Wie groß ist der RADIUS eines KREISES? 🤔📝 Mathe Aufgabe Geometrie
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- Опубликовано: 30 янв 2024
- Heute gibt's mal wieder eine Mathe Geometrie Aufgabe: Wir haben 6 identische Kreise, die übereinander angeordnet sind. Wir kennen nur den Abstand von der unteren Kreisreihe bis nach oben. Mit ein paar Hilfslinien wird die Aufgabe aber wieder deutlich leichter 😉
Wie groß ist der RADIUS eines KREISES? 🤔📝 Mathe Aufgabe Geometrie
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Ich zeichne das gleichseitige Dreieck ein, das die Mittelpunkte des oberen Kreises und der Kreise unten links und unten rechts verbindet. Dieses Dreieck hat die Seitenlänge 4r. Die Höhe ist damit 4r ⋅ √3/2 = 2r√3 (wer nicht weiß, dass die die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck a ⋅ √3/2 ist, herleiten). hinzu kommt jeweils r für die Abstände der Mittelpunkte zu den parallelen Linien. Damit bekommen wir 2r√3 + 2r = 8 cm. Jetzt nach r auflösen, rationalisieren und ausrechnen. Habe ich unten schon mal gemacht.
Habe ich auch so gemacht. Geht wesentlich einfacher und schneller.
Mein Lösungsvorschlag ▶
Wenn ich die Zentren der Kreise rechts und links (über die Berührungspunkte) verbinde, sowie die Basis, ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck mit einer länge von a= 4r,
das oberste Kreis hat den Radius r sowie das untere Kreis ebenfalls den Radius r, wenn diese zwei Radien mit der Höhe von dem Dreieck summiert werden, muss sich die Höhe von h= 8 cm ergeben, demnach:
⇒
die Höhe bei einem gleichseitigem Dreieck:
sin(60°)= √3/2
√3/2= h/a
a= 4r
⇒
√3/2= h/4r
h= 4r*√3/2
h= 2√3r
h+r+r= 8cm
2√3r+2r= 8
2r(√3+1)= 8
r= 4/(√3+1)
r= 4*(√3-1)/(√3²-1²)
r= 4*(√3-1)/2
r= 2(√3-1) cm ist die Antwort !
Ja, habe ich auch so gemacht.
-2+√12 hätte man noch weiter vereinfachen können: -2+√4*√3 = -2+2*√3 = 2*√3-2 = 2(√3-1)
d plus d mal Wurzel 3 ist 8; 8 durch (Wurzel 3 plus 1) ist 2,9282... ; d = 2r ; r = 1,4641....
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Gelöst mit tan: Mittelpunkt oberer Kreis senkrecht nach unten bis zur Verbindungslinie der 2 mittleren Kreise = 4-r. Von dort nach links = r. dann ist tan 30 = r/(4-r). Umformen, dann ist
r=4*tan30/(1+tan30) = 1,4641....... Die 30 Grad kann man sich leicht durch die Berührungspunkte eines Kreises mit 6 anderen Kreisen herleiten = 360/6 = 60 und davon die Hälfte ist 30.
Wenn du jetzt noch für tan(30°) den exakten Wert einsetzt - nämlich tan(30°) = wurzel(3)/3 -, dann kommst du auf den exakten Wert d = 2(wurzel(3) -1) und brauchst keine numerischen Näherungslösung.
Danke x 1 000
Könnte auch anders gelöst werden: Die äußeren Mittelpunkte der Kreise zu einem gleichseitigen Dreieck verbinden. Dann die Höhenformel des gleichseitigen Dreiecks anwenden und für die ober- und unterhalb des gleichseitigen Dreiecks 2 Radien dazu addieren: Wurzel 3 / 2 * 4 Radien + 2 Radien = 8.
Die Berechnung kann auch über ein größeres Hilfsdreieck erfolgen, mit dem Einsetzen der Winkel α=61° und Winkel β=29°
Daraus ergeben sich: cos(29)=8/x
x= 8/cos(29)=9,14
c=9,14cm ; a=8cm; b=?
Pythagoras: b^2=9,14^2 - 8^2=
b=(14^2-8^2)^1/2=4,43
4,43=3•r 4,43/3=1,47
Der Radius beträgt 1,47 cm
Größte Breite der Rohre: 8,86cm
Abstand des oberen Kreises zum untersten: 2,1 cm
4/(1+sqrt(3)) cm
Der Radius ist 14,6410 16151mm
Ab r²+4r-8 = 0 komm' ich nicht ganz mit...
Warum so umständlich? Wenn du h = 8 - 2r setzt, dann folgt sofort daraus h = 2 r wurzel(3). Dann ist d = h + 2r = 8. Den Wert von h eingesetzt und nach r aufgelöst liefert den exakten Wert des Radius r = 2 (wurzel(3) - 1).
Schwachsinn !
Derartige Ergebnisse sind doch vollkommen unwichtig; wen interessierts?! Einfach nachmessen....; warum einfach, wenn`s auch umständlich geht.....?! 😉
Weil manchmal nachmessen umständlicher ist als ausrechnen. Außerdem, wie steht es den mit der Präzision des Messgeräts? Da bin ich festgelegt, beim Rechnen lege ich die Präzision selbst fest.
@@Acampestre Mein Kom war zwar nicht 100%ig ernst gemeint, aber dank Deiner Antwort könnte ich ggfs. nun selbst entsprechend argumentieren; Recht hast Du demnach!
Das ist eine gute Idee. Die Rechnung liefert für den Radius den Wert r = 2 (wurzel(3) - 1). Ich kenne leider kein Messgerät, das diesen Wert anzeigen kann.
@@ralffischer1261 so, wie kein Messgerät der Welt irrationale Zahlen korrekt anzeigen kann. Weder dezimal noch als Bruch (deswegen ja auch irrational). Wir müssen mit Näherungen leben, bzw. im praktischen Anwendungsfall bis zur gewünschten Präzision - die wiederum je nach Messgerät darstellbar wäre - rechnen.
Wen interessiert so etwas?