反直觉：沙漏流动时，重量会变轻吗？专为40岁以上人群解惑
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- Опубликовано: 30 июн 2024
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视频内容：
沙漏里的沙子流动时，放在称上重量如何变化？通过这样一个物理问题的计算，也许能解决你童年的一个疑惑。
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内容章节：
00:00 沙漏实验
00:57 定性解释
03:40 定量分析
10:27 日常应用
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Наука
![mgk - Sun to Me (Zach Bryan Cover) [Live from Cheshire Cottage]](http://i.ytimg.com/vi/_ZnbTEs4O6U/mqdefault.jpg)
看了1分钟，
醒来的时候李老师在讲为什么股市不容易挣到钱，惊出一身冷汗！
哈哈，关心中学物理、数学，同时还在炒股的哲学家？？？
真的 有時候睡不著手機點開老師的視頻
醒來已經清晨了，手機也沒電了
@@user-hj2fs4fz6t他是双学位
这个问题可以用下面的延伸来简单的理解：如果沙漏的高度非常高，所有沙子都离开上管的时候，第一粒沙子还没落到底部，那重量的变化就很好分析了，然后再把头尾的情况融合在一起，就有了中间的情况。然后这个问题可以增加一个复杂版：额外有一个内部的抽取装置，把底部的沙子匀速的搬运到上面循环落下（落下的时候依然有冲击力），再去分析重力的话也很有趣。
😂太厲害了 完成不懂
那个时候生活虽然没有现在这么丰富，但是每天都感觉非常开心，因为那是我们逝去的童年。李老师感动而深思的一句话。
科技在进步，人类时代却在退步
童年無憂無慮當年是最開心
最后还有一句潜台词：虽然那时非常快乐，但是我们还是不想回到那个时代
童年基本和老年差不多，只是童年不懂失去，能失去的也不多，老年懂失去，但是心胸寬也能說能失去的不多，但是老年的我很懂失去～
现在也很开心啊😃
我好喜欢这种知识从脑袋进来又出去的感觉(((o(*ﾟ▽ﾟ*)o)))
应该是没进去哈哈
果然是进进出出能给人类带来愉悦吗？
沙漏脑😂
耳边风？
我给你翻译一下：左耳朵进，右耳朵出。
可以放大所有物理特征；在一吋的空管子裏面擺內直徑相同的鋼珠，中央置一阻尼環，翻轉讓它們逐一掉下來，手持很敏感可以感覺一陣陣的衝擊重量。
李老师不仅仅科普，还是哲学家，心灵导师，最后一句话饱含人生哲理，哈哈
数理哲时一体的
看 11:04, 你会发现地上并没有秤。秤米时，米在漏斗里，米总是静态。老师记错了吧？童年太美妙， 因为有时是我们的幻觉。
與實驗數據 0:48 相較之下，還是有一定的差別(因為實際的沙漏容器中段有個弧度)。個人猜測最大差異就是因為空氣中沙子下落的初速度不為零，以及仍在上方的部分沙子則會因為沿壁面滑動，前者會增加磅秤讀數，後者則會降低。平衡之下，前者的影響似乎更大。所以李永樂老師小時候大概是被坑了...
其实应该有个更简单的分析方法，把沙漏看成整体，沙漏的重心持续向下移动，这个移动的加速度a乘以沙漏的总质量m就是沙漏受到的合外力，也就是电子秤示数（支持力）和沙漏重量的偏差。如果作为一级近似假设沙漏中的上下两段沙子都是圆柱，而单位时间内漏下的沙子量又是固定的，那么在中间的阶段沙漏重心是匀速下降，支持力就等于重力。而二级近似就要考虑沙漏的形状了。
@@fangzhang9376 嗯！你提的模型的確比我的好！
@@fangzhang9376 我也是第一個想到的就是看整體的重心，認為中間應該會跟不動的時候一樣重。看到模擬的中間一段時間秤上的重量會略重，猜測應該是上層的沙越少，壓力變小，流速也會變慢，所以此時的加速度是略微往上。
@@kesvefbi 講來講去就是白努利定律
我觉得是这样的，之所以会比静止稍微重一点是因为下面的沙子在上升，所以空中下落的那部分沙子长度和数量是在不断缩小的。这么想：假如下面的沙平面不会上升，那么处在空中的沙子数量是保持不变的，单位时间有多少沙子进入空中就有多少沙子落到底下，进入空中和离开空中的沙子的动量变化是相互抵消的；至于在空中的那部分沙子动量是不变的（虽然在空中的是不同的沙子但是它们作为一个群体的运动状态是不变的，是个动态平衡），这样的话，整个沙漏的总动量不变，总重力就跟静止时相同。但实际上，由于下面的沙子会上升，空中的那部分沙子实际是在慢慢变少的（空中的沙柱在缩短），所以单位时间离开空中的沙子要比进入空中的沙子略多，所以离开空中部分的动量比进入空中的动量要稍微多一点，空中的那部分沙子的总动量就会慢慢变小，整体沙漏多出来的重力就来自空中部分减少的动量（其他部分都没有动量）。
EDIT: 所以我预测，沙漏中间的口不变的情况下，下面那个容器越细，流动的时候额外增加的重量就越多。
李永乐老师的视频，很特别也很有趣，一直支持。
也可以从整体角度分析。先看中间稳态的过程，整体的质心是向下的匀速运动，也就是跟重力是处于平衡状态，所以秤的示数跟原来一样。开始跟结束阶段也类似分析，整体质心加速或减速。
可以假设沙漏中间部分特别长，长到能让全沙子都处于自由落体状态，此时沙漏重量将不包括沙子。
如果沙漏是真空的
@@xchen3079絕對真空代表所有份子凝固了，整個沙漏可以視作固體，不會有任何重量變化。
提供兩個別的方法想這道題。
一：沙漏的重心在過程中向下移動，速度是不定的，從而也會感到一個假力，情況和我們乘升降機落樓時先感到輕了，之後好像又回到正常重量，臨到步減速時就有段段時間感覺重了，是一樣的。
二：上面的估算都是假設沙漏中的沙子流速是固定的，如果不是，我們可以用每顆沙子很小的重量做計算，然後把力加起來。
欸第一點那個不是假力吧，是重力加速度吧
就是國中學的f=ma a=g g大概是9.8牛頓，再來就看沙子的質量是多少就可以算f了
老师就是老师，比各种科学科普的解释的要好懂的多！
感谢心理学家李老师
感謝李永樂老師給的知識。小時候我也在米店看過媽媽買米，是一個美好的回憶。
因為你這個留言，我乖乖的看完整個影片。
李老师说买米的经历很有感触，我小时候也很喜欢和爸爸去粮店买米，觉得那个漏斗特别好玩……
李老师讲课讲的真好
还是喜欢听李老师讲隔壁老王的故事。希望除了小朋友，隔壁老王也加入李老师的班级，踊跃提问。😆
学习了学习了，尤其是最后听到了李老师童年趣事，哈哈😄
假设沙漏孔径合适并且沙漏本身足够长，那实验过程中的重量改变会更直观得看到。
我第一眼也是这么认为
從宏觀層面來看，肯定會增加重量。因為做了旋轉賦予了物體能量(讓低位能物體變高位能)。說得更白癡一點手壓秤重外部能量來源也是增加重量的一種方式～
能量則跟質量相呼應。雖然微小但是肯定的，充飽電的手機比沒有電的手機重一點也是同樣概念～
最終衝擊力量向四出發散，最終又取得了平衡回歸了該物體應有的質量大小～
@@Wind_of_Night 一个人在体重秤上跳，读数肯定是跳空中的时候变轻，落下来变重。
@@wiederhoren 作用力與反作用力，在跳的同時重量也會變重(向下的作用力施力上升)，下來時也會變重(位能轉換衝擊力)。
宏觀來看總能量變少(消耗能量上升提升位能，猶如火箭消耗燃料升空)。
一部分沙子处于失重状态，一部分处于超重状态，两部分互相抵消，所以不变
上面剩余的沙子整体向下移动的加速过程也会影响示数
這個厲害！説得真好。
这个封闭系统质量不变。但是倒过来的时候，人对它做了功。系统里面的势能增加了。整个系统的质量应该是增加了。
老师解说的非常好，但是听起来最幸福的是最后的几句，小时候的回忆😄
提前祝李老师教师节，中秋节快乐！
这就像是你站在电子秤上突然蹲下，电子秤当然会动呀
00:40 提到「第一個階段數字減小，第二個階段數字幾乎和靜止時相同，第三個階段呢 數字增大」，實際上看第二階段的數字是略大於靜止時。
重新檢視計算的假設…
落下的沙子時間不應為定數T0，而是會隨下方沙堆愈高而愈小的時間，但這部份應不是主要項。
會不會是上面還到洞口的其他沙子，其實也『算是』有在往下落，所造成的力?
第二階段略大的質量就是因為水平面穩定上升，因此造成此刻衝擊力的滯空質量一直略大於現在滯空的質量喔。
和李老師有同樣的童年，不過我的記憶是和父親去買面，當時也考慮过这个问题，也覺得自己占了便宜。
李老師，沖擊力不是淨力，沖擊力應該是重力加上動量變化吧。
Fnet=d(mv)/dt
Fnet=R’ -(每接觸時間的沙的質量）*g
R’=d(mv)/dt + (每接觸時間的沙的質量）*g
R total= R+R’= mg+ (每接觸時間的沙的質量）*g
所以電子秤在中段時間會重了一些
思考到這個問題也蠻細心的 不過結論真的就是衝擊力等於消失的重量
原因就是李永樂老師忽略了正在衝擊的微小沙子的重量(dm)g ≈ 0
正確版本是
Fnet = F衝 - (dm)g = ∆(mv)/∆t
=...(跟影片的推導一樣) = m空g
→ F衝 = (dm)g + m空g
→ 磅秤讀數(對m而言) N = mg - (m空 + dm)g + F衝 = mg
@@user-mu9xm7bp1s 确实，在视频里他算的应为底部对落下的沙子的作用力，大小就是冲击力减去重力。但是由于这段Δt内又有新增的沙子从顶部落下，您最后的结果需要减去(每接觸時間的沙的質量）*g，因此刚好和最开始静止的时候一样重。
你的R應該要是mg-m空g-(每接觸時間沙的質量)•g 你少扣了最後面那一項
磅秤讀數讀到的是正向力
而誰受到了那個正向力呢？
是m-m空-每接觸時間沙的質量（姑且設為m’）→ R=m’g
因為你是在對m’分析 才能計算所謂的“衝擊力”
也就是說 m’ 和 “每接觸時間沙的質量” 不應視為一個整體 要計算正向力 就應該只能單獨對m’分析
而m’還受到了衝擊力R’
所以N=m’g+衝擊力=R+R’
所以你的R_total = mg 才對
李永樂老師您好
那我想問一個類似的問題
假設說今天有一個裝水的罐子
但是罐子中有一個氣泡
那在氣泡上升的過程中
罐子被測量到的重量會發生變化嗎？
一直被這個問題困擾很久
以前高中的老師是說氣泡的位置改變
會造成整體的重心改變產生動量
而使重量在量測上產生浮動
但今天聽完影片解釋後
似乎又跟想的不一樣了😭
把沙漏這固定不動的容器去掉然後把沙子替換成一顆石頭就簡單了 位能轉動能 落地時對地面施加等同位能的力 在空中時可以當作石頭消失
The sand-timer will be getting heavier instead, simply because sand grains with high gravitational potential energy will transform it into kinetic energy and do work and apply force to bottom of the container.
老師那請問
平均的受力會相同嗎?
李老師買米的段子有矇40嵗以下小朋友之嫌。真正買過米的都知道關了閘門之後米袋還在磅秤上，賣米的和買米的都確認過之後才把米袋拿開。心裏有賺到便宜的感覺絕對是現在想象出來的，真買過米的就知道😀。還是支持李老師！
那个时候挺环保的，根本没有多少塑料袋。
@@kickmonster597 米袋是純棉布的
看 11:04, 你会发现地上并没有秤。秤米时，米在漏斗里，米总是静态。老师记错了。
直接分析系统加速度会更直观吧。一开始沙漏系统有向下加速度，因此沙漏底部所受支撑力小于沙漏系统重力，示数小于重量…依此类推。
每次都看到各種留言來幫永樂大帝出題目就覺得很有趣 XDD
最后阶段蒙了好久....因为没想到“空中的沙子越来越少”等同于【下面的沙子越来越多】所以更重了，而且因为最后一刻只剩下冲击力了才会有那个向上的凸起
今天李老师的粉笔基本没有断，是用了不同牌子的粉笔，还是老师手下留情了呢？
定性分析的话不如把沙漏看成是一个整体来分析其重心变化比较简单。
如果看成一个整体，那开始和结束的质量变化就无法解释
就像一个人在电梯里跳，电梯钢索收到的力是变化的，只不过平均不变
这个实验整体重心是下降的，你能分析出什么吗？
由于下面的沙子的堆积，空中的沙子也是逐渐减少的，不是固定值。
由于高度减少，冲击力也变小。所以合力还是固定的
计算的结论跟高度无关，在任意时刻任意高度，两者都是相等的
可用等效质点的加速度变化来计算非惯性力
謝謝！！的確讓我憶起那快樂的童年。
电子秤精度肯定不够的，要用高精度的应变器加上示波器，才可能看到这种现象，不过真的太有意思了
用称金条的电子秤应该很明显
不是精度问题。电子秤不是实时读数，家用电子秤可能每隔1秒钟才读一次数，大于任何一粒沙子在空中飞行的时间
小時候常常感覺賺到了，不論是走在路上都常能撿到銅板，長大後才知道並沒賺，因為白拿的要回饋給多給社會~
完美的解释了一种能量守恒。
這是在講數學不是講物理, 這個沙漏重量不變的物理原因是因為內力不改變運動狀態. 雖然沙粒動量有改變 但這種動量的改變只是一種內力表現.
李老师讲的真好。我突然想到一个变量：空气密度。 如果这个过程放在水中，那中间过程的米就不一样了，而且高度越高，中间过程的米是否会更多，导致误差？
CFD模拟
李老师讲的真好！
把比萨斜塔放在一个巨大的称上，我站在斜塔顶端拿个铁球，松手后重量一定会减轻一个铁球的重量。等铁球落到称面上重量又增加回去了。
用 1 個大鋼球 , 落下距離很長的系統 , 就可以感受系統失重減少 , 再面臨衝擊力增大 , 再回歸平穩
这个在真空状态下成立，否则要把空气阻力算上。应为不同材质对空气阻力的影响冲击力的情况不一样。
恭喜，减肥有效果，坚持呀，减肥是一辈子的事情
兩者系統應該不一樣，沙子要流動，需要外力去提供位能，將沙漏倒置，所以兩者初始的條件不同。
我们可以考虑一个极限状态，假如沙子不是很多，而漏斗很高，那么就会有沙子全部在空中的状态，其它情况自然也会形成
确实 沙漏的长短还是对实验数据有影响
主要是在空中下落的沙子数量很少而且颗粒也很小，它们的质量太小，难以被电子称感知。可以把模型极端化，想象成一个大圆筒内部有n个铅球或者篮球。因为沙漏这个整体内部有质量的相对移动，所以它不能被视为其他刚体那种整体。
40歲也是小朋友😁😁😁
李老师，定量分析里计算开始阶段F=mg-ρtg，漏了重力加速度g。
這一集，人文加上物理！！！感謝分享！！！！
100ms 上部沙子卡通道互撞導致.確定通道順暢.再跌次. 250ms衝擊是玻璃和沙的撞擊 之後都是沙子互撞.共振抵力.在最後流量變低.共振抵力減弱.力量逐步正常.
這和倒水進水桶的意義一樣.水是流體表現更加明顯.一倒進去就會回彈水珠.之後倒的夠快還會回撞上來水珠.流變學宇宙沒有東西是靜止的
我們會因為擁有而感到開心,
童年時擁有未來, 開心!
年老時擁有過, 包括擁有童年, 開心!
李永乐老师，有时间讲一下人们去竞马场都输钱，请讲一下竞马场的猫腻
謝謝分享
下面的沙子数量不同 缓冲程度也不一样吧 总觉得冲击力是跟下面的软硬程度有关系的 毕竟动量中的力的大小跟位移有关
李老师，这个问题能否用动量守恒来分析？由于整个过程中，沙漏的重心先加速，后匀速下降，最后减速。可以认为第一阶段沙漏的动量从零开始逐渐向下增加，第二阶段沙漏的动量不变且方向向下，第三阶段动量减小。因此秤对沙漏的支撑力也是先减小提供动量的增加，然后恢复保持动量不变，最后增加以减少动量。
这样我们仅用几何学分析沙子的形状的变化就可求得秤的读数的变化曲线了
如果用能量守恒的角度看，沙漏倒转的瞬间不是给水子增加了势能吗？那这些势能最终是否会转化成冲击力所引起的计数增加呢？如果电子称 足够精密的话是否能测量出这样的增加呢？
我是做工程的，最后空中没有落到秤上的叫落差量，它重力没有冲击力那么大，在工程中实际读数应该加强空中的落差量。
相当于在称上作 蹲起，无数个人一起做，就相当于细沙的这个运动，只要人足够多，最后的结果，就跟站在上面不动一样。
空中的砂子空气还提供浮力，在同一个系统内这些空气反作用在瓶底还有一些力吗？
@5:03
應該是 F=mg-ptg ，少寫了個g
這麼多年過去
李老師終於被我抓到錯了一把
Lol
空中沙子质量为什么等于冲击力呢? 所有下落的沙子(一个沙柱)和冲击下层的沙子(只有一个截面),为什么质量相等?
老师, 可不可以顺带用数学软件, 比如MathCad, 教教怎么用这些数据, 自动得出曲线.
难得对一次，把沙子想象成一块巨重无比的石头就得出了正确结论…
这就是极限法，可以想象类似的极端情况来得出结论
very interesting. thank you.
注意到那個模擬的曲線中段，是一個不斷抖動的曲線，那是沙子掉落與另一粒沙子著地的起伏曲線相消的結果
米粒落下時，位能是以熱能的方式釋出，如此在米盆附近的空氣會被加溫；於是米粒受的浮力變小，米粒的稱重會因此增加。李老師小時候吃虧了些…
解決了長久以來的疑惑！！！
我數學一直不好，請問…
去加油站加油、碼錶到達指定的數量以後，等油槍裡的油滴完會讓我多賺一點油嗎?
又或者、沒等它滴完其實是我虧了呢?
其實這和人站上去量體重是相同的，也會有波動
我小时候看到这个题，想了很久算不出来，但是一直记得这个题，简直是童年的心病。刚看到这个视频标题，看视频之前就用手指在平板的画笔上算了几分钟一会儿就算出来了。这是怎么回事，
如果足够长 漏空第一粒刚触碰底 成还设碰底 还没碰底的效果是产生万有引力的星星之谜吧 (在宇宙的真空环境下）因为最标准的万有引力吧
整体=沙+瓶。开始漏，沙加速，整体动量++，外力朝下，读数偏小。漏完时，动量- - ，外力朝上，读数偏大。
还没有细想。
只是粗略地觉得计算沙粒流速时用的Δt与计算沙粒停下时冲力所用的Δt，不应该直接采用同一个量。一个是量取沙粒流量的时间，而另一个是沙粒接触下方停止的物体时从下落速度到完全停止所用的时间。影响后一个值的因素至少要包含下面沙层的“坚硬”程度。越坚硬，Δt越小，越疏松，Δt越大。
然而还是觉得如果用微积分来代替代数解，可能能推出相同的结论，但过程不同。
这里把瓶底看成坚硬的，沙瞬间就停止，流出效率等于落地效率，懂微积分的一看明白了，视频就是讲给不懂的人的，所以才这样讲嘛。
如果底是坚硬的，或者说如果沙粒落地是完全弹性碰撞，那沙子应该被反向弹回到它初始的位置。另一个极端，如果是完全非弹性碰撞，沙粒应该被底部吞掉，完全没有反弹。真正的瞬态冲击力应该是随着沙粒与底面形变的发展而变化的，变化越快，即Δt越小，冲击力越大。变化越慢，冲击力越小。一个直观的例子是鸡蛋落到水泥地上和落到棉花上的结果完全不同。@@mokagislin3895
我觉得可以做一个可观测实验。找一个足够长的沙漏，让它下落的时间变的足够长，留给电子秤和人足够的观测时间！能够看到沙漏开始 下落还没落地的时刻，也能看到末尾全部落下的瞬间。会不会看到质量变化呢？
水沙漏
才发现李老师只是在youtube上面发视频，B站上都不更新了，我觉得这么好的视频，国内的朋友也应该能看到！
李老师国内的平台在西瓜视频吧，签约了就不能往b站发了
现在恢复更新了，应该是西瓜的合同到期了
感觉用天平测一下应该能明显一些
感觉回到人大附中了，好怀念
不考虑开始结束，因为比较显而易见。中间过程从能量转化是示数变大，那个模拟对的
能不能根据能量守恒的观点来理解，第二阶段沙子恒定流动的过程中，整个系统的势能在逐渐变小，对外做功是不是应该会使得称的示数变大？
如果把沙换成100克的铁球，在铁球自由落体的过程中，重量应该少100克。
我想問一個問題，為什麼在密閉的沙漏裡空氣不是應該與沙漏同一個系統嗎，所以就算是在空中的沙子也不應該減少整體的重量啊
这个可以参考在电梯里跳起
听不懂 但是感觉很有道理的样子
內力無法對系統外作功，所以不變
用机械衡测量反应比电子衡灵敏。电子衡不是实时的。
往下流的时候，物体重心下降，是个释放势能的过程，肯定是变重呀
拿重一點的水來做實驗就會有看到稍微變化的重量了
李老师多给40+的中年人补补课吧，之前相对论那几期，听的还不是很明白
实际还有好多因素要考虑，比如随着下面沙子的高度增加，沙子在空中的位移变短，还有上面的沙子少了，压力减小，沙子落下的速度，也就时视频中的ρ会变小。应该还有我没考虑到的，真实世界可真是太复杂了
還有空氣阻力隨速度變化也不一樣，除非裡面是真空的，沙子高度不同，緩衝力可能也不太一樣
未来也值得开心
有個問題：無衝擊力應該也是變數，依開始高度較長，衝擊力也會較大。最後落沙高度較短，衝擊力也會較小。
落沙高度变小了，空中的沙子不是一样变少了吗？！这个推理过程可以看出和落差高度无关
定量分析：1.開始，最後的公式F=mg - (rho)tg才對，i.e. 少了一個g
加傳送門：05:03
我才想著這裡怪怪的，果然有人指出來了
是的
对的
刚想说一下 然后就翻到了
把沙子想象成一个整的固体，然后把沙漏放大到高1公里高，就容易懂了