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【訂正】[3] から [1] を証明するところで，β → β - 90º としていますが，正しくは β → 90º - β です！ご指摘くださった方，ありがとうございます🙇🏻♂️
めちゃくちゃ分かりやすくて好きです1回見たら忘れません
それはよかったです！
α,βは一般角(全実数)が定義域なので、4つのうち1つが証明出来れば全て自明
その通りです！動画でも，β → -β にしたり β → 90º - β にしたりしています。
今まで見た中でかなりわかりやすい動画だと思います。丁寧な説明ありがとうございます。
ありがとうございます！だいぶ前の動画なので至らぬところも多いと思いますが，お役に立てたようでよかったです。
わかりやすいです！ありがとうございます！
お役に立てたようで何よりです！
とても分かりやすいです！
それはよかったです！ありがとうございます😊
数学はやはり感動する
大学入試問題だから教科書通り回転不変性を前提条件とできるわけですね。これを数学的に証明した受験生がいたらこの１問で合格にしたいと思うだろうね。
感動しました。マジで感動しました。
物理もやってほしい！
コメントありがとうございます！今後の動画作りの参考にします。
今までに聴いた、観た三角関数の加法定理の説明で、あなたの説明が最も分かりやすかったです。ありがとう御座いました。
こちらこそ，ご視聴ありがとうございます！お役に立てたようでよかったです✨
分かりやすい！
ありがとうございます😊
高校2年で、つい加法定理ってどうやってできてるんだろうと思って調べたら、東大、、、笑笑諦めですね笑
動画のような覚え方の方が教科書などには載っているイメージはあるけど、私は三角形の面積の和でsinの和の加法定理を証明するほうが好きですね~
たしかに証明系はトレンドになる可能性ありますよね！
余弦定理とか加法定理とかは，共通テストで証明が出題されてもおかしくないと思っています。
余弦定理でやるとαβの範囲めんどくさいけど座標と2点間の距離だと角度なんぼでもいいみたいな感じですか？
キャストダイス見ました！！かっこいい
ご来訪ありがとうございます😊東大・京大の入試問題を中心に，高校数学の解説をしています。
ぼくははやくち解説高校数学さんが解説されている余弦定理を用いるやり方で覚えてます！
余弦定理や内積を用いる方法もありますね！今回は，なるべく前提知識を減らし，三平方の定理のみを用いて証明してみました⭐️
e^(iθ)=cosθ+isinθに、θ=α+βを代入したらダメなのかな
それ，実は僕も気になるんですよね。循環的な議論になってしまうような気がしているのですが，何から何が導かれるのかという関係を完全には把握できていません。
多分ですが、問題はないですよ。三角関数のマクローリン展開式を三角関数の定義式として認めると、オイラーの公式の示す事が出来るので。但し、無限級数の和の順序入れ替え可能なのは、級数が絶対収束する時にのみ成り立つ点には注意して証明して下さい。θを複素数の範囲に拡張する場合にはこれが自然なやり方かと思います。このやり方だと、幾何的意味合いは排除出来ますね。
懐かしい三角関数は、物理で応用する時に証明した記憶がないようなあるような
三角関数や指数関数は，物理でいくらでも使えますもんね！
四角1の証明で行うべき角度の変換はβ→90°−βではないでしょうか？
あーほんとですね，ご指摘ありがとうございます！
座標でおいたのなら内積の演算処理のやつでもやりませんか？一つの問題を様々な視点でやって言えるのが数学の楽しさでもあるので内積の計算OA(cos α,sin α),OB(cos β，sin β)とした時OA・OB＝｜OA｜｜OB｜cos (βーα) ＝cos(βーα)座標系で演算するとOA・OB＝cos α cos β - sin α sin βまーやってることは余弦定理をベクトルであっていいとこだけ取ってきたみたいなもんなのですがwでもこの単元の時の際には基本的にベクトルは習ってないですし、再来年から指導要領の関係でベクトルがやらなくても済んでしまうのでこの考え方が減ってしまいますが
おっしゃる通り，内積を利用する手段もありますね♪答案はそのほうがスッキリしそうです。今回は，三平方の定理だけを前提として証明してみました⭐️
林 俊介 HAYASHI Shunsuke これからも頑張ってください
はい！ありがとうございます😊
@@ひゃだ-s5s β－αがなす角、なので内積を計算するには、β－αに制限がついて、一般の角度について証明出来ていないのでは無いでしょうか？
@@素敵-r4g 厳密には合分けが必要ですね
最初の方で何故三平方の定理を使えたんですか？？α＋βが直角とは限らないのになんでかなーと思って質問させてください！動画内で言及されてたら申し訳無いです！！
座標平面上の 2 点間の距離を求めるために，x 座標の差の 2 乗と y 座標の差の 2 乗を使いました。これは，α や β がどういう角度かに依存しません！
@@884 なるほど！ありがとうございます！
サムネの背景色京大→濃青東大→淡青今、気づいた
おーよく気づきましたね！
なぜ第二象限にcos(α+β)を置いても正なんですか？負でなはいのでしょうか？
コメントありがとうございます。動画の時間でいうとどこのことでしょうか？
@@884 4:24のところです。
α + β が鈍角である場合，cos(α + β) の値は確かに負になります。正であるとは述べていませんが，どこが誤りだとお考えでしょうか？(ごめんなさい，疑問点を把握しきれていなくて。)
@@884 B’の座標が{cos(α+β),sin(α+β)}が{-cos(α+β),sin(α+β)}ではない理由を教えていただきたいです。証明の際は正と考えて進めても良いからなのでしょうか？cosはx座標の動きだと学校で学んだため今回のような(α+β)が鈍角である場合の証明にはcos(α+β)ではなく-cos(α+β)なのではないかと思い質問させていただきました。わかりにくい質問かもしれませんが教えていただきたいです。長文申し訳ございません。
あーなるほど，意図がわかったかもしれません。一般角で符号込みで考えているからこそ，cos(α + β) にマイナスは不要です。"値が負だからマイナスがつく" というふうに思い込んでいらっしゃるのではないでしょうか？
ただ予備よりいいすね！
嬉しいコメントありがとうございます！でも たたよび さんも，完成度が高いし何より初学者にとってわかりやすいので素敵ですよね⭐️
質問失礼します。四角1の証明で四角3のβ→90°-βにするとcosαsinβ－sinαcosβ になってしまいませんか？
はい，その通りです！（板書ミス，コメントで訂正済み）ご迷惑おかけしました〜
@@884 ［3］のβを変形する場合は板書が正しく［1］が導けて、［3］のβ→90°-βとするとcosαsinβ-sinαcosβになり、［4］のβ→90°-βとすると［1］が導けると思うのですがどうでしょうか...(間違っていたらすみません)
@@栗原颯大 はい，その通りです！🎉
@@栗原颯大 結局板書は何も間違えてないですよね
cos（β−π/2）がsinβとなることは証明いりますか？
文脈次第ですが，例えば今回の東大の問題では不要だと思います。最悪，最初に示す cos の加法定理を使って簡単に証明できます。
すみません 1:48で何故AB2乗=(cosa-cosb)2乗+(-sina-sinb)2乗で三平方の定理が使えるんですか？
直交座標で x 座標と y 座標の差がわかっているためです。直角三角形をガイドで書いてあげると理解しやすいかもしれません。
Twitterよく見てます
ありがとうございます♪
複素数を使う場合はだめでしょうか
方法によっては循環論法になってしまう可能性があるので要注意です。複素数の積 zw の偏角が z の偏角と w の偏角の和になっているという事実は，三角関数の加法定理で証明していたと思います。
東大入試の過去問で誤答例として紹介されてましたド・モアブルの定理の証明で加法定理を利用するので、順序が逆なわけです
👍
👍🏻👍🏻
中３には早すぎる内容だぁｶﾀ((((꒪꒫꒪ ))))ｶﾀ
高校数学をじっくり勉強したら，ぜひまた来てください⭐️
高一の2学期でもうやってんだけど、早くね？
そりゃだいぶ早いですね！私立の学校だとありえるのかな？
@@884 それがですね、ガッツリ公立の高校なんですよ笑先生が独特なんですかね？
@@ぽてち-f5y 地方の県内トップクラスの公立高校とかだと，結構受験に熱心なことが多いので納得できます。そうでなければ，単に先生が独特なのかと笑
うちも三角関数やってるよー
三角比と一緒にやる先生はいそう
分かりにくい・・・。
ごめんなさい🙇♂️
@@884 めちゃめちゃわかりやすいですよ！加法定理の証明ってよく「簡単な加法定理の証明！」とかで、図形の性質（内積や余弦定理, 相似など）やド・モアブルの定理、回転行列などの証明が紹介されるんですけれど、α, βの角度によって場合分けが必要であったり、循環論法になっていたりするんですよね。今回、林先生が取られた方法は「厳密性」を保ちつつ、コンパクトでわかりやすい解説になっていると思います。参考にさせてもらいます。
お役に立てたようでよかったです！
![[Background] An easy way to shift the contents of trigonometric functions.](/img/1.gif)
【訂正】
[3] から [1] を証明するところで，β → β - 90º としていますが，正しくは β → 90º - β です！
ご指摘くださった方，ありがとうございます🙇🏻♂️
めちゃくちゃ分かりやすくて好きです
1回見たら忘れません
それはよかったです！
α,βは一般角(全実数)が定義域なので、4つのうち1つが証明出来れば全て自明
その通りです！
動画でも，β → -β にしたり β → 90º - β にしたりしています。
今まで見た中でかなりわかりやすい動画だと思います。丁寧な説明ありがとうございます。
ありがとうございます！
だいぶ前の動画なので至らぬところも多いと思いますが，お役に立てたようでよかったです。
わかりやすいです！ありがとうございます！
お役に立てたようで何よりです！
とても分かりやすいです！
それはよかったです！ありがとうございます😊
数学はやはり感動する
大学入試問題だから教科書通り回転不変性を前提条件とできるわけですね。これを数学的に証明した受験生がいたらこの１問で合格にしたいと思うだろうね。
感動しました。マジで感動しました。
それはよかったです！
物理もやってほしい！
コメントありがとうございます！
今後の動画作りの参考にします。
今までに聴いた、観た三角関数の加法定理の説明で、あなたの説明が最も分かりやすかったです。ありがとう御座いました。
こちらこそ，ご視聴ありがとうございます！
お役に立てたようでよかったです✨
分かりやすい！
ありがとうございます😊
高校2年で、つい加法定理ってどうやってできてるんだろうと思って調べたら、東大、、、笑笑諦めですね笑
動画のような覚え方の方が教科書などには載っているイメージはあるけど、私は三角形の面積の和でsinの和の加法定理を証明するほうが好きですね~
たしかに証明系はトレンドになる可能性ありますよね！
余弦定理とか加法定理とかは，共通テストで証明が出題されてもおかしくないと思っています。
余弦定理でやるとαβの範囲めんどくさいけど座標と2点間の距離だと角度なんぼでもいいみたいな感じですか？
キャストダイス見ました！！かっこいい
ご来訪ありがとうございます😊
東大・京大の入試問題を中心に，高校数学の解説をしています。
ぼくははやくち解説高校数学さんが解説されている余弦定理を用いるやり方で覚えてます！
余弦定理や内積を用いる方法もありますね！
今回は，なるべく前提知識を減らし，三平方の定理のみを用いて証明してみました⭐️
e^(iθ)=cosθ+isinθに、
θ=α+βを代入したらダメなのかな
それ，実は僕も気になるんですよね。
循環的な議論になってしまうような気がしているのですが，何から何が導かれるのかという関係を完全には把握できていません。
多分ですが、問題はないですよ。
三角関数のマクローリン展開式を三角関数の定義式として認めると、オイラーの公式の示す事が出来るので。
但し、無限級数の和の順序入れ替え可能なのは、級数が絶対収束する時にのみ成り立つ点には注意して証明して下さい。
θを複素数の範囲に拡張する場合には
これが自然なやり方かと思います。
このやり方だと、幾何的意味合いは排除出来ますね。
懐かしい
三角関数は、物理で応用する時に証明した記憶がないようなあるような
三角関数や指数関数は，物理でいくらでも使えますもんね！
四角1の証明で行うべき角度の変換はβ→90°−βではないでしょうか？
あーほんとですね，ご指摘ありがとうございます！
座標でおいたのなら内積の演算処理のやつでもやりませんか？
一つの問題を様々な視点でやって言えるのが数学の楽しさでもあるので
内積の計算
OA(cos α,sin α),OB(cos β，sin β)とした時
OA・OB＝｜OA｜｜OB｜cos (βーα)
＝cos(βーα)
座標系で演算すると
OA・OB＝cos α cos β - sin α sin β
まーやってることは余弦定理をベクトルであっていいとこだけ取ってきたみたいなもんなのですがw
でもこの単元の時の際には基本的にベクトルは習ってないですし、再来年から指導要領の関係でベクトルがやらなくても済んでしまうのでこの考え方が減ってしまいますが
おっしゃる通り，内積を利用する手段もありますね♪
答案はそのほうがスッキリしそうです。
今回は，三平方の定理だけを前提として証明してみました⭐️
林 俊介 HAYASHI Shunsuke これからも頑張ってください
はい！
ありがとうございます😊
@@ひゃだ-s5s
β－αがなす角、なので内積を計算するには、β－αに制限がついて、一般の角度について証明出来ていないのでは無いでしょうか？
@@素敵-r4g
厳密には合分けが必要ですね
最初の方で何故三平方の定理を使えたんですか？？
α＋βが直角とは限らないのになんでかなーと思って質問させてください！
動画内で言及されてたら申し訳無いです！！
座標平面上の 2 点間の距離を求めるために，x 座標の差の 2 乗と y 座標の差の 2 乗を使いました。
これは，α や β がどういう角度かに依存しません！
@@884
なるほど！ありがとうございます！
サムネの背景色
京大→濃青
東大→淡青
今、気づいた
おーよく気づきましたね！
なぜ第二象限にcos(α+β)を置いても正なんですか？負でなはいのでしょうか？
コメントありがとうございます。
動画の時間でいうとどこのことでしょうか？
@@884 4:24のところです。
α + β が鈍角である場合，cos(α + β) の値は確かに負になります。
正であるとは述べていませんが，どこが誤りだとお考えでしょうか？
(ごめんなさい，疑問点を把握しきれていなくて。)
@@884 B’の座標が{cos(α+β),sin(α+β)}が{-cos(α+β),sin(α+β)}ではない理由を教えていただきたいです。
証明の際は正と考えて進めても良いからなのでしょうか？
cosはx座標の動きだと学校で学んだため今回のような(α+β)が鈍角である場合の証明にはcos(α+β)ではなく-cos(α+β)なのではないかと思い質問させていただきました。
わかりにくい質問かもしれませんが教えていただきたいです。長文申し訳ございません。
あーなるほど，意図がわかったかもしれません。
一般角で符号込みで考えているからこそ，cos(α + β) にマイナスは不要です。
"値が負だからマイナスがつく" というふうに思い込んでいらっしゃるのではないでしょうか？
ただ予備よりいいすね！
嬉しいコメントありがとうございます！
でも たたよび さんも，完成度が高いし何より初学者にとってわかりやすいので素敵ですよね⭐️
質問失礼します。
四角1の証明で四角3のβ→90°-βにすると
cosαsinβ－sinαcosβ になってしまいませんか？
はい，その通りです！（板書ミス，コメントで訂正済み）
ご迷惑おかけしました〜
@@884 ［3］のβを変形する場合は板書が正しく［1］が導けて、［3］のβ→90°-βとすると
cosαsinβ-sinαcosβになり、［4］のβ→90°-βとすると［1］が導けると思うのですがどうでしょうか...(間違っていたらすみません)
@@栗原颯大 はい，その通りです！🎉
@@栗原颯大 結局板書は何も間違えてないですよね
cos（β−π/2）がsinβとなることは証明いりますか？
文脈次第ですが，例えば今回の東大の問題では不要だと思います。
最悪，最初に示す cos の加法定理を使って簡単に証明できます。
すみません 1:48で何故
AB2乗=(cosa-cosb)2乗+(-sina-sinb)2乗で三平方の定理が使えるんですか？
直交座標で x 座標と y 座標の差がわかっているためです。直角三角形をガイドで書いてあげると理解しやすいかもしれません。
Twitterよく見てます
ありがとうございます♪
複素数を使う場合はだめでしょうか
方法によっては循環論法になってしまう可能性があるので要注意です。
複素数の積 zw の偏角が z の偏角と w の偏角の和になっているという事実は，三角関数の加法定理で証明していたと思います。
東大入試の過去問で誤答例として紹介されてました
ド・モアブルの定理の証明で加法定理を利用するので、順序が逆なわけです
👍
👍🏻👍🏻
中３には早すぎる内容だぁｶﾀ((((꒪꒫꒪ ))))ｶﾀ
高校数学をじっくり勉強したら，ぜひまた来てください⭐️
高一の2学期でもうやってんだけど、早くね？
そりゃだいぶ早いですね！
私立の学校だとありえるのかな？
@@884 それがですね、ガッツリ公立の高校なんですよ笑
先生が独特なんですかね？
@@ぽてち-f5y 地方の県内トップクラスの公立高校とかだと，結構受験に熱心なことが多いので納得できます。
そうでなければ，単に先生が独特なのかと笑
うちも三角関数やってるよー
三角比と一緒にやる先生はいそう
分かりにくい・・・。
ごめんなさい🙇♂️
@@884
めちゃめちゃわかりやすいですよ！
加法定理の証明ってよく「簡単な加法定理の証明！」とかで、
図形の性質（内積や余弦定理, 相似など）やド・モアブルの定理、回転行列などの証明が紹介されるんですけれど、α, βの角度によって場合分けが必要であったり、循環論法になっていたりするんですよね。
今回、林先生が取られた方法は「厳密性」を保ちつつ、コンパクトでわかりやすい解説になっていると思います。
参考にさせてもらいます。
お役に立てたようでよかったです！