А если Вы студент 1-го курса и боитесь не сдать сессию, то советую записаться на мой курс по анализу и построению графиков функций! profimatika.ru/graphs
Работала раньше с интегралами немного (в 11 классе, когда проходили первообразную) на самом элементарном уровне, в вузе их еще не проходили, а про переменный верхний предел вообще никогда не слышала. Задача на картинке изначально показалась страшной. Я эконом. факультет вшэ (миэф, если кто-то знает), так что нас прям сильно матаном не грузят, и вышмат я не особо люблю. Однако все, что было в видео я поняла, задача оказалась довольно простой. Объяснено всё ну очень красиво и выглядит так, будто когда-нибудь навык считать такое может пригодиться :) Спасибо, Максим! ❤️
Интересная задачка, хотя я ее решал совсем по другому. Мне почему-то сразу в голову пришла идея написать численную оценку интеграла через формулу Симпсона, но для этого нужно помнить формулы остатков в правилах многоугольников, трапеций и парабол.
Уважаемый Лидий, честно говоря, так почему-то приятно видеть Ваши комментарии под разными видео физико-математической тематики. Прям тепло на душе, сам не понимаю почему)
Аналогично! Подумал 5 минут, разложил arctg в ряд (с помощью взятия производной, которая хорошо раскладывается, а потом первообразной ряда), подставил t^3, взял первообразную, и получил верный ответ. Естественно, (5^4-3^4)/4 тоже не считал, и так всё ясно
Было интересно. Я учусь в немецком вузе и мы проходили интегралы с параметрическими границами в первом семестре. А правило Лопиталя это база)) Так что для меня эта задача оказалась не сложной, но поучительной.
Спасибо за чиловые представления, чел! Я реально от математики не отхожу 24/7. И твои сложные штуки, так простяцки подаваемые, сильно отвлекают и разбавляют. Реально интересно…
по хорошему нет, потому что интеграл Римана связан с первообразной через формулу Ньютона-Лейбница, для вывода которой нужно заранее знать о производной интеграла с переменным верхним пределом
@@stasessiya Правильно, по формуле Ньютона-Лейбница, а откуда эта формула берётся? Так что в принципе @imperialist81 прав. Хотя «проще сказать» это нечёткое понятие. (Не забываем про теорию нечётких множеств. 🙂)
Это прям простой пример, не за рамками вузовской программы как было сказано в видео. Главное - пройти что такое интеграл (ну и предел естественно, но их раньше интегралов проходят)
Сначала нужно определить множество всех лампочек L и множество всех возможных состояний закручивания S. Затем требуется одна переменная λ, которая будет отображением λ:L→Sλ:L→S
В математике нет царской дороги, не понимаете высшую математику значит не знаете элементарную, поэтому надо в таком случае начинать с программы 5 класса. А ведущий классный мужчина❤❤❤❤.
Зачем такое усложнение с промежуточной константой? Вроде очевидно, что по аналогичной логике мы должны вычесть функцию от нижней границы вместо нуля. Ёж точно понял, а я вот нет )
В универе немного столкнулись с интегралом с переменным верхним пределом. Но ещё и дифференцированием его не занимались. Как-то попался такой пример на дифференцирование, просто не стал его делать. А сейчас всё понял, пригодится. спасибо.
Кмк переусложнен момент с разбиением интеграла с параметром на два (до С и после С) - можно ведь было этого не делать, сразу бахнуть Ньютона-Лейбница от t=3x до t=5x и получить буквально тот же результат?
а в чем прикол, когда мы выводили формулу Ньютона Лейбница мы пользовались как раз итегралом с переменным пределом, брали от него производную, да и на кр задачи, где нужно было какие то хитрые такие приемы сделать много было
Было немного в вузе такое. В вашем объяснении сильно заступорился на 13:50. Думал, что как это производная F(t) по x дает f(t), видимо штрих это производная по т в этом случае, а уже в примере все нормально. Так как там т и х местами поменяны
Сразу возникает вопрос: можно ли придумать пример, опровергающий это рассуждение «по идее»? Это ещё нужно доказывать, что при стремлении пределов интегрирования к нулю (или, например, к одной и той же константы) любой определённый интеграл стремится к нулю. Интуитивно это выглядит очевидным, но я пока сомневаюсь, что это можно доказать. Хотя... нет, похоже это доказывается, так и есть.
Предел по X от предела по dt, если предел по dt расходится то вопрос вдоль какой кривой в пространстве X#dt брать придел, если предел по dt сходится то ответ предела нет
@@Profimatika_vyshmat , так даже объяснять не надо. Просто молча выписать три формулы, следующие друг за другом. Первая - Ньютона-Лейбница, последняя - вон та, итоговая . Я слышал за интегралы с переменными пределами, но ни разу не сталкивался, но мне хватило понять, что нужно делать, и в уме "написать" этот итог. Что сложного в одной-единственной промежуточной формуле?
@ с таким же успехом можно сразу ответ на задачу выписать и закончить видос) Цель всех моих видео-не просто зазубрить формулу, не поняв их смысл, а осознать, откуда какая формула берется и как ее идейно можно получить
Специально для Вас три промежуточные формулы / f(x) \ ' / | f(x) \ ' | ∫ φ(t)dt | = | F(t) | | = ( F(f(x) - F(g(x) )' = F'(f(x)) - F'(g(x)) = φ(f(x))f'(x) - φ(g(x))g'(x) \ g(x) / \ | g(x) / P.S. "Для Вас" не в том смысле, как может показаться, сорри. В том смысле, что "как объяснить наглядно совсем уж нестудентам". Для студентов можно оставить только третью.
Но в целом задача интересна, не спорю. Посмотрел с удовольствием. К слову, я "в уме" ctg превратил в tg и подзастрял. По видосу уже понял, что стоило оставить отношение cos/sin
Здравствуйте! Скажите, можно ли было решить этот пример проще: arctg x ~ x при lim x -> 0 Значит и интегралы, нижний и верхний предел которых также стремятся к нулю, будут отличаться на величину, которая стремится к нулю с бóльшим порядком роста, а значит при сложении ей можно пренебречь (пример: 1/x² + 1/x⁴ при сложении обоих дробей 1/x⁴ будет стрящимся к бесконечности ничножно мало по сравнению с 1/x²). В результате выходит тот же самый ответ - 136. Не я не права, то где могла бы ошибиться?
Надо в таких случаях для строгости писать arctg(x) = x + o(x), тогда можно и интегрировать и дифференцировать спокойно и складывать, а просто замена на эквивалентную может быть потеряет значащую величину (если ответ будет не конечным)
Но ведь вы берёте производную по x, а в самом интеграле не dx, а dt. Сам x фигурирует только в границах интеграла. Можете пояснить, почему это работает?
спасибо. очень интересный пример с весьма внезапным ответом. было здорово послушать рассуждения, как обычно. с удовольствием смотрю. жена пугается таких страшных цифр )
А это нормально, что я ученик 10 класса и смотрю уроки по выш мат...? Знаю уже всю программу 11-го класса, понимаю от куда что берется, это интересно. Учусь даже не в лицее, в книгах все понятно. Но это нормально, что я все это смотрю? 😅
Вот это и называется неприятным словом «начётничество». 🙂Да, я увидел смайлик в вашем комментарии, так что и мой комментарий со смайликом не принимайте всерьёз.
Точно прямо НИКТО не смог решить? Что-то не верю. Тут же элементарные преобразования. Знаем, что arctg y = y + O(y²) Тогда ∫ arctg t³ = t⁴ / 4 + O(t⁷) = (5⁴ - 3⁴)x⁴ / 4 + O(x⁷) = 136x⁴ + O(x⁷) Знаем, что sin y = y + O(y³), cos y = 1 + O(y²) Тогда ctg x⁴ = [1 + O(x⁸)] / [x⁴ + O(x¹²)] Исходное выражение: lim [1 + O(x⁸)] / [x⁴ + O(x¹²)] ⋅ [136x⁴ + O(x⁷)] = lim [1 + O(x⁸)] / [1 + O(x⁸)] ⋅ [136 + O(x³)] = lim 1 / 1 ⋅ 136 = 136. И вообще без разницы, какие там функции и интегралы внутри. Дело пяти минут, если аккуратно расписывать.
А если Вы студент 1-го курса и боитесь не сдать сессию, то советую записаться на мой курс по анализу и построению графиков функций!
profimatika.ru/graphs
Работала раньше с интегралами немного (в 11 классе, когда проходили первообразную) на самом элементарном уровне, в вузе их еще не проходили, а про переменный верхний предел вообще никогда не слышала. Задача на картинке изначально показалась страшной. Я эконом. факультет вшэ (миэф, если кто-то знает), так что нас прям сильно матаном не грузят, и вышмат я не особо люблю. Однако все, что было в видео я поняла, задача оказалась довольно простой. Объяснено всё ну очень красиво и выглядит так, будто когда-нибудь навык считать такое может пригодиться :) Спасибо, Максим! ❤️
Спасибо, приятно слышать)
МИЭФ знаю, конечно, каждый год по несколько учеников индивидуальных с МИЭФа приходит заниматься матаном😅
Чистейший кайф) раз ты сегодня спрашивал в чате про семестровую работу из МФТИ, надеюсь, будет её разбор)
Интересная, хотя вроде и несложная, задача! Объяснение прямо очень подробное, после такого никаких вопросов быть не может)
Интересная задачка, хотя я ее решал совсем по другому. Мне почему-то сразу в голову пришла идея написать численную оценку интеграла через формулу Симпсона, но для этого нужно помнить формулы остатков в правилах многоугольников, трапеций и парабол.
Можно было ещё перед применением правила Лопиталя заменить (cos(x))^4 на эквивалентную ему в нуле единицу.
Очень крутое объяснение. Будь у меня такой преподаватель можно было бы и в ШАД поступать. Спасибо!
С спасибо . Но , можно чуть иначе ! Решаем задачу « в лоб». {разумеется нужен крепкий «лоб» }
Предварительно напомним несколько полезных в будущем формул ( может кто не знает ?)
(1) [tg(x)]’=1/[cos(x)]^2 ; (2) [cos(al)]^2=[cos(al)]^2/{ [cos(al)]^2+[sin(al)]^2 }=1/{ 1+[tg(al)]^2 }. Представляем в (2) al=arctg(x) - получаем : (3) cos( arctg(x) )=1/(1+x^2) .
(4) [tg( arctg(x) )]’={1/[cos(arctg(x) )]^2}*[arctg(x)]’=x’=1 . Из (4) - с учетом (3) - получаем : (5) [arctg(x)]’=1+x^2.
За неимением на клавиатуре знака интеграла , обозначим первообразную функцию от f(x) : НИ{f}(x) . Формула интегрирования « по частям» доказывается по определению взятием производной от обеих частей тождества : (6) НИ{u*v’}=u(x)*v(x)-НИ{u’*v} .
Применим (6) и (5) для вычисления «в лоб» предложенного интеграла . (7)J(t)=НИ{arctg(t^3)*t’}=t*arctg(t^3)-НИ{t*3*t^2*(1+t^6)}=J(t)=t*arctg(t^3)-(3/4)*t^4-3/10*t^10 .
По известной (надеюсь 😊) формуле Ньютона- Лейбница : Y(x)=J(5*x)-J(3*x) .
Теперь можно рассмотреть предлагаемый предел . ( везде при ‘x’ или ‘q’ - стремящемся к нулю !)
Напомним , что предел произведение равен произведению пределов , предел суммы равен сумме пределов ( разумеется , если все пределы существуют).
lim{sin(x)/x }=1 ; (8) lim{ arctg(x)/x }=!! arctg(x)=q , x=tg(q) !!=lim{ q/tg(q) }=lim{ cos(q) }/lim{ sin(q)/q }=1/1=1 ;
(9) ?=A=lim{ cos(x^4)*[x/sin(x)]^4*[Y(x)/x^4] }=lim{cos(x) }*[1/lim{ sin(x)/x }]^4*[ lim{ J(5*x)/x^4 }+lim{ J(3*x)/x^4 } .
(10) lim{ cos(x^4) }=1 ; (11) lim{ [sin(x)/x]^4 }=1^4=1 ; (12) lim{J(5*x)/x^4 }=(7)= (5^4*[ lim{ arctg(5*x)/(5*x) } ]^3-(3/4)*5^4*-(3/10)*5^10*lim{ x^6 }=5^4*(1-3/4)+0=5^4/4 ;
(13) lim{ J(3*x)/x^4 }=…….. =3^4*(1-3/4)+0=3^4/4 . ……….
Получаем Ваш ответ .
С уважением, Лидий
Здорово. Крепкий лоб прилагается.
Уважаемый Лидий, честно говоря, так почему-то приятно видеть Ваши комментарии под разными видео физико-математической тематики. Прям тепло на душе, сам не понимаю почему)
Я ее решил в уме! Как это не решил никто? Ну окей, мне было лень считать (5^4-3^4)/4=136 и я посчитал это в гугле
Аналогично! Подумал 5 минут, разложил arctg в ряд (с помощью взятия производной, которая хорошо раскладывается, а потом первообразной ряда), подставил t^3, взял первообразную, и получил верный ответ. Естественно, (5^4-3^4)/4 тоже не считал, и так всё ясно
ааа, выглядит страшно, решение огонь!
Класс! Переменные пределы интегрирования считать не доводилось ранее )
Было интересно. Я учусь в немецком вузе и мы проходили интегралы с параметрическими границами в первом семестре. А правило Лопиталя это база)) Так что для меня эта задача оказалась не сложной, но поучительной.
Если не секрет, то где вы учились? А то у нас по программе максимум это пределы в 1 семе)
Спасибо за чиловые представления, чел! Я реально от математики не отхожу 24/7. И твои сложные штуки, так простяцки подаваемые, сильно отвлекают и разбавляют. Реально интересно…
Рад слышать)
Спасибо! Ждем новых роликов
легенда, ждём объяснения егэ правилом лапиталя
Замечательно, отличная видеокарточка
В объяснении производной от интеграла мне кажется проще было сказать про первообразные, и что мы берём производные от них)
по хорошему нет, потому что интеграл Римана связан с первообразной через формулу Ньютона-Лейбница, для вывода которой нужно заранее знать о производной интеграла с переменным верхним пределом
@@stasessiya Правильно, по формуле Ньютона-Лейбница, а откуда эта формула берётся? Так что в принципе @imperialist81 прав. Хотя «проще сказать» это нечёткое понятие. (Не забываем про теорию нечётких множеств. 🙂)
@@Micro-Moo текст после «Ньютона-Лейбница»: меня нет
Страшно, что почти все понял, учась в 10 классе, когда по программе еще только начали проходить тригонометрию)
О жиза
Это прям простой пример, не за рамками вузовской программы как было сказано в видео. Главное - пройти что такое интеграл (ну и предел естественно, но их раньше интегралов проходят)
Анекдот: сколько переменных нужно, чтобы закрутить лампочку...😂
Сначала нужно определить множество всех лампочек L и множество всех возможных состояний закручивания S. Затем требуется одна переменная λ, которая будет отображением λ:L→Sλ:L→S
Продолжение анекдота: Одной, но при условии, что она комплексная - тогда крутится и в реальной, и в мнимой части!
- Ответ: тысяча.
- Почему?
- А что, нам жалко переменных?
По поводу учили или нет этому, да не помню, давно было) а так все очень доступно и понятно
Как раз сейчас решала отборочный, очень кстати попалось видео😅
В математике нет царской дороги, не понимаете высшую математику значит не знаете элементарную, поэтому надо в таком случае начинать с программы 5 класса. А ведущий классный мужчина❤❤❤❤.
Зачем такое усложнение с промежуточной константой? Вроде очевидно, что по аналогичной логике мы должны вычесть функцию от нижней границы вместо нуля. Ёж точно понял, а я вот нет )
Вау. Я все понял. Спасибо!
В универе немного столкнулись с интегралом с переменным верхним пределом. Но ещё и дифференцированием его не занимались. Как-то попался такой пример на дифференцирование, просто не стал его делать. А сейчас всё понял, пригодится. спасибо.
Очень интересно и новое для меня
подскажите пожалуйста, каким планшетом вы пользуетесь для работы? очень хочу себе тоже такой купить для учебы но выбрать никак не могу
iPad Pro 12.9)
Чёрт его знает, зачем я это смотрю - но увлекает. По работе институтский матан так и не стал нужен.
Спасибо )
Кмк переусложнен момент с разбиением интеграла с параметром на два (до С и после С) - можно ведь было этого не делать, сразу бахнуть Ньютона-Лейбница от t=3x до t=5x и получить буквально тот же результат?
а в чем прикол, когда мы выводили формулу Ньютона Лейбница мы пользовались как раз итегралом с переменным пределом, брали от него производную, да и на кр задачи, где нужно было какие то хитрые такие приемы сделать много было
Круто, честно, кажется не работал с таким...
Было немного в вузе такое. В вашем объяснении сильно заступорился на 13:50. Думал, что как это производная F(t) по x дает f(t), видимо штрих это производная по т в этом случае, а уже в примере все нормально. Так как там т и х местами поменяны
Предел от интеграла? Беспредел от интегральщика. 🙂
For x approaching zero, approximate ctg x^4 as 1/x^4, and the integrand as t^3. The result is (5^4-3^4)/4=136, lol.
Хорошее видео, православное 👍
Не смотрел. Но мы имеем определённый интеграл, и пределы интегрирования стремятся к нулю - и по идее должен получиться ноль 😊
Сразу возникает вопрос: можно ли придумать пример, опровергающий это рассуждение «по идее»? Это ещё нужно доказывать, что при стремлении пределов интегрирования к нулю (или, например, к одной и той же константы) любой определённый интеграл стремится к нулю. Интуитивно это выглядит очевидным, но я пока сомневаюсь, что это можно доказать. Хотя... нет, похоже это доказывается, так и есть.
Ну вообще-то по формуле Ньютона-лейбница любой определённый интеграл равен нулю.
Любой определённый интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределом, конечно.
@@alter.007 «Любой определённый интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределом...» Ну да, понятно. (А то вы меня испугали насчёт любого 🙂)
почитайте про дельта функцию)
как пример функции с стремящимися границами к нулю, интеграл от которой равен 1
а не проще ктг в тг перевести и в низ дроби поставить? чтобы без произведения сверху
Согласен)
Спасибо за видео. Ты очень красивый мужчина ❤❤❤.
12:55 производная была по х, а по сути становится по т. Объяснить бы понятнее и подписывать внизу, по какой она переменной. Спасибо.
Знаем, учили в ВУЗе такое, как в 15:48 по матану.
Теорема Барроу?
Да)
Не очень понял, почему интеграл стремится к нулю, объясни поподробнее, пожалуйста...
а что дает вузовская олимпиада?
возможность поступить в магистратуру без вступительных испытаний, например)
Cos то зачем дифференцировать? Его сразу можно вынести
предел при х стремящимся к 0 косинус делить на синус не существует же, функция расходится около нуля
можно сказать по модулю стремится к бесконечности
Котангенс у нас стоит в чётной степени, так что он стремится к +∞ при x -> -0 и при x -> +0 в любом случае
Это норма, что я учусь в 11-м классе и это смотрю(мне интересно)?
А что, нужно по норме, иначе никак? Вообще-то таких школьников немало. И это замечательно.
Конечно!
Что за приложение вы для "моделирования" математики используюте?
@@АлександрУшаков-к8е Desmos для визуализаций)
GoodNotes для записей
если вы про приложение для графиков - то desmos
а не проще ли было ctg дставить как 1/tg ? чуть менее грамоздко будет
А почему нельзя котангенс заменить на 1/тангенс? Проще не выйдет?
@@maxgreenword8790 можно, не пробовал)
Предел по X от предела по dt, если предел по dt расходится то вопрос вдоль какой кривой в пространстве X#dt брать придел, если предел по dt сходится то ответ предела нет
Видос о том, как 20 секунд объяснений растянуть на 6 минут 10 секунд?
@@Qraizer будет ли объяснение за 20 секунд понятно всем и усвоится ли оно?)
@@Profimatika_vyshmat , так даже объяснять не надо. Просто молча выписать три формулы, следующие друг за другом. Первая - Ньютона-Лейбница, последняя - вон та, итоговая . Я слышал за интегралы с переменными пределами, но ни разу не сталкивался, но мне хватило понять, что нужно делать, и в уме "написать" этот итог. Что сложного в одной-единственной промежуточной формуле?
@ с таким же успехом можно сразу ответ на задачу выписать и закончить видос)
Цель всех моих видео-не просто зазубрить формулу, не поняв их смысл, а осознать, откуда какая формула берется и как ее идейно можно получить
Специально для Вас три промежуточные формулы
/ f(x) \ ' / | f(x) \ '
| ∫ φ(t)dt | = | F(t) | | = ( F(f(x) - F(g(x) )' = F'(f(x)) - F'(g(x)) = φ(f(x))f'(x) - φ(g(x))g'(x)
\ g(x) / \ | g(x) /
P.S. "Для Вас" не в том смысле, как может показаться, сорри. В том смысле, что "как объяснить наглядно совсем уж нестудентам". Для студентов можно оставить только третью.
Но в целом задача интересна, не спорю. Посмотрел с удовольствием. К слову, я "в уме" ctg превратил в tg и подзастрял. По видосу уже понял, что стоило оставить отношение cos/sin
Здравствуйте!
Скажите, можно ли было решить этот пример проще:
arctg x ~ x при lim x -> 0
Значит и интегралы, нижний и верхний предел которых также стремятся к нулю, будут отличаться на величину, которая стремится к нулю с бóльшим порядком роста, а значит при сложении ей можно пренебречь
(пример:
1/x² + 1/x⁴ при сложении обоих дробей 1/x⁴ будет стрящимся к бесконечности ничножно мало по сравнению с 1/x²).
В результате выходит тот же самый ответ - 136.
Не я не права, то где могла бы ошибиться?
Надо в таких случаях для строгости писать arctg(x) = x + o(x), тогда можно и интегрировать и дифференцировать спокойно и складывать, а просто замена на эквивалентную может быть потеряет значащую величину (если ответ будет не конечным)
Можно, только о малое не забыть, как в комментарии выше уже указали)
@@vector_fmСпасибо за дополнение!
Но ведь вы берёте производную по x, а в самом интеграле не dx, а dt. Сам x фигурирует только в границах интеграла. Можете пояснить, почему это работает?
Определенный интеграл с границами, зависящими от х, также будет функцией, зависящий от х)
спасибо. очень интересный пример с весьма внезапным ответом. было здорово послушать рассуждения, как обычно. с удовольствием смотрю. жена пугается таких страшных цифр )
А это нормально, что я ученик 10 класса и смотрю уроки по выш мат...? Знаю уже всю программу 11-го класса, понимаю от куда что берется, это интересно. Учусь даже не в лицее, в книгах все понятно. Но это нормально, что я все это смотрю? 😅
NB: Пределы не "решают", а находят))!
Вот это и называется неприятным словом «начётничество». 🙂Да, я увидел смайлик в вашем комментарии, так что и мой комментарий со смайликом не принимайте всерьёз.
Точно прямо НИКТО не смог решить? Что-то не верю. Тут же элементарные преобразования.
Знаем, что arctg y = y + O(y²)
Тогда ∫ arctg t³ = t⁴ / 4 + O(t⁷) = (5⁴ - 3⁴)x⁴ / 4 + O(x⁷) = 136x⁴ + O(x⁷)
Знаем, что sin y = y + O(y³), cos y = 1 + O(y²)
Тогда ctg x⁴ = [1 + O(x⁸)] / [x⁴ + O(x¹²)]
Исходное выражение:
lim [1 + O(x⁸)] / [x⁴ + O(x¹²)] ⋅ [136x⁴ + O(x⁷)] = lim [1 + O(x⁸)] / [1 + O(x⁸)] ⋅ [136 + O(x³)] = lim 1 / 1 ⋅ 136 = 136.
И вообще без разницы, какие там функции и интегралы внутри. Дело пяти минут, если аккуратно расписывать.
Правильно, надо просто заменить то и другое на 1/x^4 и t^3.
я испугался