Очень хорошая подача материала. И очень рад, что существует такие каналы, помогающие людям разбираться в математике (в моем случае векторный и тензорный анализ), учитывая то, что спрос на данный материал не такой уж и большой, я очень рад, что есть такие энтузиасты, которые несмотря на небольшую востребованность данного материала все равно делают это и помогают нуждающимся в этом нелегком деле
Какое классное видео! Не смог оторваться, сумели зацепить с самых первых минут! Боюсь представить, сколько сил было вложено в создание такого ролика, чтобы так подробно, чётко, ясно, лаконично и самое главное, наглядно всё показать! 3D - иллюстрации, действительно, получились крутыми! Хочется ещё больше таких видео! Огромное спасибо за полученное удовольствие от такого увлекательного путешествия! Финал мне очень понравился!
Эта задача об объеме устно решается так: при фиксированном x\in[-r; r] сечение нашего тела- квадрат со стороной 2 Sqrt[r^2-x2]. Площадь квадрата S(x)=4 (r^2-x^2). Тогда объем - это интеграл от S(x) от -r до r. И мы получаем Вашу формулу.
❤Почему то мне сразу захотелось взять первую производную по r от объема и получить площадь поверхности. Уж больно все на шар похоже. Это наверно не совсем Равиль но, но площадь я посчитал быстрее)))
Интересно - а что на счёт трицилиндра? В прочем в нём всё относительно просто. Потребуются два интегралла, кусок от бицилиндра, и кусок на базе кругов с вырезанными сегментами.
сложнее! насколько я помню, вроде, если оси цилиндров пересекаются, но радиусы разные, то это приведет к эллиптическим интегралам. А если и оси цилиндров не пересекаются, тогда вообще ничего хорошего не получится.... интегралы только приближенно численно вычисляются.
совсем общей нет, там получится интеграл, который только численно и можно найти. Но при разных диаметрах, если оси цилиндров совпадают (и пересекаются под прямым углом), то скорее всего интеграл придет к эллиптическим интегралам.
здравствуйте, у меня вопрос: если ввести полярные координаты x=pcosa, y=psina, z=√(r^2-p^2sin^2a), то при дальнейшем повторном интегрировании, например, сначала по dp функции p*√(r^2-p^2sin^2a), находя первообразную, получается, что sin^2a пойдет вниз в знаменатель, как постоянный множитель. а далее нужно интегрировать по da от 0 до 2pi, и на этом промежутке sina обращается в 0. получается, функция получившаяся неограниченна, у нее 0 в знаменателе на этом промежутке, интеграл расходится. где я ошибся, можете, пожалуйста, подсказать?
здравствуйте. не знаю, какая у вас функция получилась после первого интегрирования, я сейчас попробовал на компе посчитать - да, там синус в знаменателе, но функция не является при этом неограниченной, предел в 0 и в пи равен конечному числу. так что это при интегрировании нет вообще никакой проблемы. кстати, даже если функция была бы неограничена на отрезке интегрирования, то это еще не значит же, что интеграл расходится :) например, интеграл от 1/√х при х от 0 до 1 (функция неограничена в нуле, но интеграл равен 2)
@@Hmath хм. у меня вышла первообразная от p*√(r^2-p^2*sin^2a) такая: -1/(3*sin^2a)*(r^2-p^2*sin^2a)^(3/2). тяжко так писать, но, надеюсь, понятно, интеграл прозрачный. и вот тут, если подставлять пределы от 0 до r(пределы нашей области), окажется следующий повторный интеграл по da: -1/(3sin^2a)*r^3*|cos^3| + 1/(3sin^2a)*r^3. вот это мы интегрируем от 0 до 2pi. и вот прямо сейчас, дописав эти строки, я вдруг резко понял свою ошибку: я их разделил на два интеграла, и пытался искать по отдельности. отсюда и получал, что нужно вычислить интеграл вида 1/sin^2a от 0 до 2pi, умноженный на константу, а уж это-то должен быть действительно неограниченный интеграл. но мне нужно было их нн разделять, а подвести все под общий знаменатель и стараться преобразовывать. я не заметил, что у нас тогда в числителе будет бесконечно малая в 0 функция, которая к 0 стремится так же, как и функция в знаменателе(если 1-cos^3a раскрыть, там будет множитель 1-сosa а снизу только sin^2, предел в 0 такого отношения есть и равен 1/2). но спасибо вам за ответ, если бы вы не написали и я не попытался бы объяснить поконкретнее, наверное, вопрос бы этот не решился так быстро. очень хорошо, что вы отвечаете на комментарии, люди это, несомненно, ценят)
а что при этом получится? :) вообще, например, объем можно найти, "проинтегрировав площадь сечения" (и даже тут можно таким способом воспользоваться). Т.е если мы, например, найдем площадь сечения тела, плоскостью перпендикулярной оси ОХ (понятно, что в каждой точке будет разная площадь сечения, т.е она будет зависеть от х) и потом проинтегрируем по х, то получится объем тела.
ну конус - тело вращения, но я не представляю, как там нужно "дифференцировать" формулу для объема (она же зависит и от радиуса основания и от длины высоты), чтобы получить формулу для полной поверхности :)
en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid последний абзац. Но лично мне там не особо понятна "идея".... но формула там написана. На ютьюбе мне попадалось как-то видео (на англоязычном канале, но уже не вспомню у кого)
А это и правда всего лишь забавный факт? Или же есть разумное объяснение тому, что пи округлили до 4? Вроде бы, у программистов принято всегда округлять числа в большую сторону, может это заговор?)
если сделать пересечения большего числа цилиндров (так чтобы у них были одинаковые диаметры, и при пересечение все оси лежали в одной плоскости), то можно увидеть, что чем больше будет цилиндров пересекаться, тем ближе фигура будет к шару :) соответственно в предельном случае, при бесконечном числе пересекающихся цилиндров, получим шар :) т.е константа как раз будет стремиться в итоге к пи. Надеюсь, что-то понятно из моего коммента :)
Здравствуйте. Могли бы показать как построить развертку пересечения двух цилиндров не построением, а вычислительный метод? В Автокаде как-то это делается, но что и как не могу найти. Как вычислить точки кривой и затем по ним построить развертку? Надеюсь понятно объяснил.) Вот ссылка, что я имею ввиду faq.surnet.ru/sborka/mehano_021.htm. Спасибо.
вроде синусоида должна получится, но сам что-то я не помню, как это доказывается. подумаю :) вот ролик на другом канале есть про это: ruclips.net/video/I61ZaYajm1s/видео.html
![Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]](/img/1.gif)
В итоге 3D-иллюстрации получились очень классными!
И, конечно, содержание, как всегда, на высоте!
спасибо, ваш отзыв о качестве иллюстраций особенно ценен! :) в этом смысле, смотря на ваши видео, мне еще есть куда расти. :)
Отличные иллюстрации. Спасибо за подробное нахождение объёма и площади поверхности.
Господи, почему здесь так незаслуженно мало просмотров? Просто пример для всех учителей, красиво, понятно, да ещё и кругозор развивает)
Очень хорошая подача материала. И очень рад, что существует такие каналы, помогающие людям разбираться в математике (в моем случае векторный и тензорный анализ), учитывая то, что спрос на данный материал не такой уж и большой, я очень рад, что есть такие энтузиасты, которые несмотря на небольшую востребованность данного материала все равно делают это и помогают нуждающимся в этом нелегком деле
Это просто волшебство какое-то! *Словил кайф!* _(извините за сленг - других слов не найду!)_
рад, что понравилось! :)
Какое классное видео! Не смог оторваться, сумели зацепить с самых первых минут!
Боюсь представить, сколько сил было вложено в создание такого ролика, чтобы так подробно, чётко, ясно, лаконично и самое главное, наглядно всё показать! 3D - иллюстрации, действительно, получились крутыми! Хочется ещё больше таких видео!
Огромное спасибо за полученное удовольствие от такого увлекательного путешествия! Финал мне очень понравился!
спасибо за такой воодушевляющий отзыв! :)
3D-анимация на высоте. Покажу студентам
кристалл!! смотрю вас после разбора данной задачи с нашим китайским математиком )
Поразительно!
Блин ну и балдежные задачи у тебя
стараюсь интересные искать :)
А можете сделать видео про пересечение трёх цилиндров, оси которых пересекаются под углом 90 градусов?
Шикарно
Эта задача об объеме устно решается так:
при фиксированном x\in[-r; r] сечение нашего тела- квадрат со стороной 2 Sqrt[r^2-x2]. Площадь квадрата S(x)=4 (r^2-x^2).
Тогда объем - это интеграл от S(x) от -r до r. И мы получаем Вашу формулу.
ураа, первое видео которое я более менее понял. жаль только что это все мало поможет на зно
надеюсь, со временем будет таких больше
❤Почему то мне сразу захотелось взять первую производную по r от объема и получить площадь поверхности. Уж больно все на шар похоже. Это наверно не совсем Равиль но, но площадь я посчитал быстрее)))
❤Не угадал, с пи не угадал. Хотя хороший курс матанализа прошел в университете правда давно это было 😊😊😊
Интересно - а что на счёт трицилиндра?
В прочем в нём всё относительно просто. Потребуются два интегралла, кусок от бицилиндра, и кусок на базе кругов с вырезанными сегментами.
Когда одинадцатерной интеграл будет?
И когда будет половинчатый интеграл?
ничосе, ОКРУГЛИТЬ ПИ ДО 4
ждем еще подобное. Уровень высочайший. Странно, что канал еще такой маленький
спасибо! рад, что понравилось! Ютьюб так работает :)
Самый главный ворос. Где зелёный? Я вижу только голубой.. ( : Ролик отличный, спасибо
Интересно то, что площадь опять получилась производной от объёма по радиусу. Так бывает далеко не всегда
Это свойство также наблюдается у шара (сферы)
ага, тут уже это писали в комментах :)
а как посчитать объем пересечения двух цилиндров с НЕравными радиусами?
сложнее! насколько я помню, вроде, если оси цилиндров пересекаются, но радиусы разные, то это приведет к эллиптическим интегралам. А если и оси цилиндров не пересекаются, тогда вообще ничего хорошего не получится.... интегралы только приближенно численно вычисляются.
Наверное, самый сложный раздел математики - это стереометрия. Там нужно хорошее воображение, чтобы все вычислять
раньше с этим сложнее было, теперь куча технических средств есть - можно построить всякие поверхности :)
@@Hmath согласен. Но все равно нужно стараться решать без техники, чтобы развивать воображение, а оно, как известно, важнейший инструмент науки
Доброго времени суток! А какая формула если разные диаметры, пересекаемые по хорде..,?
совсем общей нет, там получится интеграл, который только численно и можно найти. Но при разных диаметрах, если оси цилиндров совпадают (и пересекаются под прямым углом), то скорее всего интеграл придет к эллиптическим интегралам.
Спасибо большое!
здравствуйте, у меня вопрос: если ввести полярные координаты x=pcosa, y=psina, z=√(r^2-p^2sin^2a), то при дальнейшем повторном интегрировании, например, сначала по dp функции p*√(r^2-p^2sin^2a), находя первообразную, получается, что sin^2a пойдет вниз в знаменатель, как постоянный множитель. а далее нужно интегрировать по da от 0 до 2pi, и на этом промежутке sina обращается в 0. получается, функция получившаяся неограниченна, у нее 0 в знаменателе на этом промежутке, интеграл расходится. где я ошибся, можете, пожалуйста, подсказать?
здравствуйте. не знаю, какая у вас функция получилась после первого интегрирования, я сейчас попробовал на компе посчитать - да, там синус в знаменателе, но функция не является при этом неограниченной, предел в 0 и в пи равен конечному числу. так что это при интегрировании нет вообще никакой проблемы.
кстати, даже если функция была бы неограничена на отрезке интегрирования, то это еще не значит же, что интеграл расходится :)
например, интеграл от 1/√х при х от 0 до 1 (функция неограничена в нуле, но интеграл равен 2)
@@Hmath хм. у меня вышла первообразная от p*√(r^2-p^2*sin^2a) такая: -1/(3*sin^2a)*(r^2-p^2*sin^2a)^(3/2). тяжко так писать, но, надеюсь, понятно, интеграл прозрачный. и вот тут, если подставлять пределы от 0 до r(пределы нашей области), окажется следующий повторный интеграл по da: -1/(3sin^2a)*r^3*|cos^3| + 1/(3sin^2a)*r^3. вот это мы интегрируем от 0 до 2pi. и вот прямо сейчас, дописав эти строки, я вдруг резко понял свою ошибку: я их разделил на два интеграла, и пытался искать по отдельности. отсюда и получал, что нужно вычислить интеграл вида 1/sin^2a от 0 до 2pi, умноженный на константу, а уж это-то должен быть действительно неограниченный интеграл. но мне нужно было их нн разделять, а подвести все под общий знаменатель и стараться преобразовывать. я не заметил, что у нас тогда в числителе будет бесконечно малая в 0 функция, которая к 0 стремится так же, как и функция в знаменателе(если 1-cos^3a раскрыть, там будет множитель 1-сosa а снизу только sin^2, предел в 0 такого отношения есть и равен 1/2).
но спасибо вам за ответ, если бы вы не написали и я не попытался бы объяснить поконкретнее, наверное, вопрос бы этот не решился так быстро. очень хорошо, что вы отвечаете на комментарии, люди это, несомненно, ценят)
рад, что разобрались :) я по вашему описанию просто вбил в маткад и быстренько посмотрел, что получится. так обычно проверяю.
А разве нельзя взять проищволную от объема, ну или интеграл от площади поверхности?)
а что при этом получится? :)
вообще, например, объем можно найти, "проинтегрировав площадь сечения" (и даже тут можно таким способом воспользоваться). Т.е если мы, например, найдем площадь сечения тела, плоскостью перпендикулярной оси ОХ (понятно, что в каждой точке будет разная площадь сечения, т.е она будет зависеть от х) и потом проинтегрируем по х, то получится объем тела.
@@Hmath V' = (16/3r³)' = 16r² = S, хих)))
ааа, забавно :) интересно, для каких тел еще так работает? :)
@@Hmath для шара точно работает)
ну конус - тело вращения, но я не представляю, как там нужно "дифференцировать" формулу для объема (она же зависит и от радиуса основания и от длины высоты), чтобы получить формулу для полной поверхности :)
Здравствуйте, а как действовать, чтобы найти поверхность, если же три цилиндра пересекаются, не могли бы Вы помочь?
3 цилиндра могут пересекаться по-разному. Ну и думаю, очевидно, что описать какое-либо решение в комментарии невозможно.
@@Hmath по трём взаимно перпендикулярным прямым, являющимися осями этих цилиндров
Интересуют идея
en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid
последний абзац. Но лично мне там не особо понятна "идея".... но формула там написана. На ютьюбе мне попадалось как-то видео (на англоязычном канале, но уже не вспомню у кого)
@@Hmath спасибо
А это и правда всего лишь забавный факт? Или же есть разумное объяснение тому, что пи округлили до 4? Вроде бы, у программистов принято всегда округлять числа в большую сторону, может это заговор?)
если сделать пересечения большего числа цилиндров (так чтобы у них были одинаковые диаметры, и при пересечение все оси лежали в одной плоскости), то можно увидеть, что чем больше будет цилиндров пересекаться, тем ближе фигура будет к шару :) соответственно в предельном случае, при бесконечном числе пересекающихся цилиндров, получим шар :) т.е константа как раз будет стремиться в итоге к пи. Надеюсь, что-то понятно из моего коммента :)
@@Hmath всё абсолютно понятно! Совпадение или нет, но я подумал об этом, и тут же вы ответили тем же. Спасибо)
Оказалось, что число пи равно 4. Ммммм
может в какой-то из параллельных вселенных это так и есть ;)
Здравствуйте. Могли бы показать как построить развертку пересечения двух цилиндров не построением, а вычислительный метод? В Автокаде как-то это делается, но что и как не могу найти. Как вычислить точки кривой и затем по ним построить развертку? Надеюсь понятно объяснил.) Вот ссылка, что я имею ввиду faq.surnet.ru/sborka/mehano_021.htm. Спасибо.
вроде синусоида должна получится, но сам что-то я не помню, как это доказывается. подумаю :)
вот ролик на другом канале есть про это: ruclips.net/video/I61ZaYajm1s/видео.html