Evet hocam 1/2 kuvvetinden dolayı 0 diyoruz. Aslında o kadar mühim de değil sol tarafı, genel durum için tekillik tanımında eğer tekil olma aralığı (t_0-k,t_0+h) olarak tanımlansaydı k=0 alırdık t=0 ın solundaki kısma bakmamıza gerek bile kalmazdı. Simetrik bir aralık tanımladığımız ve t_0=0 olduğu için o şekilde bir varsayım yaptık anladığım kadarıyla.
Hocam 48:56 da y(0)=0 olmasının sebebi R^2-{y=0} olması mı? Mesela R^2-{y=0} değil de -{y=2} yazmamızı gerektirecek bir partial derivativimiz olsaydı assumptionumuz ne olacaktı? Eğer y(0)=herhangi bir positif değer olsaydı, y=+(2t/3)^3/2 olup unique solution mu olacaktı?
y(0)=0 başta verilen initial condition, bunu biz değiştiremeyiz. Ama partial derivative bu noktada kötü olduğu için E-U teoremi kullanılamıyor. Bir yandan da çok sayıda çözüm çıkıyor. y(0) başka bir pozitif değer (veya 0'dan farklı bir değer olsaydı) tek çözüm olacaktır (ama galiba senin yazdığın değil, bir sabitin değerinin farklı olması gerekiyor).
Hocam şimdi biz nonlinear denklemler için uniqueness teoremi uyguladığımızda eğer mevcut f ile f in y ye göre kısmi türevi ikiside her noktada sürekli değil ise bu durumda denklemin çözümü tek bir şekilde yazılmaz olduğunu söylüyoruz değil mi ?
Koşullar sağlanmıyorsa (f ve f'in y'ye göre türevinden en az biri bu noktanın bir açık komşuluğunda sürekli değilse) teoremi kullanamıyoruz. Ancak bu bize mutlaka birden çok çözüm olduğunu göstermez, yalnızca elimizde yeterli bilgi yok.
Hocam son soruyla ilgili olarak, biz dikey asimptotun sağ tarafıyla neden ilgilenmedik? (t_0-h,t_0+h) açık aralığı eğer sağa taşarsa sürekli bir aralık olmayacağı için mi yoksa başka bir nedeni var mı?
Hocam we said the solution is on some open interval (t0-h, t0+h) for the general case, could this interval be completely outside of (a,b)X(c,d)? And according to the last question, is the solution in the form (t0-k, t0+h) actually (-infinity, 1/y0)?
It could in principle be outside (a,b) (we don't look at the (c,d) part for that). In the last question we can take h=1/y0 (the way it is defined, (t0-h,t0+h) is symmetric. But this is not very important. If we write in the way you do with k and h, your answer would be correct).
Hocam ben şöyle düşünüyorum biz initial value problemlerde çalışıyoruz ve eğer existence and uniqueness teoremine göre uygun olsa bile bazen asimptot söz konusu olabiliyor ve o durumda biz de inital valuemuz hangi yerde kalıyorsa ( asimptotun solu ya da sağı) o yeri unique olarak tanımlayabiliyoruz. Asimptotun diğer tarafını tanımlamıyoruz çünkü birden farklı şeklide tanımlanabilir. Şimdi sizin sorunuzda max ya da min değeri için bu durumlara bakıp ( asimptotun diğer tarafı tanımlanmış mı? Nasıl tanımlanmış?) ona göre yorum yaparız.
Hocam f(t,y)=y^2 ve df/dy=2y fonksiyonlarına R^2'de continuous dedik. Fakat t=1/y_0 iken fonksiyonumuz sonsuza gidiyor. Bu durum diğer iki fonksiyonu da sıkıntıya sokmaz mı continuity'lik açısından?
f ve \del f/\del y fonksiyonlarının continuous olmalarıyla alakalı hiçbir sorun yok, bunları y ve t cinsinden 2 bilinmeyenli fonksiyon olarak düşünüyoruz. Henüz y'yi t'ye bağlamadık. Ama çözümü bulduğumuzda y t cinsinden her yerde sürekli olmuyor, ikisi farklı şeyler. Problem tam da bu. İlk başta kontrol ettiğimiz şey çözümün sürekliliğini gerektirmiyor.
Hocam 49:17 de "to solve this problem you could extend these f to the left" kısmını anlamadım. Neden t
Evet hocam 1/2 kuvvetinden dolayı 0 diyoruz. Aslında o kadar mühim de değil sol tarafı, genel durum için tekillik tanımında eğer tekil olma aralığı (t_0-k,t_0+h) olarak tanımlansaydı k=0 alırdık t=0 ın solundaki kısma bakmamıza gerek bile kalmazdı. Simetrik bir aralık tanımladığımız ve t_0=0 olduğu için o şekilde bir varsayım yaptık anladığım kadarıyla.
t
Hocam 48:56 da y(0)=0 olmasının sebebi R^2-{y=0} olması mı? Mesela R^2-{y=0} değil de -{y=2} yazmamızı gerektirecek bir partial derivativimiz olsaydı assumptionumuz ne olacaktı?
Eğer y(0)=herhangi bir positif değer olsaydı, y=+(2t/3)^3/2 olup unique solution mu olacaktı?
y(0)=0 başta verilen initial condition, bunu biz değiştiremeyiz. Ama partial derivative bu noktada kötü olduğu için E-U teoremi kullanılamıyor. Bir yandan da çok sayıda çözüm çıkıyor. y(0) başka bir pozitif değer (veya 0'dan farklı bir değer olsaydı) tek çözüm olacaktır (ama galiba senin yazdığın değil, bir sabitin değerinin farklı olması gerekiyor).
Hocam şimdi biz nonlinear denklemler için uniqueness teoremi uyguladığımızda eğer mevcut f ile f in y ye göre kısmi türevi ikiside her noktada sürekli değil ise bu durumda denklemin çözümü tek bir şekilde yazılmaz olduğunu söylüyoruz değil mi ?
Koşullar sağlanmıyorsa (f ve f'in y'ye göre türevinden en az biri bu noktanın bir açık komşuluğunda sürekli değilse) teoremi kullanamıyoruz. Ancak bu bize mutlaka birden çok çözüm olduğunu göstermez, yalnızca elimizde yeterli bilgi yok.
Hocam son soruyla ilgili olarak, biz dikey asimptotun sağ tarafıyla neden ilgilenmedik? (t_0-h,t_0+h) açık aralığı eğer sağa taşarsa sürekli bir aralık olmayacağı için mi yoksa başka bir nedeni var mı?
Hocam we said the solution is on some open interval (t0-h, t0+h) for the general case, could this interval be completely outside of (a,b)X(c,d)? And according to the last question, is the solution in the form (t0-k, t0+h) actually (-infinity, 1/y0)?
It could in principle be outside (a,b) (we don't look at the (c,d) part for that). In the last question we can take h=1/y0 (the way it is defined, (t0-h,t0+h) is symmetric. But this is not very important. If we write in the way you do with k and h, your answer would be correct).
Hocam son sorudaki gibi bir dikey asimptot söz konusu olduğunda bizden Solution’un Maximal ya da minimal değeri istendiğinde nasıl yanıt veririz?
Hocam ben şöyle düşünüyorum biz initial value problemlerde çalışıyoruz ve eğer existence and uniqueness teoremine göre uygun olsa bile bazen asimptot söz konusu olabiliyor ve o durumda biz de inital valuemuz hangi yerde kalıyorsa ( asimptotun solu ya da sağı) o yeri unique olarak tanımlayabiliyoruz. Asimptotun diğer tarafını tanımlamıyoruz çünkü birden farklı şeklide tanımlanabilir. Şimdi sizin sorunuzda max ya da min değeri için bu durumlara bakıp ( asimptotun diğer tarafı tanımlanmış mı? Nasıl tanımlanmış?) ona göre yorum yaparız.
Dikey asimptot varsa ve fonksiyon orada + sonsuza gidiyorsa maksimum değeri yoktur.
Hocam f(t,y)=y^2 ve df/dy=2y fonksiyonlarına R^2'de continuous dedik. Fakat t=1/y_0 iken fonksiyonumuz sonsuza gidiyor. Bu durum diğer iki fonksiyonu da sıkıntıya sokmaz mı continuity'lik açısından?
f ve \del f/\del y fonksiyonlarının continuous olmalarıyla alakalı hiçbir sorun yok, bunları y ve t cinsinden 2 bilinmeyenli fonksiyon olarak düşünüyoruz. Henüz y'yi t'ye bağlamadık. Ama çözümü bulduğumuzda y t cinsinden her yerde sürekli olmuyor, ikisi farklı şeyler. Problem tam da bu. İlk başta kontrol ettiğimiz şey çözümün sürekliliğini gerektirmiyor.
Hocam i couldn't manage to observe the connection in last equality (h
What I wanted to say is that the solution obtained reaches only as far as 1/y_0 to one side of the initial point and not more.