Extremwertaufgabe 2 Optimale Büchse (UMWELTBANAUSEN!)

In diesem Video ist meine Lieblings-Optimierungsaufgabe dargestellt. Es geht um die Konstruktion der optimalen 0,5 Liter (Bier)-Büchse im ersten Teil. Die Aufgabe wird nicht als reine Extremwertaufgabe vorgestellt, sondern es wird die tatsächliche Materialverschwendung berechnet, in dem die optimale mit der realen Büchse verglichen wird. Es ist erstaunlich, wie viel Material tatsächlich verschwendet wird, weil die Büchse nicht optimal konstruiert ist. Warum Ist die Industrie auch hier umweltschädigend?
Im zweiten Teil wird die Aufgabe dann für eine beliebige Büchse gelöst. Ihr erfahrt, wie Ihr eine Büchse mit beliebigem Volumen konstruieren müsst, um das Material effizient einzusetzen. Es ergibt sich immer ein einfacher Zusammenhang zwischen Radius und Höhe, den Ihr am Ende des Videos erfahrt. Bei den ermittelten Lösungen für den Radius handelt es sich um lokale Minima. Wenn Ihr die Aufgabe vollständig umfassend lösen wollt, könnt Ihr noch die hinreichende Bedingung A''(r) größer 0 für das lokale Minimum, ergänzen. Das wurde aus Zeit- und Platzgründen im Video weggelassen.
Wer mag kann die Aufgabe auch für eine optimale Zylindervase berechnen, in dem er die Deckfläche weglässt.
Ihr könnt ja auch mal versuchen, die Lösung ohne CAS zu vollenden, das ist für Mathe-Helden ein gutes Training der Potenzgesetze.
Im Eingangsvideo seht Ihr neben den Getränkebüchsen auch besser hergestellte Büchsen.