Снова геометрия. Надо либо хорошо знать геометрию, либо уметь думать
HTML-код
- Опубликовано: 25 дек 2024
- Мой канал в Телеге - t.me/yellow_sc...
Задачу можно решить несколькими способами. Самый простой - вспомнить теорему, которую мало кто помнит, против что она редко используется. Второй способ - увидеть подобие и танцевать от него. Третий - подумать и сделать дополнительные построения.
По формуле двух сторон треугольника и углу между ними находим сторону x^2=4^2+5^2-2*4*5*cos(2*alfa), затем точно также для другой стороны, 4^2=5^2+x^2-2*5*x*cos(alfa), упрощаем, получаем два нелинейных уравнения с двумя неизвестными x и cos(alfa), решаем.
Я решил эту задачу, зная теоремы синусов и косинусов.
я тоже, причём в уме. Правда, спросил у гугла формулу синуса тройного угла (подзабыл)
достаточно знания теоремы синусов.
@@rakatanga5369 ну если ещё вдобавок знать формулы двойного и тройного угла, то сразу в уме получается ответ 6. Пусть t = sin(alpha). Тогда по теореме синусов будет 4/t = 5 / (3t - 4t^3) = x / (2t * sqrt(1-t^2)). С одной стороны из этой лабуды сразу видно, что t^2 = 7/16; А с другой стороны видно, что x = 8 * sqrt(1-t^2), т.е. x = 8 * sqrt (1 - 7/16) = 8 * 3 / 4 = 6. Вот и получаем в уме ответ 6. В принципе задача устная.
Можно ещё через площадь треугольника - и из трёх уравнений составить два равенства
@@MrArcan10 так её же вывести как нехуй? Да и зачем тройной? Тут вроде двойного более чем...
1) По теорме синусов: 4/sina = x/sin2a. По правилу пропорции получаем x=8cosa
2) По теореме косинусов: x^2 = 25 + 16 - 40cos2a. Итого: x^2= 81-80(cosа)^2.
3) приравниваем первое и второе, возведя первое в квадрат: 64(cosa)^2=81-80(cosa)^2. Получаем, что cosa=9/12.
4) В первое подставляем третье. x = 8*(9/12) = 6
Привет, подскажи пожалуйста как ты из x² = 41 -40cos2a --> x² = 81 - 80cos²a
Там какое-то свойство, наверное, а я просто забыл)
@@nicholas92 Ответы через 5 месяцев. Ты уже и не ждал, да? Это следствие из формулы понижения степени
Оба способа хороши и поучительны, хорошее объяснение, спасибо
Второй вариант, безусловно, приятнее
Теорема синусов - > x =8*cos(alf)
Сумма углов треугольника плюс ещё раз теорема синусов - > 4*sin(3*alf) = 5*sin(alf), откуда получаем cos(alf) =3/4 (другой корень не подходит) - > x =6
Если провести биссектрису из угла 2а, то справа получиться треугольник подобный исходному. Из подобия несложно вывести х.
3 вариант-самый красивый!
Спасибо за все способы решения.
Элементарно решить через площади. Площадь треугольника равна 1/2 произведения сторон умнож на синус угла между ними. Два раза площадь записали с разными углами и приравняли. Две строки.
Изящнее всего послелний способ с подобными треугольники.
Проводим биссектриссу из угла 2а и получаем слева равнобедрен тре-к а справа подобный исходному по трем углам
Это значит биссектриса и правая часть основания относятся друг к другу как 5х/4х, в силу равнобедренности левая часть основания буедт 5х
То есть общее основание 9х
Ну и теперь через теорему косирусов легко находим х
81х²=25+16-40cos(2a)
16=25х²+16х²-40х²cos(2a)
x²=y
cos(2a)=(41-81y)/40
cos(2a)=(41y-16)/40y
41y-81y²=41y-16
9y=4
y=4/9
x=2/3
В итоге основание 6
Без построений.
1. Площадь через синус угла даёт(теорема синусов на выходе):
1/2*5*4*2 sin*cos=1/2*5*x*sin
x=8cos, где cos>0
2. Для стороны и двух прилежащих углов:
xcos+4(2cos2-1)=5
Из двух уравнений заменой cos на t>0:
8t2+8t2-4=5 => t=3/4, x=6
Ответ: x=6.
Все понравились!😊
Второй вариант мне нравится больше!
Опускаем биссектрису и сразу видим 2 подобных треугольника. Из соотношений сторон сразу находим x. 45 секунд на коленке!
S треугольника равна 1/2*5*4*sin2a и равна 1/2*5*x*sina откуда x=8cosa
Проводим высоту из угла 2a, какая в квадрате с одной стороны равна 25-25cos'2a и с другой 16-9cos'2a, откуда сosa=3/4
X=8*3/4=6
Последний способ решения проще, для меня
Можно решить через теорему минусов и формулу синуса тройного угла
Первым и третьи, третьим в первую очередь, второй долгий, хотя это решение пришло в голову в первую очередь! Спасибо!
все решения ок, с подобными треугольниками на мой взгляд самое простое решение, но сам я первым делом записал теорему синусов для углов альфа-2-альфа и второй пары 2-альфа и 180-3альфа, получил уравнение, решил
@@English_shahriar1 да, я сам когда-то мехмат закончил, вот через 15 лет освежаю в памяти
Вы указали углы «alfa» и «two Alfa” в качестве известных углов ( данных в условии задачи),следовательно, мы можем их использовать их для нахождения стороны «x” и тогда работают Теорема Синусов и Теорема Косинусов. Если бы Вы сказали, что в треугольнике ABC , например, угол А больше угла С в два раза, то исключили бы возможность использования вышеуказанных теорем. Извините, но задача , имеющая несколько разных ответов, называется «ambiguous “.P.S.решение, что Вы предлагаете-интересное, требующее понимание геометрии и логики мышления. Спасибо.
5:48 можно спросить, а это откуда ?
Проведем биссектрису, получим равнобедренный треугольник ABL. AL = BL, а ещё AL/5 = СL/4. С другой точки зрения BL^2 = 20 - AL*CL. CL = 4/5*AL
AL^2 = 20 - 4/5*AL^2 -> 9/5*AL^2 = 20, AL^2 = 100/9, AL = 10/3 -> CL = 8/3 -> AC = 6
Через теорему синусов, хуть и муторно считать.
(Sin a)/4 = (Sin (180-3a))/5= (Sin 2a)/x
Первая часть равенства даёт
sin a=sqrt(7)/4 через решение уравнения
5/4* sin a= sin 3a, где sin 3a= 3*sin a - 4*sin^3 a, подставляя решаем кубическое несложное уравнение
и далее вычисляем Х из
(Sin a)/4= (sin 2a)/x, при этом
sin 2a=2*sin a* cos a = 6*sqrt(7)/16, где
cos a= 1- sqrt(sin^2 a)=3/4
Х равен 4*sin 2a/(sin a)= 4*(6* sqrt(7)/16)/ (sqrt(7)/4), всё сокращается, остаётся 6. Х=6.
Всё верно, но вы что-то намудрили. Пусть t = sin(a). Тогда по теореме синусов 4/t = 5 / (3t - 4t^3) = x / (2t * sqrt(1-t^2)). Сразу видно, что t^2 = 7/16; С другой стороны видно, что x = 8 * sqrt(1-t^2) = 8 * sqrt (1 - 7/16) = 8 * 3 / 4 = 6. Кубического уравнения никакого нет, оно сразу сокращается до квадратного, притом вырожденного. Не вижу ничего муторного, всё решается в уме за 10 секунд.
Эти два варианта оба интересны
Почему нельзя достроить до прямоугольника и применить теорему Пифагора?
Два угла в сумме дают 3 альфа, значит, 3-й угол равен 360 - 3 альфа. Далее по теореме синусов, она очень простая и её всё знают.
Понял, что хорошо знаю геометрию и умею думать)
А если высоту опустить на основание, а не биссектрису?
Просто египетский треугольник...
Я решил задачу с помощи линейки
Проводим биссектрису из верхнего угла, большой треугольник подобен правому треугольнику, а левый треугольник равнобедренный. Отношения сторон подобных треугольников постоянны, бла-бла-бла, Х = 16/Х + 20/Х.
Потратил несколько минут.
И этому в школе учат.
Гениально
Самое прямолинейное решение: по формуле синуса тройного угла и теореме синусов находим синус альфа. Из синуса альфы находим косинус альфы. Из двух последних получаем косинус двух альф. И по теореме косинусов находим икс.
Самое прямолинейное и есть самое простое. Только теорема косинусов даже не нужна. Пусть t = sin(alpha). Тогда по теореме синусов 4/t = 5 / (3t - 4t^3) = x / (2t * sqrt(1-t^2)). Сразу видно, что t^2 = 7/16; С другой стороны видно, что x = 8 * sqrt(1-t^2) = 8 * sqrt (1 - 7/16) = 8 * 3 / 4 = 6. Легко решилось в уме. По одной лишь теореме синусов.
Решил через теорему синусов
Так в конце это ж просто одно из доказательств теоремы о биссектрисе.
А как получилось 5:40? Откуда это?
Из 2х подобных треугольников
Есть решение попроще: берем линейку, замеряем длину любой известной стороны треугольника, например 5. Потом замеряем неизвестную сторону линейкой. После чего составляем нехитрую, несложную пропорцию, получаем ответ.
Я так делал когда учился в школе. 😂
Обозначим треугольник АБС. Пусть угол А =2&, Б=&, С=180-2&-&. Проводим бисектрису АО от угла А.
Получается АО=БО. БО/СО=5/4
Треугольники АБС подобно по трем углам ОАС.
Отсюда БС/4=5/АО
БС=20/АО
Но БС = БО+СО=АО+4АО/5=9АО/5
Получается 9АО/5=20/АО
Отсюда АО=10/3
БС= 9АО/5=9/5*10/3=6
мда, совсем я забыл школьную программу... я опустил высоту из 2а. потом выразил 2 уравнения син а = h/5 и син (180-3а) = h/4. дальше лень писать:) если в крации, то использовал синус разницы, синус тройного угла и калькулятор инженерный чтобы посчитать численно косинус и арксинус.......
Формулу с биссектрисами не помню. Второй же вариант просто изящный! То есть еще и простой!
А как же формула пика?
Наверное, это задача от Берии или Ежова....
Первый способ больше понравился
Ну а кому нужна такая геометрия по жизни? Решить эту задачу, могу. Хорошо учили. А что дальше для жизни. А ничего. Как и доллар-бумажку, которую вы оплачиваете тем, кто придумал доллар
Набагато простіший спосіб: через площу трикутника.
Последний
3-👌👍
Теорема косинусов
Я через тригонометрию
второй метод боле лёгки
Ну и чему из этого не учат в школе? Не строй из себя великого знатока.
Тут ответов до бесконечности
Цікаві розв'язки.
Bố anh hề
Слышал,не знаю верно ли,что теперь в школе нет такого предмета ,как тригонометрия,этого мощного средства решения многих геометрических задач.
Как отдельный предмет тригонометрия никогда и не была. Она изучается в базовом варианте на уроках геометрии за 8й класс. Ну самые базовые теоремы синусов, косинусов, тангенсов. И ещё немножко на уроках алгебры, где рассматривается синусоида как функция и рисуется стандартный кружок единичного радиуса с углами, чтобы дети понимали формулы приведения. Потом рассказывают формулу двойного угла и основное тригонометрическое тождество, а также учат решать простейшие тригонометрические уравнения. Только лишь этих знаний школьнику должно хватить, чтобы устно решать задачи, подобные той, что рассмотрена в данном видеоролике.
@@NPSpaceZZZ Учебника тригонометрии, видимо, не было,я уж точно не помню,но урок в расписании так и назывался "Тригонометрия".Может это только у нас так было,а было это очень давно.Школу я закончил в 1955 г.
@@stanislavsorokin5649 ну ты лютый дед
@@MrArcan10 Почему лютый? Просто у нас помимо алгебры и геометрии была ещё тригонометрия,как отдельный предмет. А сейчас, якобы,нет такого предмета.
@@stanislavsorokin5649 да я шучу. На самом деле респект за посещение математических ресурсов в таком почтенном возрасте)
Если альфа равен 45 градусов,то третья сторона равна корню из 41. Автор обманывает людей?
Альфа не может быть 45 градусов, иначе треугольник был бы равнобедренным, а значит 5=4
@@denscore1196 блин, точно