【頭が柔らかい人はすぐ分かる】パッと見で面倒くさそうな分数が簡単に解ける【小学生が解く算数】

【 難易度：★★☆☆☆ 】
2021年の学習院女子中等科の入試問題です。
▼重要な解法ポイント
(1) ステップ1：問題の紹介
　この問題は、画像に示されたような分数の足し算をする問題です。
　分母にいくつもの数が掛け算で入っている、ちょっと難しそうな計算が出ています。
　この問題は「まなびスクエア」というRUclipsチャンネルで、「菅藤（すがふじ）」さんが解説している、図形問題や算数の考え方を教えてくれる動画の中で取り上げられたものです。
　問題は2021年に「学習院中等科」の入試で出題された実際の問題です。
　今回は、その中の分数計算を分かりやすくする方法を一緒に見ていきましょう。
(2) ステップ2：問題文の確認
　問題は、次のような計算をしなさいというものです。
　(11/(20×21)) + (18/(21×22)) + (7/(22×23)) + (7/(23×24))
　分子が11、18、7、7とあって、分母は20×21、21×22、22×23、23×24というふうに、隣り合う整数を掛けた形になっています。
(3) ステップ3：ポイントは分子と分母の並び方
　このような分数は、ただそのまま足し算をするととても面倒です。でも、ここで「ある工夫」をするとスッキリと計算できるんです。
　それは、「分数を2つの分数の引き算の形に分ける」という考え方です。
　例えば、
　1/(20×21) をうまく変形すると、「1/20 - 1/21」というような形に変えることができる、という法則があります。
(4) ステップ4：なぜ「1/(20×21)＝1/20 - 1/21」となるの？
　これを確かめるには、両方を同じ分母にそろえてみればいいのです。
　「1/20 - 1/21」を計算すると、
　分母を20×21にそろえたとき、
　1/20 = (21/(20×21)) で、1/21 = (20/(20×21)) となります。
　これを引き算すると、(21 - 20)/(20×21) = 1/(20×21)となります。
　つまり、1/(20×21)は1/20と1/21の差(1/20 - 1/21)で表せるわけです。
(5) ステップ5：同じやり方で他の分数も分解
　問題文のすべての分数に対して、「1/(A×(A+1)) = 1/A - 1/(A+1)」という形に直してみましょう。
　- 11/(20×21) は「11」を外に出して、
　 11 × (1/(20×21)) = 11 × (1/20 - 1/21)
　- 18/(21×22) は
　 18 × (1/(21×22)) = 18 × (1/21 - 1/22)
　- 7/(22×23) は
　 7 × (1/(22×23)) = 7 × (1/22 - 1/23)
　- 7/(23×24) は
　 7 × (1/(23×24)) = 7 × (1/23 - 1/24)
(6) ステップ6：式を引き算の形で全部書き直す
　全部まとめると次のようになります。
　(11/(20×21)) = 11(1/20 - 1/21)
　(18/(21×22)) = 18(1/21 - 1/22)
　(7/(22×23)) = 7(1/22 - 1/23)
　(7/(23×24)) = 7(1/23 - 1/24)
　これらを全部足し合わせると、
　11(1/20 - 1/21) + 18(1/21 - 1/22) + 7(1/22 - 1/23) + 7(1/23 - 1/24)
(7) ステップ7：たくさんの分数が消えていく！
　ここでカッコをはずしてみると、
　= 11/20 - 11/21 + 18/21 - 18/22 + 7/22 - 7/23 + 7/23 - 7/24
　この中で、マイナス11/21とプラス18/21があって、ここが組み合わせて計算できたりします。
　また、-18/22と+7/22、-7/23と+7/23 などのように、同じ分母同士で足し引きできる場所があります。
　実際に整理していくと、同じ分母で符号が逆のものは「ポンポン」と消えていきます。
(8) ステップ8：実際に消してみよう
　例えば、
　-11/21と+18/21を合わせると (18-11)/21 = 7/21 になります。
　-18/22と+7/22を合わせると (7-18)/22 = -11/22 になります。
　-7/23と+7/23はちょうど同じ数で引き算されるので0になります！
　こうやって整理すると、残るのは
　11/20、7/21、-11/22、そして最後に -7/24
　というように、だいぶ少なくなります。
(9) ステップ9：さらに分かりやすく並べ替え
　このまま計算するよりも、実は少し並べ替えるともっと簡単になります。
　工夫すると、最後に求める答えは「120分の11」というふうになることが分かります。
　(途中の全ての計算過程は長いので省略しますが、消して約分していくと最終的にはそうなる、ということが解説で紹介されていました。)
　実際、動画ではこのような計算プロセスを一つ一つ丁寧に見せたあと、最終的な答えが「120分の11」になることが示されています。
(10) ステップ10：まとめ
　この問題のカギは「分数を２つの簡単な分数の引き算で表す」工夫にあります。
　もともと複雑に見えた分数たちも、「1/(A×(A+1)) = 1/A - 1/(A+1)」という形に分けることで、途中でたくさんの項が消えていき、最終的にはとても簡単な計算になります。
（この概要欄はAIによって生成されています）
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#中学受験 #算数 #図形

[@emilio0762]

細かいかもしれませんが、部分分数分解から同じ分母の数同士にまとめる時に、-18/22+7/22は答えが負になるから算数の範囲を超えるのでは。

[@MetsCOLA]

キセル算はOKでもキセル乗車はNGです。

[@律名取]

部分分数分解ですねー

[@岡本裕俊]

分数の引き算に展開できること、知らなかった。。。

[@kg6156]

せんせー、日曜日のもんだいが見つからないのですがー