Amigo, muitíssimo obrigado! Estou estudando limites pela sua definição precisa e, até o momento, não tinha encontrado uma demonstração que não pulasse um passo e fosse, misticamente, direto pra proposição final da desigualdade. Parabéns pela didática e pela ótima via matemática!
Fiz uma demonstração semelhante em sala hoje, mas fui questionado sobre o fato de a definição ser dada por { |a| >= a se a > 0 ou |a| >= -a se a < 0, logo eu deveria provar também para hipótese em que |xy| >= -xy. Eu sei que não faz sentido, mas não consegui me fazer entender quando disse que não posso considerar esta segunda. Qual seria a melhor justificativa?
No caso a definição seria |a|={ a se a>=0 ou -a se a=a>-a (se a>0) ou |a|>=-a>a (se a0, também é o caso que |a|>=a, pois basta que uma das duas seja verdade, e como a>0, segue que a>-a pois -a é negativo, o mesmo se faz verdade para o caso aa. Para o caso |xy|>=-xy, é somente que o resultado do produto independe do sinal, uma vez que está em modulo, como sabemos |xy|=|x||y|, se você abrir |x||y| você seria apresentado a quatro casos que são redutíveis a dois somente. O que foi feito na realidade foi eu tomar a=xy, uma vez que eu possa tomar qualquer número real como um produto entre dois números reais e vice versa. Você pode tomar o mesmo caso de xy em a e fazer uma analise, ou seja: |xy|={xy se xy>=0 ou -xy se xy0 também é |xy|>=xy>-xy ou |xy|=-xy
Se quisermos ser ainda mais precisos. poderíamos tomar uma análise direta em |x||y| por exemplo. |x|={x se x>=0 ou -x se x=0 ou -y se y0 e y>0, logo |x||y|=xy>-xy Caso 2: xxy Caso 4: x>0 e yxy Então os casos 1 e 2 podem ser unificados assim como os casos 3 e 4. E pela explicação anterior, o que você irá fazer é uma extensão da definição.
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Amigo, muitíssimo obrigado! Estou estudando limites pela sua definição precisa e, até o momento, não tinha encontrado uma demonstração que não pulasse um passo e fosse, misticamente, direto pra proposição final da desigualdade. Parabéns pela didática e pela ótima via matemática!
Valeu amigo. O canal está meio parado pq estou sem pc, mas futuramente pretendo fazer as demonstrações usuais do cálculo nesse esquema
Boa demonstração
Ótima explicação!!!
Tava lendo o Fundamentos da Matemática Elementar e senti falta dessa demonstração, valeu mestre :)
🥰
Também poderia ser muito mecânico e avaliar os 4 caso de sinais para x,y ( x>=0, y>=0, x
Obrigada ♥️
brabo
👍
Poderia fazer também por Contradição, né professor?
Faça de álgebra 2
ta
Fiz uma demonstração semelhante em sala hoje, mas fui questionado sobre o fato de a definição ser dada por { |a| >= a se a > 0 ou |a| >= -a se a < 0, logo eu deveria provar também para hipótese em que |xy| >= -xy. Eu sei que não faz sentido, mas não consegui me fazer entender quando disse que não posso considerar esta segunda. Qual seria a melhor justificativa?
No caso a definição seria |a|={ a se a>=0 ou -a se a=a>-a (se a>0) ou |a|>=-a>a (se a0, também é o caso que |a|>=a, pois basta que uma das duas seja verdade, e como a>0, segue que a>-a pois -a é negativo, o mesmo se faz verdade para o caso aa.
Para o caso |xy|>=-xy, é somente que o resultado do produto independe do sinal, uma vez que está em modulo, como sabemos |xy|=|x||y|, se você abrir |x||y| você seria apresentado a quatro casos que são redutíveis a dois somente. O que foi feito na realidade foi eu tomar a=xy, uma vez que eu possa tomar qualquer número real como um produto entre dois números reais e vice versa. Você pode tomar o mesmo caso de xy em a e fazer uma analise, ou seja: |xy|={xy se xy>=0 ou -xy se xy0 também é |xy|>=xy>-xy ou |xy|=-xy
Se quisermos ser ainda mais precisos. poderíamos tomar uma análise direta em |x||y| por exemplo.
|x|={x se x>=0 ou -x se x=0 ou -y se y0 e y>0, logo |x||y|=xy>-xy
Caso 2:
xxy
Caso 4:
x>0 e yxy
Então os casos 1 e 2 podem ser unificados assim como os casos 3 e 4. E pela explicação anterior, o que você irá fazer é uma extensão da definição.
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