Задача делается за 5 минут методом координат с началом в центре отрезка "а". Тогда, конец отрезка "а" имеет координаты А=(а/2, 0), Конец отрезка "с" имеет координаты В=(а/2+с, в). Центр окружности О=(0,y), Чтобы найти y пишем R^2= OA^2=OB^2. y^2 сокращаются и получаем линейное по y уравнение.
Оригинально, но в итоге приходим к точно такой же формуле для r^2, к слову сказать в предложенном методе точно так же получается линейное относительно r^2
Я использовал теорему синусов. Соединив концы ломаной, получаем отрезок длиной d=√((a+c)²+b²). Для нахождения радиуса, длину d следует разделить на удвоенный синус угла, равного 90° + угол α, лежащий в прямоугольном треугольнике с катетами b и c против c. Имеем sin(90°+ α) = cos(α) = b/√(b²+c²), откуда r= √((a+c)²+b²) : 2b/√(b²+c²) = √((a+c)²+b²)(b²+c²))/2b
@@valeryshapovalov7787 Согласео теореме синусов, отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. В таком случае, если разделить длину стороны треугольника на удвоенный синус противолежащего угла, получим радиус описанной окружности.
Признаюсь честно, в последний раз такие многоэтажки я решал 10 лет назад в школе. Сейчас, при просмотре объяснения у меня, мне кажется, едва не случился мозг рака. Но весьма залипательно.
Задача сводится к нахождению радиуса вписанной окружности в равнобедренную трапецию с полуоснованиями: x = a/2; y = c + a/2 и высотой равной b. Пусть: h1 и h2 расстояния от центра окружности до оснований. h1 расстояние до x, а значит h1>h2, ведь чем меньше хорда, тем она дальше от центра окружности. В зависимости от расположения центра окружности (внутри или снаружи трапеции) возможно два варианта: b = h1 +-h2. Также по теореме Пифагора: r^2 = h1^2 +x^2 = h2^2 +y^2, откуда: h1^2 - h2^2 = y^2 - x^2 = (h1 + h2)(h1- h2). Тогда в обоих вариантах получаем: h1 +-h2 = b; h1-+h2 = (y^2 - x^2)/b; h1 = (b^2 +y^2 - x^2)/b; r = √ ( (b^2 +y^2 - x^2)^2/b^2 + x^2), ну далее просто алгебра подстановок: x = a/2; y = c + a/2, если использовать тригонометрию, то можно еще короче, но спецом привел решение без нее
При помощи циркуля и линейки центр окружности находится за несколько секунд - это точка пересечения перпендикуляров из середин отрезков а и гипотенузы прямоугольного тругол ника с катетами б и с. Далее, зная центр окружности, легко находим радиус r. Если решать аналитически, то проще принять за x расстояние от центра до середины отрезка а. Тогда расстояния от концов отрезка а и верхнего концпюа отрезка с должны быть одинаковыми и равны радиусу окружности r. Составляем уравнение: (a/2)^2 + x^2=(a/2+c)^2+(b-x)^2 причём выражение слева и справа в равенстве и есть искомый радиус r. Далее проводим обычные операции раскрытия скобок, упрощения выражения и т.д. Получаем уравнение не выше 2-й степени х.
решил так: соединил две крайние точки хорд а и с, получили два подобных прямоугольных треугольника Также соединил два других конца отрезков b и с. Получили вписанный треугольник. По формуле синусов выражаем радиус описанной окружности, а нужные стороны и синус находим из подобия прямоугольных треугольников. Ответ совпал. Решение получилось короче значительно
я примерно так же решил. только подобие не использовал. стороны вписанного △ нашёл по теореме пифагора. а синус противолежащего угла - это косинус острого угла в △ с катетами b и c.
Для тех, кто не брезгует методом координат. Помещаем начало координат в нижний конец отрезка А, тогда три точки, через которые проходит окружность, запишутся: M1={0; 0}, M2={0; A}, M3={B; A+C} Уравнение окружности: (x-x0)^2+(y-y0)^2=R^2 Система трех уравнений: x0^2+y0^2=R^2 x0^2+(A-y0)^2=R^2 (B-x0)^2+(A+C-y0)^2=R^2 Из первого уравнения вычитаем второе и получаем y0=A/2 Из второго уравнения вычитаем третье, подставляем y0 и получаем x0=(B^2+AC+C^2) / 2B Вставляем x0 и y0 в первое уравнение и получаем R
Если без тригонометрии можно так ещё решить. Если △ со сторонами x, y, z вписан в окружность радиуса R, то R=x*z/2h, где h - высота на сторону 'y' (эту формулу можно вывести из подобия). В нашей задаче достраиваем до △ вписанного в окружность. Стороны у него будут: x=√(b²+c²), y=a и z=√((a+c)²+b²). (x и z найдены по т-ме Пифагора). Высота, опущенная на сторону a равна b. Подставив в вышеуказанную формулу, найдём R.
@@EphemerosCrypto да нету. я не имел в виду в данной задаче. нарисуем новую картинку с таким △. проверим формулу, которую я написал выше, а потом вернёмся к исходной задаче.
@@ruslan_ и какое отношение ваша задача имеет к предлагаемой в видео???? Это другая задача с другим условием, с другой окружностью с другим радиусом. То что где-то существует формула с теми же буквами, не означает, что она имеет отношение к задаче. И формула странная, я такую не встречал, надо проверить
Почему-то теорему про соотношение отрезков хорд не знала (или за двадцать лет основательно забыла). Решала по теореме косинусов + угол между радиусами равен удвоенному углу, опирающемуся на хорду.
Рассмотрите вариант, когда отрезки а и с будут лежать на одной прямой, проходящей через центр окружности. Тогда радиус будет равен сумме (а + с)/2, а на b в этом случае будет делить нельзя, из-за того, что что отрезок b будет равен нулю. Интересно какие у Вас будут аргументы...
@@dionisk5344 Дионис, не буду спорить. Просто можно было рассмотреть разные варианты. К примеру, в ПИД-регуляторе не обязательно должны присутствовать три составляющие. Вернее, некоторые составляющие могут быть равны нулю. В данном случае, если хорду а провести через центр окружности, тогда хорда с и отрезок b будут равны нулю. Так что в моем случае нет никакого искажения условия. Может для данной задачи нужно было указать случаи, когда делить на b нельзя.
@@koaleks62 вцелом, формально достаточно прописать, b>0, по условию задачи, если b=0, то.... Мы же работаем в условиях школьной планиметрии и вся алгебра здесь появилась из геометрии и подчиняется ей
Для любого треугольника со сторонами x,y,z есть формула R=xyz÷(4S). Если за стороны взять: x - гипотенуза для катетов b и c , y - гипотенуза для катетов b и (a+c), z=c+a+c ( на рисунке красным) Тогда S=bz÷2и R=xyz÷(4bz÷2), сократим на 2и z, R=xy÷2b подставим X Y как длины гипотенуз R= √(b²+c²) √(b²+(a+c)²)÷2b
Лады. Достраиваем прямоугольник пролонгируя b и от начала а параллельно b до пересечения с окружностью. Его центр лежит в центре круга. Ну и строим прямую параллельно c на том же расстоянии от центра прямую через круг. 😏 Тоже самое. Прямоугольник с центром в центре круга. Пусть длина пролонгации начального b до окружности равна x. Квадрат радиуса равен квадрату диаметра на 4. Из первого прямоугольника: r^2=(a^2+(b+x)^2)/4 Из второго: r^2=((b-x)^2+(2c+a)^2)/4. Приравниваем и получаем икс, многие квадраты сокращаются: a^2+b^2+2bx+x^2=b^2-2bx+x^2+4c^2+4ca+a^2 сокращаем и упрощаем. 4bx=4с^2+4са. х=(c^2+ca)/b Подставляем в уравнение для первого прямоугольника. r=корень(a^2+b^2+2(c^2+ca)+(c^2+ca)^2/b^2)/2. r=корень(b^2(a^2+b^2)+(c^2+ca)(2b^2+c^2+ca))/(2b). Можно и во второе. Приводить к решению автора облом.
Я решил эту задачу, поместив в центр круга начало координат, и проведя ось Х перпендикулярно первому отрезку. обозначив абсциссу начальной точки х, а ее ордината -а/2. конечная точка ордината а/2+с, абсцисса х+b. Далее просто записываем условия, что растояние от начала координат до каждой из этих точек равно радиусу. И просто решаем систему уравнений относительно х и R.
Я просто не понял (и, вероятно, потому что я тупой) зачем потом такое полотно потом расписывать если исходя из рисунка на 2:55 мы можем получить следующее a^2+(b+d)^2=2r^2(так как диаметр=гипотенуза вписанного прямоугольного треугольника). Если бы у всех переменных были числовые значения, то таким способом разве не проще было бы найти радиус?
Проще, чем кажется. Начальная точка имеет координаты (по отношению к центру окружности) : (-sqrt(r^2-а^2/4),-а/2). Прибавляем к ней векторы (0,а), (b,0), (0,c) и получаем координаты финальной точки: -sqrt(r^2-а^2/4)+b, а/2+c. Находим длину этого вектора по теореме Пифагора, приравниваем к r и получаем ответ: r=sqrt((b^2+c^2+ac)^2+a^2b^2)/2b Все.
Хорошая задача! Много способов решения, особенно если помнишь школьную геометрию. Всех завело. А относительно сложной - автор слегка преувеличил, для того, чтобы всем участникам повысить самооценку! Но, в любом случае, ведущий- молодец.
А у меня получилось решение через три подобных треугольника) соединила концы отрезка а и с, потом если продлить отрезок в до пересечения с окружностью, то получаем третий подобный треугольник. Находим стороны по коэффициенту подобия, выражаем гипотенузу и это и есть диаметр)
Если решение геометрическое, то где доказано условие, что отрезок а симметричен относительно нормали к центру окружности? Свойства хорд. Но задача интересная. Редкую теорему применили. Спасибочки
Аргумент "в силу симметрии" хорош в физике. В математике хотелось бы получить более строгое доказательство. Сразу догадался о второй части решения. Первую пришлось посмотреть, т.к. теорему о пересекающихся хордах позабыл за давностью лет.
Нажал на паузу. Решение пока не смотрел. Пришла такая идея: Построить треугольник с вершинами на концах а и концом с. Получили вписанный треугольник. Одна сторона а, другие стороны вычисляются по теореме Пифагора без проблем. Они будут равны √(b²+c²) и √((a+c)²+b²). Радиус вычислим по формуле a√(b²+c²)√((a+c)²+b²)/4S. Где S - площадь, равна ab/2 (a - основание, b - высота). 4S = 2ab. Сокращаем на a, числитель загоняем под один знак радикала. Получили √((b²+c²)((a+c)²+b²))/2b. Как вам такое решение?
Без всяких там построений. Пересечение а и окружности точка А; Пересечение а, b и окружности точка B; Пересечение c и окружности точка C. C | B -• | A Треугольник АBC вписан в окружность. По теореме синусов R=BC/(2*sin(BAC)) Или R=AC/(2*sin(ABC)) Bc и АС по Пифагору найти можно. Синусы - поделив катет на гипотенузу.
Это было введено для удобства. Также могли использоваться круглые скобки разной высоты. Не имеет принципиального значения, если ученик/студент разберется А так-то и теорему Пифагора доказывали через 'пифагоровы штаны' :)
По моему я здесь вижу прямоугольный треугольник, наверно переносом параллельных линий мы его получи и выразим радиус через теорему Пифагора. Смотрю дальше.
А что если в месте соприкосновения прямого угла к окружности поставить точку О. Получается угол аоб. Потом радиус развернуть паралельно а и б. И получится такой же угол А1rb1. Хотя фигня выходит))
Хз что тут красивого, я бы на кол сажал тех, кто придумывает задачи, где конечная формула не является травильным уравнением. Именно в этом и состоит красота математики: взял набор страшных формул, а в конце получил что-то простое. Я бы, решив такую задачу на олимпиаде, долго думал, что всё неправильно, потому что ответ уродлив
И что интересного в этой задаче? Куча вариантов решения, соответственно с различными вариантами записи ответа. Ответ это сложная формула не упрощаемая до какого-то элементарного вида. Всё решение сводится к алгебре, хотя задача явно геометрическая. Где красота, и однозначность? Где гармония? Тупо считалка .....
Синусами и косинусами можно почти всё решить. Но это неинтересно, лично по мне. Красота геометрии в том, чтобы решить без синусов и косинусов, дополнительными построениями. Синусы и косинусы - это читерство :)
Автору респект и лайк. Задача хорошая. Но она красивее, чем кажется. ;) Автор не доработал ее разбор. Из рисунка видно, что отрезки a, b и c могут быть произвольными, в частности, могут стремиться к нулю. Полученный ответ должен эти случаи корректно "отрабатывать". (И он их "отрабатывает". Проверил сам.) Это видео сильно выиграло бы, если автор рассмотрел эти предельные случаи. А именно a->0, b и c ->0 (одновременно), c->0
Ну где она геморройная, что вы… Её и олимпиадной назвать сложно… Она просто немного непривычная, это задача для математического кружка или если угодно повышенной сложности.
@@pronobible, это для меня и Вас она немного повышенной сложности. А для тривиального обывателя это невероятно сложно, а, если ещё точнее говорить, - замороченная.
Что значит ,с арабской олимпиады? Арабы живут в разных странах и нет такого понятия арабская олимпиада. Автору бы самому географию подучить, прежде чем кого то учить? И я не думаю,что в странах ,где нет ни одного нобелевского лауреата ,будут какие-то задачи высокого уровня сложности
![Felix "Unfair" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/Oswujxm2Ag0/mqdefault.jpg)
Задача делается за 5 минут методом координат с началом в центре отрезка "а". Тогда, конец отрезка "а" имеет координаты А=(а/2, 0), Конец отрезка "с" имеет координаты В=(а/2+с, в). Центр окружности О=(0,y), Чтобы найти y пишем R^2= OA^2=OB^2. y^2 сокращаются и получаем линейное по y уравнение.
Оригинально, но в итоге приходим к точно такой же формуле для r^2, к слову сказать в предложенном методе точно так же получается линейное относительно r^2
В вашем варианте нет доказательства того, что центр лежит на оси 0х.
Это почти очевидно, серединный перпендикуляр любой хорды всегда диаметр.
А как длина ОВ записывается исходя из координат? Через теорему Пифагора? Ну тогда это не 5 минут точно. И не легче чем в видео.
Твой метод неверный
Я использовал теорему синусов. Соединив концы ломаной, получаем отрезок длиной d=√((a+c)²+b²). Для нахождения радиуса, длину d следует разделить на удвоенный синус угла, равного 90° + угол α, лежащий в прямоугольном треугольнике с катетами b и c против c.
Имеем sin(90°+ α) = cos(α) = b/√(b²+c²), откуда r= √((a+c)²+b²) : 2b/√(b²+c²) = √((a+c)²+b²)(b²+c²))/2b
Хотелось бы более подробного объяснения того, как именно радиус геометрически связан через удвоенный синус угла 90°+α с длиной d
@@valeryshapovalov7787 Согласео теореме синусов, отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. В таком случае, если разделить длину стороны треугольника на удвоенный синус противолежащего угла, получим радиус описанной окружности.
Признаюсь честно, в последний раз такие многоэтажки я решал 10 лет назад в школе. Сейчас, при просмотре объяснения у меня, мне кажется, едва не случился мозг рака. Но весьма залипательно.
мозг рака то очень страшно, можно других заразить
Задача сводится к нахождению радиуса вписанной окружности в равнобедренную трапецию с полуоснованиями: x = a/2; y = c + a/2 и высотой равной b. Пусть: h1 и h2 расстояния от центра окружности до оснований. h1 расстояние до x, а значит h1>h2, ведь чем меньше хорда, тем она дальше от центра окружности. В зависимости от расположения центра окружности (внутри или снаружи трапеции) возможно два варианта: b = h1 +-h2. Также по теореме Пифагора: r^2 = h1^2 +x^2 = h2^2 +y^2, откуда: h1^2 - h2^2 = y^2 - x^2 = (h1 + h2)(h1- h2). Тогда в обоих вариантах получаем: h1 +-h2 = b; h1-+h2 = (y^2 - x^2)/b; h1 = (b^2 +y^2 - x^2)/b; r = √ ( (b^2 +y^2 - x^2)^2/b^2 + x^2), ну далее просто алгебра подстановок: x = a/2; y = c + a/2, если использовать тригонометрию, то можно еще короче, но спецом привел решение без нее
красивое, показывают)
отдельное спасибо за пример применения центральной симметрии - возможно впервые увидел где эта используется))
При помощи циркуля и линейки центр окружности находится за несколько секунд - это точка пересечения перпендикуляров из середин отрезков а и гипотенузы прямоугольного тругол ника с катетами б и с. Далее, зная центр окружности, легко находим радиус r.
Если решать аналитически, то проще принять за x расстояние от центра до середины отрезка а. Тогда расстояния от концов отрезка а и верхнего концпюа отрезка с должны быть одинаковыми и равны радиусу окружности r.
Составляем уравнение:
(a/2)^2 + x^2=(a/2+c)^2+(b-x)^2
причём выражение слева и справа в равенстве и есть искомый радиус r. Далее проводим обычные операции раскрытия скобок, упрощения выражения и т.д. Получаем уравнение не выше 2-й степени х.
Отличная задачка:))) поднапрягся слегка, вспоминая свойства хорд, а так все норм.побольше таких
Просто куча вариантов, учитывая, умение пользоваться тригонометрией)
просто рассуждаем и записываем что есть синус, косинус и и теорема Пифагора
решил так:
соединил две крайние точки хорд а и с, получили два подобных прямоугольных треугольника
Также соединил два других конца отрезков b и с. Получили вписанный треугольник.
По формуле синусов выражаем радиус описанной окружности, а нужные стороны и синус находим из подобия прямоугольных треугольников.
Ответ совпал. Решение получилось короче значительно
я примерно так же решил. только подобие не использовал. стороны вписанного △ нашёл по теореме пифагора. а синус противолежащего угла - это косинус острого угла в △ с катетами b и c.
Тоже через описанную окружность решил.
Лучше решение чем на видео. На видео какое то лобовое решение
Интересно так как понятно.
Хочу ещё интересных задач.
Вы все математики, приятно видеть множество умных людей, урааааа! Такое ощущение, что вокруг все гении
Для тех, кто не брезгует методом координат.
Помещаем начало координат в нижний конец отрезка А, тогда три точки, через которые проходит окружность, запишутся: M1={0; 0}, M2={0; A}, M3={B; A+C}
Уравнение окружности: (x-x0)^2+(y-y0)^2=R^2
Система трех уравнений:
x0^2+y0^2=R^2
x0^2+(A-y0)^2=R^2
(B-x0)^2+(A+C-y0)^2=R^2
Из первого уравнения вычитаем второе и получаем y0=A/2
Из второго уравнения вычитаем третье, подставляем y0 и получаем x0=(B^2+AC+C^2) / 2B
Вставляем x0 и y0 в первое уравнение и получаем R
Про теорему о пересечении хорд - интересный момент, это ключ к решению.
Да, 55 лет после окончания школы, дают о себе знать. Когда то любила решать примеры и задачи для поступающих в вузы.
Если без тригонометрии можно так ещё решить. Если △ со сторонами x, y, z вписан в окружность радиуса R, то R=x*z/2h, где h - высота на сторону 'y' (эту формулу можно вывести из подобия). В нашей задаче достраиваем до △ вписанного в окружность. Стороны у него будут: x=√(b²+c²), y=a и z=√((a+c)²+b²). (x и z найдены по т-ме Пифагора). Высота, опущенная на сторону a равна b. Подставив в вышеуказанную формулу, найдём R.
Не получится
@@Ra-th1et я решил таким способом и всё получилось.
В условии задачи нет △abc вписанного в окружность.
@@EphemerosCrypto да нету. я не имел в виду в данной задаче. нарисуем новую картинку с таким △. проверим формулу, которую я написал выше, а потом вернёмся к исходной задаче.
@@ruslan_ и какое отношение ваша задача имеет к предлагаемой в видео???? Это другая задача с другим условием, с другой окружностью с другим радиусом. То что где-то существует формула с теми же буквами, не означает, что она имеет отношение к задаче. И формула странная, я такую не встречал, надо проверить
Почему-то теорему про соотношение отрезков хорд не знала (или за двадцать лет основательно забыла). Решала по теореме косинусов + угол между радиусами равен удвоенному углу, опирающемуся на хорду.
тоже не знал,сейчас загуглю))
Только, что решали ученики Шаталова - знаменитого УЧИТЕЛЯ!!!
1:29 так и не понял почему оставшаяся часть равна c, есть ли этому доказательства?
С одной стороны в видео ничего не сказано, с другой как бы вы не пытались доказать обратное - ничего не выйдет)
Дык сказато же: из соображений симметрии, ведь перпендикуляр к отрезку а является диаметром
Рассмотрите вариант, когда отрезки а и с будут лежать на одной прямой, проходящей через центр окружности. Тогда радиус будет равен сумме (а + с)/2, а на b в этом случае будет делить нельзя, из-за того, что что отрезок b будет равен нулю. Интересно какие у Вас будут аргументы...
См. условие задачи
@@dionisk5344 На арабскую задачу дан арабский ответ...
@@koaleks62 да нормальный ответ. Если дан какой-то отрезок, который образует какой-то угол, то его (отрезка) длина не равна нулю.
@@dionisk5344 Дионис, не буду спорить. Просто можно было рассмотреть разные варианты. К примеру, в ПИД-регуляторе не обязательно должны присутствовать три составляющие. Вернее, некоторые составляющие могут быть равны нулю. В данном случае, если хорду а провести через центр окружности, тогда хорда с и отрезок b будут равны нулю. Так что в моем случае нет никакого искажения условия. Может для данной задачи нужно было указать случаи, когда делить на b нельзя.
@@koaleks62 вцелом, формально достаточно прописать, b>0, по условию задачи, если b=0, то.... Мы же работаем в условиях школьной планиметрии и вся алгебра здесь появилась из геометрии и подчиняется ей
Для любого треугольника со сторонами x,y,z есть формула R=xyz÷(4S). Если за стороны взять: x - гипотенуза для катетов b и c , y - гипотенуза для катетов b и (a+c), z=c+a+c ( на рисунке красным) Тогда S=bz÷2и R=xyz÷(4bz÷2), сократим на 2и z, R=xy÷2b подставим X Y как длины гипотенуз R= √(b²+c²) √(b²+(a+c)²)÷2b
Можно ещё короче, если рассмотреть треугольник со сторонами a, x и y: площадь ab/2, далее примерно так же.
@@-wx-78- Согласен, за вершины можно взять концы отрезка а и любой конец красной линии.
Можно уточнить? Что за олимпиада такая?
Лады. Достраиваем прямоугольник пролонгируя b и от начала а параллельно b до пересечения с окружностью. Его центр лежит в центре круга. Ну и строим прямую параллельно c на том же расстоянии от центра прямую через круг. 😏 Тоже самое. Прямоугольник с центром в центре круга. Пусть длина пролонгации начального b до окружности равна x. Квадрат радиуса равен квадрату диаметра на 4.
Из первого прямоугольника: r^2=(a^2+(b+x)^2)/4
Из второго: r^2=((b-x)^2+(2c+a)^2)/4.
Приравниваем и получаем икс, многие квадраты сокращаются:
a^2+b^2+2bx+x^2=b^2-2bx+x^2+4c^2+4ca+a^2 сокращаем и упрощаем.
4bx=4с^2+4са. х=(c^2+ca)/b
Подставляем в уравнение для первого прямоугольника.
r=корень(a^2+b^2+2(c^2+ca)+(c^2+ca)^2/b^2)/2.
r=корень(b^2(a^2+b^2)+(c^2+ca)(2b^2+c^2+ca))/(2b).
Можно и во второе. Приводить к решению автора облом.
Основной ключ решения: диаметр - это гипотенуза вписанного треугольника. Катет а известен, ищем второй катет...2 мин.))
Я решил эту задачу, поместив в центр круга начало координат, и проведя ось Х перпендикулярно первому отрезку. обозначив абсциссу начальной точки х, а ее ордината -а/2. конечная точка ордината а/2+с, абсцисса х+b. Далее просто записываем условия, что растояние от начала координат до каждой из этих точек равно радиусу. И просто решаем систему уравнений относительно х и R.
Я просто не понял (и, вероятно, потому что я тупой) зачем потом такое полотно потом расписывать если исходя из рисунка на 2:55 мы можем получить следующее a^2+(b+d)^2=2r^2(так как диаметр=гипотенуза вписанного прямоугольного треугольника). Если бы у всех переменных были числовые значения, то таким способом разве не проще было бы найти радиус?
1:26 что значит "..равна с по симметрии.."? Теорема что ли какая то есть?
Чего там сложного нашли?
Не знал теорему о хордах. Но в любом случае задача жесть
Очень известная и простая задача.
Богато представлен пророк Иона на древних иллюстрациях. Любили его художники! 😊
Проще, чем кажется.
Начальная точка имеет координаты (по отношению к центру окружности) : (-sqrt(r^2-а^2/4),-а/2). Прибавляем к ней векторы (0,а), (b,0), (0,c) и получаем координаты финальной точки: -sqrt(r^2-а^2/4)+b, а/2+c. Находим длину этого вектора по теореме Пифагора, приравниваем к r и получаем ответ:
r=sqrt((b^2+c^2+ac)^2+a^2b^2)/2b
Все.
Довели до конца 😊. В Вашем условии надо было просто выразить, можно было не упрощать.
Сводится к задаче определения окружности по трем точкам с координатами : (0,0),(0,а),(в,а+с). Хороши ж те олимпийцы, что из них только единицы ((
Согласен. Лукавит автор, мне так кажется
Мостик труднее строить!
Хорошая задача! Много способов решения, особенно если помнишь школьную геометрию. Всех завело. А относительно сложной - автор слегка преувеличил, для того, чтобы всем участникам повысить самооценку! Но, в любом случае, ведущий- молодец.
А у меня получилось решение через три подобных треугольника) соединила концы отрезка а и с, потом если продлить отрезок в до пересечения с окружностью, то получаем третий подобный треугольник. Находим стороны по коэффициенту подобия, выражаем гипотенузу и это и есть диаметр)
Если решение геометрическое, то где доказано условие, что отрезок а симметричен относительно нормали к центру окружности? Свойства хорд. Но задача интересная. Редкую теорему применили. Спасибочки
Аргумент "в силу симметрии" хорош в физике. В математике хотелось бы получить более строгое доказательство. Сразу догадался о второй части решения. Первую пришлось посмотреть, т.к. теорему о пересекающихся хордах позабыл за давностью лет.
1:27 по симметрии это нынче такие аргументы ?
А почему отрезок с сверху равен отрезку снизу после продления на длину а? Откуда симметрия?
Потому, что получается равнобедренная трапеция, нижние углы упираются в одну хорду "а". Далее, дело техники...
Нажал на паузу. Решение пока не смотрел. Пришла такая идея: Построить треугольник с вершинами на концах а и концом с. Получили вписанный треугольник. Одна сторона а, другие стороны вычисляются по теореме Пифагора без проблем. Они будут равны √(b²+c²) и √((a+c)²+b²). Радиус вычислим по формуле a√(b²+c²)√((a+c)²+b²)/4S. Где S - площадь, равна ab/2 (a - основание, b - высота). 4S = 2ab. Сокращаем на a, числитель загоняем под один знак радикала. Получили √((b²+c²)((a+c)²+b²))/2b. Как вам такое решение?
Без всяких там построений. Пересечение а и окружности точка А;
Пересечение а, b и окружности точка B;
Пересечение c и окружности точка C.
C
|
B -•
|
A
Треугольник АBC вписан в окружность. По теореме синусов
R=BC/(2*sin(BAC))
Или
R=AC/(2*sin(ABC))
Bc и АС по Пифагору найти можно. Синусы - поделив катет на гипотенузу.
ВС и АС как можно найти по Пифагору, если там не прямоугольный
@@ssseoks там прямоугольные оба.
BC^2=b^2+c^2
AC^2=b^2+(a+c)^2
@@ДмитрийЗиненко-р2у все понял, там надо достроить вверх на с и провести еще один отрезок б
Простые скобки, потом квадратные,потом,если надо, фигурные- так было 60 лет назад. Вижу, многое изменилось
Это было введено для удобства. Также могли использоваться круглые скобки разной высоты. Не имеет принципиального значения, если ученик/студент разберется
А так-то и теорему Пифагора доказывали через 'пифагоровы штаны' :)
2:01
А почему Б умножаем на Д?
Ведь надо складывать!
Я чё-то не понял, когда теорему о хордах придумали? Такое ощущение, что когда я учился в школе о ней не знали))))))
Тебе просто ей по ушам не ездили. Это давали кружковцам и кандидатам на олимпиады.
Эту теорему проходят во все школах, откройте учебник по геометрии Анастасяна, я был а обычном классе, мы ее проходили.
Задача даже не кажется легкой. )))))
Как решить эту задачу, если все отрезки находятся на левой половине окружности, тоже подходит решение?)
По моему я здесь вижу прямоугольный треугольник, наверно переносом параллельных линий мы его получи и выразим радиус через теорему Пифагора. Смотрю дальше.
я тоже так думал) но полотно в конце вышло немного обескураживающим))
В задаче слишком много рутинной писанины.А само решение довольно простое.
Вы говорите что с внизу это по симметрии. Немного не пойму, к с дорисовали а, и оставшийся кусок тоже равен с. Почему это так?
А что если в месте соприкосновения прямого угла к окружности поставить точку О. Получается угол аоб. Потом радиус развернуть паралельно а и б. И получится такой же угол А1rb1. Хотя фигня выходит))
У меня другой ответ. Решала элементарно выражая по теореме Пифагора.
Гипотенуза вписанного прямоугольного треугольника с катетами (а + c) и b равна диаметру круга, поэтому: 2r = [(a + c)^2 + b^2]^0,5.
Здорово......спасибо
упрощать в задании не было
Есть же формула окружности по трём точкам. Все координаты есть... Автор напрашивается на дизлайки.
задача решена на 3:40 , дальнейшие манипуляции не интересны
Достроения и перемножаются хорды, о которых я уже забыл
Конечный ответ не лучше, чем предыдущий промежуточный.
про хорды - первый раз услышал... ну или забыл... наверное никогда не пользовался
Чот аж голова квадратной стала под конец))
Красивая задача. Во второй части не надо было скобки раскрывать при возведении в квадрат, сразу красиво раскладывается на множители.
А можно поменьше таких видео))) А вот я решил r=c+a/2 что если b бесконечно?
Кто понял тот понял, мне тоже кажется, что это самый верный ответ!
Это будет не r, а h - расстояние от точки с до диаметра
А для чего это все?
ну, а у меня через формулу Герона...
Нет. Чтобы гипотенуза стала диаметром, треугольник должен быть равнобедренным.
Я не права
А просто линейкой нельзя ?????
Хз что тут красивого, я бы на кол сажал тех, кто придумывает задачи, где конечная формула не является травильным уравнением. Именно в этом и состоит красота математики: взял набор страшных формул, а в конце получил что-то простое. Я бы, решив такую задачу на олимпиаде, долго думал, что всё неправильно, потому что ответ уродлив
Уже замечено, этот автор выдаёт обычные школьные задачи, уж по крайней мере до конца прошлого века, как за олимпиадные.
И что интересного в этой задаче? Куча вариантов решения, соответственно с различными вариантами записи ответа. Ответ это сложная формула не упрощаемая до какого-то элементарного вида. Всё решение сводится к алгебре, хотя задача явно геометрическая. Где красота, и однозначность? Где гармония? Тупо считалка .....
...арабы изучают математику!?... 👋😂
Итого, надт знать 2 теоремы, которые на самом деле не покажут в школе.
Почему было два радиуса в квадрате.
А потом бац четыре радиуса в квадрате. Не понятно??!!
Решила через подобие 3-х треугольников и теорему Пифагора
1:27 по какой-то симметрии 😎
Мне просто не понятно почему когда ты продлил хорды у тебя получилось с+а+с ведь не факт что вторая с равна 1-ой с
Совсем не интересно когда не понятно что из чего вышло , такое ощущение что из головы вышло ! Совсем не так как в школе было.
Этому разве учат в школе?
Не круг, окружность
самое интересное, что умение решать такие задачи никак не пригодиться в практической жизни :)
Согласен - это просто проверка на знание формул
Вот поэтому у нас при монтаже конструкций, из четырех отверстий только одно сходится. Правильно , обезьянам очки незачем, пользоваться не умеют.
1:33 про симметрию ничего не сказано. Собственно этот шаг неверный
Мдааа...
Простое решение через теорему синусов? Не, не слышали. Лучше построим огород из хорд, все равно ответ тот же получится.
Синусами и косинусами можно почти всё решить. Но это неинтересно, лично по мне. Красота геометрии в том, чтобы решить без синусов и косинусов, дополнительными построениями. Синусы и косинусы - это читерство :)
Автору респект и лайк. Задача хорошая. Но она красивее, чем кажется. ;) Автор не доработал ее разбор. Из рисунка видно, что отрезки a, b и c могут быть произвольными, в частности, могут стремиться к нулю. Полученный ответ должен эти случаи корректно "отрабатывать". (И он их "отрабатывает". Проверил сам.) Это видео сильно выиграло бы, если автор рассмотрел эти предельные случаи. А именно
a->0,
b и c ->0 (одновременно),
c->0
Автору и Вадиму респект.
После таких геморройных задач люди удивляются, почему не любят математику
Ну где она геморройная, что вы… Её и олимпиадной назвать сложно… Она просто немного непривычная, это задача для математического кружка или если угодно повышенной сложности.
@@pronobible, это для меня и Вас она немного повышенной сложности.
А для тривиального обывателя это невероятно сложно, а, если ещё точнее говорить, - замороченная.
@@ЗаридзеУЗ планиметрия, это, всё-таки, не общедоступная вешь
Для вас наверно является откровением, что большинство людей вообще не любит напрягать мозги.
Сам решил
Что значит ,с арабской олимпиады? Арабы живут в разных странах и нет такого понятия арабская олимпиада. Автору бы самому географию подучить, прежде чем кого то учить? И я не думаю,что в странах ,где нет ни одного нобелевского лауреата ,будут какие-то задачи высокого уровня сложности
Можно было в условии записать - "задача с негритянской олимпиады"
Genial
а с математикой то запутались... как то странно домножили на б квадрат )
Ответол - это спирт. В следующем видео мы его дистиллируем и применим. Но раствор коварен.
Ненавижу вас. :) Вместо просмотра других роликов мне ютюб рекомендует посмотреть всякие хитрозакрученные математические задачи. И ведь интересно...
Ещё один шипиляво-картавый еврей....
Что такое хорда ? Вот людям ли не пофиг на хорды ? Где это надо ?
Откуда ты берёшь, что никто не может решить эту задачу? Это задача среднего уровня школьной программы. Полчаса и задача убита.