Findest du ALLE Quadrate? 🤔 - Schach Mathematik
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- Опубликовано: 8 июл 2024
- Wieviele Quadrate siehst du?
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man Quadrate in dem Schachbrett Rätsel zählen kann. Wir teilen das Schachbrettmuster in 8x8 Felder und fassen mehrere Felder zusammen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Wieviele Quadrate siehst du?
0:13 Lösung Mathe Rätsel
4:12 Bis zum nächsten Video :)
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Ein Verweis auf die mathematische Reihe hätte ich mir am Ende noch gewünscht 😉
8
∑ ((8-x)^2)
x=0
OHA, ich hatte es einfach richtig!! Aber ich habe es schneller hinbekommen: Man weiß ja, dass das Schachbrett „8 Quadrate“ lang ist, deshalb kann man einfach 8•8+7•7+… bis 1. Und das muss man noch zusammenrechnen und dann hat man 204 raus. Es hat mir total Spaß gemacht, bitte man weiter so!!!!!! ❤❤❤❤
Hallo Susanne, ich habe vor kurzem deinen Kanal entdeckt und war sofort begeistert von deinen tollen Aufgaben. Nachdem ich dann noch festgestellt habe, dass wir denselben Nachnamen tragen, war klar: das war Schicksal! Einige von den Matheaufgaben sind zwecks nicht ausreichender Schulbildung (ich bin schon älteren Semesters, da war es noch nicht üblich, dass man das Abi gemacht hat) kann ich nicht lösen, aber ich sage mir: neue Aufgaben sind immer gut fürs Gehirn.
Bei der heutigen Aufgabe habe ich 102 Quadrate entdeckt, dachte mir, so immer um eins verschieben geht nicht... aber im Nachhinein wusste ich sofort, dass man das darf und dann wäre ich tatsächlich auf die richtige Lösung gekommen.
Vielen Dank!!!!!!!!!!!! und liebe Grüße
😊🙃
Ich bin zwar auf die richtige Zahl gekommen, bin aber längst nicht so stringent und pfiffig vorgegangen wie Du
Scjon wieder was gelernt
Es lohnt sich wirklich deinen Kanal zu schauen und zu lernen.
Ich bin auf 204 gekommen und vor allem habe ich den gleichen Lösungsweg gefunden.
Danke! Alle Achtung für Deine 292K Abonnenten. Die hast Du echt und ehrlich verdient. Weiterhin viel Erfolg.
Du hast dich ungefähr um den Faktor 10 versehen
@@sonicmaths8285 Danke für den Hinweis
die junge dame schuldet uns dann demnächst drei boni, da die für die ersten 100k und zweiten noch ausstehen.
vorschlag: drei mathe-videos mit moonsun hintergrundmusik.
der zuwachs in den letzten wochen ist ja wirklich erstaunlich.
bin gespannt, wann susanne mehr abonnenten hat, als es schüler im bundesdeutschen schulsystem gibt.
Bis zur Zahl 36 habe ich die Quadrate gezählt und dann erkannt, dass alle Zahlen von 8 bis 1 quadriert und die Quadratzahlen addiert werden müssen. Wieder eine schöne Aufgabe, dein RUclips Kanal macht mir Spaß 😄. Überlege mir, Kanalmitglied zu werden.
Eine Supersache, ihr Mathekanal👍😊👍
Bin begeisterter Nutzer (62 Jahre).
Dankeschön Heinz! 😍
Einen super Kanal ich freu mich jedes Mal wieder aufs Neue was von dir zu lernen und natürlich einfach sehr bemerkenswert sehr liebevoll alles erklärt, Echt klasse so einen Kanal zu haben der mit Mathematik alles erklärt und auch noch Super interessantes
Dankeschön für deine lieben Worte, das freut mich sehr! 🥰
Ich bin Franzose.Ich schaue ihre Kanal denn die deutsche Sprache und Mathématiques interessieren mir gleichseitig.
Tja wieder was dazu gelernt ! Ich liebe Deine Beiträge. So eine Lehrerin hätte ich, wie viele andere auch damals in der Schule gebraucht ( in Mathe u. Geometrie natürlich) sonst bin ich mit meiner Aus-/Weiterbildung auch ganz zufrieden, und stolz darauf auch handwerklich was drauf zu haben.
Gruß in die Schweiz, meines Vaters Vaterland!
Ich finde es großartig dass du mit Mathe weiter machst obwohl du nicht so viel damit erreichen kannst wie Leute die einfach etwas für Unterhaltung machen. Danke❤🌹 für immer und mach weiter so
Guten Morgen, zusammen aus dem Schwabenland.
ich hoffe, es geht euch allen gut und ihr freut euch genau so wie ich auf die morgige "Q&A"-Session.
Was die Aufregung angeht. Es ist meine erste Session dieser Art, an der ich teilnehme. und.... mit Augenzwinkern...
"Keine Panic auf der Titanic, das Wasser reicht für alle! 🙂"
Jetzt aber zu Rätsel:
Mein Ansatz:
Vorüberlegung:welche Art von Quadraten gibt es auf eine Schachbrett überhaupt:
8x8, 7x7, 6x6, 5x5, 4x4, 3x3, 2x2, 1x1
nächste Überlegung: wieviele von jeder Sorte gibt es?
1x1 -> 64x
8x8 -> 1x
Ab jetzt wird schwieriger (Wie bei einem Schachbrett üblich, bezeichne ich die Spalten mit A-H und die Zeile mit 1-8)
7x7 -> 4x
Diagonale A1-G7
Diagonale B1-H6
Diagonale A2-G8
Diagonale B2-H8
6x6 -> 9x
Diagonale A1-F6
Diagonale B1-G6
Diagonale C1-H6
Diagonale A2-F7
Diagonale B2-G7
Diagonale C2-H7
Diagonale A3-F8
Diagonale B3-G8
Diagonale C3-H8
....
Ich meine darin folgendes Muster zu erkennen, kann aber nicht begründen warum das so ist. Vielleicht kommt das ja in Susannes Lösung, die ich mir noch nicht angeschaut habe.
n sei die "Seitenlänge" des gesuchten Quadrates 'gemessen' in Schachfeldern...
1x1 würde dann bedeuten Quadrat bestehen aus 1x1, also 1 Schachfeld, 4x4 wäre dann ein Quadrat bestehen aus 4x4 also 16 Schachfeldern
Für die Frage "Wieviele" gibt es von jeder Sorte käme ich dann auf
nxn -> (9-n)^2
1x1 -> 64
2x2 -> 49
3x3 -> 36
4x4 -> 25
5x5 -> 16
6x6 -> 9
7x7 -> 4
8x8 -> 1
Die Gesamtzahl alle Quadrate ist schließlich die Summe der einzelnen "Anzahlen", also 1+4+....+64
Wir brauchen aslo die Summe der ersten(!) 8 Quadratzahlen. Hierfür gibt es folgende Formel (N sei die Anzahl der zu summierenden Quadratzahlen)
S=((N(N+1)(2N+1))/6.
Für unseren Fall N=8
S=8*9*17/6=204
Es gibt also insgesamt 204 Quadrate.
Ich hoffe ich habe mich jetzt nicht blamiert und einen völligen Blödsinn gerechnet.
LG aus dem Schwabenland.
Ach Nollerchen 🙄
Ok
Erst dachte ich auch 8^2=64, aber man kann auch übergeordnete Quadrate, also 4er 8er usw zusammenfassen: 8×8+7×7+6×6 usw. Damit wären theoretisch 204 Quadrate möglich.
Sind 64 EINFÄRBIGE Quadrate 👍
@@geriskater2657 + das, in dem alle sind
Also war deine Antwort falsch obwohl das sehr offensichtlich war 🫠
Ja, man erkennt gleich dass es die Summe der Quadratzahlen von 1^2 bis 8^2 ist. Musste nur kurz überlegen wie die Formel dafür ist: Summe 1^2 ... n^2 = n*(n+1)*(2*n+1)/6 also für n=8: 8*9*17/6 = 4*3*17 =12 *17 = 170 + 34 = 204
Tolles Video, wir haben es im Familienteam gelöst und viel Spass dabei gehabt.
Super, freut mich sehr, dass ihr Spaß dabei hattet! 😍 Ganz liebe Grüße an das ganze Familienteam! 🥳
Mathe Sodoku, eine spannende Idee, die Lust auf mehr macht. 👍🙂
generell für ein anfangsquadrat von n×n wäre es die summe aller quadratzahlen bis n
also: Σ k=1->n (k^2)
Ganz allgemein gilt: Wenn ein Rechteck der Größe m*n gegeben ist, dann ist die Zahl der Rechtecke der Größe a*b mit a
Wer das weiß, ist hier allerdings überqualifiziert. Der Reiz dieses "Kanals" ist aber gerade, dass hier dem mathematisch nicht sattelfesten Publikum auf sympathische Weise geholfen wird, in die Welt der abstrakten Logik hineinzuschnuppern und die Angst davor zu verlieren. Ein großer Dank an die Autorin dafür!
Danke für das unterhaltsame Vid und schönes WE
Sehr gerne! Dankeschön, dir auch! ❤️
Eine super Denksportaufgabe👍👍👍🌵!
Ich komme auf 204. Und jetzt schaue ich mir Dein Video an und bin ich gespannt auf Deine Lösung. Danke für Deine Mühe! Ich freue mich immer besonders über Aufgaben, für die meine „alten“ Matheerinnerungen ausreichen 😊 (Abi 88) 🙋🏻♀️
Auf das bin ich auch gekommen. Die Summe der Quadratzahlen von 1 bis 8.
Und natürlich addiert man das nicht sondern rechnet (8*9*17):6.
@@bernhardmorck7358 Hi, wie kommst du auf diese Rechnung? Ich würds gern anwenden, aber sowas hatten wir bis jetzt nicht in der schule🙂
@@intracy999 Die Summe der ersten n Quadratzahlen ist n*(n+1)*(2*n+1)/6. Spätestens wenn die Integralrechnung mit dem Integral von 0 bis 1 unter der Normalparabel erklärt wird sollte diese Formel im Unterricht auftauchen.
@@bernhardmorck7358ah das hat es wirklich erklärt, danke dir!
Darf ich fragen was du von Beruf bist, einfach aus Neugier, wegen den Kenntnissen?
@@intracy999 ich übe keinen Beruf mehr aus. Ich habe mein Fachabitur (FOS 12) damals mit einer 1 in Mathe abgeschlossen. Einiges ist da doch hängengeblieben.
Ja. Cool. Das Prinzip hab ich glücklicherweise schnell begriffen :)
Buenos días Susanne.
En ese mismo problema se pueden hallar la suma de todos los rectángulos que no son cudrados. En español uno habla de rectángulos propios, es decir, rectángulos que no son cuadrados. Además el número total de rectángulos es igual al número de cuadrados más el número de rectángulos propios.
Además ese problema se puede generalizar para cuadrados de cualquier dimensión, y se pueden hallar fórmulas generales para el caso nxn.
Me encantan tus videos. Yo entiendo el alemán, pero prefiero decirlo en español pues hay algunos términos que no sé cómo se dicen en alemán.
Un feliz día
Vielen Danke für diesels Kanal. Macht sehr viel Spass. Geniese nicht noch nur von den Aufgaben sondern ich lerne auch von ihres schönes Deutsch. Ich bin nicht Deutscher. Zum Aufgabe: mindestens eine fehlt noch, abhängig von Mister auch die Hinterseite. Schöne Grüße Ton
Hammerkanal, insbesondere die Integralrechnungen ❤️
Dankeschön!
Danke für die nette Logelei.
Cooles Video!
Sagen wir mal, man hat ein Schachbrett mit n*n Feldern. Also Seitenlänge n.
Bei uns ist n jetzt 8.
Also erstmal sind es 8*8 Felder.
+ Die 2*2 Felder
+ Die 3*3 Felder...
Also: 8*8+7*7+6*6+5*5+4*4+3*3+2*2+1*1 = 204
Nochmal mit n Feldern:
n
∑ j²
j=1
Also: 1²+2²+3²+4²+...+n²
Ich habe es genauso gelöst. Ich wollte das aber noch verallgemeinern und habe mir gedacht bei n Quadraten in einer Reihe und mit m Dimensionen gibt es immer: Summe k=1 bis n und l=1 bis m: k^l viele Formen mit der Anzahl von Dimensionen m.
Ich hoffe man kann verstehen was ich ausdrücken möchte
Ich erinnere mich an die Schachbrett-Aufgabe eines indischen Mararadschas, der es sehr bescheiden fand, dass sein Schachmitspieler nur ein Reiskorn pro Feld , aber jeweils pro Feld verdoppelt, verlangte. Die Summe an Reiskörnern war hinterher bei 64 Feldern gigantische groß. (tolle Aufgabe zu knacken)
Das ist die bekannte Aufgabe: Geometrische Reihe. Die Summe ist (2 hoch 64)-1 und das gibt ca. 18 Trillionen!
de.wikipedia.org/wiki/Sissa_ibn_Dahir
Summe x=1 bis 8 von x^2
1*1 + 2*2 + 3*3 + 4*4 + 5*5 + 6*6 + 7*7 + 8*8 = 204
Solche Fragen gab es früher bei 9Live. 😅
wieder viel spass
Hall Suanne, wie würdest Du dies als Funktion darstellen ? Danke
😊alle gefunden nach dem anschauen deines videos..
Gibt es nicht noch mehr Quadrate? Wenn die Quadrate nicht am Rand sondern eine Reihe von der Seite nach Innen gerichtet werden? Das grösste Quadrat wäre dann noch 6x6 Kästchen gross danach ein 5x5 Kästchen Quadrat, etc welche dann auch zusätzlich verschoben werden können?
Auch hier: Wo ist der Unterschied, wenn du das 6x6-Quadrat direkt Mittig legst oder, wenn es Rechts Unten liegt 1 nach oben und 1 nach links schiebst? Denn das ist ja in der Rechnung schon drin.
Ich hab auch 64 getippt, weil ich die Aufgabe gar nicht richtig verstanden habe, wie es eigentlich gemeint war! Aufgaben richtig zu verstehen, war aber immer schon eines meiner Hauptprobleme!
Gibt es für die Lösung eigentlich eine Kurzschreibweise? Also sowas wie 8!² oder so?
Hatte erst ausgerechnet wie viele Quadrate möglich sind ohne das gleich große Quadrate sich überschneiden (92 Quadrate)
Nachdem ich im Video gesehen habe das auch überschneidende Quadrate erlaubt sind habe ich sofort pausiert und das richtige Ergebnis berechnet
War nicht wirklich schwer
Gibt es sowas wie
(8^2)!
Also acht Quadrat Fakultät? Oder wie wäre die Formel dafür ?
Bitte mach mehr Video für die Oberstufe🙏🙏
Ich habe die Aufgabe fast genauso gelöst, außer, dass ich die zweite gaussche Summenformel verwendet habe:
1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²=
8*(8+1)*(2*8+1)/6=4*3*17=4*51=204
Hallo,
wie ist es eigentlich mit den Quadraten, die diagonal versetzt sind? Also z.B. dem Quadrat von B2+C2+B3+C3? Oder C3+D3+C4+D4 usw? Habe ich da jetzt ggf. einen Denkfehler?
die sind durch die quadrierung drin. du nimmst ein quadrat und zählst dann z.b. nach rechts bis an den rand. ein vierer kann dann sieben schritte nach rechts verschoben werden, aber eben auch nach oben. daher quadrierst du die schritte: 7 x 7. dadurch hast du auch die "diagonalen" mit drin.
An einer Bushaltestelle gibt es ein Schachbrettmuster mit 4×40 Feldern (Steinplatten, abwechselnd weiß und schwarz).
Jetzt habe ich mir folgendes überlegt:
Zunächst kann ich 10 4×4-Quadrate überschneidungsfrei nebeneinanderlegen und ausrechnen, wieviele Quadrate der verschiedenen Größen ich dann bekomme. Und dann schaue ich, wieviele Quadrate durch Überschneidungen noch dazukommen.
Erster Schritt:
Aus einem 4×4-Quadrat können
1+4+9+16 = 30 Quadrate gebildet werden. Bei 10 4×4-Quadraten nebeneinander macht das 300 Quadrate.
Zweiter Schritt
Es kommen dazu:
27 4×4-Quadrate
36 3×3-Quadrate
27 2×2-Quadrate
(Stimmt das?)
Das wären 90 zusätzliche Quadrate.
Insgesamt hätte ich dann 390 Quadrate. Ist das richtig?
Viele Grüße
Marcus
Kann man das auch mit einer Formel lösen ? In einer Programmiersprache würde ich hier einfach eine Schleife durchlaufen lassen, mit einer Formel wäre das allerdings bei sehr großer Anzahl sehr viel schneller.
Es ist die Summe aller quadratzahlen von 1 - 8 also 1+4+9+16+25+36+49+64= 5+25+61+113 = 30+174=204 also 204 quadrate
Hat man wenn man die unteren Quadrate wenn man in die Höhe geht nicht doppelt und müsste dementsprechend 8•8+7•6+6•5.... rechnen?
cool :) spielst du Schach?
Hallo Susanne,
Gibt es nicht noch viel viel mehr Quadrate? Ich kann doch ein aus vier kleinen Feldern bestehendes Quadrat auch in der zweiten Reihe im zweiten Feld von links beginnend felderweise nach rechts und auch felderweise nach oben bewegen. Auch mit den nächstgrößeren ist das möglich. Oder denke ich hier falsch?Gruß vom Westerwald.
Bitte mal antworten!
Habe meinen Denkfehler gefunden shit happens
Ich hatte die mir mal einzeln durchgezählt, also 8×8=64 war ja offensichtlich, dann bin ich mit 2×2 Quadraten fortgefahren.
Doch dann bemerkte ich, es waren sieben 2×2 Quadrate sowohl horizontal als auch vertikal möglich...
8×8 + 7×7 + 6×6 + 5×5 + 4×4 + 3×3 + 2×2 + 1×1
= 64+49+36+25+16+9+4+1
= 204 Quadrate sind in dem Brett möglich.
Man kann doch daraus bestimmt eine Formel machen. Aber wie würde die aussehen, damit sie bei jeder beliebigen Quadratzahl funktioniert?
@@guri311
Keine Ahnung, ich verstehe das Definieren von Formeln überhaupt nicht, da braucht man besimmt das Sigma oder so.
Habe das video noch nicht geschaut, aber nach meinen Überlegungen müssten es 204 Quadrate sein:
1. 64
2. 64 - 15 = 49
3. 64 - 15 - 13 = 36
4. 64 - 15 - 13 - 11 = 25
5. 64 - 15 - 13 - 11 - 9 = 16
6. 64 - 15 - 13 - 11 - 9 - 7 = 9
7. 64 - 15 - 13 - 11 - 9 - 7 - 5 = 4
8. 1
64+49+36+25+16+9+4+1 = 204
Ich habe bemerkt dass natürlich 64 "1er" Quadrate hineinpassen, sprich 8 pro Zeile/Spalte. Bei "2er" Quadraten verschwindet dann aber eine Zeile/Spalte, und bei "3er" Quadraten verschwinden dann schon zwei Zeilen/Spalten usw. Also habe ich für alle Quadrat größen die fehlenden Kästchen subtrahiert und dann alles aufaddiert.
Anzahl der Rechtecke wäre aber interessanter. Tippe mal auf 64 über 2 = 64x63/2 oder?
Es gibt sogar noch mehr als die 204 Quadrate.
Man kann die Quadrate ja auch diagonal verschieben. Dann kommen noch einige (ich hab jetzt nicht gezählt) hinzu.
Aha. Diagonal verschieben. Wenn ich das 2x2- Quadrat von a1,a2,b2,b1 einmal diagonal verschiebe, ist es das Quadrat b2,b3,c3,c2. Und das ist das gleiche Quadrat, wenn ich eine Linie nach Oben (oder Unten) und eine Linie nach Rechts (Links) gehe, was in der Rechnung mit den Quadratzahlen schon drin ist.
Nein. Diagonal verschieben heißt nichts anderes als nach oben + zu Seite. Ist also schon drin, da alle Möglichkeiten für "nach oben" bzw. "zur Seite" erfasst sind. Tipp: Überleg dir bei einem Typ von Quadraten, etwa den 7er-Quadraten, welche Positionen es für die linke obere Ecke eines 7er-Quadrats gibt, sodass das 7er-Quadrat noch aufs Schachbrett passt. Dann siehst du, dass die Diagonalverschiebung kein zusätzliches Quadrat erzeugt.
hallo Susanne, mich würde folgendes freuen wenn man das ausrechnen könnte:
also wenn ich mich mit einem Seil (z. B. in einen Korb), nach oben ziehen möchte, welche Kraft muss ich dafür aufwenden ??
Die Rechnung ist ja nicht so einfach, da man durch das "hochziehen" schon leichter wird, aber wie rechne ich das ?
Und wie rechne ich das wenn ich zwei Rollen nehme ? Also das Seil oben an der Decke fest machen, erste Rolle am Korb, zweite Rolle an der Decke und rest des Seiles zum hoch ziehen.
Ich wäre sehr glücklich zu wissen wie man so was rechnet.
Ein nicht triviales Physikproblem. Rein rechnerisch Technische Mechanik, unter Berücksichtigung von Schwerkraft, Reibung und Trägheit schon eine Diplomarbeit älteren Datums... Diese Aufgabe sprengt den hier gegebenen Rahmen. Das ist kein Thema für das hier versammelte, dankbare Publikum, das es nicht zu verschrecken gilt. ;-)
bin ich jetzt froh, dass ich eine Antwort bekam, selber fand ich meinen Beitrag gar nicht mehr in den Weiten des Netzes. Und der Ornung halber, kann ich jetzt selber zur Auflösung meiner gestellten Frage beitragen.
Also es verhält so:
Je nach Anzahl der Tragenden Seile !! eines Flaschenzuges errechnet man zuerst die Übersetzung des Zuges.
Also nehmen wir an, es handelt sich um einen 1:4 Zug, dann kann man 80 Kilo mit 1/4 der Kraft hoch ziehen, also mit 20 Kilo.
Würde ich mich jetzt selber hoch ziehen, dann käme noch ein tragendes Zeil hinzu, nämlich das, an welchem ich selber ziehe,
ssomit würde also der 1 : 4 Zug zu einen 1 : 5 Zug werden,
Jetzt nur noch das Gewicht durch 5 Teilen und man hat die Zugkraft errechnet, ohne Reibungsverluste natürlich.
So, nun hoffe ich, das die durchaus sehr einfache Erklärung geholfen hat, dieses mich damals sehr belastenden Technischen Problemes allen hier mitlesenden geholfen hat. 😂😊😊
Eine sehr ähnliche Aufgabe wurde vor einigen Monaten hier gestellt und prima erklärt: ruclips.net/video/k2gK2jPI2zE/видео.html&ab_channel=ObachtMathe
Spontan geraten: 2.097.153 = 64 x 32 x 16 x 8 x 4 x 2 + 1.
Stimmt wahrscheinlich nicht, wäre aber 'ne schöne Zweierpotenzenreihe. Die +1 ist für den Rahmen.
Übrigens, Schach kann ich noch weniger als Mathe.
Ich liebe Mathe schon mir, aber mit dir noch mehr. Bist schon clever.
Ich hatte Spaß
... was wäre wenn falls...
... jemand DIR eine Aufgabe stellen würde, aus dem Bereich Mathe, Physik, Chemie, Bio, , ... Philosophie, oder so?
Achwas! Nur Spaß, weil ich mich mit dir anlegen will!
Ich mag deinen Kanal echt. Und schau mein Profilbild an. Das sagt bestimmt den Rest, womöglich haben wir uns sogar schon mal die Primzahlen vorgedichtet. ;)
Das ist ganz schön gemein...
Mal überlegen, ohne dass ich das Video schon ansehe, denn es gibt ganz viele Quadrate:
Das große Brett ist ein Quadrat
die kleinen Felder: 64 Quadrate.
Dann je 4 kleine Quadrate zusammennehmen: 16 Quadrate.
Dann 8 Quadrate zusammennehmen: 4
Es sind mindestens 85 Quadrate.
Allerdings kann man dann ja z. B. noch die äußeren weglassen, Die Umrandung von 7x7 usw. - Aber da ich heute noch einen Zeitungsartikel schreiben muss, ist mir das jetzt zu lange um zu rechnen. Bin mir aber bewusst, dass da noch einiges an Quadraten dazukommt.
Vor dem Video:
Ich komme auf:
1 * 64 für die einzelnen Felder
1 komplettes Quadrat, 1 Quadrat mit 1 Teil Rand (6*6 Quadrat), 1 Quadrat mit 2 Teile Rand (4*4 Quadrat), 1 Quadrat mit 3 Teile Rand (2*2 Quadrat). Das sind schon mal die Spiegel-Symmetrischen Quadrate.
Jetzt zu den Punkt-Symmetrischen Quadraten. Da das Feld jeweils um 90° gedreht werden kann, müssen diese jeweils 4 mal berechnet werden:
1. Zeile: Teil 8 muss ignoriert werden, da es von der Symmetrie gedeckt ist. Von links nach rechts können pro Feld jeweils 6,5,4,3,2,1 eindeutige Quadrate gebildet werden - immer vom Feld aus nach unten rechts erweitern. Es werden immer weniger, weil sich die Quadrate von den späteren Feldern überlappen...
2. Zeile: Teil 1, 7 und 8 müssen ignoriert werden. Von Teil 2 von links nach rechts können pro Feld 4,3,2,1 eindeutige Quadrate gebildet werden (genauso wie in Zeile 1)
3. Zeile: Teil 1, 2, 6, 7 und 8 müssen ignoriert werden. Von Teil 3 von links nach rechts können pro Feld 2, 1 eindeutige Quadrate gebildet werden (genauso wie in Zeile 1 und 2)
4. Zeile: Enthält keine eindeutigen Quadrate mehr (sind alle schon in Zeile 1-3 abgedeckt)
5.- 8 Zeile: Werden von der Symmetrie gedeckt
Das Ergebnis ist also: 64 + 4 + 4*(6+5+4+3+2+1 + 4+3+2+1 + 2+1) = 64 + 4 + 4*34 = 64 + 4*35 = 64 + 140 = 204 Quadrate
Nach dem Video: Manchmal denke ich zu kompliziert 🤣
Aber zumindest habe ich das gleiche Ergebnis...
Geniales Rätsel, ich komm allerdings auf mehr,weil man auch über Diagonale alles rechnen kann!?
Hab das mit 1² + 2² + ... + 8² gerechnet. Da kam dann 204 raus
Sehr schön,nur das Schachbrett muss ein weißes Feld in der rechten Ecke haben.
Stimmt. A1 ist definitiv schwarz! Auch dann, wenn man Schwarz spielt, ist G8 unten links schwarz. Die weiße Dame auf D1 steht grundsätzlich auf einem weißen Feld und die schwarze Dame D8 auf einem schwarzen.
Mit einem Schachbrett lassen sich noch viele andere Rechnereien veranstalten. Z. B. man beginnt mit einem Feld unten am Rand und legt dort ein Weizenkorn ab, bei dem nächsten Feld die doppelte Menge, also 2, dann bei jedem weiteren Feld die doppelte Menge des vorigen, bis man alle 64 Felder ausgefüllt hat, auf welche Summe von Weizenkörnern kommt man dann? Viel Spaß!
2^64 und dann minus 1. 🙂
@@DirkKuepper Man kann auch 2^1 + 2^2 + ... + 2^63 als Lösung nehmen, da gilt: 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1.
Meiner Ansicht nach werden bei der Verschiebemethode so wie du sie angewandt hast einige Quadrate doppelt gezählt. Beispiel 2er Quadrate können waagrecht 6 mal Verschoben werden plus Start Quadrat macht 7 Quadrate. Nach oben verschiebst und Zählst das Startquadrat wieder mit. Somit ist aber die untere Zeile doppelt gezäht oder?
Die doppelten sind nicht ausgeschlossen.
Fragestellung war:
Wie viele Quadrate lassen sich auf dem Brett finden?
*Nicht* ...ohne Doppelzählung...
Das vereinfacht natürlich die Berechnung wie gezeigt.
Hey ihr zwei 😊 Nee, da wurde nichts doppelt gezählt. Du könntest auch alle Zeilen zusammenrechnen. Also in der untersten Zeile passen die 2x2-Quadrate ja 7 Mal rein. Also haben wir schon mal 7 Quadrate. In der darüberliegenden Zeile passen sie nochmal 7 Mal rein. Also haben wir bisher 7+7, also 14 Quadrate. Dann gehen wir zur nächsten Zeile und haben dort dann insgesamt 7+7+7, also 21 Quadrate. Da man das mit allen 7 Zeilen macht, hat man am Ende 7+7+7+7+7+7+7, was nichts anderes ist als 7•7, also 49. Hilft euch das? 😊
@@MathemaTrick Hast Recht sind ja 8 mal 8 kleine Quadrate somit kann man senkrecht wie waagrecht 7 mal verschieben und hat keine Dopperlzählung dabei.
Peter Volgnandt
Vielleicht hat das schon einer erwähnt, aber ich will nicht alle 205 Kommentare durchlesen.
Mir ist aufgefallen, dass, wenn man ein gleichseitiges in kleine gleiche Dreiecke zerlegt, also die Seiten halbiert, drittelt usw., man auch auf die Quadratzahlen kommt. (Sind nicht die Dreieckszahlen, 1,3,5 usw.) Kennt jemand andere Figuren, die man so zerlegen kann. Hab mal kurz in ein Buch über die Parkettierung der Ebene geschaut, aber nichts gefunden. Bin übrigens mit einem Fliesenleger befreundet.
Peter Volgnandt
die 5 als dritte zahl stimmt natürlich nicht, es muss die 6 sein.
Ist ja ganz einfach eine geometrische Reihe von (Summenzeichen) i=1 bis n=8 von i^2, oder nicht?
Nein, das ist keine geometrische Summenformel (sonst müssten die Exponenten steigen). Aber zweite gaussche Summenformel kann man anwenden:
8*(8+1)*(2*8+1)/6=4*3*17=4*51=204
@@timurkodzov718 Ich meinte geometrisch in dem Sinne, dass wir es hier mit einer mathematischen Figur zu tun haben, spezifisch handelt es sich um ein Quadrat, weshalb ich auch das i mit zwei potenzieren lassen habe, wie in der von mir gegebenen Formel. Wenn man dann für das i die im Limit gegebenen Zahlen einsetzt, dann würde man auf diese Reihe hier kommen: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + 8^2 = 204.
es sind aber mehr wenn man diese verschieden grossen Quadrate nicht nur horizontal und vertikal verschiebt, sondern auch diagonal.
Kurz gesagt:
Für Sigma i=1 bis 8: i²
(Oder wie spricht man verbal die Summenformel korrekt aus?)
Summe von i =1 bis 8 von i²
@@diverlady5860 Merci :)
1x1 2x2 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 und 8x8 = 204
Bei Quadratischen Rechungen😂
Grüße Peter
Bitte mach doch ein Video zu einem Kubus mit der gleichen Seitenlänge. Da kommen bestimmt viiiel mehr Quadrate raus.
Mit den 204 Quadraten bin ich nicht ganz zufrieden, die Antwort müßte also lauten mindestens 204 Quadrate plus x Quadrate welche eine Zahl größer als 204 ergeben.
Zur Begründung:
Im Anschazungsbeisoiel wurden die kleineren Quadrate ja nur von etwas nach rechts oder in der anderen Richtung nach oben verschoben.
Wenn wir aber dad jeweils nächst kleinere Quadrat in ein größeres legen egibts es ja wiederum 1 Quadrat, welches wir dem Endergebnis noch hinzuaddieren müßten oder liege ich da falsch?
Beispielsweise wenn wir uns die äußeren 28 Quadrate wegdenken würden hätten wir ein weiteres Quadrat welches um ein kleines Quadrat diagonal verschoben das 5. Quadrat dieser Größe ergibt.
Kommen wir zu einem ganz anderen Thema.
Früher wurden Mobilfunkverträge mit Freiminuten beworben, die man hätte wenn man einen Handyvertrag abschließen würde.
Einfache Aufgabenstellung:
Wieviel sind 1000 Freiminuten in Stunden und Minuten?
Nein, wer etwas mit über 17 Stunden als Ergebnis hat, dem ist ein Rechenfehler unterlaufen.
Nein, wir kommen hier zu keinem anderen Thema! Mit Sicherheit nicht!!
@MathemaTrick
Chat GPT sagt du musst noch durch 2 teilen 😅
Du wurdest somit "gechat GBT't"😅
Ein Schachbrett hat 64 Quadrate. Es besteht aus acht Reihen und acht Spalten mit jeweils acht schwarzen und acht weißen Quadraten. Die Anzahl der Quadrate auf einem Schachbrett ergibt sich aus der Summe der Quadrate von 1 bis 8, d.h. 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 8^2, was insgesamt 204 Quadraten entspricht. Diese Zahl muss jedoch durch 2 geteilt werden, da jedes Quadrat auf dem Schachbrett von einem anderen Quadrat überlappt wird. Daher beträgt die Gesamtzahl der Quadrate auf einem Schachbrett 204/2 = 102.
was redest du
@@mart1ngx463 steht da doch, musst es nur lesen :)
Ich wäre gleich vorgegangen. Noch eine Zusatzfrage: Wo im Schaubild würden die beiden, die gegeneinander Schach spielen, sitzen?
Links und rechts, nicht oben und unten. Das Quadrat rechts unten ist nämlich weiß, wenn man spielt.
Norden - Süden, Osten - Westen?
Willst du unser Schachbasiswissen testen? 🙂
@@vosch8229 Genau. Im Englischen gibt's da eine hübsche Merkhilfe: "white to the right"
@@eckhardfriauf
Ich öffne gerne Horizonte,
von Bach bis Harry Belafonte. 🤪
@@Waldlaeufer70 Die kannte ich noch nicht, danke dafür.
Ich lade dich zum Schachspiel challenge ein. Has du buck auf ne Rund Schach?
Hallo zusammen.
Liege ich falsch? Ich kann doch die Quadrate auch noch diagonal verschieben wären es dann nicht noch mehr
Mein erster Gedanke war (aus Erfahrung 😉): Vorsicht Falle! Ich vermutete, dass das Schachbrettmuster nur Ablenkung war. Es war nicht
verlangt, nur Vielfache von 1/8 zu nehmen.
Aber dann ginge die Gesamtmenge gegen unendlich und die Aufgabe wäre uninteressant für ein Mathematrick-Video. 😁
Ach Spiekermännchen 🤦
Es sind mehr, weil es auch in die Diagonale geht! Es hat unterschiedliche Ebenen. Warst du jetzt etwas voreilig?
Zeig mal.
Eigentlich recht simpel die Aufgabe.
Mann hat ja erst 8x8 (normals Schachbrett) dann halt 7x7 da sich die Vierecke halt vergrößern. Danach dann eben 6x6 und so so weiter, also 5x5,4x4.... Das rechnet man zusammen und schon hat man das Ergebnis von den 204
👌👌👌😺
Wenn ich mich nicht verzählt habe, sollten es 204 sein, von (64) 1ern, (49) 4ern, ... bis zu (1) 64er-Quadrat 🙂
Weiss nur das es das mal mit Dreiecken bei 9Live gab. Und deren Auflösung hatte (mindestens) 2 Dreiecke weniger als ich gezählt hab.
Beim Schachbrett hast du einen Gedankenfehler: Wenn du nach oben zählst, nimmst du jeweils das unterste Quadrat mit, diese hast du aber schon in der horizontalen Zählung mitgenommen, es sind also viel weniger!!!
Hoppla, war mein Gedankenfehler!
Da habe ich mich aber ordentlich verrannt.
Da habe ich mich aber ordentlich verrannt.
@@arminschertler379 Hallo,
Da ich so wie Du gezählt habe, scheint es, ich habe den gleichen Gedankenfehler wie Du begangen.
Leider fehlt Susannes Gegeargumentierung.
Was war bei uns falsch?
Es sind noch mehr als Du angegeben hast -> es kommt noch der Diagonalversatz dazu!
Und wie komme ich auf die Formel: S=((N(N+1)(2N+1))/6 ? Ich komme lediglich bis zu: ∑_(k=0)^(n-1)▒〖(n-k)²〗. Und wie geht es dann weiter?
Du kannst die summe auch anders herum schreiben also summe von k=1 bis n von k², das nennt man dann die summe der quadrate, welche man zu deiner genannten formel umschteiben kann, kann man mit induktion beweisen, und herleitungen gibts tolle auf youtube (einfach mal sum of squares googeln)
@@Robin-cs1ni Danke! Ja, Summe von k=1 bis n von k²; hatte da eine umständliche Version😢. Die Herleitung von Mathehilfe24 fand ich sehr gut. Komisch dass er nur 60 likes dafür bekam.
Awww, und ich dachte du baust uns zum Schluß noch die allgemeine Formel daraus 🤭
Ja stimmt, die hätte ich noch dazupacken können. Dann beim nächsten Mal.
Muss man da nicht jeweils eine Reihe abziehen, die man sonst doppelt mitzählen würde, also 8*7 + 7*6 ... ?
Da wird nichts doppelt gezählt. Beispiel: die kleinen Quadrate. 1. Reihe 8 Quadrate, 2. Reihe 8 Quadrate ... bis 8. Reihe 8 Quadrate, also 8 Reihen mit je 8 Quadraten, somit 8x8 Quadrate. Das gleiche Spiel mit den größeren Quadraten.
Ich habe einfach gerechnet: (8^2)!
... Wurden da nicht die diagonal versetzten Quadrate (2x2 bis 7x7, jew. in beide diagonale Richtungen) vergessen?
Auch hier. Ob ich das Quadrat über einmal diagonal verschieben oder einmal horizontal und einmal vertikal verschiebe (vergleiche 1 Zug über 1 Feld mit dem Läufer von A1 auf B2 oder 2 Züge mit dem Turm von A1 auf A2 und dann von A2 auf B2) ist es immer noch dss gleiche Quadrat. Du würdest es also doppelt zählen. Und zwar jedes Quadrat, das nicht am Rand liegt.
@@thomasweber6866 ... Hast recht - einmal mehr nachdenken hilft ... ;.)
Es gibt noch viel mehr Quadrate als die 204, wie etwa die Quadrate, die auf dem Kopf stehen, also z. B. links unten die Kante mit den (x/y)-Koordinaten von (0/1) nach (1/0) mit der Kantenlänge Wurzel(2), beinhaltet dann 2 weiße +2 schwarze Diagonalhälften. Und die natürlich übers ganze Brett verteilt und ebenso als Reihe mit zunehmender Kantenlänge und abnehmender Anzahl.
...und was ist mit den Quadraten von der Mitte raus nach aussen?
Die erwischt man mit meiner Methode ja auch. Man startet im Grunde links unten im Eck und läuft dann das ganze Schachbrett von links nach rechts und unten nach oben ab.
Zentrum kwadraten kommen auch dazu
8!
Man kann doch eigentlich die Anzahl der Quadrate an der Seite nehmen und dann von 1-8 jeweils die einzelnen zahlen quadrieren dann hat man am Ende 1+4+9+16+25+36+49+64=204
Irre ich mich da, oder hab ich da was entdeckt, denn ich hab das immer so gemacht bei solchen rätseln
nette Spielerei. Ach ja, genau so!
Pooaaah, Lösungsvorschlag von mir altem Sack:
(n) Quadrat + (n+1) Quadrat + (n+2) Quadrat + … + (n+8) zum Quadrat.
Gruß aus Belgien
😀
Das ist wieder schwierig mit der Fragestellung, denn in der Frage steht eindeutig wie viele sich auf dem Schachfeld befinden, also dürfe das Schachbrett selbst nicht gezählt werden, es müssten also 203 sein.
Bei solchen Fragen habe ich immer Probleme da ich mehr über die Fragestellung nachdenke als über die Mathematik dahinter 😂
Und wenn du mit unterschiedlich großen Quadraten auf dem Brett arbeitest wird es erst richtig lustig.
9Live gefällt das. ;-)
Und wie kommt man zu der Annahme, dass das Schachbrett nicht auch auf dem Schachbrett liegt? Ist doch Deckungsgleich und nicht größer.
Oder anders gefragt: Warum macht man sich Probleme, wo keine sind?
@@thomasweber6866 Das Schachbrett wird ja durch das Schachbrett gebildet, es kann also nicht selbst auf dem Schachbrett liegen.
@@VisioNOIR. Wahrscheinlich hab ich das früher einfach zu oft geschaut und dadurch einen Schaden genommen 😂
aber man kann ja noch für Diagonalen hoch gehen und alles wieder runter. oder in der Mitte anfangen und nach außen gehen. 🙈🤔
auf jeden Fall ganz schön viele.
Ich bin mir nicht sicher, ob das wirklich stimmt, weil ja die quadrate sich auf allen vier Ecken übereinanderlegen wenn man sie horizontal und vertikal zählt und multipliziert. Es würden immer pro quadratgrösse (ausser das grosse und das kleinste Quadrat) 4 doppeltgezählt werden... wenn ich keinen Denkfehler habe..😊😅
stimmt, und da kommen auch 204 raus 😂
hm, man könnte die größeren Quadrate aber auch noch 1 nach rechts und 1 nach oben verschieben, die blieben jetzt unberücksichtigt.