формула для сложения n чисел доказывается очень просто и красиво! Идея такая: под суммой записываем точно такую же сумму, но в обратном порядке. под единицей пишем n, под двойкой- n-1 и так до конца: 1 + 2 + 3+4 +................ + (n-1) + n=S1 n + (n-1) +..................+4+3 + 2 + 1=S2 Конечно, S1=S2, а значит, S1=(S1+S2)/2 В записи у нас получились столбики, если их отдельно просуммировать по вертикали, то сумма в каждом будет n+1 а столбиков таких n Так что S1+S2= n*(n+1), а S1=n*(n+1)/2 Еще один красивый способ доказательства назыется "метод математической индукции"- мощное средство доказательств в математике Вот его общая формулировка (с некотрым упрощением) : Пусть есть некоторе утверрждение, зависящее от натурального числа N. Если утверждение верно при N=1 и из верности этого выражения для любого N следует, что оно верно для N+1, то истинность утверждения доказана для любого N. поверим нашу формулу: N=1: 1= 1*(1+1)/2 Верно! Предполагаем, что истинно для n, то есть, принимаем пока на веру утверждение, что 1+2+.......+n= n*(n+1)/2 Докажем, что отсюда следует верность утверждения 1+2+.......+n+(n+1) = (n+1)*(n+2)/2. Подставляем из первого равенства вместо начала суммы (1+2+...........+n) n*(n+1)/2, по предположению метода доказаельства это верно. Получаем, что необходимо доказать равенство: n*(n+1)/2+(n+1)= (n+1)*(n+2)/2,? и если в результате получим тождество- всё доказано! Поверяем: n*(n+1)/2+(n+1)= 0.5*(n*n+n+ 2*n+2) =0.5*(n*n+ 3*n+2) (n+1)*(n+2)/2=0.5*(n*n+3*n+2) То есть, ещё раз: Для n=1 формула прверена,она работает. Доказано, что если формула работает для n, то она работает для n+1. Поэтому из верности формулы для n=1 следует верность формулы для n=2, из чего, в свою очередь, формула верна для n=3 и так далее для любого натурального n
Изучил, первый способ действительно, с переворотом - очень красивый!! Спасибо! Я лишь догадывался, что что-то подобное, есть.. но не мог придумать( Интересно, а если что-то подобное с суммой n² попробовать, применить.. хмм 🤔
формула для сложения n чисел доказывается очень просто и красиво! Идея такая: под суммой записываем точно такую же сумму, но в обратном порядке. под единицей пишем n, под двойкой- n-1 и так до конца:
1 + 2 + 3+4 +................ + (n-1) + n=S1
n + (n-1) +..................+4+3 + 2 + 1=S2
Конечно, S1=S2, а значит, S1=(S1+S2)/2
В записи у нас получились столбики, если их отдельно просуммировать по вертикали, то сумма в каждом будет n+1
а столбиков таких n
Так что S1+S2= n*(n+1), а S1=n*(n+1)/2
Еще один красивый способ доказательства назыется "метод математической индукции"- мощное средство доказательств в математике
Вот его общая формулировка (с некотрым упрощением) :
Пусть есть некоторе утверрждение, зависящее от натурального числа N. Если утверждение верно при N=1 и из верности этого выражения для любого N следует, что оно верно для N+1, то истинность утверждения доказана для любого N.
поверим нашу формулу:
N=1: 1= 1*(1+1)/2 Верно!
Предполагаем, что истинно для n, то есть, принимаем пока на веру утверждение, что 1+2+.......+n= n*(n+1)/2
Докажем, что отсюда следует верность утверждения 1+2+.......+n+(n+1) = (n+1)*(n+2)/2.
Подставляем из первого равенства вместо начала суммы (1+2+...........+n) n*(n+1)/2, по предположению метода доказаельства это верно.
Получаем, что необходимо доказать равенство: n*(n+1)/2+(n+1)= (n+1)*(n+2)/2,? и если в результате получим тождество- всё доказано!
Поверяем:
n*(n+1)/2+(n+1)= 0.5*(n*n+n+ 2*n+2) =0.5*(n*n+ 3*n+2)
(n+1)*(n+2)/2=0.5*(n*n+3*n+2)
То есть, ещё раз: Для n=1 формула прверена,она работает.
Доказано, что если формула работает для n, то она работает для n+1.
Поэтому из верности формулы для n=1 следует верность формулы для n=2, из чего, в свою очередь, формула верна для n=3 и так далее для любого натурального n
@@AlexeySivokhin я для n квадратов формулу искал, а не для n чисел, если что.. но спасибо Вам. Интересно. Изучу 🤓
Изучил, первый способ действительно, с переворотом - очень красивый!! Спасибо!
Я лишь догадывался, что что-то подобное, есть.. но не мог придумать(
Интересно, а если что-то подобное с суммой n² попробовать, применить.. хмм 🤔