/cos(x) dx = 0積分從 -pi/4 到 pi/4 arccos(x)/cos(x) dx = pi/2 積分從 -pi/4 到 pi/4 1/cos(x) dx= (pi/2)(ln|sec(pi/4) + tan(pi/4)| - ln|sec(-pi/4) + tan(-pi/4)|)= (pi/2)(ln|根號 2 + 1| - ln|2^(1/2) - 1|)= (pi/2)ln|(sqrt(2)+1)/(sqrt(2)-1)|= (pi/2)ln|((sqrt(2)+1)^2)/(2-1)|= (pi/2)ln|(sqrt(2) + 1)^2|= (pi/2)ln((sqrt(2) + 1)^2)= pi ln|sqrt2 + 1|= pi ln(1 + sqrt(2))= pi ln(1 + sqrt(1 + 1^2))= pi arsinh(1)edit: I see bprp basically did the same method in original livestream.
其實 equivalent 答案(pi/2)ln((sqrt(2)+1)/sqrt(2)-1) = pi arcoth(sqrt(2))(pi/2)ln((sqrt(2)+1)/sqrt(2)-1) = (pi/2)ln((1 + 1/sqrt(2))(1 - 1/sqrt(2))) = pi artanh(1/sqrt(2)) pi ln(1+sqrt(2)) = pi arsinh(1) = pi artanh(1/sqrt(2)) = pi arcoth(sqrt(2))
@@沈博智-x5y打這麼多字，太厲害了！我有看懂你的算法，你的結果比我的更簡潔，把反雙曲函數都搬上來了，我都不知道原來可以再化簡😅。
@@octopuskeng 當時我看了雙曲函數，我也surprise了這個積分可以有雙曲的答案啊????你可以看英語的wikipedia "integral of the secant function" (我覺得中文翻譯 「integral of secant function」wikipedia page 不存在)在那邊有 hyperbolic forms (more general indefinite integral)example. 積分 sec(x) dx = (|sinx|/sinx)(arcosh(|sec(x)|)) + c我第二評論我寫錯了一點點(pi/2)ln((sqrt(2)+1)/(sqrt(2)-1)) = (pi/2)ln((1 + 1/sqrt(2))/(1 - 1/sqrt(2))) [missing parentheses, missing division symbol]可是 logarithm 的結果OK了
想問大佬能不能分享一下你做的佩爾方程式科展上面寫的內容？昨天原本想去看但沒空，而且對上面寫了什麼挺感興趣的😀ps.我有在ig私訊你，但看來訊息沒穿過去:P
我看我IG的陌生訊息沒有看到欸……😅我有在想要不要把我做的科展拍成影片，因為有很多定理可以分享，我得想想要怎麼樣最簡單地呈現給大家，所以短時間內可能變不出影片😅
@@octopuskeng 好，我很期待！！偷偷說一下，ig看起來是說你的帳號沒開陌生人私訊
Sir, could you please teach in English so that I can understand better🥺(From India)
封面左邊是侯友宜嗎
是黑筆紅筆😂
😂
我的方法
積分從 -pi/4 到 pi/4 arccos(x)/cos(x) dx
= 積分從 -pi/4 到 pi/4 (pi/2 - arcsin(x))/cos(x) dx
= 積分從 -pi/4 到 pi/4 [(pi/2)/cos(x) - arcsin(x)/cos(x)] dx
= 積分從 -pi/4 到 pi/4 (pi/2)/cos(x) dx - 積分從 -pi/4 到 pi/4 arcsin(x)/cos(x) dx
arcsin(x) 是奇的
分母 cos(x) 是偶的
所以 arcsin(x)/cos(x) 是奇的
=> 積分從 -pi/4 到 pi/4 arcsin(x)/cos(x) dx = 0
積分從 -pi/4 到 pi/4 arccos(x)/cos(x) dx
= pi/2 積分從 -pi/4 到 pi/4 1/cos(x) dx
= (pi/2)(ln|sec(pi/4) + tan(pi/4)| - ln|sec(-pi/4) + tan(-pi/4)|)
= (pi/2)(ln|根號 2 + 1| - ln|2^(1/2) - 1|)
= (pi/2)ln|(sqrt(2)+1)/(sqrt(2)-1)|
= (pi/2)ln|((sqrt(2)+1)^2)/(2-1)|
= (pi/2)ln|(sqrt(2) + 1)^2|
= (pi/2)ln((sqrt(2) + 1)^2)
= pi ln|sqrt2 + 1|
= pi ln(1 + sqrt(2))
= pi ln(1 + sqrt(1 + 1^2))
= pi arsinh(1)
edit: I see bprp basically did the same method in original livestream.
其實 equivalent 答案
(pi/2)ln((sqrt(2)+1)/sqrt(2)-1) = pi arcoth(sqrt(2))
(pi/2)ln((sqrt(2)+1)/sqrt(2)-1) = (pi/2)ln((1 + 1/sqrt(2))(1 - 1/sqrt(2))) = pi artanh(1/sqrt(2))
pi ln(1+sqrt(2)) = pi arsinh(1) = pi artanh(1/sqrt(2)) = pi arcoth(sqrt(2))
@@沈博智-x5y打這麼多字，太厲害了！
我有看懂你的算法，你的結果比我的更簡潔，把反雙曲函數都搬上來了，我都不知道原來可以再化簡😅。
@@octopuskeng 當時我看了雙曲函數，我也surprise了
這個積分可以有雙曲的答案啊????
你可以看英語的wikipedia "integral of the secant function" (我覺得中文翻譯 「integral of secant function」wikipedia page 不存在)
在那邊有 hyperbolic forms (more general indefinite integral)
example. 積分 sec(x) dx = (|sinx|/sinx)(arcosh(|sec(x)|)) + c
我第二評論我寫錯了一點點
(pi/2)ln((sqrt(2)+1)/(sqrt(2)-1)) = (pi/2)ln((1 + 1/sqrt(2))/(1 - 1/sqrt(2))) [missing parentheses, missing division symbol]
可是 logarithm 的結果OK了
想問大佬能不能分享一下你做的佩爾方程式科展上面寫的內容？昨天原本想去看但沒空，而且對上面寫了什麼挺感興趣的😀
ps.我有在ig私訊你，但看來訊息沒穿過去:P
我看我IG的陌生訊息沒有看到欸……😅
我有在想要不要把我做的科展拍成影片，因為有很多定理可以分享，我得想想要怎麼樣最簡單地呈現給大家，所以短時間內可能變不出影片😅
@@octopuskeng 好，我很期待！！
偷偷說一下，ig看起來是說你的帳號沒開陌生人私訊
Sir, could you please teach in English so that I can understand better🥺(From India)
封面左邊是侯友宜嗎
是黑筆紅筆😂
😂